2018-2019版高中數(shù)學 第一章 計數(shù)原理 1.2 排列與組合 1.2.1 第1課時 排列與排列數(shù)公式學案 新人教A版選修2-3.doc

第1課時排列與排列數(shù)公式學習目標1.了解排列的概念.2.理解并掌握排列數(shù)公式，能應用排列知識解決簡單的實際問題知識點一排列的定義從甲、乙、丙三名同學中選出2人參加一項活動，其中1名同學參加上午的活動，另1名同學參加下午的活動思考讓你安排這項活動需要分幾步？答案分兩步第1步確定上午的同學；第2步確定下午的同學梳理一般地，從n個不同元素中取出m(mn)個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列知識點二排列數(shù)及排列數(shù)公式思考從1,2,3,4這4個數(shù)字中選出3個能構(gòu)成多少個無重復數(shù)字的3位數(shù)？答案43224(個)梳理排列數(shù)定義從n個不同元素中取出m(mn)個元素的所有不同排列的個數(shù)叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)排列數(shù)表示法A排列數(shù)公式乘積式An(n1)(n2)(nm1)階乘式A性質(zhì)An！，0！1備注n，mN*，mn1a，b，c與b，a，c是同一個排列()2同一個排列中，同一個元素不能重復出現(xiàn)()3在一個排列中，若交換兩個元素的位置，則該排列不發(fā)生變化()4從4個不同元素中任取3個元素，只要元素相同得到的就是相同的排列()類型一排列的概念例1判斷下列問題是否為排列問題：(1)北京、上海、天津三個民航站之間的直達航線的飛機票的價格(假設(shè)來回的票價相同)；(2)選2個小組分別去植樹和種菜；(3)選2個小組去種菜；(4)選10人組成一個學習小組；(5)選3個人分別擔任班長、學習委員、生活委員；(6)某班40名學生在假期相互通信考點排列的概念題點排列的判斷解(1)中票價只有三種，雖然機票是不同的，但票價是一樣的，不存在順序問題，所以不是排列問題(2)植樹和種菜是不同的，存在順序問題，屬于排列問題(3)(4)不存在順序問題，不屬于排列問題(5)中每個人的職務不同，例如甲當班長或當學習委員是不同的，存在順序問題，屬于排列問題(6)A給B寫信與B給A寫信是不同的，所以存在著順序問題，屬于排列問題所以在上述各題中(2)(5)(6)是排列問題，(1)(3)(4)不是排列問題反思與感悟判斷一個具體問題是否為排列問題的思路跟蹤訓練1判斷下列問題是否為排列問題(1)會場有50個座位，要求選出3個座位有多少種方法？若選出3個座位安排三位客人，又有多少種方法？(2)從集合M1,2，9中，任取兩個元素作為a，b，可以得到多少個焦點在x軸上的橢圓方程1？可以得到多少個焦點在x軸上的雙曲線方程1?(3)平面上有5個點，其中任意三個點不共線，這5個點最多可確定多少條直線？可確定多少條射線？考點排列的概念題點排列的判斷解(1)第一問不是排列問題，第二問是排列問題“入座”問題同“排隊”問題，與順序有關(guān)，故選3個座位安排三位客人是排列問題(2)第一問不是排列問題，第二問是排列問題若方程1表示焦點在x軸上的橢圓，則必有a>b，a，b的大小關(guān)系一定；在雙曲線1中，不管a>b還是a<b，方程1均表示焦點在x軸上的雙曲線，且是不同的雙曲線，故是排列問題(3)確定直線不是排列問題，確定射線是排列問題類型二排列的列舉問題例2(1)從1,2,3,4四個數(shù)字中任取兩個數(shù)字組成兩位不同的數(shù)，一共可以組成多少個？(2)寫出從4個元素a，b，c，d中任取3個元素的所有排列考點排列的概念題點列舉所有排列解(1)由題意作“樹狀圖”，如下故組成的所有兩位數(shù)為12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43，共有12個(2)由題意作“樹狀圖”，如下故所有的排列為abc，abd，acb，acd，adb，adc，bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，cab，cad，cba，cbd，cda，cdb，dab，dac，dba，dbc，dca，dcb.