2018-2019版高中數學 第一章 計數原理 1.1 分類加法計數原理與分步乘法計數原理 第1課時 兩個計數原理學案 新人教A版選修2-3.doc

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第1課時　兩個計數原理 學習目標　1.理解分類加法計數原理與分步乘法計數原理.2.會用這兩個原理分析和解決一些簡單的實際計數問題． 知識點一　分類加法計數原理 第十三屆全運會在中國天津盛大召開，一名志愿者從上海趕赴天津為游客提供導游服務，每天有7個航班，6列火車． 思考　該志愿者從上海到天津的方案可分幾類？共有多少種出行方法？ 答案　兩類，即乘飛機、坐火車．共有7＋6＝13(種)不同的出行方法． 梳理　(1)完成一件事有兩類不同的方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m＋n種不同的方法． (2)完成一件事有n類不同的方案，在第1類方案中有m1種不同的方法，在第2類方案中有m2種不同的方法，…，在第n類方案中有mn種不同的方法，則完成這件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn種不同的方法． 知識點二　分步乘法計數原理 若這名志愿者從上海趕赴天津為游客提供導游服務，但需在青島停留，已知從上海到青島每天有7個航班，從青島到天津每天有6列火車． 思考　該志愿者從上海到天津需要經歷幾個步驟？共有多少種出行方法？ 答案　兩個，即先乘飛機到青島，再坐火車到天津．共有76＝42(種)不同的出行方法． 梳理　(1)完成一件事需要兩個步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝mn種不同的方法． (2)完成一件事需要n個步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，…，做第n步有mn種不同的方法，則完成這件事共有N＝m1m2…mn種不同的方法． 1．在分類加法計數原理中，兩類不同方案中的方法可以相同．(　　) 2．在分類加法計數原理中，每類方案中的方法都能完成這件事．(　√　) 3．在分步乘法計數原理中，每個步驟中完成這個步驟的方法是各不相同的．(　√　) 4．在分步乘法計數原理中，事情若是分兩步完成的，那么其中任何一個單獨的步驟都不能完成這件事，只有兩個步驟都完成后，這件事情才算完成．(　√　) 類型一　分類加法計數原理 例1　設集合A＝{1,2,3,4}，m，n∈A，則方程＋＝1表示焦點位于x軸上的橢圓的有(　　) A．6個 B．8個 C．12個 D．16個 考點　分類加法計數原理 題點　分類加法計數原理的應用 答案　A 解析　因為橢圓的焦點在x軸上，所以m>n.當m＝4時，n＝1,2,3；當m＝3時，n＝1,2；當m＝2時，n＝1，即所求的橢圓共有3＋2＋1＝6(個)． 反思與感悟　(1)應用分類加法計數原理時，完成這件事的n類方法是互不干擾的，無論哪種方案中的哪種方法，都可以獨立完成這件事． (2)利用分類加法計數原理解題的一般思路 跟蹤訓練1　滿足a，b∈{－1,0,1,2}，且關于x的方程ax2＋2x＋b＝0有實數解的有序數對(a，b)的個數為(　　) A．14 B．13 C．12 D．10 考點　分類加法計數原理 題點　分類加法計數原理的應用 答案　B 解析　由已知得ab≤1. 若a＝－1時，b＝－1,0,1,2，有4種可能； 若a＝0時，b＝－1,0,1,2，有4種可能； 若a＝1時，b＝－1,0,1，有3種可能； 若a＝2時，b＝－1,0，有2種可能． ∴共有(a，b)的個數為4＋4＋3＋2＝13. 類型二　分步乘法計數原理 例2　一種號碼鎖有4個撥號盤，每個撥號盤上有從0到9共十個數字，這4個撥號盤可以組成多少個四位數的號碼？(各位上的數字允許重復) 考點　分步乘法計數原理 題點　分步乘法計數原理的應用 解　按從左到右的順序撥號可以分四步完成： 第一步，有10種撥號方式，所以m1＝10； 第二步，有10種撥號方式，所以m2＝10； 第三步，有10種撥號方式，所以m3＝10； 第四步，有10種撥號方式，所以m4＝10. 