2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第1部分 第2章 圓錐曲線與方程 2.6 曲線與方程 2.6.3 曲線的交點講義（含解析）蘇教版選修2-1.doc

26.3曲線的交點給出下列兩組直線，回答問題(1)l1：x2y0，l2：2x4y30；(2)l1：2xy0，l2：3xy70.問題1：兩組直線的位置關(guān)系提示：(1)平行；(2)相交問題2：如何判斷它們的位置關(guān)系？能否用這種方法來判定兩條曲線的位置關(guān)系？提示：兩直線位置關(guān)系的判斷可有兩種方法：一是利用斜率；二是兩方程聯(lián)立，利用方程的解來判定第二種方法可以用來判定兩曲線的位置關(guān)系問題3：如何求兩曲線的交點坐標(biāo)提示：把表示曲線的方程聯(lián)立，解方程組，其解即為曲線交點的坐標(biāo)已知曲線C1：f1(x，y)0和C2：f2(x，y)0.(1)P0(x0，y0)是C1和C2的公共點 (2)求兩曲線的交點，就是求方程組的實數(shù)解(3)方程組有幾組不同的實數(shù)解，兩條曲線就有幾個公共點；方程組沒有實數(shù)解，兩條曲線就沒有公共點直線與圓錐曲線聯(lián)立，消元得方程ax2bxc0方程特征交點個數(shù)位置關(guān)系直線與橢圓a0，>02相交a0，01相切a0，<00相離直線與雙曲線a01直線與雙曲線的漸近線平行，兩者相交a0，>02相交a0，01相切a0，<00相離直線與拋物線a01直線與拋物線的對稱軸平行，兩者相交a0，>02相交a0，01相切a0，<00相離直線與圓錐曲線的位置關(guān)系例1已知直線l：kxy20，雙曲線C：x24y24，當(dāng)k為何值時：(1)l與C無公共點；(2)l與C有惟一公共點；(3)l與C有兩個不同的公共點思路點撥直線與圓錐曲線公共點的個數(shù)就是直線與圓錐曲線方程所組成的方程組解的個數(shù)，從而問題可轉(zhuǎn)化為由方程組的解的個數(shù)來確定參數(shù)k的取值精解詳析將直線與雙曲線方程聯(lián)立消去y，得(14k2)x216kx200.當(dāng)14k20時，有(16k)24(14k2)(20)16(54k2)(1)當(dāng)14k20且0，即k或k時，l與C無公共點(2)當(dāng)14k20，即k時，顯然方程只有一解當(dāng)14k20，0，即k時，方程只有一解故當(dāng)k或k時，l與C有惟一公共點(3)當(dāng)14k20，且0時，即k，且k時，方程有兩解，l與C有兩個公共點一點通直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，可以通過討論直線方程與曲線方程組成的方程組的實數(shù)解的個數(shù)來確定，通常消去方程組中變量y(或x)得到關(guān)于變量x(或y)的一元二次方程，考慮該一元二次方程的判別式，則有：>0直線與圓錐曲線相交于兩個點；0直線與圓錐曲線相交于一個點；<0直線與圓錐曲線無交點1對不同的實數(shù)值m，討論直線yxm與橢圓y21的位置關(guān)系解：由消去y得(xm)21，整理得5x28mx4m240.(8m)245(4m24)16(5m2)當(dāng)<m<時，>0，直線與橢圓相交；當(dāng)m或m時，0，直線與橢圓相切；當(dāng)m<或m>時，<0，直線與橢圓相離2已知拋物線的方程為y24x，直線l過定點P(2,1)，斜率為k，k為何值時，直線l與拋物線y24x只有一個公共點；有兩個公共點；沒有公共點？解：(1)當(dāng)k0時，直線l與x軸平行，易知與拋物線只有一個交點(2)當(dāng)k0時，聯(lián)立消去x，得ky24y4(2k1)0，164k4(2k1)當(dāng)0，即k1或時，直線l與拋物線相切，只有一個公共點；當(dāng)>0，即1<k<且k0時，直線l與拋物線相交，有兩個公共點；當(dāng)<0，即k<1或k>時，直線l與拋物線相離，沒有公共點綜上：當(dāng)k1或或0時，直線l與拋物線只有一個公共點；當(dāng)1<k<，且k0時，直線l與拋物線有兩個公共點；當(dāng)k<1或k>時，直線l與拋物線沒有公共點直線被圓錐曲線截得的弦長問題例2已知斜率為2的直線經(jīng)過橢圓1的右焦點F1，與橢圓相交于A、B兩點，求弦AB的長思路點撥先求出直線與橢圓的兩個交點，再利用兩點間的距離公式，也可以從公式上考查A、B坐標(biāo)間的聯(lián)系，進(jìn)行整體運算精解詳析法一：直線l過橢圓1的右焦點F1(1,0)，又直線的斜率為2.