2019高中數(shù)學 第三章 圓錐曲線與方程 3.4 曲線與方程 3.4.1 曲線與方程課件 北師大版選修2-1.ppt

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4曲線與方程 4 1曲線與方程 一 二 思考辨析 一 曲線與方程一般地 在平面直角坐標系中 如果某曲線C 看作滿足某種條件的點的集合或軌跡 上的點與一個二元方程的實數(shù)解建立了如下的關系 1 曲線上點的坐標都是這個方程的解 2 以這個方程的解為坐標的點都在曲線上 那么 這條曲線叫作方程的曲線 這個方程叫作曲線的方程 名師點撥 曲線的方程 和 方程的曲線 的概念中包含了雙重性 即純粹性和完備性 所謂純粹性 即曲線上點的坐標都是這個方程的解 所以要剔除曲線上不合題意的點 所謂完備性 即以方程的解為坐標的點都在曲線上 所以對方程進行變形時要注意等價變形 防止漏解 一 二 思考辨析 表示的是不在直線x y 1 0的左下方且在圓x2 y2 4上的部分 表示的是直線x y 1 0 因此結合各選項可知C正確 答案 C 一 二 思考辨析 二 點在曲線上的充要條件如果曲線C的方程是f x y 0 那么點P x0 y0 在曲線C上的充要條件是f x0 y0 0 做一做2 求證 以坐標原點為圓心 以5為半徑的圓的方程是x2 y2 25 并判斷點M1 3 4 M2 3 2 是否在這個圓上 由 1 2 可知 方程x2 y2 25是以坐標原點為圓心 半徑等于5的圓的方程 分別將M1 3 4 M2 3 2 代入圓的方程檢驗可知 點M1在圓上 M2不在圓上 一 二 思考辨析 判斷下列說法是否正確 正確的在后面的括號內打 錯誤的打 1 若以方程f x y 0的解為坐標的點都在曲線C上 則方程f x y 0即為曲線C的方程 2 若曲線C上的點滿足方程F x y 0 則坐標不滿足方程F x y 0的點不在曲線C上 3 方程x y 2 0是以A 2 0 B 0 2 為端點的線段的方程 4 在求曲線方程時 對于同一條曲線 坐標系的建立不同 所得到的曲線方程也不一樣 5 化簡方程 x y 為 y x 是恒等變形 6 按照求曲線方程的步驟求解出的曲線方程不用檢驗 探究一 探究二 探究三 曲線與方程的概念 例1 1 若命題 曲線C上的點的坐標都是方程f x y 0的解 是正確的 則下列命題正確的是 A 方程f x y 0的曲線是CB 方程f x y 0的曲線不一定是CC 方程f x y 0是曲線C的方程D 以方程f x y 0的解為坐標的點都在曲線C上 2 設方程f x y 0的解集非空 如果命題 坐標滿足方程f x y 0的點都在曲線C上 是不正確的 那么下列命題正確的是 A 坐標滿足方程f x y 0的點都不在曲線C上B 曲線C上的點的坐標都不滿足方程f x y 0C 坐標滿足方程f x y 0的點有些在曲線C上 有些不在曲線C上D 一定有不在曲線C上的點 其坐標滿足f x y 0 探究一 探究二 探究三 解析 1 本題重在考查曲線和方程的定義 只有正確地理解曲線與方程的定義 才能準確作答 易知A C D錯誤 2 本題考查命題形式的等價轉換 所給語句不正確 即 坐標滿足方程f x y 0的點不都在曲線C上 是正確的 不都在 包括 都不在 和 有的在 有的不在 兩種情況 故A C錯 B顯然錯 答案 1 B 2 D反思感悟判斷曲線和方程的對應關系 必須注意兩點 1 曲線上的點的坐標都是這個方程的解 即直觀地說 點不比解多 稱為純粹性 2 以這個方程的解為坐標的點都在曲線上 即直觀地說 解不比點多 稱為完備性 只有點和解一一對應 才能說曲線是方程的曲線 方程是曲線的方程 探究一 探究二 探究三 變式訓練1判斷下列命題是否正確 并說明理由 1 過點A 3 0 且垂直于x軸的直線的方程為x 3 2 ABC的頂點A 0 3 B 1 0 C 1 0 D為BC中點 則中線AD的方程為x 0 解 1 正確 滿足曲線方程的定義 故結論正確 2 錯誤 因為中線AD是一條線段 而不是直線 所以其方程應為x 0 3 y 0 故結論錯誤 3 錯誤 由方程可得x2 y2 4或x y 1 0 x2 y2 4 所以該方程表示的是一個圓或兩條射線 探究一 探究二 探究三 判斷 或證明 