2018-2019版高中數學 第二章 隨機變量及其分布 2.2 二項分布及其應用 2.2.3 獨立重復試驗與二項分布學案 新人教A版選修2-3.doc

2.2.3獨立重復試驗與二項分布學習目標1.理解n次獨立重復試驗的模型.2.掌握二項分布公式.3.能利用獨立重復試驗的模型及二項分布解決一些簡單的實際問題知識點一獨立重復試驗思考1要研究拋擲硬幣的規(guī)律，需做大量的擲硬幣試驗其前提是什么？答案條件相同思考2試驗結果有哪些？答案正面向上或反面向上，即事件發(fā)生或者不發(fā)生思考3各次試驗的結果有無影響？答案無，即各次試驗相互獨立梳理(1)定義：在相同條件下重復做的n次試驗稱為n次獨立重復試驗(2)基本特征：每次試驗是在同樣條件下進行每次試驗都只有兩種結果：發(fā)生與不發(fā)生各次試驗之間相互獨立每次試驗，某事件發(fā)生的概率都是一樣的知識點二二項分布在體育課上，某同學做投籃訓練，他連續(xù)投籃3次，每次投籃的命中率都是0.8，用Ai(i1,2,3)表示第i次投籃命中這個事件，用Bk表示僅投中k次這個事件思考1用Ai如何表示B1，并求P(B1)答案B1(A12 3)(1A23)(1 2A3)，因為P(A1)P(A2)P(A3)0.8，且A12 3，1A23，1 2A3兩兩互斥，故P(B1)0.80.220.80.220.80.2230.80.220.096.思考2試求P(B2)和P(B3)答案P(B2)30.20.820.384，P(B3)0.830.512.思考3由以上問題的結果你能得出什么結論？答案P(Bk)C0.8k0.23k(k0,1,2,3)梳理在n次獨立重復試驗中，用X表示事件A發(fā)生的次數，設每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p，則P(Xk)Cpk(1p)nk，k0,1,2，n.此時稱隨機變量X服從二項分布，記作XB(n，p)，并稱p為成功概率1有放回地抽樣試驗是獨立重復試驗()2在n次獨立重復試驗中，各次試驗的結果相互沒有影響()3在n次獨立重復試驗中，各次試驗中事件發(fā)生的概率可以不同()4如果在1次試驗中某事件發(fā)生的概率是p，那么在n次獨立重復試驗中這個事件恰好發(fā)生k次的概率P(Xk)Cpk(1p)nk，k0,1,2，n.()類型一獨立重復試驗的概率例1甲、乙兩人各射擊一次，擊中目標的概率分別是和，假設每次射擊是否擊中目標，相互之間沒有影響(結果需用分數作答)(1)求甲射擊3次，至少有1次未擊中目標的概率；(2)求兩人各射擊2次，甲恰好擊中目標2次且乙恰好擊中目標1次的概率考點獨立重復試驗的計算題點n次獨立重復試驗中恰好發(fā)生k次的概率解(1)記“甲射擊3次至少有1次未擊中目標”為事件A1，由題意，知射擊3次，相當于3次獨立重復試驗，故P(A1)1P(1)13.(2)記“甲射擊2次，恰有2次擊中目標”為事件A2，“乙射擊2次，恰有1次擊中目標”為事件B2，則P(A2)C2，P(B2)C1，由于甲、乙射擊相互獨立，故P(A2B2).引申探究1在本例(2)的條件下，求甲、乙均擊中目標1次的概率解記“甲擊中目標1次”為事件A3，“乙擊中目標1次”為事件B3，則P(A3)C，P(B3)，所以甲、乙均擊中目標1次的概率為P(A3B3).2在本例(2)的條件下，求甲未擊中，乙擊中2次的概率解記“甲未擊中目標”為事件A4，“乙擊中2次”為事件B4，則P(A4)C2，P(B4)C2，所以甲未擊中、乙擊中2次的概率為P(A4B4).反思與感悟獨立重復試驗概率求法的三個步驟(1)判斷：依據n次獨立重復試驗的特征，判斷所給試驗是否為獨立重復試驗(2)分拆：判斷所求事件是否需要分拆(3)計算：就每個事件依據n次獨立重復試驗的概率公式求解，最后利用互斥事件概率加法公式計算跟蹤訓練1某氣象站天氣預報的準確率為80%，計算(結果保留到小數點后面第2位)：(1)“5次預報中恰有2次準確”的概率；(2)“5次預報中至少有2次準確”的概率考點獨立重復試驗的計算題點n次獨立重復試驗中恰好發(fā)生k次的概率解(1)記“預報一次準確”為事件A，則P(A)0.8，5次預報相當于5次獨立重復試驗“恰有2次準確”的概率為PC0.820.230.051 20.05，因此5次預報中恰有2次準確的概率約為0.05.