反思與感悟利用“樹狀圖”法解決簡單排列問題的適用范圍及策略(1)適用范圍：“樹狀圖”在解決排列元素個數(shù)不多的問題時，是一種比較有效的表示方式(2)策略：在操作中先將元素按一定順序排出，然后以先安排哪個元素為分類標準進行分類，再安排第二個元素，并按此元素分類，依次進行，直到完成一個排列，這樣能做到不重不漏，然后再按樹狀圖寫出排列跟蹤訓練2寫出A，B，C，D四名同學站成一排照相，A不站在兩端的所有可能站法考點排列的概念題點列舉所有排列解由題意作“樹狀圖”，如下，故所有可能的站法是BACD，BADC，BCAD，BDAC，CABD，CADB，CBAD，CDAB，DABC，DACB，DBAC，DCAB.類型三排列數(shù)公式及應用例3(1)用排列數(shù)表示(55n)(56n)(69n)(nN*且，n<55)；(2)計算；(3)求證：AAmA.考點排列數(shù)公式題點利用排列數(shù)公式計算(1)解因為55n,56n，69n中的最大數(shù)為69n，且共有69n(55n)115(個)元素，所以(55n)(56n)(69n)A.(2)解1.(3)證明方法一因為AAmmA，所以AAmA.方法二A表示從n1個元素中取出m個元素的排列個數(shù)，其中不含元素a1的有A個含有a1的可這樣進行排列：先排a1，有m種排法，再從另外n個元素中取出m1個元素排在剩下的m1個位置上，有A種排法故AmAA，所以mAAA.反思與感悟排列數(shù)公式的形式及選擇方法排列數(shù)公式有兩種形式，一種是連乘積的形式，另一種是階乘的形式，若要計算含有數(shù)字的排列數(shù)的值，常用連乘積的形式進行計算，而要對含有字母的排列數(shù)的式子進行變形或作有關(guān)的論證時，一般用階乘式跟蹤訓練3不等式A<6A的解集為()A2,8 B2,6 C(7,12) D8考點排列數(shù)公式題點解含有排列數(shù)的方程或不等式答案D解析由A<6A，得<6，化簡得x219x84<0，解得7<x<12，又所以2x8，由及xN*，得x8.1從1,2,3,4四個數(shù)字中，任選兩個數(shù)做加、減、乘、除運算，分別計算它們的結(jié)果，在這些問題中，有幾種運算可以看作排列問題()A1 B3 C2 D4考點排列的概念題點排列的判斷答案C解析因為加法和乘法滿足交換律，所以選出兩個數(shù)做加法和乘法時，結(jié)果與兩數(shù)字位置無關(guān)，故不是排列問題，而減法、除法與兩數(shù)字的位置有關(guān)，故是排列問題2從甲、乙、丙三人中選兩人站成一排的所有站法為()A甲乙，乙甲，甲丙，丙甲B甲乙，丙乙、丙甲C甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙D甲乙，甲丙，乙丙考點排列的概念題點列舉所有排列答案C3(x3)(x4)(x5)(x12)(x13)，xN*，x>13可表示為()AA BA CA DA考點排列數(shù)公式題點利用排列數(shù)公式計算答案B解析從(x3)，(x4)，到(x13)共(x3)(x13)111(個)數(shù)，所以根據(jù)排列數(shù)公式知(x3)(x4)(x5)(x12)(x13)A.4從5本不同的書中選2本送給2名同學，每人1本，不同的送法種數(shù)為()A5 B10 C15 D20考點排列的應用題點無限制條件的排列問題答案D5解方程A140A.考點排列數(shù)公式題點解含有排列數(shù)的方程或不等式解根據(jù)題意，原方程等價于即整理得4x235x690(x3，xN*)，解得x3.1判斷一個問題是否是排列問題的思路排列的根本特征是每一個排列不僅與選取的元素有關(guān)，而且與元素的排列順序有關(guān)這就說，在判斷一個問題是否是排列問題時，可以考慮所取出的元素，任意交換兩個，若結(jié)果變化，則是排列問題，否則不是排列問題2關(guān)于排列數(shù)的兩個公式(1)排列數(shù)的第一個公式An(n1)(n2)(nm1)適用m已知的排列數(shù)的計算以及排列數(shù)的方程和不等式在運用時要注意它的特點，從n起連續(xù)寫出m個數(shù)的乘積即可(2)排列數(shù)的第二個公式A用于與排列數(shù)有關(guān)的證明、解方程、解不等式等，在具體運用時，應注意先提取公因式再計算，同時還要注意隱含條件“n，mN*，mn”的運用一、選擇題1A9101112，則m等于()A3 B4 C5 D6考點排列數(shù)公式題點利用排列數(shù)公式計算答案B2已知下列問題：從甲、乙、丙三名同學中選出兩名分別參加數(shù)學、物理興趣小組；從甲、乙、丙三名同學中選出兩人參加一項活動；從a，b，c，d中選出3個字母；從1,2,3,4,5這五個數(shù)字中取出2個數(shù)字組成一個兩位數(shù)其中是排列問題的有()A1個 B2個 C3個 D4個考點排列的概念題點排列的判斷答案B解析由排列的定義知是排列問題3與AA不相等的是()AA B81A C10A DA考點排列數(shù)公式題點利用排列數(shù)公式證明答案B解析AA10987！