2018版高中數(shù)學(xué) 第二章 概率 2.2 超幾何分布學(xué)案 蘇教版選修2-3.doc

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2.2 超幾何分布 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.了解超幾何分布的實(shí)際背景.2.理解超幾何分布的特征.3.能用超幾何分布這一概率模型解決相關(guān)問(wèn)題． 知識(shí)點(diǎn)　超幾何分布 思考　從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽，設(shè)隨機(jī)變量X表示所選3人中女生的人數(shù)． (1)X的所有可能值是什么？ (2)X的概率分布是什么？ 　 　 梳理　超幾何分布 (1)概念：一般地，若一個(gè)隨機(jī)變量X的分布列為P(X＝r)＝，其中r＝0,1,2,3，…，l，l＝min(n，M)，則稱(chēng)X服從超幾何分布． (2)記法：X服從超幾何分布，記為_(kāi)_________________，并將P(X＝r)＝____________記為H(r；n，M，N)． (3)含義：在H(r；n，M，N)中，r，n，M，N的含義： 特別提醒：(1)超幾何分布的模型特點(diǎn) ①超幾何分布中的正品、次品也可以理解為黑、白，男、女等有明顯差異的兩部分． ②超幾何分布中“X＝k”的含義是“取出的n件產(chǎn)品中恰好有k件次品”． (2)超幾何分布的特征 ①超幾何分布的抽取是不放回的． ②超幾何分布本質(zhì)上還是這一事件在該隨機(jī)試驗(yàn)中發(fā)生的次數(shù)與總次數(shù)的比． 類(lèi)型一　超幾何分布求概率 例1　從放有10個(gè)紅球與15個(gè)白球的暗箱中，隨意摸出5個(gè)球，規(guī)定取到一個(gè)白球得1分，一個(gè)紅球得2分，求某人摸出5個(gè)球，恰好得7分的概率． 　 　 　 　 　 　 　 　 反思與感悟　解答此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是先分析隨機(jī)變量是否滿足超幾何分布．若滿足，則直接利用公式解決；若不滿足，則應(yīng)借助相應(yīng)概率公式求解． 跟蹤訓(xùn)練1　在元旦晚會(huì)上，數(shù)學(xué)老師設(shè)計(jì)了一個(gè)摸獎(jiǎng)游戲，在一個(gè)口袋中裝有10個(gè)紅球和20個(gè)白球，這些球除顏色外完全相同，從中任意摸出5個(gè)球，至少摸到3個(gè)紅球中獎(jiǎng)，求中獎(jiǎng)的概率．(結(jié)果保留兩位小數(shù)) 　 　 　 類(lèi)型二　超幾何分布求概率分布 引申探究 在本例條件下，若記取到白球的個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量η，求隨機(jī)變量η的概率分布．例2　一個(gè)袋中裝有6個(gè)形狀大小完全相同的小球，其中紅球有3個(gè)，編號(hào)為1,2,3；黑球有2個(gè)，編號(hào)為1,2；白球有1個(gè)，編號(hào)為1.現(xiàn)從袋中一次隨機(jī)抽取3個(gè)球． (1)求取出的3個(gè)球的顏色都不相同的概率； (2)記取得1號(hào)球的個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量X，求隨機(jī)變量X的概率分布． 　 　 　 　 　 　 　 　 反思與感悟　超幾何分布的求解步驟 (1)辨模型：結(jié)合實(shí)際情景分析所求概率分布問(wèn)題是否具有明顯的兩部分組成，如“男生、女生”，“正品、次品”“優(yōu)劣”等，或可轉(zhuǎn)化為明顯的兩部分．具有該特征的概率模型為超幾何分布模型． (2)算概率：可以直接借助公式P(X＝r)＝求解，也可以利用排列組合及概率的知識(shí)求解，需注意借助公式求解時(shí)應(yīng)理解參數(shù)M，N，n，r的含義． (3)列分布表：把求得的概率值通過(guò)表格表示出來(lái)． 跟蹤訓(xùn)練2　從5名男生和3名女生中任選3人參加奧運(yùn)會(huì)火炬接力活動(dòng)．若隨機(jī)變量X表示所選3人中女生的人數(shù)，求X的概率分布及P(X<2)． 　 　 　 類(lèi)型三　超幾何分布的綜合應(yīng)用 例3　在10件產(chǎn)品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品．從這10件產(chǎn)品中任取3件．求： (1)取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)X的概率分布； (2)取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)多于二等品件數(shù)的概率． 　 　 　 　 　 　 　 反思與感悟　識(shí)別超幾何分布的三大標(biāo)準(zhǔn) (1)總數(shù)為N件的物品只分為兩類(lèi)：M(M≤N)件甲類(lèi)(或次品)，N－M件乙類(lèi)(或正品)． (2)從N件物品中行取n(n≤N)件物品必須采用不放回抽樣． (3)隨機(jī)變量X表示從N件物品中任取n(n≤N)件物品，其中所含甲類(lèi)物品(或次品)的件數(shù)． 跟蹤訓(xùn)練3　袋中裝著標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5的小球各2個(gè)，從袋中任取3個(gè)小球，按3個(gè)小球上最大數(shù)字的9倍計(jì)分，每個(gè)小球被取出的可能性相等，用X表示取出的3個(gè)小球上的最大數(shù)字，求： (1)取出的3個(gè)小球上的數(shù)字互不相同的概率； (2)隨機(jī)變量X的概率分布； (3)計(jì)算介于20分到40分之間的概率． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 1．