2018-2019學年高中數(shù)學 第三講 柯西不等式與排序不等式 二 一般形式的柯西不等式講義（含解析）新人教A版選修4-5.doc

二 一般形式的柯西不等式 名稱形式等號成立條件三維形式的柯西不等式設a1，a2，a3，b1，b2，b3R，則(aaa)(bbb)(a1b1a2b2a3b3)2當且僅當b1b2b30或存在一個實數(shù)k使得aikbi(i1,2,3)一般形式的柯西不等式設a1，a2，a3，an，b1，b2，b3，bn是實數(shù)，則(aaa)(bbb)(a1b1a2b2anbn)2當且僅當bi0(i1,2，n)或存在一個實數(shù)k，使得aikbi(i1,2，n)點睛一般形式的柯西不等式是二維形式、三維形式、四維形式的柯西不等式的歸納與推廣，其特點可類比二維形式的柯西不等式來總結，左邊是平方和的積，右邊是積的和的平方在使用時，關鍵是構造出符合柯西不等式的結構形式利用柯西不等式證明不等式例1設x1，x2，xn都是正數(shù)，求證：.思路點撥根據(jù)一般柯西不等式的特點，構造兩組數(shù)的積的形式，利用柯西不等式證明證明(x1x2xn)(1)2()2()22n2，.柯西不等式的結構特征可以記為：(a1a2an)(b1b2bn)()2.其中ai，biR(i1,2，n)，在使用柯西不等式時要善于從整體上把握柯西不等式的結構特征，正確地配湊出公式兩側的數(shù)是解決問題的關鍵1設a，b，c為正數(shù)，且不全相等求證：>.證明：構造兩組數(shù)，；，則由柯西不等式得(abbcca)(111)2，即2(abc)9，于是.由柯西不等式知，中有等號成立abbccaabc.因為a，b，c不全相等，故中等號不成立，于是>.利用柯西不等式求最值例2(1)已知x，y，zR，且xyz1.求 的最小值；(2)設2x3y5z29，求函數(shù)的最大值思路點撥(1)利用(xyz)(2)利用()2(111)2.解(1)xyz1，(xyz)；2(123)236.當且僅當x，即x，y，z時取等號所以的最小值為36.(2)根據(jù)柯西不等式，有(111)2(2x1)(3y4)(5z6)(111)3(2x3y5z11)340120.故2，當且僅當2x13y45z6，即x，y，z時等號成立此時max2.利用柯西不等式求最值時，關鍵是對原目標函數(shù)進行配湊，以保證出現(xiàn)常數(shù)結果同時，要注意等號成立的條件2已知x，y，zR，且x2y2z5，則(x5)2(y1)2(z3)2的最小值是()A20B25C36 D47解析：選C(x5)2(y1)2(z3)212(2)222(x5)(2)(y1)2(z3)2324，當且僅當，即x3，y3，z1時取等號故(x5)2(y1)2(z3)2的最小值是36.3若2x3y4z11，則x2y2z2的最小值為_解析：2x3y4z11，由柯西不等式，得(x2y2z2)(4916)(2x3y4z)2，故x2y2z2，當且僅當，即x，y，z時取等號答案：4把一根長為12 m的細繩截成三段，各圍成三個正方形問：怎樣截法，才能使圍成的三個正方形面積之和S最小，并求此最小值解：設三段繩子的長分別為x，y，z，則xyz12，三個正方形的邊長分別為，均為正數(shù)，三個正方形面積之和：S222(x2y2z2)(121212)(x2y2z2)(xyz)2122，即x2y2z248.從而S483.當且僅當時取等號，又xyz12，xyz4時，Smin3.故把繩子三等分時，圍成的三個正方形面積之和最小，最小面積為3 m2.1已知a2b2c2d25，則abbccdad的最小值為()A5 B5C25 D25解析：選B(abbccdad)2(a2b2c2d2)(b2c2d2a2)25，當且僅當abcd時，等號成立abbccdbd的最小值為5.2已知aaa1，xxx1，則a1x1a2x2anxn的最大值是()A1 B2C3 D4解析：選A(a1x1a2x2anxn)2(aaa)(xxx)111，當且僅當1時取等號a1x1a2x2anxn的最大值是1.3已知x，y，zR，且1，則x的最小值是()A5 B6C8 D9解析：選Dx 29，當且僅當時等號成立4設a，b，c，x，y，z是正數(shù)，且a2b2c210，x2y2z240，axbycz20，則()A. B.C. D.解析：選C由柯西不等式得，(a2b2c2)(x2y2z2)(axbycz)2400，當且僅當時取等號，因此有.5已知2x3yz8，則x2y2z2取得最小值時，x，y，z形成的點(x，y，z)_.解析：由柯西不等式(223212)(x2y2z2)(2x3yz)2，即x2y2z2.當且僅當z時等號成立又2x3yz8，解得x，y，z，故所求點為.答案：6設a，b，c為正數(shù)，則(abc)的最小值是_解析：(abc)()2()2()22(236)2121.當且僅當k(k為正實數(shù))時，等號成立答案：1217已知實數(shù)x，y，z滿足3x2yz1，則x22y23z2的最小值為_解析：由柯西不等式，得x2(y)2(z)2(3x2yz)21，所以x22y23z2，當且僅當，即x，y，z時，等號成立，所以x22y23z2的最小值為.答案：8在ABC中，設其各邊長為a，b，c，外接圓半徑為R，求證：(a2b2c2)36R2.證明：2R，(a2b2c2)236R2.9在直線5x3y2上求一點，使(x2y1)2(3xy3)2取得最小值解：由柯西不等式得(2212)(x2y1)2(3xy3)22(x2y1)(3xy3)2(5x3y1)29.(x2y1)2(3xy3)2.當且僅當x2y12(3xy3)即5x4y70時取等號解方程組得故所求點的坐標為.10已知函數(shù)f(x)m|x2|，mR，且f(x2)0的解集為1,1(1)求m的值；(2)若a，b，c為正實數(shù)，且m，求證：a2b3c9.解：(1)因為f(x2)m|x|，所以f(x2)0等價于|x|m.由|x|m有解，得m0，且其解集為x|mxm，又f(x2)0的解集為1,1，故m1.(2)證明：由(1)知1，所以a2b3c(a2b3c)29.