2018-2019版高中數(shù)學(xué) 第一章 計數(shù)原理 1.3 二項式定理 1.3.1 二項式定理學(xué)案 新人教A版選修2-3.doc

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1.3.1　二項式定理 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.能用計數(shù)原理證明二項式定理.2.掌握二項式定理及其展開式的通項公式.3.會用二項式定理解決與二項展開式有關(guān)的簡單問題． 知識點　二項式定理及其相關(guān)概念 思考1　我們在初中學(xué)習(xí)了(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，試用多項式的乘法推導(dǎo)(a＋b)3，(a＋b)4的展開式． 答案　(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，(a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4. 思考2　能用類比方法寫出(a＋b)n(n∈N*)的展開式嗎？ 答案　能，(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn (n∈N*)． 梳理 二項式定理 公式(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn，稱為二項式定理 二項式系數(shù) C(k＝0,1，…，n) 通項 Tk＋1＝Can－kbk 二項式定理的特例 (1＋x)n＝C＋Cx＋Cx2＋…＋Cxk＋…＋Cxn 1．(a＋b)n展開式中共有n項．(　　) 2．在公式中，交換a，b的順序?qū)Ω黜棝]有影響．(　　) 3．Can－kbk是(a＋b)n展開式中的第k項．(　　) 4．(a－b)n與(a＋b)n的二項式展開式的二項式系數(shù)相同．(　√　) 類型一　二項式定理的正用、逆用 例1　(1)求4的展開式． 考點　二項式定理 題點　運用二項式定理求展開式 解　方法一　4＝(3)4＋C(3)3＋C(3)22＋C(3)3＋C4＝81x2＋108x＋54＋＋. 方法二　4＝4＝(1＋3x)4＝[1＋C3x＋C(3x)2＋C(3x)3＋C(3x)4]＝(1＋12x＋54x2＋108x3＋81x4)＝＋＋54＋108x＋81x2. (2)化簡：C(x＋1)n－C(x＋1)n－1＋C(x＋1)n－2－…＋(－1)kC(x＋1)n－k＋…＋(－1)nC. 考點　二項式定理 題點　逆用二項式定理求和、化簡 解　原式＝C(x＋1)n＋C(x＋1)n－1(－1)＋C(x＋1)n－2(－1)2＋…＋C(x＋1)n－k(－1)k＋…＋C(－1)n＝[(x＋1)＋(－1)]n＝xn. 引申探究 若(1＋)4＝a＋b(a，b為有理數(shù))，則a＋b＝________. 答案　44 解析　∵(1＋)4＝1＋C()1＋C()2＋C()3＋C()4＝1＋4＋18＋12＋9＝28＋16，∴a＝28，b＝16，∴a＋b＝28＋16＝44. 反思與感悟　(1)(a＋b)n的二項展開式有n＋1項，是和的形式，各項的冪指數(shù)規(guī)律是：①各項的次數(shù)和等于n；②字母a按降冪排列，從第一項起，次數(shù)由n逐項減1直到0；字母b按升冪排列，從第一項起，次數(shù)由0逐項加1直到n. (2)逆用二項式定理可以化簡多項式，體現(xiàn)的是整體思想．注意分析已知多項式的特點，向二項展開式的形式靠攏． 跟蹤訓(xùn)練1　化簡：(2x＋1)5－5(2x＋1)4＋10(2x＋1)3－10(2x＋1)2＋5(2x＋1)－1. 考點　二項式定理 題點　逆用二項式定理求和、化簡 解　原式＝C(2x＋1)5－C(2x＋1)4＋C(2x＋1)3－C(2x＋1)2＋C(2x＋1)－C(2x＋1)0＝[(2x＋1)－1]5＝(2x)5＝32x5. 類型二　二項展開式通項的應(yīng)用 例2　已知二項式10. (1)求展開式第4項的二項式系數(shù)； (2)求展開式第4項的系數(shù)； (3)求第4項． 考點　二項展開式中的特定項問題 題點　求二項展開式特定項的系數(shù) 解　10的展開式的通項是 Tk＋1＝C(3)10－kk＝C310－kk (k＝0,1,2，…，10)． (1)展開式的第4項(k＝3)的二項式系數(shù)為C＝120. (2)展開式的第4項的系數(shù)為C373＝－77 760. (3)展開式的第4項為T4＝T3＋1＝－77 760. 