直線l的方程為y2(x1)，即2xy20.由方程組得交點A(0，2)，B.則AB .法二：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則A、B的坐標(biāo)為方程組的公共解對方程組消去y，得3x25x0.則x1x2，x1x20.AB .法三：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立消去y，得3x25x0，則x1，x2是方程3x25x0的兩根x1x2.由圓錐曲線的統(tǒng)一定義，得AF1(5x1)，F(xiàn)1B(5x2)，則ABAF1F1B10(x1x2).一點通弦長的求法：(1)求出端點坐標(biāo)，利用兩點間的距離公式求解(2)結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，利用變形公式l或l求解(3)利用圓錐曲線的統(tǒng)一定義求解3過拋物線y28x的焦點作傾斜角為45的直線，則被拋物線截得的弦長為_解析：由拋物線y28x的焦點為(2,0)，得直線的方程為yx2，代入y28x得(x2)28x，即x212x40.x1x212，弦長x1x2p12416.答案：164直線y2x3與雙曲線y21相交于兩點A、B，則AB_.解析：設(shè)直線y2x3與雙曲線y21兩交點坐標(biāo)分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)由得7x224x200，x1x2，x1x2，|AB|x1x2|.答案：5如圖，橢圓1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，一條直線l經(jīng)過F1與橢圓交于A，B兩點，若直線l的傾斜角為45，求ABF2的面積解：由橢圓的方程1知，a4，b3，c.由c知F1(，0)，F(xiàn)2(，0)，又直線l的斜率ktan 451，直線l的方程為xy0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則由消去x，整理得25y218 y810，y1y2，y1y2.|y1y2| ，SABF2|F1F2|y1y2|2 .兩曲線相交的綜合問題例3已知橢圓1，過點P(2,1)作一弦，使弦在這點被平分，求此弦所在直線方程思路點撥設(shè)出直線的斜率，聯(lián)立直線與橢圓方程，消去y，得關(guān)于x的方程，用根與系數(shù)的關(guān)系和弦中點坐標(biāo)，得斜率的方程，求解即可，也可用“點差法”求解精解詳析法一：設(shè)所求直線的方程為y1k(x2)，代入橢圓方程并整理，得(4k21)x28(2k2k)x4(2k1)2160.又設(shè)直線與橢圓的交點為A(x1，y1)、B(x2，y2)，則x1，x2是上面的方程的兩個根，所以x1x2，因為P為弦AB的中點，所以2，解得k，所以所求直線的方程為x2y40.法二：設(shè)直線與橢圓交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，因為P為弦AB的中點，所以x1x24，y1y22，又因為A，B在橢圓上，所以x4y16，x4y16，兩式相減，得(xx)4(yy)0，即(x1x2)(x1x2)4(y1y2)(y1y2)0，所以，即kAB.所以所求直線的方程為y1(x2)，即x2y40.一點通解決直線與圓錐曲線的位置關(guān)系時，一般采用“設(shè)而不求”的思想，將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)成方程組，轉(zhuǎn)化為一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系，把已知條件轉(zhuǎn)化為弦的端點坐標(biāo)之間的關(guān)系求解，在涉及“中點弦”問題時，“點差法”是最常用的方法6已知過拋物線y22px(p0)的焦點F的直線交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點求證：(1)x1x2為定值；(2)為定值證明：(1)拋物線y22px的焦點為F，當(dāng)AB與x軸不垂直時，設(shè)直線AB的方程為yk(x)(k0)由消去y，得k2x2p(k22)x0.