高等數(shù)學(xué)：第十一章 無窮級數(shù)

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1、第十一章第十一章 無窮級數(shù)無窮級數(shù)第一節(jié)第一節(jié) 數(shù)項(xiàng)級數(shù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)第二節(jié)第二節(jié) 冪級數(shù)冪級數(shù)第三節(jié)第三節(jié) 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)習(xí)題課習(xí)題課 一一習(xí)題課習(xí)題課 二二吳新民吳新民第一節(jié)第一節(jié) 常數(shù)項(xiàng)級數(shù)常數(shù)項(xiàng)級數(shù)一一 常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念及基本性質(zhì)常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念及基本性質(zhì)二二 正項(xiàng)級數(shù)及其判斂法正項(xiàng)級數(shù)及其判斂法三三 任意項(xiàng)級數(shù)任意項(xiàng)級數(shù)吳新民吳新民一一 常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念及基本性質(zhì)常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念及基本性質(zhì)1 常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念 引例引例1. 用圓內(nèi)接正多邊形面積逼近圓面積用圓內(nèi)接正多邊形面積逼近圓面積.依次作圓內(nèi)接正依次作圓內(nèi)接正),2,1,0(23 nn邊形邊形, , 這個和逼近于圓

2、的面積這個和逼近于圓的面積 A .0a1a 2a na 設(shè)設(shè) a0 表示表示,時時 n即即 naaaaA210內(nèi)接正三角形面積內(nèi)接正三角形面積, ak 表示邊數(shù)表示邊數(shù)增加時增加的面積增加時增加的面積, 則圓內(nèi)接正則圓內(nèi)接正邊形面積為邊形面積為n23 吳新民吳新民引例引例2.小球從小球從 1 米高處自由落下米高處自由落下, 少一半少一半,.由自由落體運(yùn)動方程由自由落體運(yùn)動方程2g21ts 知知g2st 則小球運(yùn)動的總時間為則小球運(yùn)動的總時間為1tT 22t 32t g21 2122)2(1 設(shè)設(shè) tk 表示第表示第 k 次小球落地的時間次小球落地的時間, 第第 k 次小球跳起的次小球跳起的高度

3、為高度為112k 米，米， 因此因此12.2kktg 每次跳起的高度減每次跳起的高度減問小球是否會在某時刻停止運(yùn)動問小球是否會在某時刻停止運(yùn)動? 說明道理說明道理.吳新民吳新民定義定義：給定一個數(shù)列給定一個數(shù)列,321nuuuu將各項(xiàng)依將各項(xiàng)依,1 nnu即即 1nnu nuuuu321稱上式為稱上式為無窮級數(shù)無窮級數(shù)， 其中第其中第 n 項(xiàng)項(xiàng)nu叫做級數(shù)的叫做級數(shù)的一般項(xiàng)一般項(xiàng),級數(shù)的前級數(shù)的前 n 項(xiàng)和項(xiàng)和 nkknuS1稱為稱為級數(shù)的部分和級數(shù)的部分和.nuuuu 321次相加次相加, ,lim存在存在若若SSnn 收斂收斂的的 ,則稱無窮級數(shù)是則稱無窮級數(shù)是并稱并稱 S 為級數(shù)的為級數(shù)

4、的和和, 記作記作簡記為簡記為吳新民吳新民 1nnuS當(dāng)級數(shù)收斂時當(dāng)級數(shù)收斂時, 稱差值稱差值 21nnnnuuSSr為級數(shù)的為級數(shù)的余項(xiàng)余項(xiàng).,lim不存在不存在若若nnS 則稱無窮級數(shù)是則稱無窮級數(shù)是發(fā)散發(fā)散 的的.顯然顯然0lim nnr吳新民吳新民例例1. 討論等比級數(shù)討論等比級數(shù) (又稱幾何級數(shù)又稱幾何級數(shù))0(20 aqaqaqaaqannn( q 稱為公比稱為公比 ) 的斂散性的斂散性. 解解:| 1,q 12 nnqaqaqaaSqaqan 1時，時，當(dāng)當(dāng)1 q, 0lim nnq由于由于從而從而qaSnn 1lim因此級數(shù)收斂因此級數(shù)收斂 ,;1qa ,1時時當(dāng)當(dāng) q,lim

5、 nnq由于由于從而從而,lim nnS則部分和則部分和因此級數(shù)發(fā)散因此級數(shù)發(fā)散 .其和為其和為1) 若若吳新民吳新民2). 若若,1 q,1時時當(dāng)當(dāng) qanSn 因此級數(shù)發(fā)散因此級數(shù)發(fā)散 ;,1時時當(dāng)當(dāng) q aaaaan 1)1(因此因此 nSn 為奇數(shù)為奇數(shù)n 為偶數(shù)為偶數(shù)從而從而nnS lim綜合綜合 1)、2)可知可知,1 q時時, 1 q時時, 則則, 級數(shù)成為級數(shù)成為,a,0不存在不存在 , 此時此時qaaqnn 10因此級數(shù)發(fā)散因此級數(shù)發(fā)散.等比級數(shù)收斂等比級數(shù)收斂 ;等比級數(shù)發(fā)散等比級數(shù)發(fā)散 .吳新民吳新民如果級數(shù)如果級數(shù) 11nn n131211是發(fā)散的。是發(fā)散的。解解例例2

6、. 說明調(diào)和級數(shù)說明調(diào)和級數(shù): 11kk是收斂的，是收斂的，則則,limSSnn ,lim2SSnn , 0)(lim2 nnnSS但但nnSS 2nnnn 1211112 , 0)(lim2 nnnSS所以，所以， 級數(shù)級數(shù) 11kk是發(fā)散的是發(fā)散的吳新民吳新民例例3. 判別下列級數(shù)的斂散性判別下列級數(shù)的斂散性: .)1(1)2( ;1ln)1(11 nnnnnn解解: (1) 12ln nS nnln)1ln()2ln3(ln)1ln2(ln )1ln( n） n(所以級數(shù)所以級數(shù) (1) 發(fā)散發(fā)散 ;技巧技巧:利用利用 “拆項(xiàng)相消拆項(xiàng)相消” 求求和和23ln 34ln nn1ln 吳新民

7、吳新民(2) )1(1431321211 nnSn 211111 n） n(1所以級數(shù)所以級數(shù) (2) 收斂收斂, 3121 4131 111nn .)1(1)2( 1 nnn其和為其和為 1 .吳新民吳新民 例例4. 判別級數(shù)判別級數(shù) 2211lnnn的斂散性的斂散性 .解解: 211lnn 221lnnn nnnln2)1ln()1ln( 2211lnkSnkn 2ln21ln3ln 3ln22ln4ln ln2)1ln()1ln(nnn 5ln4ln23ln 2ln nnln)1ln( 2ln)1ln(1 n, 2lnlim nnS故原級數(shù)收斂故原級數(shù)收斂 , .2ln 其和為其和為吳新

8、民吳新民2 無窮級數(shù)的基本性質(zhì)無窮級數(shù)的基本性質(zhì) 性質(zhì)性質(zhì)11nnu收斂于收斂于 S ,1 nnuS則各項(xiàng)則各項(xiàng)乘以常數(shù)乘以常數(shù) c1nnuc也收斂也收斂 ,證證:,1 nkknuS則則 nkknuc1 ,nSc nn limSc 這說明這說明 1nnuc收斂收斂 , nnSc lim說明說明: 級數(shù)各項(xiàng)乘以非零常數(shù)后其斂散性不變級數(shù)各項(xiàng)乘以非零常數(shù)后其斂散性不變 .即即其和為其和為 c S .即即 11nnnncuuc若級數(shù)若級數(shù)所得級數(shù)所得級數(shù)令令其和為其和為 c S . 吳新民吳新民性質(zhì)性質(zhì)2,1 nnuS 1nnv 則級數(shù)則級數(shù))(1nnnvu 也收斂也收斂, . S證證:,1 nkk