根據分步乘法計數原理，共可以組成N＝10101010＝10 000(個)四位數的號碼． 引申探究 若各位上的數字不允許重復，那么這個撥號盤可以組成多少個四位數的號碼？ 解　按從左到右的順序撥號可以分四步完成： 第一步，有10種撥號方式，即m1＝10； 第二步，去掉第一步撥的數字，有9種撥號方式，即m2＝9； 第三步，去掉前兩步撥的數字，有8種撥號方式，即m3＝8； 第四步，去掉前三步撥的數字，有7種撥號方式，即m4＝7. 根據分步乘法計數原理，共可以組成N＝10987＝5 040(個)四位數的號碼． 反思與感悟　(1)應用分步乘法計數原理時，完成這件事情要分幾個步驟，只有每個步驟都完成了，才算完成這件事情，每個步驟缺一不可． (2)利用分步乘法計數原理解題的一般思路 ①分步：將完成這件事的過程分成若干步； ②計數：求出每一步中的方法數； ③結論：將每一步中的方法數相乘得最終結果． 跟蹤訓練2　從－1,0,1,2這四個數中選三個不同的數作為函數f(x)＝ax2＋bx＋c的系數，可組成不同的二次函數共______個，其中不同的偶函數共________個．(用數字作答) 考點　分步乘法計數原理 題點　分步乘法計數原理的應用 答案　18　6 解析　一個二次函數對應著a，b，c(a≠0)的一組取值，a的取法有3種，b的取法有3種，c的取法有2種，由分步乘法計數原理知共有不同的二次函數332＝18(個)． 若二次函數為偶函數，則b＝0.a的取法有3種，c的取法有2種，則由分步乘法計數原理知，共有不同的偶函數32＝6(個)． 類型三　辨析兩個計數原理 例3　現(xiàn)有5幅不同的國畫，2幅不同的油畫，7幅不同的水彩畫． (1)從中任選一幅畫布置房間，有幾種不同的選法？ (2)從這些國畫、油畫、水彩畫中各選一幅布置房間，有幾種不同的選法？ (3)從這些畫中選出兩幅不同種類的畫布置房間，有幾種不同的選法？ 考點　兩個計數原理的區(qū)別與聯(lián)系 題點　兩個原理的簡單綜合應用 解　(1)分為三類：從國畫中選，有5種不同的選法；從油畫中選，有2種不同的選法；從水彩畫中選，有7種不同的選法．根據分類加法計數原理，共有5＋2＋7＝14(種)不同的選法． (2)分為三步：國畫、油畫、水彩畫各有5種，2種，7種不同的選法，根據分步乘法計數原理，共有527＝70(種)不同的選法． (3)分為三類：第一類是一幅選自國畫，一幅選自油畫，由分步乘法計數原理知，有52＝10(種)不同的選法； 第二類是一幅選自國畫，一幅選自水彩畫，有57＝35(種)不同的選法； 第三類是一幅選自油畫，一幅選自水彩畫，有27＝14(種)不同的選法． 所以共有10＋35＋14＝59(種)不同的選法． 反思與感悟　(1)當題目無從下手時，可考慮要完成的這件事是什么，即怎樣做才算完成這件事，然后給出完成這件事的一種或幾種方法，從這幾種方法中歸納出解題方法． (2)分類時標準要明確，做到不重不漏，有時要恰當畫出示意圖或樹狀圖，使問題的分析更直觀、清楚，便于探索規(guī)律． (3)混合問題一般是先分類再分步． 跟蹤訓練3　在7名學生中，有3名會下象棋但不會下圍棋，有2名會下圍棋但不會下象棋，另2名既會下象棋又會下圍棋，現(xiàn)在從7人中選2人分別參加象棋比賽和圍棋比賽，共有多少種不同的選法？ 考點　兩個計數原理的區(qū)別與聯(lián)系 題點　兩個原理的簡單綜合應用 解　選參加象棋比賽的學生有兩種方法，在只會下象棋的3人中選或在既會下象棋又會下圍棋的2人中選；選參加圍棋比賽的學生也有兩種選法；在只會下圍棋的2人中選或在既會下象棋又會下圍棋的2人中選．互相搭配，可得四類不同的選法． 從3名只會下象棋的學生中選1名參加象棋比賽，同時從2名只會下圍棋的學生中選1名參加圍棋比賽有32＝6(種)選法； 從3名只會下象棋的學生中選1名參加象棋比賽，同時從2名既會下象棋又會下圍棋的學生中選1名參加圍棋比賽有32＝6(種)選法； 從2名只會下圍棋的學生中選1名參加圍棋比賽，同時從2名既會下象棋又會下圍棋的學生中選1名參加象棋比賽有22＝4(種)選法； 2名既會下象棋又會下圍棋的學生分別參加象棋比賽和圍棋比賽有2種選法． 