反思與感悟　(1)二項式系數(shù)都是組合數(shù)C(k∈{0,1,2，…，n})，它與二項展開式中某一項的系數(shù)不一定相等，要注意區(qū)分“二項式系數(shù)”與二項式展開式中“項的系數(shù)”這兩個概念． (2)第k＋1項的系數(shù)是此項字母前的數(shù)連同符號，而此項的二項式系數(shù)為C.例如，在(1＋2x)7的展開式中，第四項是T4＝C17－3(2x)3，其二項式系數(shù)是C＝35，而第四項的系數(shù)是C23＝280. 跟蹤訓(xùn)練2　已知n展開式中第三項的系數(shù)比第二項的系數(shù)大162. (1)求n的值； (2)求展開式中含x3的項，并指出該項的二項式系數(shù)． 考點　二項展開式中的特定項問題 題點　求二項展開式特定項的系數(shù) 解　(1)因為T3＝C()n－22＝4C， T2＝C()n－1＝－2C， 依題意得4C＋2C＝162，所以2C＋C＝81， 所以n2＝81，n∈N*，故n＝9. (2)設(shè)第k＋1項含x3項，則Tk＋1＝C()9－kk＝(－2)kC，所以＝3，k＝1， 所以第二項為含x3的項為T2＝－2Cx3＝－18x3. 二項式系數(shù)為C＝9. 例3　已知在n的展開式中，第6項為常數(shù)項． (1)求n； (2)求含x2的項的系數(shù)； (3)求展開式中所有的有理項． 考點　二項展開式中的特定項問題 題點　求二項展開式的特定項 解　通項公式為 Tk＋1＝C(－3)k＝C(－3)k. (1)∵第6項為常數(shù)項，∴當(dāng)k＝5時，有＝0，即n＝10. (2)令＝2，得k＝(10－6)＝2， ∴所求的系數(shù)為C(－3)2＝405. (3)由題意得， 令＝t(t∈Z)， 則10－2k＝3t，即k＝5－t.∵k∈N， ∴t應(yīng)為偶數(shù)． 令t＝2,0，－2，即k＝2,5,8. ∴第3項，第6項與第9項為有理項，它們分別為405x2，－61 236,295 245x－2. 反思與感悟　(1)求二項展開式的特定項的常見題型 ①求第k項，Tk＝Can－k＋1bk－1；②求含xk的項(或xpyq的項)；③求常數(shù)項；④求有理項． (2)求二項展開式的特定項的常用方法 ①對于常數(shù)項，隱含條件是字母的指數(shù)為0(即0次項)； ②對于有理項，一般是先寫出通項公式，其所有的字母的指數(shù)恰好都是整數(shù)的項．解這類問題必須合并通項公式中同一字母的指數(shù)，根據(jù)具體要求，令其屬于整數(shù)，再根據(jù)數(shù)的整除性來求解； ③對于二項展開式中的整式項，其通項公式中同一字母的指數(shù)應(yīng)是非負(fù)整數(shù)，求解方式與求有理項一致． 跟蹤訓(xùn)練3　(1)若9的展開式中x3的系數(shù)是－84，則a＝________. 考點　二項展開式中的特定項問題 題點　由特定項或特定項的系數(shù)求參數(shù) 答案　1 解析　展開式的通項為Tk＋1＝Cx9－k(－a)kk ＝C(－a)kx9－2k(0≤k≤9，k∈N)． 當(dāng)9－2k＝3時，解得k＝3，代入得x3的系數(shù)， 根據(jù)題意得C(－a)3＝－84，解得a＝1. (2)已知n為等差數(shù)列－4，－2,0，…的第六項，則n的二項展開式的常數(shù)項是________． 考點　二項展開式中的特定項問題 題點　求二項展開式的特定項 答案　160 解析　由題意得n＝6，∴Tk＋1＝2kCx6－2k， 令6－2k＝0得k＝3，∴常數(shù)項為C23＝160. 1．(x＋2)n的展開式共有11項，則n等于(　　) A．9 B．10 C．11 D．8 考點　二項展開式中的特定項問題 題點　由特定項或特定項的系數(shù)求參數(shù) 答案　B 解析　因為(a＋b)n的展開式共有n＋1項，而(x＋2)n的展開式共有11項，所以n＝10，故選B. 2．1－2C＋4C－8C＋…＋(－2)nC等于(　　) A．1 B．1 C．(－1)n D．