A10AA，81A9AA，故選B.4甲、乙、丙三人排成一排照相，甲不站在排頭的所有排列種數(shù)為()A6 B4 C8 D10考點排列的概念題點列舉所有排列答案B解析列樹狀圖如下：丙甲乙乙甲乙甲丙丙甲故組成的排列為丙甲乙，丙乙甲，乙甲丙，乙丙甲，共4種5從2,3,5,7四個數(shù)中任選兩個分別相除，則得到的不同結(jié)果有()A6個 B10個 C12個 D16個考點排列的應用題點無限制條件的排列問題答案C解析不同結(jié)果有A4312(個)6下列各式中與排列數(shù)A相等的是()A. Bn(n1)(n2)(nm)C. DAA考點排列數(shù)公式題點利用排列數(shù)公式證明答案D解析A，而AAn，AAA.7四張卡片上分別標有數(shù)字“2”“0”“1”“1”，則由這四張卡片可組成不同的四位數(shù)的個數(shù)為()A6 B9 C12 D24考點排列的概念題點列舉所有排列答案B解析這四位數(shù)列舉為如下：1 012,1 021,1 102,1 120,1 201，1 210,2 011,2 101,2 110，共9個二、填空題8從a，b，c，d，e五個元素中每次取出三個元素，可組成_個以b為首的不同的排列，它們分別是_考點排列的概念題點列舉所有排列答案12bac，bad，bae，bca，bcd，bce，bda，bdc，bde，bea，bec，bed解析畫出樹狀圖如下：可知共12個，它們分別是bac，bad，bae，bca，bcd，bce，bda，bdc，bde，bea，bec，bed.9若集合Px|xA，mN*，則集合P中共有_個元素考點排列數(shù)公式題點利用排列數(shù)公式計算答案3解析由題意知，m1,2,3,4，由AA，故集合P中共有3個元素10滿足不等式>12的n的最小值為_考點排列數(shù)公式題點解含有排列數(shù)的方程或不等式答案10解析>12，得(n5)(n6)>12，解得 n>9或n<2(舍去)最小正整數(shù)n的值為10.112017北京車展期間，某調(diào)研機構(gòu)準備從5人中選3人去調(diào)查E1館、E3館、E4館的參觀人數(shù)，不同的安排方法種數(shù)為_考點排列的應用題點無限制條件的排列問題答案60解析由題意可知，問題為從5個元素中選3個元素的排列問題，所以安排方法有54360(種)12由1,4,5，x四個數(shù)字組成沒有重復數(shù)字的四位數(shù)，所有這些四位數(shù)的各數(shù)位上的數(shù)字之和為288，則x_.考點排列的應用題點無限制條件的排列問題答案2解析當x0時，有A24(個)四位數(shù)，每個四位數(shù)的數(shù)字之和為145x，故24(145x)288，解得x2；當x0時，每個四位數(shù)的數(shù)字之和為14510，而288不能被10整除，即x0不符合題意，綜上可知，x2.三、解答題13一條鐵路線原有n個車站，為了適應客運需要，新增加了2個車站，客運車票增加了58種，問原有多少個車站？現(xiàn)有多少車站？考點排列的應用題點無限制條件的排列問題解由題意可得AA58，即(n2)(n1)n(n1)58，解得n14.所以原有車站14個，現(xiàn)有車站16個四、探究與拓展14若SAAAAA，則S的個位數(shù)字是()A8 B5 C3 D0考點排列數(shù)公式題點利用排列數(shù)公式計算答案C解析1！1,2！2,3！6,4！24,5！120，而6！65！，7！765！，100！1009965！，所以從5！開始到100！，個位數(shù)字均為0，所以S的個位數(shù)字為3.15京滬高速鐵路自北京南站至上海虹橋站，雙線鐵路全長1 318公里，途經(jīng)北京、天津、河北、山東、安徽、江蘇、上海7個省市，設(shè)立包括北京南、天津西、濟南西、南京南、蘇州北、上海虹橋等在內(nèi)的21個車站，計算鐵路部門要為這21個車站準備多少種不同的火車票？考點排列的應用題點無限制條件的排列問題解對于兩個火車站A和B，從A到B的火車票與從B到A的火車票不同，因為每張票對應一個起點站和一個終點站因此，結(jié)果應為從21個不同元素中，每次取出2個不同元素的排列數(shù)A2120420(種)所以一共需要為這21個車站準備420種不同的火車票