(2)“5次預報中至少有2次準確”的對立事件為“5次預報全部不準確或只有1次準確”其概率為PC(0.2)5C0.80.240.006 72.所以所求概率為1P10.006 720.99.所以“5次預報中至少有2次準確”的概率約為0.99.類型二二項分布例2已知某種從太空飛船中帶回來的植被種子每粒成功發(fā)芽的概率都為，某植物研究所分兩個小組分別獨立開展該種子的發(fā)芽試驗，每次試驗種一粒種子，如果某次沒有發(fā)芽，則稱該次試驗是失敗的(1)第一小組做了3次試驗，記該小組試驗成功的次數為X，求X的分布列；(2)第二小組進行試驗，到成功了4次為止，求在第4次成功之前共有3次失敗的概率考點二項分布的計算及應用題點求二項分布的分布列解(1)由題意，得隨機變量X可能取值為0,1,2,3，則XB.即P(X0)C03，P(X1)C12，P(X2)C21，P(X3)C3.所以X的分布列為X0123P(2)第二小組第7次試驗成功，前面6次試驗中有3次失敗，3次成功，每次試驗又是相互獨立的，因此所求概率為PC33.反思與感悟(1)當X服從二項分布時，應弄清XB(n，p)中的試驗次數n與成功概率p.(2)解決二項分布問題的兩個關注點對于公式P(Xk)Cpk(1p)nk(k0,1,2，n)，必須在滿足“獨立重復試驗”時才能應用，否則不能應用該公式判斷一個隨機變量是否服從二項分布，關鍵有兩點：一是對立性，即一次試驗中，事件發(fā)生與否兩者必有其一；二是重復性，即試驗是獨立重復地進行了n次跟蹤訓練2某一中學生心理咨詢中心服務電話接通率為，某班3名同學商定明天分別就同一問題詢問該服務中心且每人只撥打一次，求他們中成功咨詢的人數X的分布列考點二項分布的計算及應用題點求二項分布的分布列解由題意可知XB，所以P(Xk)Ck3k，k0,1,2,3，即P(X0)C03；P(X1)C2；P(X2)C2；P(X3)C3.所以X的分布列為X0123P類型三二項分布的綜合應用例3一名學生每天騎自行車上學，從家到學校的途中有5個交通崗，假設他在各交通崗遇到紅燈的事件是相互獨立的，并且概率都是.(1)求這名學生在途中遇到紅燈的次數的分布列；(2)求這名學生在首次遇到紅燈或到達目的地停車前經過的路口數的分布列；(3)求這名學生在途中至少遇到一次紅燈的概率考點二項分布的計算及應用題點二項分布的實際應用解(1)由B，則P(k)Ck5k，k0,1,2,3,4,5.即P(0)C05；P(1)C4；P(2)C23；P(3)C32；P(4)C4；P(5)C5.故的分布列為012345P(2)的分布列為P(k)P(前k個是綠燈，第k1個是紅燈)k，k0,1,2,3,4，即P(0)0；P(1)；P(2)2；P(3)3；P(4)4；P(5)P(5個均為綠燈)5.故的分布列為012345P(3)所求概率為P(1)1P(0)15.反思與感悟對于概率問題的綜合題，首先，要準確地確定事件的性質，把問題化歸為古典概型、互斥事件、獨立事件、獨立重復試驗四類事件中的某一種；其次，要判斷事件是AB還是AB，確定事件至少有一個發(fā)生，還是同時發(fā)生，分別應用相加或相乘事件公式；最后，選用相應的求古典概型、互斥事件、條件概率、獨立事件、n次獨立重復試驗的概率公式求解跟蹤訓練3一個口袋內有n(n>3)個大小相同的球，其中3個紅球和(n3)個白球，已知從口袋中隨機取出1個球是紅球的概率為p.若6pN，有放回地從口袋中連續(xù)4次取球(每次只取1個球)，在4次取球中恰好2次取到紅球的概率大于，求p與n的值考點二項分布的計算及應用題點二項分布的實際應用解由題設知，Cp2(1p)2>.p(1p)>0，不等式化為p(1p)>，解得<p<，故2<6p<4.又6pN，6p3，即p.由，得n6.1某一批花生種子，如果每1粒發(fā)芽的概率為，那么播下3粒種子恰有2粒發(fā)芽的概率是()A. B. C. D.