9、nuS,1 nkknv 則則)(1knkknvu nnS )( nS 這說明級數(shù)這說明級數(shù))(1nnnvu 也收斂也收斂, . S即即 111)(nnnnnnnvuvu設(shè)有兩個收斂級數(shù)設(shè)有兩個收斂級數(shù)其和為其和為 令令其和為其和為吳新民吳新民說明說明:(2) 若兩級數(shù)中一個收斂一個發(fā)散若兩級數(shù)中一個收斂一個發(fā)散 , 則則)(1nnnvu 必發(fā)散必發(fā)散 . 但若二級數(shù)都發(fā)散但若二級數(shù)都發(fā)散 ,)(1nnnvu 不一定發(fā)散不一定發(fā)散.例如例如, ,)1(2nnu 取取,)1(12 nnv0 nnvu而而(1) 性質(zhì)性質(zhì)2 表明收斂級數(shù)可逐項(xiàng)相加或減表明收斂級數(shù)可逐項(xiàng)相加或減 .(用反證法可證用反證

10、法可證)吳新民吳新民例例5 判別下列級數(shù)的斂散性，如果收斂，求其和判別下列級數(shù)的斂散性，如果收斂，求其和 1)2)1(32()1(nnnn)232()2(1nnnn 解解(1) 因?yàn)橐驗(yàn)?112)1(,32nnnnn均收斂，均收斂， 所以所以 1)2)1(32(nnnn收斂，收斂， 且且 1)2)1(32(nnnn 11)31(32nn 11)21(21nn311132 211121 32 (2)因?yàn)橐驗(yàn)?132nnn收斂，收斂， 12nn發(fā)散，發(fā)散，)232(1nnnn 發(fā)散。發(fā)散。吳新民吳新民性質(zhì)性質(zhì)3. 在級數(shù)前面加上或去掉有限項(xiàng)在級數(shù)前面加上或去掉有限項(xiàng), 不會影響級不會影響級數(shù)的斂散

11、性數(shù)的斂散性.證證:1nnu 的前的前 k 項(xiàng)去掉項(xiàng)去掉, 1nnku的部分和為的部分和為 nllknu1 knkSS nknS 與與 ,時時由于由于 n數(shù)斂散性相同數(shù)斂散性相同. 當(dāng)級數(shù)收斂時當(dāng)級數(shù)收斂時, .kSS 類似可證前面加上有限項(xiàng)的情況類似可證前面加上有限項(xiàng)的情況 .極限狀況相同極限狀況相同, 故新舊兩級故新舊兩級所得新級數(shù)所得新級數(shù)將級數(shù)將級數(shù)其和的關(guān)系為其和的關(guān)系為吳新民吳新民性質(zhì)性質(zhì)4. 收斂級數(shù)加括弧后所成的級數(shù)仍收斂于原級收斂級數(shù)加括弧后所成的級數(shù)仍收斂于原級數(shù)的和數(shù)的和.證證:,1 nnuS若按某一規(guī)律加括弧若按某一規(guī)律加括弧, )()(54321uuuuu則新級數(shù)的部

12、分和序列則新級數(shù)的部分和序列 ), 2 , 1( mm 為原級數(shù)部分和為原級數(shù)部分和序列序列 ),2,1( nSn的一個子序列的一個子序列,nnmmS limlim S 推論推論:注意注意:,0)11()11( 但但 1111發(fā)散發(fā)散.因此必有因此必有例如，例如，用反證法可證用反證法可證例如例如設(shè)收斂級數(shù)設(shè)收斂級數(shù)若加括弧后的級數(shù)發(fā)散若加括弧后的級數(shù)發(fā)散, 則原級數(shù)必發(fā)散則原級數(shù)必發(fā)散收斂級數(shù)去括弧后所成的級數(shù)不一定收斂收斂級數(shù)去括弧后所成的級數(shù)不一定收斂.吳新民吳新民例例6. 判斷級數(shù)的斂散性判斷級數(shù)的斂散性: 141141131131121121解解: : )()()(1411411311

13、311211211111 nnan21n nna 2發(fā)散發(fā)散 ,從而原級數(shù)發(fā)散從而原級數(shù)發(fā)散 .nn121 考慮加括號后的級數(shù)考慮加括號后的級數(shù)吳新民吳新民設(shè)收斂級數(shù)設(shè)收斂級數(shù),1 nnuS則必有則必有.0lim nnu證證: 1 nnnSSu1limlimlim nnnnnnSSu0 SS可見可見: 若級數(shù)的一般項(xiàng)不趨于若級數(shù)的一般項(xiàng)不趨于0 , 則級數(shù)必發(fā)散則級數(shù)必發(fā)散 .性質(zhì)性質(zhì)5. 注意注意:0lim nnu并非級數(shù)收斂的充分條件并非級數(shù)收斂的充分條件.例如例如, 調(diào)和級數(shù)調(diào)和級數(shù) nnn13121111雖然雖然，01limlim nunnn但此級數(shù)發(fā)散但此級數(shù)發(fā)散 .收斂級數(shù)的必要條

14、件收斂級數(shù)的必要條件吳新民吳新民例例7. 說明下列級數(shù)是發(fā)散的說明下列級數(shù)是發(fā)散的 192)1(nnn 11)2(nnnn1( 1)(3)32nnnn ;!)4(1 nnnnne解解92 nnun(1),(21 n所以原級數(shù)是發(fā)散的所以原級數(shù)是發(fā)散的(2)nnnnu 1),( n所以原級數(shù)是發(fā)散的所以原級數(shù)是發(fā)散的(3)2622 nnun,31561212 nnun,31 所以級數(shù)是發(fā)散的所以級數(shù)是發(fā)散的吳新民吳新民(4) nnuu1nne)1(1 ),2,1(1 n11)1(! )1( nnnnennnne!,!nnnnneu 111)1()1( nnnne故故011 uuunn從而從而,0

15、lim nnu這說明級數(shù)這說明級數(shù)(4) 發(fā)散發(fā)散.吳新民吳新民二二 正項(xiàng)級數(shù)及其判斂法正項(xiàng)級數(shù)及其判斂法若若,0 nu1nnu定理定理1 1nnu收斂的充要條件是收斂的充要條件是 部分和部分和nS),2,1( n有界有界 .若若 1nnu收斂收斂 , ,收斂收斂則則nS,0 nu部分和數(shù)列部分和數(shù)列 nS nS有界有界, 故故 nS 1nnu從而從而又已知又已知故有界故有界.則稱則稱為為正項(xiàng)級數(shù)正項(xiàng)級數(shù) .單調(diào)遞增單調(diào)遞增, 收斂收斂 , 也收斂也收斂.證證: “ ”“ ”正項(xiàng)級數(shù)正項(xiàng)級數(shù)序列序列吳新民吳新民, Zn,nnvku 都有都有定理定理2 (比較審斂法比較審斂法)設(shè)設(shè),1 nnu

16、1nnv且存在且存在, ZN對一切對一切,Nn 有有(1) 1nnv則級數(shù)則級數(shù) 1nnu(2) 1nnu則級數(shù)則級數(shù) 1nnv證證:不妨設(shè)對一切不妨設(shè)對一切和和令令nSn 則有則有收斂收斂 ,也收斂也收斂 ;發(fā)散發(fā)散 ,也發(fā)散也發(fā)散 .分別表示級數(shù)分別表示級數(shù)nnvku 是兩個正項(xiàng)級數(shù)是兩個正項(xiàng)級數(shù), (常數(shù)常數(shù) k 0 ),因在級數(shù)前加、減有限項(xiàng)不改變其斂散性因在級數(shù)前加、減有限項(xiàng)不改變其斂散性, 故故部分和部分和, ,1 nnu 1nnv若級數(shù)若級數(shù)若級數(shù)若級數(shù)則有則有吳新民吳新民(1) 1nnv則有則有nn lim因此對一切因此對一切, Zn有有nS由定理由定理 1 可知可知, 1nn

