2018-2019學年高中數學 第3章 數系的擴充與復數的引入 章末小結 知識整合與階段檢測（含解析）蘇教版選修2-2.doc

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第3章 數系的擴充與復數的引入 1．虛數單位i (1)i2＝－1(即－1的平方根是i)． (2)實數可以與i進行四則運算，進行運算時原有的加、乘運算律仍然成立． (3)i的冪具有周期性：i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*)，則有in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N*)． 2．復數的分類 復數 (z＝a＋bi，a，b∈R). 3．共軛復數的性質 設復數z的共軛復數為，則 (1)z＝|z|2＝||2； (2)z為實數?z＝，z為純虛數?z＝－. 4．復數的幾何意義 5．復數相等的條件 (1)代數形式：復數相等的充要條件為a＋bi＝c＋di(a，b，c，d∈R)?a＝c，b＝d.特別地，a＋bi＝0(a，b∈R)?a＝b＝0.　 注意：兩復數不是實數時，不能比較大小． (2)幾何形式：z1，z2∈C，z1＝z2?對應點Z1，Z2重合?與重合． 6．復數的運算 (1)加法和減法運算：(a＋bi)(c＋di)＝(ac)＋(bd)i(a，b，c，d∈R)． (2)乘法和除法運算：復數的乘法按多項式相乘進行運算，即(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；復數除法是乘法的逆運算，其實質是分母實數化． (時間：120分鐘，總分：160分) 一、填空題(本大題共14個小題，每小題5分，共70分，把答案填在題中橫線上) 1．(新課標全國卷Ⅱ改編)設復數z1，z2在復平面內的對應點關于虛軸對稱，z1＝2＋i，則z1z2＝________. 解析：∵z1＝2＋i在復平面內對應點(2,1)，又z1與z2在復平面內的對應點關于虛軸對稱， 則z2的對應點為(－2,1)，則z2＝－2＋i， ∴z1z2＝(2＋i)(－2＋i)＝i2－4＝－5. 答案：－5 2．(山東高考改編)若a－i與2＋bi互為共軛復數，則(a＋bi)2＝________. 解析：根據已知得a＝2，b＝1，所以(a＋bi)2＝(2＋i)2＝3＋4i.　 答案：3＋4i 3．若復數z滿足 (3－4i)z＝|4＋3i|，則z的虛部為________． 解析：∵(3－4i)z＝|4＋3i|， ∴z＝＝＝＝＋i， ∴z的虛部是. 答案： 4．已知＝1－ni，其中m，n是實數，i是虛數單位，則m＋ni等于________． 解析：＝1－ni，所以m＝(1＋n)＋(1－n)i， 因為m，n∈R， 所以所以 即m＋ni＝2＋i. 答案：2＋i 5．定義運算＝ad－bc，則滿足條件＝4＋2i的復數z為________． 解析：＝zi＋z， 設z＝x＋yi， ∴zi＋z＝xi－y＋x＋yi＝x－y＋(x＋y)i＝4＋2i， ∴∴ ∴z＝3－i. 答案：3－i 6．在復平面內，復數對應的點位于第________象限． 解析：＝＝＝－i， 對應的點位于第四象限． 答案：四 7.＝________. 解析：＝＝ ＝1－38i. 答案：1－38i 8．設a是實數，且＋是實數，則a等于________． 解析：∵＋＝＋＝＋i是實數， ∴＝0，即a＝1. 答案：1 9．復數z滿足方程＝4，那么復數z的對應點P組成圖形為________． 解析：＝|z＋(1－i)|＝|z－(－1＋i)|＝4. 設－1＋i對應的點為C(－1,1)，則|PC|＝4， 因此動點P的軌跡是以C(－1,1)為圓心，4為半徑的圓． 答案：以(－1,1)為圓心，以4為半徑的圓 10．已知集合M＝{1,2，zi}，i為虛數單位，N＝{3,4}，M∩N＝{4}，則復數z＝________. 解析：由M∩N＝{4}，知4∈M， 故zi＝4，∴z＝＝－4i. 答案：－4i 11．若復數z滿足|z|－＝，則z＝________. 