由根與系數(shù)的關(guān)系，得x1x2(定值)當(dāng)ABx軸時，x1x2，x1x2也成立(2)由拋物線的定義知，F(xiàn)Ax1，F(xiàn)Bx2.(定值)7設(shè)雙曲線C：y21(a0)與直線l：xy1相交于兩個不同點A，B.(1)求雙曲線C的離心率e的取值范圍；(2)設(shè)直線l與y軸的交點為P，若，求a的值解：(1)將yx1代入雙曲線y21(a0)中得(1a2)x22a2x2a20.所以解得0a，且a1.又雙曲線的離心率e，所以e，且e.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(0,1)，因為，所以(x1，y11)(x2，y21)由此得x1x2.由于x1，x2是方程(1a2)x22a2x2a20的兩根，且1a20，所以x2，x.消去x2，得.由a0，解得a.8(陜西高考)已知動圓過定點A(4,0)，且在y軸上截得弦MN的長為8.(1)求動圓圓心的軌跡C的方程；(2)已知點B(1,0)，設(shè)不垂直于x軸的直線l與軌跡C交于不同的兩點P，Q，若x軸是PBQ的角平分線，證明：直線l過定點解： (1)如圖，設(shè)動圓圓心O1(x，y)，由題意得，O1AO1M.當(dāng)O1不在y軸上時，過O1作O1HMN交MN于H，則H是MN的中點，O1M ，又O1A ， ，化簡得y28x(x0)當(dāng)O1在y軸上時，O1與O重合，點O1的坐標(biāo)(0,0)也滿足方程y28x，動圓圓心的軌跡C的方程為y28x.(2)證明：如圖，由題意，設(shè)直線l的方程為ykxb(k0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，將ykxb代入y28x中，得k2x2(2bk8)xb20，其中32kb64>0.由根與系數(shù)的關(guān)系得，x1x2，x1x2，因為x軸是PBQ的角平分線，所以，即y1(x21)y2(x11)0，(kx1b)(x21)(kx2b)(x11)0，2kx1x2(bk)(x1x2)2b0，將代入，得2kb2(kb)(82bk)2k2b0，kb，此時>0，直線l的方程為yk(x1)，直線l過定點(1,0)討論直線與圓錐曲線的位置關(guān)系時，先聯(lián)立方程，消去x或y，得出一個一元二次方程，通過研究判別式的情況，研究位置關(guān)系，值得注意的是，若是直線與圓或橢圓時，無需討論二次項系數(shù)是否為零(一定不為零)，直接考察的情況即可若是直線與雙曲線或拋物線時，則需討論二次項系數(shù)等于零和不等于零兩種情況這是特別要注意的問題同時還要注意直線斜率不存在時的情形對應(yīng)課時跟蹤訓(xùn)練(十七) 1曲線x2xyy23x4y40與x軸的交點坐標(biāo)是_解析：當(dāng)y0時，得x23x40，解得x14或x21.所以交點坐標(biāo)為(4,0)和(1,0)答案：(4,0)，(1,0)2曲線x2y24與曲線x21的交點個數(shù)為_解析：由數(shù)形結(jié)合可知兩曲線有4個交點答案：43設(shè)拋物線y28x的準(zhǔn)線與x軸交于點Q，若過點Q的直線l與拋物線有公共點，則直線l的斜率的取值范圍是_解析：由y28x，得準(zhǔn)線方程為x2.則Q點坐標(biāo)為(2,0)設(shè)直線yk(x2)由得k2x2(4k28)x4k20.若直線l與y28x有公共點，則(4k28)216k40.解得1k1.答案：1,14曲線yx2x2和yxm有兩個不同的公共點，則實數(shù)m的范圍是_解析：由消去y，得x22x2m0.若有兩個不同的公共點，則44(2m)>0，m>1.答案：(1，)5如果橢圓1的一條弦被點(4,2)平分，那么這條弦所在直線的方程是_解析：設(shè)直線與橢圓的交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)P(4,2)為AB中點，x1x28，y1y24.