方程是曲線的方程 例2 證明 圓心為P a b 半徑等于r的圓的方程是 x a 2 y b 2 r2 綜上可知 x a 2 y b 2 r2是圓心為P a b 半徑等于r的圓的方程 反思感悟證明方程的曲線或曲線的方程須證明兩點 1 曲線上的坐標都是方程的解 2 以這個方程的解為坐標的點都在曲線上 探究一 探究二 探究三 變式訓練2證明以點C 0 3 為圓心 以2為半徑的圓的方程為x2 y 3 2 4 并判斷點M 4 N 1 3 P 0 1 Q 1 0 是否在圓上 證明 設M x0 y0 是圓上的任一點 則 M C 2 故點M x0 y0 到C點的距離等于2 即點M 在以C為圓心 2為半徑的圓上 綜上可知 以點C 0 3 為圓心 2為半徑的圓的方程為x2 y 3 2 4 探究一 探究二 探究三 把點M的坐標代入方程x2 y 3 2 4 左右兩邊相等 即 4 是方程的解 所以點M在這個圓上 同理可判斷點N 點P在圓上 而點Q 1 0 不在這個圓上 探究一 探究二 探究三 求曲線的方程 例3 設圓C x 1 2 y2 1 過原點O作圓的任意弦 求所作弦的中點的軌跡方程 解法一 直接法 設OQ為過O的一條弦 P x y 為其中點 由圓的范圍知0 x 1 探究一 探究二 探究三 解法二 定義法 OPC 90 解法三 代入法 2x 1 2 2y 2 1 0 x 1 探究一 探究二 探究三 解法四 參數(shù)法 設動弦OQ的方程為y kx 代入圓方程得 x 1 2 k2x2 1 即 1 k2 x2 2x 0 探究一 探究二 探究三 反思感悟求動點的軌跡方程主要方法有直接法 定義法 代入法 待定系數(shù)法 參數(shù)法等 1 直接法 建立平面直角坐標系 把動點滿足的幾何條件轉化為x y間的關系 即得軌跡方程 2 定義法 當已知條件適合圓錐曲線的定義時 可直接寫出方程 3 代入法 若動點P x y 依賴于已知曲線上另一個點Q x y 而運動時 可用x y來表示x y 再代入已知曲線方程 即可求出軌跡方程 4 待定系數(shù)法 若由題設條件易于確定方程的類型 可先設出方程 再由條件確定方程中的參數(shù) 即 先定型 再定量 5 參數(shù)法 當直接建立x y間的關系較困難時 可通過選適當?shù)膮?shù) 找出x y間的間接關系 即參數(shù)方程 然后消去參數(shù)化為普通方程 探究一 探究二 探究三 變式訓練3已知動點M到點A 2 0 的距離是它到點B 8 0 的距離的一半 求 1 動點M的軌跡方程 2 若N為線段AM的中點 試求點N的軌跡 解 1 設動點M的坐標為 x y 則由兩點間距離公式及題意易得 整理 得x2 y2 16 即為動點M的軌跡方程 探究一 探究二 探究三 2 設動點N的坐標為 x y M的坐標是 x1 y1 由A 2 0 且N為線段AM的中點 所以有x1 2x 2 y1 2y 由 1 知M是圓x2 y2 16上的點 將 代入 并整理 得 x 1 2 y2 4 所以N的軌跡是以 1 0 為圓心 2為半徑的圓 12345 1 已知定點A 1 0 B 1 0 動點P滿足直線PA PB的斜率之積為 1 則動點P滿足的方程是 答案 B 12345 2 一條線段長為10 兩端點A B分別在x軸和y軸上滑動 M點在線 A x2 16y2 64B 16x2 y2 64C x2 16y2 8D 16x2 y2 8 整理得16x2 y2 64 答案 B 12345 3 由動點P向圓x2 y2 1引兩條切線PA PB 切點分別為A B APB 60 則動點P滿足的方程為 解析 設P x y 圓x2 y2 1的圓心為O APB 60 圓O的半徑為1 OP 2 x2 y2 4 答案 x2 y2 4 12345 4 設P為雙曲線 y2 1上一動點 O為坐標原點 M為線段OP的中點 則點M的軌跡方程是 答案 x2 4y2 1 12345 5 設兩定點A B的距離為8 求到A B兩點距離的平方和是50的動點的軌跡方程 解 以A B兩點連線為x軸 A為坐標原點 建立直角坐標系 如圖所示 則A 0 0 B 8 0 設曲線上的動點為P x y 依據題意可得 PA 2 PB 2 50 化簡可得x2 y2 8x 7 0 故所求軌跡方程為x2 y2 8x 7 0