17、u則有則有(2) 1nnu,lim nnS因此因此,lim nn 這說明級數(shù)這說明級數(shù) 1nnv也發(fā)散也發(fā)散 . k nSnk 也收斂也收斂 .發(fā)散發(fā)散,收斂收斂,級數(shù)級數(shù)若級數(shù)若級數(shù)若級數(shù)若級數(shù)吳新民吳新民 ppppn14131211).0( p例例8. . 討論討論p- -級數(shù)級數(shù)的收斂性的收斂性解解:1,p 因?yàn)閷σ磺幸驗(yàn)閷σ磺? Zn而調(diào)和級數(shù)而調(diào)和級數(shù) 11nn由比較審斂法可知由比較審斂法可知 11npnn1 發(fā)散發(fā)散 .發(fā)散發(fā)散 ,pn11) 若若p 級數(shù)級數(shù)吳新民吳新民 11111)1(113121211pppppnn,1 p因?yàn)楫?dāng)因?yàn)楫?dāng)nxn 1,11ppxn 故故1pn nn

18、pxx1d1 111)1(111ppnnp考慮級數(shù)考慮級數(shù) 1121)1(1ppnnn的部分和的部分和n 111)1(11ppnkkk n故級數(shù)故級數(shù)時時,1)1(11 pn12)p 級數(shù)收斂級數(shù)收斂 . 1121)1(1ppnnn收斂收斂 , 由比較審斂法知由比較審斂法知若若11dnpnxn 吳新民吳新民 發(fā)散發(fā)散時時當(dāng)當(dāng)收斂收斂時時當(dāng)當(dāng)級數(shù)級數(shù),1,111ppnpnp重要參考級數(shù)重要參考級數(shù): 15tan)1(nn 1412)2(nnn1401(3)d1nnxxx 44101(4)1dnnxx 例例9. . 判別下列級數(shù)的斂散性判別下列級數(shù)的斂散性 解解tan5n (1) 而而 11nn

19、發(fā)散發(fā)散, 所以所以原原級數(shù)發(fā)散級數(shù)發(fā)散幾何級數(shù)幾何級數(shù), p-級數(shù)級數(shù), 調(diào)和級數(shù)調(diào)和級數(shù). 5n tan55nn吳新民吳新民124 nn3212n(2)124 nn442nnn 321n 3211nn 收斂，收斂， 所以所以 1412nnn收斂收斂.(3)140d1nxxx 10dnx x 322 13n 3211nn 收斂，收斂， 所以所以1401d1nnxxx 收斂收斂.(4)44011dnxx 01dnx x 22n 121nn 所以所以 原級數(shù)收斂原級數(shù)收斂收斂收斂吳新民吳新民例例10. 判別下列級數(shù)的斂散性判別下列級數(shù)的斂散性 2ln1)1(nnn 22ln1)2(nnn解解 (

20、1)當(dāng)當(dāng))1, nnx時，時，xxnnln1ln1 nnln111dlnnnxnn 11dlnnnxxx nnlnln)1ln(ln 則級數(shù)則級數(shù) 2)lnln)1ln(lnnnn n 2lnln3lnln nnlnln)1ln(ln 2lnln)1ln(ln n)( n發(fā)散，發(fā)散， 所以級數(shù)所以級數(shù) 2ln1nnn是發(fā)散的是發(fā)散的.吳新民吳新民(2), 1(nnx 時，時，)2(ln1ln122 nxxnn nn2ln1211dlnnnxnn 211dlnnnxxx nnln1)1ln(1 對于級數(shù)對于級數(shù), ln1)1ln(13 nnn由于由于 n 3ln12ln1 4ln13ln1 nn

21、ln1)1ln(1 nln12ln1 )(2ln1 n則收斂，則收斂， 所以級數(shù)所以級數(shù) 22ln1nnn收斂收斂.吳新民吳新民定理定理3. (比較審斂法的極限形式比較審斂法的極限形式),1 nnu 1nnvlimnnnulv 則有則有兩個級數(shù)同時收斂或發(fā)散兩個級數(shù)同時收斂或發(fā)散 ;(2),1收斂時收斂時且且 nnv;1也收斂也收斂 nnu(3),1發(fā)散時發(fā)散時且且 nnv.1也發(fā)散也發(fā)散 nnu證證:, 0 對對, ZN存在存在 lvunn)( l設(shè)兩正項(xiàng)級數(shù)設(shè)兩正項(xiàng)級數(shù)滿足滿足(1),時時當(dāng)當(dāng)Nn 當(dāng)當(dāng) 0 l 時時,當(dāng)當(dāng) l = 0當(dāng)當(dāng) l =( (包括包括據(jù)極限定義據(jù)極限定義, ,)

22、吳新民吳新民nnnvluvl)()( , l 取取由定理由定理 2 可知可知與與 1nnu 1nnv同時收斂或同時發(fā)散同時收斂或同時發(fā)散 ;)(Nn ),()(Nnvlunn 利用利用(3), ZN存在存在,時時當(dāng)當(dāng)Nn ,1 nnvu即即nnvu 由定理由定理2可知可知, 1nnv發(fā)散發(fā)散 , ;1也收斂也收斂則則 nnu(1)(2)由定理由定理2 知知 1nnv收斂收斂 , 若若.1也發(fā)散也發(fā)散則則 nnu當(dāng)當(dāng)0 l 0, nna xnnnxxxa00 nxxM0 該冪級數(shù)也發(fā)散該冪級數(shù)也發(fā)散 .冪級數(shù)都絕對收斂冪級數(shù)都絕對收斂.發(fā)發(fā) 散散設(shè)設(shè)使使00nnnnxa xx 吳新民吳新民當(dāng)當(dāng)

23、時時, 0 xx 00nnxxM收斂收斂, 0nnnxa故原冪級數(shù)絕對收斂故原冪級數(shù)絕對收斂 .也收斂也收斂,反之反之, 若當(dāng)若當(dāng)0 xx 時該冪級數(shù)發(fā)散時該冪級數(shù)發(fā)散 ,用反證法證之用反證法證之.假設(shè)有一點(diǎn)假設(shè)有一點(diǎn)10 xx 滿足不等式滿足不等式0 xx 所以若當(dāng)所以若當(dāng)0 xx 滿足滿足且使級數(shù)收斂且使級數(shù)收斂 ,前面的證明可知前面的證明可知, 級數(shù)在點(diǎn)級數(shù)在點(diǎn)故假設(shè)不真故假設(shè)不真. 的的 x , 時冪級數(shù)發(fā)散時冪級數(shù)發(fā)散 , 則對一切則對一切則由則由也應(yīng)收斂也應(yīng)收斂, 與所設(shè)矛盾與所設(shè)矛盾,證畢證畢1x0 x原冪級數(shù)也發(fā)散原冪級數(shù)也發(fā)散 .吳新民吳新民x R R幾何說明幾何說明收斂區(qū)域

24、收斂區(qū)域發(fā)散區(qū)域發(fā)散區(qū)域發(fā)散區(qū)域發(fā)散區(qū)域推論推論 0nnnxa0 xR如果冪級數(shù)如果冪級數(shù)不是僅在不是僅在一點(diǎn)一點(diǎn)存在存在, ,收斂收斂, 也不是在整個數(shù)軸上都收斂也不是在整個數(shù)軸上都收斂,定的正數(shù)定的正數(shù)則必有一個完全確則必有一個完全確它具有下列性質(zhì)它具有下列性質(zhì):當(dāng)當(dāng)Rx 時時, ,冪級數(shù)絕對收斂冪級數(shù)絕對收斂; ;當(dāng)當(dāng)Rx 時時, ,冪級數(shù)發(fā)散冪級數(shù)發(fā)散; ; 當(dāng)當(dāng)RxRx 與與時時, ,冪級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散冪級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散. .o吳新民吳新民正數(shù)正數(shù)R稱為冪級數(shù)的稱為冪級數(shù)的收斂半徑收斂半徑. 冪級數(shù)的收斂域稱冪級數(shù)的收斂域稱為冪級數(shù)的為冪級數(shù)的收斂區(qū)間收斂區(qū)間.),RR