所以共有6＋6＋4＋2＝18(種)選法．所以共有18種不同的選法． 1．從A地到B地，可乘汽車、火車、輪船三種交通工具，如果一天內汽車發(fā)3次，火車發(fā)4次，輪船發(fā)2次，那么一天內乘坐這三種交通工具的不同走法數為(　　) A．1＋1＋1＝3 B．3＋4＋2＝9 C．342＝24 D．以上都不對 考點　分類加法計數原理 題點　分類加法計數原理的應用 答案　B 解析　分三類：第一類，乘汽車，從3次中選1次有3種走法；第二類，乘火車，從4次中選1次有4種走法；第三類乘輪船，從2次中選1次有2種走法，所以共有3＋4＋2＝9(種)不同的走法． 2．現(xiàn)有4件不同款式的上衣和3條不同顏色的長褲，如果一條長褲與一件上衣配成一套，則不同的配法種數為(　　) A．7 B．12 C．64 D．81 考點　分步乘法計數原理 題點　分步乘法計數原理的應用 答案　B 解析　要完成配套，分兩步：第1步，選上衣，從4件上衣中任選一件，有4種不同的選法；第2步，選長褲，從3條長褲中任選一條，有3種不同的選法．故共有43＝12(種)不同的配法． 3．若x，y∈N*，且x＋y≤5，則有序自然數對(x，y)的個數為(　　) A．6 B．8 C．9 D．10 考點　分類加法計數原理 題點　分類加法計數原理的應用 答案　D 解析　當x＝1時，y＝1,2,3,4，共構成4個有序自然數對； 當x＝2時，y＝1,2,3，共構成3個有序自然數對； 當x＝3時，y＝1,2，共構成2個有序自然數對； 當x＝4時，y＝1，共構成1個有序自然數對． 根據分類加法計數原理，共有N＝4＋3＋2＋1＝10(個)有序自然數對． 4．5名乒乓球隊員中，有2名老隊員和3名新隊員．現(xiàn)從中選出3名隊員參加團體比賽，則入選的3名隊員中至少有一名老隊員的選法有________種．(用數字作答) 考點　兩個計數原理的區(qū)別與聯(lián)系 題點　兩個原理的簡單綜合應用 答案　9 解析　分為兩類：兩名老隊員、一名新隊員時，有3種選法；兩名新隊員、一名老隊員時，有23＝6(種)選法，即共有9種不同選法． 5．某校高中三年級一班有優(yōu)秀團員8人，二班有優(yōu)秀團員10人，三班有優(yōu)秀團員6人，學校組織他們去參觀某愛國主義教育基地． (1)推選1人為總負責人，有多少種不同的選法？ (2)每班選1人為小組長，有多少種不同的選法？ (3)從他們中選出2個人管理生活，要求這2個人不同班，有多少種不同的選法？ 考點　兩個計數原理的區(qū)別與聯(lián)系 題點　兩個原理的簡單綜合應用 解　(1)分三類，第一類是從一班的8名優(yōu)秀團員中產生，有8種不同的選法；第二類是從二班的10名優(yōu)秀團員中產生，有10種不同的選法；第三類是從三班的6名優(yōu)秀團員中產生，有6種不同的選法．由分類加法計數原理可得，共有N＝8＋10＋6＝24(種)不同的選法． (2)分三步，第一步從一班的8名優(yōu)秀團員中選1名小組長，有8種不同的選法，第二步從二班的10名優(yōu)秀團員中選1名小組長，有10種不同的選法．第三步是從三班的6名優(yōu)秀團員中選1名小組長，有6種不同的選法．由分步乘法計數原理可得，共有N＝8106＝480(種)不同的選法． (3)分三類：每一類又分兩步，第一類是從一班、二班的優(yōu)秀團員中各選1人，有810種不同的選法；第二類是從二班、三班的優(yōu)秀團員中各選1人，有106種不同的選法；第三類是從一班、三班的優(yōu)秀團員中各選1人，有86種不同的選法．因此，共有N＝810＋106＋86＝188(種)不同的選法． 1．使用兩個原理解題的本質 ―→―→ ―→―→ 2．利用兩個計數原理解決實際問題的常用方法 一、選擇題 1．