考點獨立重復試驗的計算題點n次獨立重復試驗中恰好發(fā)生k次的概率答案B解析播下3粒種子恰有2粒發(fā)芽的概率為C2.2某電子管正品率為，次品率為，現對該批電子管進行測試，設第X次首次測到正品，則P(X3)等于()AC2 BC2C.2 D.2考點獨立重復試驗的計算題點用獨立重復試驗的概率公式求概率答案C解析P(X3)2.3在4次獨立重復試驗中，隨機事件A恰好發(fā)生1次的概率不大于其恰好發(fā)生2次的概率，則事件A在1次試驗中發(fā)生的概率p的取值范圍是()A0.4,1 B(0,0.4C(0,0.6 D0.6,1考點獨立重復試驗的計算題點n次獨立重復試驗概率的應用答案A解析由題意知Cp(1p)3Cp2(1p)2，解得p0.4，故選A.4設XB(2，p)，若P(X1)，則p_.考點二項分布的計算及應用題點二項分布的實際應用答案解析因為XB(2，p)，所以P(Xk)Cpk(1p)2k，k0,1,2.所以P(X1)1P(X<1)1P(X0)1Cp0(1p)21(1p)2.所以1(1p)2，結合0<p<1，解得p.5甲隊有3人參加知識競賽，每人回答一個問題，答對者為本隊贏得一分，答錯得零分假設甲隊中每人答對的概率均為，且各人答對正確與否相互之間沒有影響用表示甲隊的總得分，求隨機變量的分布列考點二項分布的計算及應用題點求二項分布的分布列解由題意知，的可能取值為0,1,2,3，且P(0)C3，P(1)C2，P(2)C2，P(3)C3，所以的分布列為0123P1獨立重復試驗要從三方面考慮：第一，每次試驗是在相同條件下進行的；第二，各次試驗的結果是相互獨立的；第三，每次試驗都只有兩種結果，即事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生2如果1次試驗中某事件發(fā)生的概率是p，那么n次獨立重復試驗中這個事件恰好發(fā)生k次的概率為Pn(k)Cpk(1p)nk.此概率公式恰為(1p)pn展開式的第k1項，故稱該公式為二項分布公式一、選擇題1若XB(10,0.8)，則P(X8)等于()AC0.880.22 BC0.820.28C0.880.22 D0.820.28考點二項分布的計算及應用題點利用二項分布求概率答案A2某學生通過英語聽力測試的概率為，他連續(xù)測試3次，那么其中恰有1次獲得通過的概率是()A. B.C. D.考點獨立重復試驗的計算題點n次獨立重復試驗中恰好發(fā)生k次的概率答案B解析記“恰有1次獲得通過”為事件A，則P(A)C2.3一射手對同一目標獨立地進行4次射擊，已知至少命中一次的概率為，則此射手的命中率是()A. B. C. D.考點獨立重復試驗的計算題點n次獨立重復試驗概率的應用答案B解析設此射手的命中概率為x，則不能命中的概率為1x，由題意知4次射擊全部沒有命中目標的概率為1，有(1x)4，解得x或x(舍去)4甲、乙兩人進行羽毛球比賽，比賽采取五局三勝制，無論哪一方先勝三局比賽都結束，假定甲每局比賽獲勝的概率均為，則甲以31的比分獲勝的概率為()A. B. C. D.考點獨立重復試驗的計算題點n次獨立重復試驗中恰好發(fā)生k次的概率答案A解析當甲以31的比分獲勝時，說明甲乙兩人在前三場比賽中，甲只贏了兩局，乙贏了一局，第四局甲贏，所以甲以31的比分獲勝的概率為PC23，故選A.5位于坐標原點的一個質點P按下述規(guī)則移動：質點每次移動一個單位，移動的方向為向上或向右，并且向上、向右移動的概率都是，質點P移動五次后位于點(2,3)的概率是()A.5 BC5CC3 DCC5考點獨立重復試驗的計算題點n次獨立重復試驗概率的應用答案B解析如圖，由題意可知，質點P必須向右移動2次，向上移動3次才能位于點(2,3)，問題相當于5次重復試驗中向右恰好發(fā)生2次的概率，所求概率為PC23C5.故選B.6設隨機變量B(2，p)，B(3，p)，若P(1)，則P(2)的值為()A. B. C. D.