25、,(RR .,RR ),(RR 收斂區(qū)間為下列四種形式之一收斂區(qū)間為下列四種形式之一, 0 R規(guī)定規(guī)定, R(1) 冪級數(shù)只在冪級數(shù)只在0 x處收斂處收斂,收斂區(qū)間收斂區(qū)間; 0 x收斂半徑收斂半徑(2) 冪級數(shù)對一切冪級數(shù)對一切x都收斂都收斂, 收斂半徑收斂半徑收斂區(qū)間收斂區(qū)間).,(說明說明冪級數(shù)冪級數(shù) 0nnnxa如果在如果在0 xx 處條件收斂，處條件收斂， 則則一定是該冪級數(shù)收斂區(qū)間的端點(diǎn)，一定是該冪級數(shù)收斂區(qū)間的端點(diǎn)，0 x即該冪級數(shù)的收斂即該冪級數(shù)的收斂半半徑徑. |0 xR 吳新民吳新民問題問題 如何求冪級數(shù)的收斂半徑如何求冪級數(shù)的收斂半徑?定理定理2. 0nnnxa為冪級數(shù)為

26、冪級數(shù),lim1 nnnaa;1 R; R.0 R1)2)3)其中其中如果如果lim |nnna 或或如果冪級數(shù)如果冪級數(shù) 0nnnxa如果在如果在0 xx 處收斂，處收斂，而在而在0 xx 處發(fā)散處發(fā)散, 則則一定是該冪級數(shù)收斂區(qū)間的端點(diǎn)，一定是該冪級數(shù)收斂區(qū)間的端點(diǎn)，0 x即該冪級數(shù)的收斂即該冪級數(shù)的收斂半徑半徑. |0 xR (包括包括) na中中nx的系數(shù)的系數(shù). 則則當(dāng)當(dāng) 0 時時,當(dāng)當(dāng) 0 時時,當(dāng)當(dāng) 時時,吳新民吳新民xaaxaxannnnnnnn 111limlim證證:1)則根據(jù)比值審斂法可知則根據(jù)比值審斂法可知:當(dāng)當(dāng),1 x 原級數(shù)收斂原級數(shù)收斂;當(dāng)當(dāng),1 x 原級數(shù)發(fā)散原

27、級數(shù)發(fā)散.x 即即 1 x時時,即即時時, 1 x2), 0 則根據(jù)比值審斂法可知則根據(jù)比值審斂法可知,; R3), 則對除則對除 x = 0 以外的一切以外的一切 x 原級發(fā)散原級發(fā)散 ,.0 R對任意對任意 x 原級原級因此因此因此級數(shù)的收斂半徑因此級數(shù)的收斂半徑.1 R若若 0, 若若數(shù)都收斂，數(shù)都收斂，若若因此因此吳新民吳新民 0nnnxa的收斂半徑為的收斂半徑為說明說明:1lim nnnaaR端點(diǎn)端點(diǎn) x =1, 1lim nnnaaR nxxxxnn 132)1(32的收斂半徑及收斂區(qū)間的收斂半徑及收斂區(qū)間.解解:11 nn11 對端點(diǎn)對端點(diǎn) x = 1, 級數(shù)為交錯級數(shù)級數(shù)為交錯

28、級數(shù),1)1(11nnn 收斂收斂; 級數(shù)為級數(shù)為,11 nn發(fā)散發(fā)散 . . 1,1( 故收斂區(qū)間為故收斂區(qū)間為例例1. 求冪級數(shù)求冪級數(shù) lim n據(jù)此定理據(jù)此定理對對吳新民吳新民例例2. 求下列冪級數(shù)的收斂域求下列冪級數(shù)的收斂域 :.!)2(;!1)1(00nnnnxnxn 解解: (1)1limnnnaRa !1n)1(lim nn 所以收斂域?yàn)樗允諗坑驗(yàn)? ),( (2)1limnnnaRa !n!)1( n11lim nn0 所以級數(shù)僅在所以級數(shù)僅在 x = 0 處收斂處收斂 .規(guī)定規(guī)定: 0 ! = 1! )1(1 n limn limn 吳新民吳新民例例3.nnxnn202)

29、 !(! )2( 求冪級數(shù)求冪級數(shù)的收斂半徑和收斂區(qū)間的收斂半徑和收斂區(qū)間 .解解:由比值審斂法求收斂半徑由比值審斂法求收斂半徑.1( )lim( )nnnuxux 2!)1( ! )1(2 nn2!2nn22)1()22( )12(limxnnnn 24x 142 x當(dāng)當(dāng)時時時時故收斂半徑為故收斂半徑為 .21 R21 x即即142 x當(dāng)當(dāng)21 x即即)1(2 nxnx2故直接故直接級數(shù)缺少奇次冪項(xiàng)級數(shù)缺少奇次冪項(xiàng),不能直接應(yīng)用定理不能直接應(yīng)用定理2, limn級數(shù)收斂級數(shù)收斂級數(shù)發(fā)散級數(shù)發(fā)散吳新民吳新民當(dāng)當(dāng)12x 時，時，級數(shù)為級數(shù)為220(2 )!,2 ( !)nnnn 而而22(2 )

30、!2 ( !)nnn1 2 3 4(2 )n 22224(2 )n1 3(21)n 2 4(2 )n 12n 由正項(xiàng)級數(shù)的比較判別法知由正項(xiàng)級數(shù)的比較判別法知 級數(shù)級數(shù)是發(fā)散的，是發(fā)散的，220(2 )!2 ( !)nnnn 該冪級數(shù)的收斂區(qū)間為該冪級數(shù)的收斂區(qū)間為1 1(, ).2 2 吳新民吳新民例例4. 12)1(nnnnx求冪級數(shù)求冪級數(shù)的收斂區(qū)間的收斂區(qū)間.解解:,1 xt級數(shù)變?yōu)榧墧?shù)變?yōu)閚nntn 1211limnnnaRa nn21)1(211 nnnnnnn2)1(2lim1 2 當(dāng)當(dāng) t = 2 時時, ,11 nn此級數(shù)發(fā)散此級數(shù)發(fā)散;當(dāng)當(dāng) t = 2 時時, ,)1(1

31、nnn此級數(shù)條件收斂此級數(shù)條件收斂;因此級數(shù)的收斂區(qū)間為因此級數(shù)的收斂區(qū)間為,22 t故原級數(shù)的收斂區(qū)間故原級數(shù)的收斂區(qū)間,212 x即即.31 xlimn 令令級數(shù)為級數(shù)為級數(shù)為級數(shù)為吳新民吳新民例例5.1(3( 1) )nnnnx 求求的收斂半徑、收斂區(qū)間的收斂半徑、收斂區(qū)間.解解當(dāng)當(dāng)41| x時，時，|)1(3( |nnnx nnx |4 因?yàn)橐驗(yàn)? 1|4 x所以所以 1|4nnnx收斂，收斂，原級數(shù)絕對收斂原級數(shù)絕對收斂41| x當(dāng)當(dāng)時，時，由于由于nnnx222|)1(3( nlim01 所以原級數(shù)發(fā)散，所以原級數(shù)發(fā)散，因此級數(shù)的收斂半徑因此級數(shù)的收斂半徑,41 R收斂收斂區(qū)間區(qū)間