又A，B在橢圓上，x4y36，x4y36.兩式相減得(xx)4(yy)0，即(x1x2)(x1x2)4(y1y2)(y1y2)0，.即直線l的斜率為.所求直線方程為x2y80.答案：x2y806已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，長軸長為4，離心率為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)直線l與該橢圓交于M、N兩點，MN的中點為A(2，1)，求直線l的方程解：(1)由題意2a4，a2，又e，c.b2a2c2835.故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)點A在橢圓內(nèi)部，過A點的直線必與橢圓有兩交點當(dāng)直線斜率不存在時，A點不可能為弦的中點，故可設(shè)直線方程為y1k(x2)，它與橢圓的交點分別為M(x1，y1)，N(x2，y2)，則消去y得(8k25)x216k(2k1)x8(2k1)250，x1x2，又A(2，1)為弦MN的中點，x1x24，即4，k，從而直線方程為5x4y140.7已知橢圓C1與拋物線C2的焦點均在x軸上，C1的中心和C2的頂點均為原點O，從每條曲線上取兩個點，將其坐標(biāo)記錄于下表中：x324y204(1)求C1，C2的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)請問是否存在直線l滿足條件：過C2的焦點F；與C1交于不同兩點M，N且滿足？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由解：(1)設(shè)拋物線C2：y22px(p0)，則有2p(x0)，據(jù)此驗證4個點知(3，2)，(4，4)在拋物線上，易求C2：y24x.設(shè)C1：1(a>b>0)，把點(2,0)，代入得解得C1的方程為y21.(2)容易驗證直線l的斜率不存在時，不滿足題意；當(dāng)直線l的斜率存在時，假設(shè)存在直線l過拋物線焦點F(1,0)，設(shè)其方程為yk(x1)，與C1的交點坐標(biāo)為M(x1，y1)，N(x2，y2)由消去y得，(14k2)x28k2x4(k21)0，于是x1x2，x1x2.所以y1y2k(x11)k(x21)k2x1x2(x1x2)1k2. 由，即0，得x1x2y1y20. 將代入式得，0，解得k2.所以存在直線l滿足條件，且l的方程為：y2x2或y2x2.8已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點，焦點在x軸上，橢圓C上的點到焦點的距離的最大值為3，最小值為1.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線l：ykxm與橢圓C相交于A，B兩點(A，B不是左右頂點)，且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點求證：直線l過定點，并求出該定點的坐標(biāo)解：(1)由題意設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(a>b>0)由題意得ac3，ac1，a2，c1，b23.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)證明：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得，(34k2)x28mkx4(m23)0，64m2k216(34k2)(m23)>0，即34k2m2>0.x1x2，x1x2.y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2mk(x1x2)m2.以AB為直徑的圓過橢圓的右頂點D(2,0)，kADkBD1，1，化簡得y1y2x1x22(x1x2)40，即40，化簡得7m216mk4k20，解得m12k，m2，且滿足34k2m2>0.當(dāng)m2k時，l：yk(x2)，直線過定點(2,0)，與已知矛盾；當(dāng)m時，l：yk，直線過定點.綜上可知，直線l過定點，定點坐標(biāo)為.