圖書館的書架有3層，第1層有3本不同的數學書，第2層有5本不同的語文書，第3層有8本不同的英語書，現(xiàn)從中任取1本書，不同的取法共有(　　) A．120種 B．16種 C．64種 D．39種 考點　分類加法計數原理 題點　分類加法計數原理的應用 答案　B 解析　由于書架上有3＋5＋8＝16(本)書，則從中任取1本書，共有16種不同的取法． 2．已知a∈{3,4,6}，b∈{1,2}，r∈{1,4,9,16}，則方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2可表示的不同圓的個數是(　　) A．6 B．9 C．16 D．24 考點　分步乘法計數原理 題點　分步乘法計數原理的應用 答案　D 解析　確定一個圓的方程可分為三個步驟：第一步，確定a，有3種選法；第二步，確定b，有2種選法；第三步，確定r，有4種選法．由分步乘法計數原理得，不同圓的個數為324＝24. 3．從集合{1,2,3，…，8}中任意選出3個不同的數，使這3個數成等比數列，這樣的等比數列的個數為(　　) A．3 B．4 C．6 D．8 考點　分類加法計數原理 題點　分類加法計數原理的應用 答案　B 解析　以1為首項的等比數列為1,2,4；以2為首項的等比數列為2,4,8.把這兩個數列的順序顛倒，又得到2個數列，∴所求數列為4個． 4．現(xiàn)有6名同學去聽同時進行的5個課外知識講座，每名同學可自由選擇其中的一個講座，不同選法的種數是(　　) A．56 B．65 C. D．65432 考點　分步乘法計數原理 題點　分步乘法計數原理的應用 答案　A 解析　每位同學都有5種選擇，共有555555＝56(種)． 5．如果x，y∈N，且1≤x≤3，x＋y<7，則滿足條件的不同的有序自然數對(x，y)的個數是(　　) A．5 B．12 C．15 D．4 考點　分類加法計數原理 題點　分類加法計數原理的應用 答案　C 解析　當x＝1時，y的取值范圍可能為0,1,2,3,4,5，有6種情況； 當x＝2時，y的取值可能為0,1,2,3,4，有5種情況； 當x＝3時，y的取值范圍可能為0,1,2,3，有4種情況； 根據分類加法計數原理可得，滿足條件的(x，y)的個數為6＋5＋4＝15. 6．定義集合A與B的運算A*B如下：A*B＝{(x，y)|x∈A，y∈B}，若A＝{a，b，c}，B＝{a，c，d，e}，則集合A*B的元素個數為(　　) A．34 B．43 C．12 D．以下都不對 考點　分步乘法計數原理 題點　分步乘法計數原理的應用 答案　C 解析　由分步乘法計數原理可知，A*B中共有34＝12(個)元素． 7．從甲地到乙地有2種走法，從乙地到丙地有4種走法，從甲地不經過乙地到丙地有3種走法，則從甲地到丙地的不同走法種數為(　　) A．2＋4＋3 B．24＋3 C．23＋4 D．243 考點　兩個計數原理的區(qū)別與聯(lián)系 題點　兩個原理的簡單綜合應用 答案　B 解析　分兩類，一是從甲地經乙地到丙地，有24種，二是直接從甲地到丙地，有3種，所以從甲地到丙地的不同走法種數共有24＋3. 8．已知集合M∈{1，－2,3}，N∈{－4,5,6，－7}，從兩個集合中各取一個元素作為點的坐標，則這樣的坐標在直角坐標系中可表示第一、二象限內不同的點的個數是(　　) A．18 B．17 C．16 D．14 考點　兩個計數原理的區(qū)別與聯(lián)系 題點　兩個原理的簡單綜合應用 答案　D 解析　分兩類． 第一類：M中的元素作橫坐標，N中的元素作縱坐標，則在第一、二象限內的點有32＝6(個)； 第二類：N中的元素作橫坐標，M中的元素作縱坐標，則在第一、二象限內的點有42＝8(個)． 由分類加法計數原理可知，共有6＋8＝14(個)點在第一、二象限． 二、填空題 9．一個禮堂有4個門，若從任一個門進，從任一門出，共有不同走法________種． 考點　分步乘法計數原理 題點　分步乘法計數原理的應用 答案　16 解析　由分步乘法計數原理得44＝16. 10．