32、).41,41( 吳新民吳新民三三 冪級數(shù)的運(yùn)算冪級數(shù)的運(yùn)算定理定理3. 及及的收斂區(qū)間分別的收斂區(qū)間分別12,IInnnxa 0 )(0為常數(shù)為常數(shù) nnnxa 1xI nnnnnnxbxa 00,)(0nnnnxba 12xII,0nnnxc 則有則有 : nnnnnnxbxa 00其中其中knnkknbac 0以上結(jié)論可用部分和以上結(jié)論可用部分和的極限證明的極限證明 .nnnxa 0nnnxb 0設(shè)冪級數(shù)設(shè)冪級數(shù)1. 代數(shù)運(yùn)算性質(zhì)代數(shù)運(yùn)算性質(zhì):為為12xII吳新民吳新民2.和函數(shù)的分析運(yùn)算性質(zhì)和函數(shù)的分析運(yùn)算性質(zhì): 0nnnxa( ),S x的和函數(shù)為的和函數(shù)為為為)(xS),(RR (

33、,)xR R 在在內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo),時可逐項(xiàng)時可逐項(xiàng)對對上的連續(xù)函數(shù)；上的連續(xù)函數(shù)；(1)(2)定理定理4 設(shè)冪級數(shù)設(shè)冪級數(shù)收斂區(qū)間收斂區(qū)間, I收斂半徑為收斂半徑為,R則則( )S xI求導(dǎo)，求導(dǎo)， 即即( )S x 0)(nnnxa.11 nnnxna0()nnna x 且等式右端的冪級數(shù)收斂半徑仍為且等式右端的冪級數(shù)收斂半徑仍為R.吳新民吳新民)(xS),(RR (3)在收斂區(qū)間在收斂區(qū)間內(nèi)可積內(nèi)可積, 可逐項(xiàng)積分可逐項(xiàng)積分. 即即0( )dxs xx 00dxnnna xx .110 nnnxna00()dxnnna xx 對對(,)xR R 且等式右端的冪級數(shù)收斂半徑仍為且等式右端的冪級

34、數(shù)收斂半徑仍為R.吳新民吳新民例例6. 1nnxn求冪級數(shù)求冪級數(shù)的和函數(shù)的和函數(shù)解解:x1 時級數(shù)發(fā)時級數(shù)發(fā),)1,1(時時故當(dāng)故當(dāng) x 1)(nnxnxS 1)(nnxx xxx12)1(xx . )(xS 11nnxnx 1nnxx散散,易求出冪級數(shù)的收斂半徑為易求出冪級數(shù)的收斂半徑為 1 ,吳新民吳新民例例7 求級數(shù)求級數(shù)11( 1)nnnxn 的和函數(shù)的和函數(shù).解解 該冪級數(shù)收斂半徑為該冪級數(shù)收斂半徑為1， 收斂區(qū)間為收斂區(qū)間為( 1,1. 令令( )S x11( 1)nnnxn ( 11),x 當(dāng)當(dāng)( 1,1)x 時，時，( )S x 11( 1)()nnnxn 11( 1)()n

35、nnxn 111( 1)nnnx 1,1x 而而( )S x ( )(0)S xS0( )dxS tt 01d1xtt ln(1)x根據(jù)定理根據(jù)定理4( )S x在在1x 處左連續(xù)，處左連續(xù)， 而而ln(1)x 在在在在1x 處連續(xù)，處連續(xù)，所以所以( )ln(1)S xx( 11).x 吳新民吳新民四四 函數(shù)展開成冪級數(shù)函數(shù)展開成冪級數(shù)1 函數(shù)的冪級數(shù)展開式泰勒級數(shù)函數(shù)的冪級數(shù)展開式泰勒級數(shù)問題問題:2) 如果能展開，如果能展開，na3) 展開式是否唯一展開式是否唯一?1) 在什么條件下才能展開成在什么條件下才能展開成如何計(jì)算？如何計(jì)算？0 xx 的冪級數(shù)：的冪級數(shù)： 00)(nnnxxa4

36、) 在什么條件下在什么條件下 00)(nnnxxa收斂到收斂到( ).f x吳新民吳新民)(xf)(0 xU )(0 xU nnnxxaxf)()(00 如果函數(shù)如果函數(shù)在在內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù)內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù), , 且在且在 nnxxaxxaaxf)()()(0010有有)(0 xf,0a )(00 xfa 10021)()(2)(nnxxnaxxaaxf10)(axf )(01xfa )(23)1(!)(01)(xxannanxfnnnnnanxf!)(0)( !)(0)(nxfann 吳新民吳新民定義定義)(xf在在0 x的某個領(lǐng)域內(nèi)有任意階導(dǎo)數(shù)的某個領(lǐng)域內(nèi)有任意階導(dǎo)數(shù), 則冪級數(shù)則冪級數(shù)

37、000)()(!)(nnnxxnxf nnxxnxfxxxfxf)(!)()()(00)(000稱為稱為)(xf在在0 x處的處的泰勒泰勒(Taylor)級數(shù)級數(shù)，而系數(shù)而系數(shù) na!)(0)(nxfn稱為稱為泰勒系數(shù)泰勒系數(shù)。特別當(dāng)特別當(dāng)00 x時，時，冪級數(shù)冪級數(shù) 0)(!)0(nnnxnf nnxnfxff!)0()0()0()( 設(shè)設(shè)吳新民吳新民稱為稱為)(xf的麥克勞林的麥克勞林(Maclaucin)級數(shù)。級數(shù)。綜上所述綜上所述)(xf可以展開成冪級數(shù)可以展開成冪級數(shù)的必要條件是的必要條件是 10)(nnnxxa)(xf在在0 xx 的某個領(lǐng)域內(nèi)有任意階的某個領(lǐng)域內(nèi)有任意階導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)數(shù)

38、，且此冪級數(shù)必是且此冪級數(shù)必是)(xf在在0 x處的泰勒級數(shù)，處的泰勒級數(shù)，即即的冪級數(shù)展開式是唯一的。的冪級數(shù)展開式是唯一的。)(xf2 )(xf的泰勒級數(shù)收斂于的泰勒級數(shù)收斂于的充要條件的充要條件)(xf定理定理5 各階導(dǎo)數(shù)各階導(dǎo)數(shù), )(0 xU則則 f (x) 在該鄰域內(nèi)能展開成泰勒級數(shù)的充要在該鄰域內(nèi)能展開成泰勒級數(shù)的充要條件是條件是 f (x) 的泰勒公式中的余項(xiàng)滿足的泰勒公式中的余項(xiàng)滿足:.0)(lim xRnn設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f (x) 在點(diǎn)在點(diǎn) x0 的某一鄰域的某一鄰域 內(nèi)具有內(nèi)具有吳新民吳新民證明證明:,)(!)()(000)(nnnxxnxfxf 令令)()()(1xRx

39、Sxfnn )(limxRnn )()(lim1xSxfnn ,0 )(0 xUx knkknxxkxfxS)(!)()(000)(1 )(0 xUx ( )f x在在0 x處的處的n次泰勒多項(xiàng)式，次泰勒多項(xiàng)式， 根據(jù)根據(jù)泰勒中值定理得泰勒中值定理得吳新民吳新民3 函數(shù)展開成冪級數(shù)函數(shù)展開成冪級數(shù)(直接展開法直接展開法)步驟步驟1) 求求),(xf ),(,)(xfn2) 求求),(,),(),(0)(00 xfxfxfn 3) 寫出寫出x-x0冪級數(shù)冪級數(shù)( )000()() ,!nnnfxxxn 并求其收斂并求其收斂半徑半徑R，4) 在收斂區(qū)間上考察當(dāng)在收斂區(qū)間上考察當(dāng) n時，時，)(xf

