2018-2019版高中數學 第一章 計數原理 1.2 排列與組合 1.2.1 第1課時 排列與排列數公式學案 新人教A版選修2-3.doc

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第1課時　排列與排列數公式 學習目標　1.了解排列的概念.2.理解并掌握排列數公式，能應用排列知識解決簡單的實際問題． 知識點一　排列的定義 從甲、乙、丙三名同學中選出2人參加一項活動，其中1名同學參加上午的活動，另1名同學參加下午的活動． 思考　讓你安排這項活動需要分幾步？ 答案　分兩步．第1步確定上午的同學； 第2步確定下午的同學． 梳理　一般地，從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列． 知識點二　排列數及排列數公式 思考　從1,2,3,4這4個數字中選出3個能構成多少個無重復數字的3位數？ 答案　432＝24(個)． 梳理 排列數定義 從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同排列的個數叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數 排列數表示法 A 排列數公式 乘積式 A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1) 階乘式 A＝ 性質 A＝n！，0！＝1 備注 n，m∈N*，m≤n  1．a，b，c與b，a，c是同一個排列．(　　) 2．同一個排列中，同一個元素不能重復出現．(　√　) 3．在一個排列中，若交換兩個元素的位置，則該排列不發(fā)生變化．(　　) 4．從4個不同元素中任取3個元素，只要元素相同得到的就是相同的排列．(　　) 類型一　排列的概念 例1　判斷下列問題是否為排列問題： (1)北京、上海、天津三個民航站之間的直達航線的飛機票的價格(假設來回的票價相同)； (2)選2個小組分別去植樹和種菜； (3)選2個小組去種菜； (4)選10人組成一個學習小組； (5)選3個人分別擔任班長、學習委員、生活委員； (6)某班40名學生在假期相互通信． 考點　排列的概念 題點　排列的判斷 解　(1)中票價只有三種，雖然機票是不同的，但票價是一樣的，不存在順序問題，所以不是排列問題． (2)植樹和種菜是不同的，存在順序問題，屬于排列問題． (3)(4)不存在順序問題，不屬于排列問題． (5)中每個人的職務不同，例如甲當班長或當學習委員是不同的，存在順序問題，屬于排列問題． (6)A給B寫信與B給A寫信是不同的，所以存在著順序問題，屬于排列問題． 所以在上述各題中(2)(5)(6)是排列問題，(1)(3)(4)不是排列問題． 反思與感悟　判斷一個具體問題是否為排列問題的思路 跟蹤訓練1　判斷下列問題是否為排列問題． (1)會場有50個座位，要求選出3個座位有多少種方法？若選出3個座位安排三位客人，又有多少種方法？ (2)從集合M＝{1,2，…，9}中，任取兩個元素作為a，b，可以得到多少個焦點在x軸上的橢圓方程＋＝1？可以得到多少個焦點在x軸上的雙曲線方程－＝1? (3)平面上有5個點，其中任意三個點不共線，這5個點最多可確定多少條直線？可確定多少條射線？ 考點　排列的概念 題點　排列的判斷 解　(1)第一問不是排列問題，第二問是排列問題．“入座”問題同“排隊”問題，與順序有關，故選3個座位安排三位客人是排列問題． (2)第一問不是排列問題，第二問是排列問題． 若方程＋＝1表示焦點在x軸上的橢圓，則必有a>b，a，b的大小關系一定； 在雙曲線－＝1中，不管a>b還是a13可表示為(　　) A．A B．A C．A D．A 考點　排列數公式 題點　利用排列數公式計算 答案　B 解析　從(x－3)，(x－4)，…到(x－13)共(x－3)－(x－13)＋1＝11(個)數，所以根據排列數公式知(x－3)(x－4)(x－5)…(x－12)(x－13)＝A. 4．從5本不同的書中選2本送給2名同學，每人1本，不同的送法種數為(　　) A．5 B．10 C．15 D．20 考點　排列的應用 題點　無限制條件的排列問題 答案　D 5．解方程A＝140A. 考點　排列數公式 題點　解含有排列數的方程或不等式 解　根據題意，原方程等價于 即 整理得4x2－35x＋69＝0(x≥3，x∈N*)， 解得x＝3. 1．判斷一個問題是否是排列問題的思路 排列的根本特征是每一個排列不僅與選取的元素有關，而且與元素的排列順序有關．這就說，在判斷一個問題是否是排列問題時，可以考慮所取出的元素，任意交換兩個，若結果變化，則是排列問題，否則不是排列問題． 2．關于排列數的兩個公式 (1)排列數的第一個公式A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)適用m已知的排列數的計算以及排列數的方程和不等式．在運用時要注意它的特點，從n起連續(xù)寫出m個數的乘積即可． (2)排列數的第二個公式A＝用于與排列數有關的證明、解方程、解不等式等，在具體運用時，應注意先提取公因式再計算，同時還要注意隱含條件“n，m∈N*，m≤n”的運用． 一、選擇題 1．A＝9101112，則m等于(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 考點　排列數公式 題點　利用排列數公式計算 答案　B 2．