解析：設z＝a＋bi(a，b∈R)， ∴|z|－＝－(a－bi)＝－a＋bi， ＝＝＝2＋4i， ∴解得 ∴z＝3＋4i. 答案：3＋4i 12．若＝3i＋4，＝－1－i，i是虛數單位，則＝________.(用復數代數形式表示) 解析：由于＝3i＋4，＝－1－i，i是虛數單位， 所以＝－＝(－1－i)－(3i＋4)＝－5－4i. 答案：－5－4i 13．復數z滿足|z＋1|＋|z－1|＝2，則|z＋i＋1|的最小值是________． 解析：由|z＋1|＋|z－1|＝2，根據復數減法的幾何意義可知，復數z對應的點到兩點(－1,0)和(1,0)的距離和為2，說明該點在線段y＝0(x∈[－1,1])上，而|z＋i＋1|為該點到點(－1，－1)的距離，其最小值為1. 答案：1 14．已知關于x的方程x2＋(1＋2i)x－(3m－1)＝0有實根，則純虛數m的值是________． 解析：方程有實根，不妨設其一根為x0，設m＝ai代入方程得x＋(1＋2i)x0－(3ai－1)i＝0， 化簡得，(2x0＋1)i＋x＋x0＋3a＝0， ∴ 解得a＝，∴m＝i. 答案：i 二、解答題(本大題共6個小題，共90分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟) 15．(本小題滿分14分)計算： (1)；(2). 解：(1)＝ ＝＝2. (2)＝ ＝＝＝ ＝－＋i. 16．(本小題滿分14分)求實數k為何值時，復數(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)分別是： (1)實數； (2)虛數； (3)純虛數； (4)零． 解：由z＝(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)＝(k2－3k－4)＋(k2－5k－6)i. (1)當k2－5k－6＝0時，z∈R， ∴k＝6或k＝－1. (2)當k2－5k－6≠0時，z是虛數，即k≠6且k≠－1. (3)當時，z是純虛數， ∴k＝4. (4)當時，z＝0，解得k＝－1. 綜上，當k＝6或k＝－1時，z∈R. 當k≠6且k≠－1時，z是虛數． 當k＝4時，z是純虛數，當k＝－1時，z＝0. 17．(本小題滿分14分)已知復數z滿足|z|＝1＋3i－z，求的值． 解：設z＝a＋bi(a，b∈R)，由|z|＝1＋3i－z， 得－1－3i＋a＋bi＝0， 則所以 所以z＝－4＋3i. 則＝＝＝3＋4i. 18．(本小題滿分16分)已知ω＝－＋i. (1)求ω2及ω2＋ω＋1的值； (2)若等比數列{an}的首項為a1＝1，公比q＝ω，求數列{an}的前n項和Sn. 解：(1)ω2＝2＝－i－＝－－i. ω2＋ω＋1＝＋＋1＝0. (2)由于ω2＋ω＋1＝0， ∴ωk＋2＋ωk＋1＋ωk＝ωk(ω2＋ω＋1)＝0，k∈Z. ∴Sn＝1＋ω＋ω2＋…＋ωn－1＝ ∴Sn ＝ 19．(本小題滿分16分)已知z＝(a∈R且a＞0)，復數ω＝z(z＋i)的虛部減去它的實部所得的差等于，求復數ω的模． 解：把z＝(a＞0)代入ω中， 得ω＝ ＝＋i. 由－＝，得a2＝4. 又a＞0，所以a＝2. 所以|ω|＝|＋3i|＝. 20．(本小題滿分16分)已知復數z滿足|z|＝，z2的虛部為2. (1)求復數z； (2)設z，z2，z－z2在復平面內對應的點分別為A，B，C，求△ABC的面積． 解：(1)設z＝a＋bi(a，b∈R)， 由已知條件得：a2＋b2＝2，z2＝a2－b2＋2abi， 所以2ab＝2. 所以a＝b＝1或a＝b＝－1，即z＝1＋i或z＝－1－i. (2)當z＝1＋i時，z2＝(1＋i)2＝2i，z－z2＝1－i，所以點A(1,1)，B(0,2)， C(1，－1)，所以S△ABC＝|AC|1＝21＝1； 當z＝－1－i時，z2＝(－1－i)2＝2i，z－z2＝－1－3i. 所以點A(－1，－1)，B(0,2)，C(－1，－3)， 所以S△ABC＝|AC|1＝21＝1. 即△ABC的面積為1.