40、的泰勒公式的泰勒公式余項(xiàng)余項(xiàng))(xRn(1)10( )()(1)!nnfxxn 0(xx 介介于于 與與之之是否是否趨向于零，趨向于零， 若是則所求的冪級數(shù)在收斂區(qū)間上收斂于若是則所求的冪級數(shù)在收斂區(qū)間上收斂于( ).f x間間)吳新民吳新民例例8將函數(shù)將函數(shù)xexf )(展開成展開成x的冪級數(shù)。的冪級數(shù)。解解xnexf )()(), 2 , 1( n1)0()( nf), 1 , 0( n)(xf的麥克勞林級數(shù)的麥克勞林級數(shù) 0)(!)0(nnnxnf ! 212nxxxn收斂區(qū)間為收斂區(qū)間為),(1|( )| |(1)!nneRxxn | |1|(1)!xnexn 0()n 所以所以201

41、!2!nnxnxxxexnn (,)x 吳新民吳新民例例9 將將xxfsin)( 展開成展開成 x 的冪級數(shù)的冪級數(shù).解解: )()(xfn )0()(nf得級數(shù)得級數(shù):x)sin(2 nx其收斂半徑為其收斂半徑為 , R對任何有限數(shù)對任何有限數(shù) x , 其余項(xiàng)滿其余項(xiàng)滿足足 )( xRn)1(sin(2 n! )1( n1 nx! )1(1 nxn12 kn),2,1,0( k3! 31x 5! 51x 12)!12(1)1(nnxn n0kn2 ,)1(k ,0吳新民吳新民),( xxsin 123)!12()1(! 31nnxnxx 012)!12()1(nnnxn20( 1)cos(2

42、 )!nnnxxn 類似可推出類似可推出:),( x212111( 1)2 !(2 ) !nnxxn 吳新民吳新民例例10 將函數(shù)將函數(shù)mxxf)1()( 展開成展開成 x 的冪級數(shù)的冪級數(shù), 其中其中m為任意常數(shù)為任意常數(shù) . 解解: 易求出易求出 , 1)0( f,)0(mf , )1()0( mmf, )1()2)(1()0()( nmmmmfn于是得于是得 級數(shù)級數(shù) mx1 2!2)1(xmm由于由于1lim nnnaaRnmnn 1lim1 nxnnmmm!)1()1(級數(shù)在開區(qū)間級數(shù)在開區(qū)間 (1, 1) 內(nèi)收斂內(nèi)收斂. 因此對任意常數(shù)因此對任意常數(shù) m, 吳新民吳新民11, )(

43、 xxF 2!2)1(xmm nxnnmmm!)1()1( 1! )1()1()1(111)(nxnnmmxmmxF xmxF1)()()1(xFx ),(xmF mxxF)1()( xxxxmxxFxF00d1d)()()1ln()0(ln)(lnxmFxF 1)0( F則則設(shè)級數(shù)的和函數(shù)為設(shè)級數(shù)的和函數(shù)為為避免研究余項(xiàng)為避免研究余項(xiàng),吳新民吳新民 2!2)1(xmm nxnnmmm!)1()1( xmxm1)1()11( x稱為稱為二項(xiàng)展開式二項(xiàng)展開式 .說明：說明：(1) 在在 x1 處的收斂性與處的收斂性與 m 有關(guān)有關(guān) . (2) 當(dāng)當(dāng) m 為正整數(shù)時為正整數(shù)時, 級數(shù)為級數(shù)為 x

44、的的 m 次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式, 上式上式就是代數(shù)學(xué)中的就是代數(shù)學(xué)中的二項(xiàng)式定理二項(xiàng)式定理.由此得由此得 吳新民吳新民對應(yīng)對應(yīng)1,2121 m的二項(xiàng)展開式分別為的二項(xiàng)展開式分別為xx2111 2421x 364231x )11( x 48642531x111 x24231x 3642531x )11( x 486427531xx21 111 x2x3x)11(x nnx)1(x )11(11120 xxxxxxnnn吳新民吳新民4 函數(shù)展開成冪級數(shù)函數(shù)展開成冪級數(shù)(間接展開法間接展開法)211x 11x 利用一些已知的函數(shù)展開式及冪級數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)利用一些已知的函數(shù)展開式及冪級數(shù)的運(yùn)算性質(zhì), 例例1

45、1 將函數(shù)將函數(shù)展開成展開成 x 的冪級數(shù)的冪級數(shù).解解: 因?yàn)橐驗(yàn)?1nxxx)11(x把把 x 換成換成2x 211x nnxxx242)1(1)11( x, 得得將所給函數(shù)展開成將所給函數(shù)展開成 冪級數(shù)冪級數(shù). 吳新民吳新民例例12 將函數(shù)將函數(shù)21( )2f xxx 展開成展開成x的冪級數(shù)的冪級數(shù).解解21( )2f xxx 111321xx211122 1xx 0122nnnx | 1,2x | 2x 11x 0( 1)nnnx | 1,x| 1x 21( )2f xxx 102nnnx 10132nnnx 01( 1)3nnnx 1011( 1) 32nnnnx | 1x min1

46、,2 吳新民吳新民例例13 將函數(shù)將函數(shù))1ln()(xxf 展開成展開成 x 的冪級數(shù)的冪級數(shù).解解: xxf 11)()11()1(0 xxnnn從從 0 到到 x 積分積分, 得得ln(1)x,1)1(01 nnnxn定義且連續(xù)定義且連續(xù), 區(qū)間為區(qū)間為.11 x11x11x 上式右端的冪級數(shù)在上式右端的冪級數(shù)在 x 1 收斂收斂 ,有有在在而而1)1ln( xx所以展開式對所以展開式對 x 1 也是成立的也是成立的,于是收斂于是收斂00( 1)dxnnnxx 01d1xxx 00( 1)dxnnnxx 吳新民吳新民特別取特別取x =1可得可得 11)1(41312112lnnn因此因此

47、 11)1()1ln(nnnxnx nnxnxx12)1(2111 x吳新民吳新民例例14 將函數(shù)將函數(shù)21( )(1)f xx 展開成展開成 x 的冪級數(shù)的冪級數(shù).解解: 2001( )dd(1)xxf xxxx 111x 01( 1)nnnx 11x 21( )(1)f xx 0( )d )xf xx 0(1( 1)nnnx 1( 1) ()nnnx 11( 1)nnnnx 0( 1) (1)nnnnx 11x 吳新民吳新民例例15 將將3412 xx展成展成 x1 的冪級數(shù)的冪級數(shù). 解解: )3)(1(13412 xxxx)3(21)1(21xx 12(2(1)x 0( 1)(1)nn

48、nx )21( x12(4(1)x 121141x 141181x 01( 1)(1)42nnnnx (14)x 01( 1)(1)84nnnnx 21(2n 231)2n )21( x吳新民吳新民五五 函數(shù)的冪級數(shù)展開式的一些應(yīng)用函數(shù)的冪級數(shù)展開式的一些應(yīng)用1 近似計(jì)算近似計(jì)算,21 naaaA,21naaaA 12.nnnraa誤差誤差兩類問題兩類問題: 1.給定項(xiàng)數(shù)給定項(xiàng)數(shù),求近似值并估計(jì)精度求近似值并估計(jì)精度;2.給出精度給出精度,確定項(xiàng)數(shù)確定項(xiàng)數(shù).關(guān)健關(guān)健:通過估計(jì)余項(xiàng)通過估計(jì)余項(xiàng),確定精度或項(xiàng)數(shù)確定精度或項(xiàng)數(shù).常用方法常用方法:1.若余項(xiàng)是交錯級數(shù)若余項(xiàng)是交錯級數(shù),則可用余和的首項(xiàng)