盒中有4個(gè)白球，5個(gè)紅球，從中任取3個(gè)球，則取出1個(gè)白球和2個(gè)紅球的概率是________． 2．有10位同學(xué)，其中男生6位，女生4位，從中任選3人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽．用X表示女生人數(shù)，則概率P(X≤2)＝________. 3．從4名男生和2名女生中任選3人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，則所選3人中，女生的人數(shù)不超過(guò)1人的概率為_(kāi)_______． 4．從1,2,3,4,5中任取3個(gè)數(shù)，記最大的數(shù)為ξ，則P(ξ＝4)＝________. 5．一個(gè)盒子里裝有4張大小形狀完全相同的卡片，分別標(biāo)有數(shù)字2,3,4,5；另一個(gè)盒子里也裝有4張大小形狀完全相同的卡片，分別標(biāo)有數(shù)字3,4,5,6.現(xiàn)從一個(gè)盒子里任取一張卡片，其上面的數(shù)記為x，再?gòu)牧硪粋€(gè)盒子里任取一張卡片，其上面的數(shù)記為y，記隨機(jī)變量η＝x＋y，求η的概率分布． 　 　 　 　 　 　 1．超幾何分布的判斷 判斷隨機(jī)變量是否服從超幾何分布，可以從以下兩個(gè)方面判斷：一是超幾何分布描述的是不放回抽樣問(wèn)題；二是隨機(jī)變量為抽到的某類(lèi)個(gè)體的個(gè)數(shù)． 2．超幾何分布的分布列的求法 (1)在超幾何分布中，只要知道N，M和n，就可以根據(jù)公式，求出X取不同r值時(shí)的概率P(X＝r)，從而列出X的概率分布． (2)一旦掌握了X的概率分布，就可以算出相應(yīng)試驗(yàn)的很多事件的概率，從而就完全掌握了該試驗(yàn)． 答案精析 問(wèn)題導(dǎo)學(xué) 知識(shí)點(diǎn) 思考　(1)0,1,2. (2)P(X＝0)＝＝＝， P(X＝1)＝＝＝， P(X＝2)＝＝＝， ∴X的概率分布如下表： X 0 1 2 P 梳理　(2)X～H(n，M，N)　 題型探究 例1　解　設(shè)摸出的紅球個(gè)數(shù)為X，則X服從超幾何分布，其中N＝25，M＝10，n＝5.由于摸出5個(gè)球，得7分，僅有兩個(gè)紅球的可能，那么恰好得7分的概率為 P(X＝2)＝≈0.385， 即恰好得7分的概率約為0.385. 跟蹤訓(xùn)練1　解　設(shè)摸出紅球的個(gè)數(shù)為X，則X服從超幾何分布，其中N＝30，M＝10，n＝5.于是中獎(jiǎng)的概率為 P(X≥3)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＋P(X＝5) ＝＋＋ ＝ ＝ ≈0.19. 例2　解　(1)從袋中一次隨機(jī)抽取3個(gè)球，基本事件總數(shù)n＝C＝20，取出的3個(gè)球的顏色都不相同包含的基本事件的個(gè)數(shù)為CCC＝6，所以取出的3個(gè)球的顏色都不相同的概率為P＝＝. (2)由題意知，X＝0,1,2,3. P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝ ＝， P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝ ＝. 所以X的概率分布為 X 0 1 2 3 P 引申探究 解　由題意可知η＝0,1，服從兩點(diǎn)分布． 又P(η＝1)＝＝，所以η的概率分布如下表： η 0 1 P 跟蹤訓(xùn)練2　解　由題意分析可知，隨機(jī)變量X服從超幾何分布，其中N＝8，M＝3，n＝3. 所以P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝. 故隨機(jī)變量X的概率分布如下表： X 0 1 2 3 P 所以P(X<2)＝P(X＝0)＋P(X＝1) ＝＋＝. 例3　解　(1)由于從10件產(chǎn)品中任取3件的基本事件總數(shù)為C，從10件產(chǎn)品中任取3件，其中恰有m(0≤m≤3且m∈N)件一等品的基本事件個(gè)數(shù)為CC，那么從10件產(chǎn)品中任取3件，其中恰有m件一等品的概率為P(X＝m)＝，m＝0,1,2,3. 所以隨機(jī)變量X的概率分布如下表： X 0 1 2 3 P (2)設(shè)“取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)多于二等品件數(shù)”為事件A，“恰好取出1件一等品和2件三等品”為事件A1，“恰好取出2件一等品”為事件A2，“恰好取出3件一等品”為事件A3. 由于事件A1，A2，A3彼此互斥，且A＝A1＋A2＋A3， 又因?yàn)镻(A1)＝＝， P(A2)＝P(X＝2)＝， P(A3)＝P(X＝3)＝， 所以P(A)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3) ＝＋＋＝. 即取出的3件產(chǎn)品中一等品的件數(shù)多于二等品的件數(shù)的概率為. 跟蹤訓(xùn)練3　解　(1)“一次取出的3個(gè)小球上的數(shù)字互不相同”的事件記為A，則P(A)＝＝. (2)由題意知，X所有可能的取值為2,3,4,5. P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝， P(X＝4)＝＝， P(X＝5)＝＝， 所以隨機(jī)變量X的概率分布如下表： X 2 3 4 5 P (3)“一次取球得分介于20分到40分之間”記為事件C，則P(C)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋＝. 當(dāng)堂訓(xùn)練 1.　2.　3.　4. 5．解　依題意，η的可能取值是5,6,7,8,9,10,11. 則有P(η＝5)＝＝， P(η＝6)＝＝，P(η＝7)＝， P(η＝8)＝＝，P(η＝9)＝， P(η＝10)＝＝，P(η＝11)＝. 所以η的概率分布為 η 5 6 7 8 9 10 11 P