若在如圖1的電路中，只合上一個開關可以接通電路，有________種不同的方法； 在如圖2的電路中，合上兩個開關可以接通電路，有________種不同的方法． 考點　兩個計數原理的區(qū)別與聯(lián)系 題點　兩個原理的簡單綜合應用 答案　5　6 解析　對于圖1，按要求接通電路，只要在A中的兩個開關或B中的三個開關中合上一個即可，故有2＋3＝5(種)不同的方法． 對于圖2，按要求接通電路必須分兩步進行： 第一步，合上A中的一個開關； 第二步，合上B中的一個開關， 故有23＝6(種)不同的方法． 11．直線方程Ax＋By＝0，若從0,1,3,5,7,8這6個數字中每次取兩個不同的數作為A，B的值，則可表示________條不同的直線． 考點　兩個計數原理的區(qū)別與聯(lián)系 題點　兩個原理的簡單綜合應用 答案　22 解析　若A或B中有一個為零時，有2條；當AB≠0時有54＝20(條)，故共有20＋2＝22(條)不同的直線． 12．某運動會上，8名男運動員參加100米決賽，其中甲、乙、丙三人必須在1,2,3,4,5,6,7,8八條跑道的奇數號跑道上，則安排這8名運動員比賽的方式共有________種． 考點　分步乘法計數原理 題點　分步乘法計數原理的應用 答案　2 880 解析　分兩步安排這8名運動員． 第一步，安排甲、乙、丙三人，共有1,3,5,7四條跑道可安排，所以共有432＝24(種)方法； 第二步，安排另外5人，可在2,4,6,8及余下的一條奇數號跑道安排，共有54321＝120(種)． 所以安排這8人的方式共有24120＝2 880(種)． 三、解答題 13．現(xiàn)有高一四個班的學生34人，其中一、二、三、四班分別有7人、8人、9人、10人，他們自愿組成數學課外小組． (1)選其中一個為負責人，有多少種不同的選法？ (2)每班選一名組長，有多少種不同的選法？ (3)推選兩人做中心發(fā)言，這兩人需來自不同的班級，有多少種不同的選法？ 考點　兩個計數原理的區(qū)別與聯(lián)系 題點　兩個原理的簡單綜合應用 解　(1)分四類：第一類，從一班學生中選1人，有7種選法；第二類，從二班學生中選1人，有8種選法；第三類，從三班學生中選1人，有9種選法；第四類，從四班學生中選1人，有10種選法，所以共有不同的選法N＝7＋8＋9＋10＝34(種)． (2)分四步：第一、二、三、四步分別從一、二、三、四班學生中選一人任組長．所以共有不同的選法N＝78910＝5 040(種)． (3)分六類，每類又分兩步：從一、二班學生中各選1人，有78種不同的選法；從一、三班學生中各選1人，有79種不同的選法；從一、四班學生中各選1人，有710種不同的選法，從二、三班學生中各選1人，有89種不同的選法；從二、四班學生中各選1人，有810種不同的選法；從三、四班學生中各選1人，有910種不同的選法． 所以，共有不同的選法N＝78＋79＋710＋89＋810＋910＝431(種)． 四、探究與拓展 14．如果一條直線與一個平面平行，那么稱此直線與平面構成一個“平行線面組”．在一個長方體中，求由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構成的“平行線面組”的個數． 考點　兩個計數原理的區(qū)別與聯(lián)系 題點　兩個原理的簡單綜合應用 解　長方體的6個表面構成的“平行線面組”有66＝36(個)，另外含4個頂點的6個面(非表面)構成的“平行線面組”有62＝12(個)，所以共有36＋12＝48(個)． 15．集合A＝{1,2，－3}，B＝{－1，－2,3,4}，從A，B中各取1個元素，作為點P(x，y)的坐標． (1)可以得到多少個不同的點？ (2)這些點中，位于第一象限的有幾個？ 考點　兩個計數原理的區(qū)別與聯(lián)系 題點　兩個原理的簡單綜合應用 解　(1)可分為兩類：A中元素為x，B中元素為y或A中元素為y，B中元素為x，則共得到34＋43＝24(個)不同的點． (2)第一象限內的點，即x，y均為正數，所以只能取A，B中的正數，共有22＋22＝8(個)不同的點．