49、來解決則可用余和的首項(xiàng)來解決; 2.若不是交錯級數(shù)若不是交錯級數(shù),則放大余和中的各項(xiàng)則放大余和中的各項(xiàng),使之成為等使之成為等 比級數(shù)或其它易求和的級數(shù)比級數(shù)或其它易求和的級數(shù),從而求出其和從而求出其和.吳新民吳新民例例165,10 .e 計(jì)算 的近似值 使其誤差不超過計(jì)算 的近似值 使其誤差不超過解解,!1! 2112 nxxnxxe1,x 令令1111,2!en 得得余項(xiàng)余項(xiàng): )!2(1)!1(1nnrn)211()!1(1 nn)1(1111()!1(12 nnn!1nn 510,nr 欲欲使使5110 ,!n n 只只要要5!10 ,n n 即即58 8!32256010 , 而而e7

50、1828. 2 所以所以111112!3!8! 吳新民吳新民例例1730sinsin9,3!.xxx利用計(jì)算的近似值 并估利用計(jì)算的近似值 并估計(jì)誤差計(jì)誤差解解20sin9sin0 ,)20(61203 52)20(!51 r5)2 . 0(1201 3000001 ,105 000646. 0157079. 09sin0 156433. 0 其誤差不超過其誤差不超過 .510 35sin3!5!xxxx吳新民吳新民2 求數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和求數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和利用一些常用函數(shù)的冪級數(shù)展開式，利用一些常用函數(shù)的冪級數(shù)展開式，可以求一些數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和可以求一些數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和.以及冪級數(shù)的以及冪級數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，運(yùn)算

51、性質(zhì)，例例18121.2nnn 求的和求的和解解 令令( )S x 221(21),nnnx ( 1,1),x 則則211( )()nnS xx 211()nnx 211()nnxx 2()1xx 2221,(1)xx 1212nnn 22111(21)()22nnn 11()22S 3. 吳新民吳新民例例1921.!2nnnn 求的和求的和解解21( ),!nnns xxn 令令(,)x nnxnnnnxs 1!)1()(2(1)!nnn nxn 2(2)!nnxn 2xx e 122 !nnnn)21( s 1214e .43e 11(1)!nnxn 1(1)!nnxn 2x 01!nnx

52、n x 01!nnxn xxe 1212e 吳新民吳新民例例2011.(21)3nnn 求求的的和和解解 令令( )S x 2111,21nnxn ( 1,1),x 則則( )S x 221nnx 2111()21nnxn 211()nnx 211x 0( )dxS tt 201d1xtt ( )(0)S xS( )S x 11ln21xx 11(21)3nnn 11()33S 331ln.631 吳新民吳新民一一 冪級數(shù)的收斂半徑收斂區(qū)間冪級數(shù)的收斂半徑收斂區(qū)間 1 阿貝爾引理阿貝爾引理習(xí)題課二習(xí)題課二如果冪級數(shù)如果冪級數(shù)00()nnnaxx 在在x1處收斂，處收斂， 則對一切則對一切x ，

53、只要只要010| |,xxxx該冪級數(shù)一定是絕對收斂的；該冪級數(shù)一定是絕對收斂的；如果該冪級數(shù)在如果該冪級數(shù)在x2處發(fā)散，處發(fā)散， 則對一切則對一切x ， 只要只要0|xx20|,xx 該冪級數(shù)一定是發(fā)散的該冪級數(shù)一定是發(fā)散的.根據(jù)阿貝爾引理，根據(jù)阿貝爾引理，如果冪級數(shù)如果冪級數(shù)00()nnnaxx 不是僅不是僅在在x0處收斂，處收斂， 也不是在整個數(shù)軸收斂，也不是在整個數(shù)軸收斂， 則一定存在正數(shù)則一定存在正數(shù)R使得使得(稱為冪級數(shù)的收斂半徑稱為冪級數(shù)的收斂半徑),吳新民吳新民當(dāng)當(dāng)0|xxR時時,冪級數(shù)是絕對收斂的；冪級數(shù)是絕對收斂的；當(dāng)當(dāng)0|xxR時時,冪級數(shù)是發(fā)散的冪級數(shù)是發(fā)散的.由此可知

54、，由此可知， 條件收斂的點(diǎn)一定是冪級數(shù)收斂區(qū)間的端條件收斂的點(diǎn)一定是冪級數(shù)收斂區(qū)間的端點(diǎn)點(diǎn). 如果在關(guān)于如果在關(guān)于x0的兩個對稱點(diǎn)中的兩個對稱點(diǎn)中一個是收斂點(diǎn)，一個是收斂點(diǎn)， 另一個另一個是發(fā)散點(diǎn)，是發(fā)散點(diǎn)， 則它們一定是此冪級數(shù)收斂區(qū)間的端點(diǎn)則它們一定是此冪級數(shù)收斂區(qū)間的端點(diǎn).2 收斂半徑、收斂區(qū)間的求法收斂半徑、收斂區(qū)間的求法 0nnnxa |lim1nnnaa nnna |lim 1 R其他形式其他形式 原始的比值法、根值法，收斂半徑定義原始的比值法、根值法，收斂半徑定義求收斂區(qū)間要討論端點(diǎn)的斂散性求收斂區(qū)間要討論端點(diǎn)的斂散性則則吳新民吳新民例例1 且級數(shù)且級數(shù) 02)1(nnnna條件

55、收斂，條件收斂，設(shè)設(shè)0 na則冪則冪級數(shù)級數(shù) 0)1(nnnxa收斂半徑收斂半徑 R，收斂區(qū)間，收斂區(qū)間為為2)3 , 1 。分析分析由于由于, 0 na 02)1(nnnna條件收斂，條件收斂， 所以所以 0|2)1( |nnnna 02nnna發(fā)散，發(fā)散，0(1)nnnax 即即在在1x 處收斂，處收斂， 在在3x 處發(fā)散，處發(fā)散，收斂半徑收斂半徑, 2 R 1,3). 收斂區(qū)間收斂區(qū)間吳新民吳新民例例2設(shè)冪級數(shù)設(shè)冪級數(shù) 0)1(nnnxa在在4 x收斂，收斂， 則則冪級數(shù)冪級數(shù) 0)1(2nnnnxa在在3 x處處，在，在1 x處處。一定收斂；一定收斂；AB 一定發(fā)散；一定發(fā)散； C 斂

56、散性不定斂散性不定CA分析分析 0)1(nnnxa在在4 x收斂，收斂，即冪級數(shù)即冪級數(shù) 0)1(2nnnnxa27 x在在處收斂，處收斂，由于由于25|127| |13| 4 25|127| |11| 2吳新民吳新民例例3求下列冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間求下列冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間 131)1nnnxn解解nnna31 |1nnaa13)1(1 nnnn31 )1(3 nn nlim nlim nlim31 3 R當(dāng)當(dāng)3 x時，時， 11nn發(fā)散發(fā)散當(dāng)當(dāng)3 x時，時， 1)1(nnn收斂，收斂， 收斂區(qū)間為收斂區(qū)間為)3 , 3 吳新民吳新民111212)1nnnx 解解 |1nnaa

57、11111nnn111 111111 nnn nlim nlim nlim1 )1211(limnn1 R當(dāng)當(dāng)1 x時，時，,1111 nn發(fā)散，發(fā)散，級數(shù)為級數(shù)為nn1111 1111nn所以所以當(dāng)當(dāng)1 x時，時，,1)1(11 nnn級數(shù)為級數(shù)為n111 ,1111 n011lim1 nn是收斂的是收斂的收斂區(qū)間為收斂區(qū)間為).1 , 1 吳新民吳新民1( 1)3)lnnnnxnn 解解 |1nnaa )1ln(11nnnn ln1 )1ln(1ln nnnn nlim nlim nlim1 1 R當(dāng)當(dāng)1 x時，時， 1ln)1(nnnn級數(shù)為級數(shù)為 )1ln()1(lnnnnn)11ln