已知下列問題：①從甲、乙、丙三名同學中選出兩名分別參加數學、物理興趣小組；②從甲、乙、丙三名同學中選出兩人參加一項活動；③從a，b，c，d中選出3個字母；④從1,2,3,4,5這五個數字中取出2個數字組成一個兩位數．其中是排列問題的有(　　) A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 考點　排列的概念 題點　排列的判斷 答案　B 解析　由排列的定義知①④是排列問題． 3．與AA不相等的是(　　) A．A B．81A C．10A D．A 考點　排列數公式 題點　利用排列數公式證明 答案　B 解析　AA＝10987?。紸＝10A＝A，81A＝9A≠A，故選B. 4．甲、乙、丙三人排成一排照相，甲不站在排頭的所有排列種數為(　　) A．6 B．4 C．8 D．10 考點　排列的概念 題點　列舉所有排列 答案　B 解析　列樹狀圖如下： 丙甲乙乙甲　乙甲丙丙甲 故組成的排列為丙甲乙，丙乙甲，乙甲丙，乙丙甲，共4種． 5．從2,3,5,7四個數中任選兩個分別相除，則得到的不同結果有(　　) A．6個 B．10個 C．12個 D．16個 考點　排列的應用 題點　無限制條件的排列問題 答案　C 解析　不同結果有A＝43＝12(個)． 6．下列各式中與排列數A相等的是(　　) A. B．n(n－1)(n－2)…(n－m) C. D．AA 考點　排列數公式 題點　利用排列數公式證明 答案　D 解析　A＝，而AA＝n＝， ∴AA＝A. 7．四張卡片上分別標有數字“2”“0”“1”“1”，則由這四張卡片可組成不同的四位數的個數為(　　) A．6 B．9 C．12 D．24 考點　排列的概念 題點　列舉所有排列 答案　B 解析　這四位數列舉為如下： 1 012,1 021,1 102,1 120,1 201， 1 210,2 011,2 101,2 110，共9個． 二、填空題 8．從a，b，c，d，e五個元素中每次取出三個元素，可組成________個以b為首的不同的排列，它們分別是________________________________________． 考點　排列的概念 題點　列舉所有排列 答案　12　bac，bad，bae，bca，bcd，bce，bda，bdc，bde，bea，bec，bed 解析　畫出樹狀圖如下： 可知共12個，它們分別是bac，bad，bae，bca，bcd，bce，bda，bdc，bde，bea，bec，bed. 9．若集合P＝{x|x＝A，m∈N*}，則集合P中共有________個元素． 考點　排列數公式 題點　利用排列數公式計算 答案　3 解析　由題意知，m＝1,2,3,4，由A＝A，故集合P中共有3個元素． 10．滿足不等式>12的n的最小值為________． 考點　排列數公式 題點　解含有排列數的方程或不等式 答案　10 解析?。剑?12，得(n－5)(n－6)>12， 解得 n>9或n<2(舍去)．∴最小正整數n的值為10. 11．2017北京車展期間，某調研機構準備從5人中選3人去調查E1館、E3館、E4館的參觀人數，不同的安排方法種數為________． 考點　排列的應用 題點　無限制條件的排列問題 答案　60 解析　由題意可知，問題為從5個元素中選3個元素的排列問題，所以安排方法有543＝60(種)． 12．由1,4,5，x四個數字組成沒有重復數字的四位數，所有這些四位數的各數位上的數字之和為288，則x＝________. 考點　排列的應用 題點　無限制條件的排列問題 答案　2 解析　當x≠0時，有A＝24(個)四位數，每個四位數的數字之和為1＋4＋5＋x， 故24(1＋4＋5＋x)＝288，解得x＝2； 當x＝0時，每個四位數的數字之和為1＋4＋5＝10，而288不能被10整除，即x＝0不符合題意， 綜上可知，x＝2. 三、解答題 13．一條鐵路線原有n個車站，為了適應客運需要，新增加了2個車站，客運車票增加了58種，問原有多少個車站？現有多少車站？ 考點　排列的應用 題點　無限制條件的排列問題 解　由題意可得A－A＝58， 即(n＋2)(n＋1)－n(n－1)＝58， 解得n＝14. 所以原有車站14個，現有車站16個． 四、探究與拓展 14．若S＝A＋A＋A＋A＋…＋A，則S的個位數字是(　　) A．8 B．5 C．3 D．0 考點　排列數公式 題點　利用排列數公式計算 答案　C 解析　1?。?,2?。?,3?。?,4?。?4,5！＝120，而6?。?5！，7?。?65！，…，100?。?0099…65！，所以從5！開始到100！，個位數字均為0，所以S的個位數字為3. 15．京滬高速鐵路自北京南站至上海虹橋站，雙線鐵路全長1 318公里，途經北京、天津、河北、山東、安徽、江蘇、上海7個省市，設立包括北京南、天津西、濟南西、南京南、蘇州北、上海虹橋等在內的21個車站，計算鐵路部門要為這21個車站準備多少種不同的火車票？ 考點　排列的應用 題點　無限制條件的排列問題 解　對于兩個火車站A和B，從A到B的火車票與從B到A的火車票不同，因為每張票對應一個起點站和一個終點站．因此，結果應為從21個不同元素中，每次取出2個不同元素的排列數A＝2120＝420(種)．所以一共需要為這21個車站準備420種不同的火車票．