3n 考點　二項式定理 題點　逆用二項式定理求和、化簡 答案　C 解析　逆用二項式定理，將1看成公式中的a，－2看成公式中的b，可得原式＝(1－2)n＝(－1)n. 3.n的展開式中，常數(shù)項為15，則n的值為(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 考點　二項展開式中的特定項問題 題點　由特定項或特定項的系數(shù)求參數(shù) 答案　D 解析　展開式的通項為Tk＋1＝C(x2)n－k(－1)kk＝(－1)kCx2n－3k.令2n－3k＝0，得n＝k(n，k∈N*)，若k＝2，則n＝3不符合題意，若k＝4，則n＝6，此時(－1)4C＝15，所以n＝6. 4．在24的展開式中，x的冪指數(shù)是整數(shù)的項共有(　　) A．3項 B．4項 C．5項 D．6項 考點　二項展開式中的特定項問題 題點　求多項展開式中的特定項 答案　C 解析　24的展開式的通項為Tk＋1＝C()24－kk＝C，故當(dāng)k＝0,6,12,18,24時，冪指數(shù)為整數(shù)，共5項． 5．求二項式(－)9展開式中的有理項． 考點　二項展開式中的特定項問題 題點　求多項展開式中的特定項 解　Tk＋1＝C＝(－1)kC，令∈Z(0≤k≤9)，得k＝3或k＝9， 所以當(dāng)k＝3時，＝4，T4＝(－1)3Cx4＝－84x4， 當(dāng)k＝9時，＝3，T10＝(－1)9Cx3＝－x3. 綜上，展開式中的有理項為－84x4與－x3. 1．注意區(qū)分項的二項式系數(shù)與系數(shù)的概念． 2．要牢記Can－kbk是展開式的第k＋1項，不要誤認(rèn)為是第k項． 3．求解特定項時必須合并通項公式中同一字母的指數(shù)，根據(jù)具體要求，令其為特定值． 一、選擇題 1．S＝(x－1)4＋4(x－1)3＋6(x－1)2＋4x－3，則S等于(　　) A．x4 B．x4＋1 C．(x－2)4 D．x4＋4 考點　二項式定理 題點　逆用二項式定理求和、化簡 答案　A 解析　S＝(x－1)4＋4(x－1)3＋6(x－1)2＋4(x－1)＋1＝C(x－1)4＋C(x－1)3＋C(x－1)2＋C(x－1)＋C＝[(x－1)＋1]4＝x4，故選A. 2．設(shè)i為虛數(shù)單位，則(1＋i)6展開式中的第3項為(　　) A．－20i B．15i C．20 D．－15 考點　二項展開式中的特定項問題 題點　求二項展開式中的特定項 答案　D 解析　(1＋i)6展開式中的第3項為Ci2＝－15. 3．(x－y)10的展開式中x6y4的系數(shù)是(　　) A．－840 B．840 C．210 D．－210 考點　二項展開式中的特定項問題 題點　求二項展開式特定項的系數(shù) 答案　B 解析　在通項公式Tk＋1＝C(－y)kx10－k中，令k＝4，即得(x－y)10的展開式中x6y4的系數(shù)為C(－)4＝840. 4．在n的展開式中，若常數(shù)項為60，則n等于(　　) A．3 B．6 C．9 D．12 考點　二項展開式中的特定項問題 題點　由特定項或特定項的系數(shù)求參數(shù) 答案　B 解析　Tk＋1＝C()n－kk＝2kC. 令＝0，得n＝3k. 根據(jù)題意有2kC＝60，驗證知k＝2，故n＝6. 5．若(1＋3x)n(n∈N*)的展開式中，第三項的二項式系數(shù)為6，則第四項的系數(shù)為(　　) A．4 B．27 C．36 D．108 考點　二項展開式中的特定項問題 題點　求二項展開式特定項的系數(shù) 答案　D 解析　Tk＋1＝C(3x)k，由C＝6，得n＝4，從而T4＝C(3x)3，故第四項的系數(shù)為C33＝108. 6．在二項式的展開式中，若前三項的系數(shù)成等差數(shù)列，則展開式中有理項的項數(shù)為(　　) A．5 B．4 C．3 D．2 考點　二項展開式中的特定項問題 題點　求多項展開式中的特定項 答案　C 解析　二項展開式的前三項的系數(shù)分別為1，C，C2，由其成等差數(shù)列，可得2C＝1＋C2?n＝1＋，所以n＝8(n＝1舍去)．所以展開式的通項Tk＋1＝Ck.若為有理項，則有4－∈Z，所以k可取0,4,8，所以展開式中有理項的項數(shù)為3. 7．設(shè)函數(shù)f(x)＝則當(dāng)x>0時，f(f(x))表達(dá)式的展開式中常數(shù)項為(　　) A．4 B．6 C．8 D．10 考點　二項展開式中的特定項問題 題點　求二項展開式的特定項 答案　B 解析　依據(jù)分段函數(shù)的解析式， 得f(f(x))＝f(－)＝4， ∴Tk＋1＝C(－1)kxk－2. 