58、(1n 0 )1ln(11ln1 nnnn0ln1lim nnn是收斂的是收斂的當(dāng)當(dāng)1 x時，時， 1ln1nnn級數(shù)為級數(shù)為是發(fā)散的是發(fā)散的收斂區(qū)間為收斂區(qū)間為.1 , 1( 吳新民吳新民032( 1)4)3nnnnx 解解nnna3)1(23 nna | nnn3)1(233)1(23nn nlim nlim nlim31 , 3 R當(dāng)當(dāng)3 x時，時， 級數(shù)為級數(shù)為 0)1)()1(23(nnnnnn)1)()1(23(lim 不存在，不存在， 0)1)()1(23(nnn發(fā)散，發(fā)散， 收斂區(qū)間為收斂區(qū)間為)3 , 3( 吳新民吳新民例例4求下列冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間求下列冪級數(shù)的收斂

59、半徑、收斂區(qū)間 12)3(21)1nnnxn解解 | )(| )(|1xuxunn|3|2)1(22 xnn2|3| x nlim nlim當(dāng)當(dāng)12|3| x時，時， 即即2|3| x或或51 x時，時，原級數(shù)原級數(shù)絕對收斂，絕對收斂，當(dāng)當(dāng)12|3| x時，時， 即即2|3| x時，時，原級數(shù)原級數(shù)發(fā)散，發(fā)散， 因此收斂半徑為因此收斂半徑為, 2 R當(dāng)當(dāng)1 x或或5 x時，時， 原原級數(shù)為級數(shù)為 12)1(nnn是收斂的，是收斂的，因此收斂區(qū)間為因此收斂區(qū)間為.5 , 1吳新民吳新民21221(1)2)nnnnxn 解解 nnxu| )(|122(1)nnnxn nlim nlim2ex 因此

60、當(dāng)因此當(dāng)12 ex時，時， 即當(dāng)即當(dāng)1| ex時，時， 原級數(shù)絕對收斂，原級數(shù)絕對收斂，當(dāng)當(dāng)12 ex時，時， 即當(dāng)即當(dāng)1| ex原級數(shù)發(fā)散。原級數(shù)發(fā)散。 所以所以1 eR當(dāng)當(dāng)1 ex時，時，原級數(shù)為原級數(shù)為121(1) ,n nnnnn e 由于由于122(1) 1,n nnnn en 原級數(shù)收斂，原級數(shù)收斂， 收斂區(qū)間為收斂區(qū)間為,11 ee吳新民吳新民 1sin)3nnnx解解當(dāng)當(dāng)1| x時，時， 由于由于|sin|nxn,|nx 而而 1|nnx收斂，收斂，所以原級數(shù)絕對收斂，所以原級數(shù)絕對收斂，,sin)1(1 nnn又由于當(dāng)又由于當(dāng)1 x時，時， 原原級數(shù)為級數(shù)為而而nnsinli

61、m 不存在。不存在。 所以原級數(shù)所以原級數(shù)發(fā)散，發(fā)散，因此收斂半徑因此收斂半徑, 1 R收斂區(qū)間為收斂區(qū)間為).1 , 1( 吳新民吳新民二二 函數(shù)展開成冪級數(shù)函數(shù)展開成冪級數(shù)利用冪級數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)利用冪級數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和五個函數(shù)的冪級數(shù)展開式。和五個函數(shù)的冪級數(shù)展開式。冪級數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)：冪級數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)： 設(shè)冪級數(shù)設(shè)冪級數(shù)00()nnnaxx 的和函數(shù)的和函數(shù)為為( ),S x收斂區(qū)間為收斂區(qū)間為I， 冪級數(shù)冪級數(shù)00()nnnbxx 的和函數(shù)為的和函數(shù)為1( ),Sx收斂區(qū)間為收斂區(qū)間為I2， 則則在在1II 上，上，00()nnnaxx 00()nnnbxx 00()()nnnnabxx 在

62、在I上，上，( )S x00()nnnaxx 連續(xù)連續(xù).吳新民吳新民在在I 內(nèi)內(nèi) (除端點(diǎn)的開區(qū)間上除端點(diǎn)的開區(qū)間上),( )S x 00() )nnnaxx 101()nnna n xx 0( )dxxS tt 000() dxnnxnatxt 100()1nnnaxxn 五個函數(shù)的冪級數(shù)展開式：五個函數(shù)的冪級數(shù)展開式：x 11 0nnx 11nnx11 xxe 0!1nnxn xxsin210( 1)(21)!nnnxn 20( 1)(2 )!nnnxn xcos)1ln(x 11)1(nnnxn11 x吳新民吳新民例例5將下列函數(shù)展開成將下列函數(shù)展開成 x 的冪級數(shù)的冪級數(shù)1）)2ln(

63、)(2xxxf 解解 )(xf)1ln()2ln(xx )21ln(2lnx )1ln(x 112)1(2lnnnnnxn22 xnnxn 1111 x 01)12)1(12lnnnnnxn吳新民吳新民2）xxfarctan)( 211)(xxf 解解 02)1(nnnx11 x)0()(fxf xdxxf0)( xarctan1200( 1)dxnnnxx 200( 1)dxnnnxx 01212)1(nnnxn11 x因?yàn)橐驗(yàn)? x時，時， 此級數(shù)是收斂的，此級數(shù)是收斂的，xarctan在在連續(xù)，連續(xù)，1 x所以所以xarctan 01212)1(nnnxn11 x吳新民吳新民3)22)1

64、()(xxxf 解解220d(1)xxxx )111(212x 02)1(2121nnnx11 x22)1(xx )111(212 x 02)1(1(21nnnx 02)()1(21nnnx 1122)1(21nnnnx 1121)1(nnnnx11 x吳新民吳新民例例6 將將xxfsin)( 展開成展開成4 x的冪級數(shù)。的冪級數(shù)。解解)44sin(sin xx)4cos(22)4sin(22 xx 012)4()!12()1(22nnnxn 02)4()!2()1(22nnnxn x 0)4(!)1(222)1(nnxnnn 吳新民吳新民例例7 將將2)1(1)(xxf 展開成展開成1 x的

65、冪級數(shù)。的冪級數(shù)。解解211d(1)xxx x 1121)1(2121 x21112121 x 0)1(2)1(2121nnnnx13x 2)1(1x )1121( x)1(2)1(2121(0 nnnnx 1)1(2)1(21nnnnx 11)1(2)1(21nnnnxn 02)1(2)1()1(nnnnnxn吳新民吳新民三三 冪級數(shù)的應(yīng)用冪級數(shù)的應(yīng)用1） 求冪級數(shù)的和函數(shù)求冪級數(shù)的和函數(shù)2） 求求),(0)(xfn即即 000)()(!)()(nnnxxnxfxf 00)(nnnxxa因此因此)(0)(xfnnan! 吳新民吳新民例例8 求冪級數(shù)求冪級數(shù) 1)1(1nnxnn的和函數(shù)。的和

66、函數(shù)。解解此冪級數(shù)的收斂區(qū)間此冪級數(shù)的收斂區(qū)間,1 , 1 令令,)1(1)(1 nnxnnxs111( )(1)nnxs xxn n ) )( xxs 11nnx11 xx 11) )( xxs01d1xxx )1ln(x )(xxs0ln(1)dxxx xxx )1ln()1(吳新民吳新民)(xxsxxx )1ln()1(11 x)(xs 1)1ln(1 xxx11 x0 x11 x0 x1)1ln(1lim0 xxxx1 x1)1ln(1lim1 xxxx01吳新民吳新民例例9 求級數(shù)求級數(shù) 022)1(nnn的和。的和。解解 02)1()(nnxnxs 01)(1(nnxn 01)1(nnxn 0)1(nnxnx 01)(nnxx 01)(nnxx)1( xxx)1(2 xx3)1(1xx 022)1(nnn213)1(1 xxx)21( s 12 吳新民吳新民例例10 將函數(shù)將函數(shù)211)(xxxf 展開成展開成 x 的冪級數(shù)，的冪級數(shù)，并求并求).0(),0(),0()22()21()20(fff解解311)(xxxf 03)1(nnxx 03nnx 013nnx11 x0