令k－2＝0，則k＝2，故常數(shù)項為C(－1)2＝6. 二、填空題 8.7的展開式中倒數(shù)第三項為________． 考點　二項展開式中的特定項問題 題點　求二項展開式的特定項 答案　 解析　由于n＝7，可知展開式中共有8項， ∴倒數(shù)第三項即為第六項， ∴T6＝C(2x)25＝C22＝. 9．若(x＋1)n＝xn＋…＋ax3＋bx2＋nx＋1(n∈N*)，且a∶b＝3∶1，那么n＝________. 考點　二項展開式中的特定項問題 題點　由特定項或特定項的系數(shù)求參數(shù) 答案　11 解析　a＝C，b＝C.∵a∶b＝3∶1， ∴＝＝，即＝3， 解得n＝11. 10．已知正實數(shù)m，若x10＝a0＋a1(m－x)＋a2(m－x)2＋…＋a10(m－x)10，其中a8＝180，則m的值為________． 考點　二項展開式中的特定項問題 題點　由特定項或特定項的系數(shù)求參數(shù) 答案　2 解析　由x10＝[m－(m－x)]10，[m－(m－x)]10的二項展開式的第9項為Cm2(－1)8(m－x)8， ∴a8＝Cm2(－1)8＝180， 則m＝2.又m>0，∴m＝2. 11．使n(n∈N*)的展開式中含有常數(shù)項的最小的n為________． 考點　二項展開式中的特定項問題 題點　由特定項或特定項的系數(shù)求參數(shù) 答案　5 解析　展開式的通項公式Tk＋1＝C(3x)n－kk， ∴Tk＋1＝3n－kC，k＝0,1,2，…，n. 令n－k＝0，n＝k， 故最小正整數(shù)n＝5. 三、解答題 12．若二項式6(a>0)的展開式中x3的系數(shù)為A，常數(shù)項為B，且B＝4A，求a的值． 考點　二項展開式中的特定項問題 題點　由特定項或特定項的系數(shù)求參數(shù) 解　∵Tk＋1＝Cx6－kk＝(－a)kC， 令6－＝3，則k＝2，得A＝Ca2＝15a2； 令6－＝0，則k＝4，得B＝Ca4＝15a4. 由B＝4A可得a2＝4，又a>0， ∴a＝2. 13．已知在n的展開式中，第9項為常數(shù)項，求： (1)n的值； (2)展開式中x5的系數(shù)； (3)含x的整數(shù)次冪的項的個數(shù)． 考點　二項展開式中的特定項問題 題點　求多項展開式中的特定項 解　已知二項展開式的通項為Tk＋1＝Cn－kk＝(－1)kn－kC. (1)因為第9項為常數(shù)項，即當(dāng)k＝8時，2n－k＝0， 解得n＝10. (2)令210－k＝5，得k＝(20－5)＝6. 所以x5的系數(shù)為(－1)64C＝. (3)要使2n－k，即為整數(shù)，只需k為偶數(shù)，由于k＝0,1,2,3，…，9,10，故符合要求的有6項，分別為展開式的第1,3,5,7,9,11項． 四、探究與拓展 14．設(shè)a≠0，n是大于1的自然數(shù)，n的展開式為a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn.若點Ai(i，ai) (i＝0,1,2)的位置如圖所示，則a＝________. 考點　二項展開式中的特定項問題 題點　由特定項或特定項的系數(shù)求參數(shù) 答案　3 解析　由題意知A0(0,1)，A1(1,3)，A2(2,4)． 即a0＝1，a1＝3，a2＝4. 由n的展開式的通項公式知Tk＋1＝Ck(k＝0,1,2，…，n)． 故＝3，＝4，解得a＝3. 15．設(shè)f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n的展開式中含x項的系數(shù)是19(m，n∈N*)． (1)求f(x)的展開式中含x2項的系數(shù)的最小值； (2)當(dāng)f(x)的展開式中含x2項的系數(shù)取最小值時，求f(x)的展開式中含x7項的系數(shù)． 考點　二項展開式中的特定項問題 題點　求二項展開式特定項的系數(shù) 解　(1)由題設(shè)知m＋n＝19，所以m＝19－n， 含x2項的系數(shù)為C＋C＝C＋C ＝＋ ＝n2－19n＋171＝2＋. 因為n∈N*，所以當(dāng)n＝9或n＝10時，x2項的系數(shù)的最小值為2＋＝81. (2)當(dāng)n＝9，m＝10或n＝10，m＝9時，x2項的系數(shù)取最小值，此時x7項的系數(shù)為C＋C＝C＋C＝156.