考點二項分布的計算及應用題點利用二項分布求概率答案C解析易知P(0)C(1p)21，p，則P(2)Cp3Cp2(1p)1.7已知XB，則使P(Xk)最大的k的值是()A2 B3 C2或3 D4考點二項分布的計算及應用題點二項分布的實際應用答案B解析P(Xk)Ck6kC6，當k3時，C6最大8箱子里有5個黑球，4個白球，每次隨機取出一個球，若取出黑球，則放回箱中，重新取球；若取出白球，則停止取球，那么在第4次取球之后停止的概率為()A.3 B.C. DC3考點獨立重復試驗的計算題點用獨立重復試驗的概率公式求概率答案A解析由題意知前3次取出的均為黑球，第4次取得的為白球故其概率為3.二、填空題9從次品率為0.1的一批產品中任取4件，恰有兩件次品的概率為_考點獨立重復試驗的計算題點n次獨立重復試驗中恰好發(fā)生k次的概率答案0.048 6解析PC(0.1)2(10.1)20.048 6.10已知實驗女排和育才女排兩隊進行比賽，在一局比賽中實驗女排獲勝的概率是，沒有平局若采用三局兩勝制，即先勝兩局者獲勝且比賽結束，則實驗女排獲勝的概率為_考點獨立重復試驗的計算題點n次獨立重復試驗概率的計算答案解析實驗女排要獲勝必須贏得兩局，故獲勝的概率為P2.11在等差數列an中，a42，a74，現從an的前10項中隨機取數，每次取出一個數，取后放回，連續(xù)抽取3次，假定每次取數互不影響，那么在這三次取數中，取出的數恰好為兩個正數和一個負數的概率為_考點獨立重復試驗的計算題點n次獨立重復試驗概率的應用答案解析由已知可求得通項公式為an102n(n1,2,3，)，其中a1，a2，a3，a4為正數，a50，a6，a7，a8，a9，a10為負數，從中取一個數為正數的概率為，為負數的概率為.取出的數恰好為兩個正數和一個負數的概率為C21.三、解答題12某單位為綠化環(huán)境，移栽了甲、乙兩種大樹各2棵設甲、乙兩種大樹移栽的成活率分別為和，且各棵大樹是否成活互不影響，求移栽的4棵大樹中，(1)至少有1棵成活的概率；(2)兩種大樹各成活1棵的概率考點獨立重復試驗的計算題點n次獨立重復試驗概率的應用解設Ak表示第k棵甲種大樹成活，k1,2，Bl表示第l棵乙種大樹成活，l1,2，則A1，A2，B1，B2相互獨立，且P(A1)P(A2)，P(B1)P(B2).(1)至少有1棵成活的概率為1P(1212)1P(1)P(2)P(1)P(2)122.(2)由獨立重復試驗中事件發(fā)生的概率公式知，所求概率為PCC.13在一次數學考試中，第21題和第22題為選做題規(guī)定每位考生必須且只需在其中選做一題設4名考生選做每一道題的概率均為.(1)求其中甲、乙兩名學生選做同一道題的概率；(2)設這4名考生中選做第22題的學生個數為，求的分布列考點二項分布的計算及應用題點求二項分布的分布列解(1)設事件A表示“甲選做第21題”，事件B表示“乙選做第21題”，則甲、乙兩名學生選做同一道題的事件為“AB ”，且事件A，B相互獨立故P(AB )P(A)P(B)P()P().(2)隨機變量的可能取值為0,1,2,3,4，且B.則P(k)Ck4kC4(k0,1,2,3,4)即P(0)C4；P(1)C4；P(2)C4；P(3)C4；P(4)C4.故隨機變量的分布列為01234P四、探究與拓展14口袋里放有大小相同的兩個紅球和一個白球，每次有放回地摸取一個球，定義數列an，an如果Sn為數列an的前n項和，那么S73的概率為()AC25BC22CC25DC25考點獨立重復試驗的計算題點n次獨立重復試驗概率的應用答案D解析由S73知，在7次摸球中有2次摸取紅球，5次摸取白球，而每次摸取紅球的概率為，摸取白球的概率為，則S73的概率為C25，故選D.15網上購物逐步走進大學生活，某大學學生宿舍4人積極參加網購，大家約定：每個人通過擲一枚質地均勻的骰子決定自己去哪家購物，擲出點數為5或6的人去淘寶網購物，擲出點數小于5的人去京東商城購物，且參加者必須從淘寶網和京東商城選擇一家購物(1)求這4個人中恰有1人去淘寶網購物的概率；(2)用，分別表示這4個人中去淘寶網和京東商城購物的人數，令X，求隨機變量X的分布列考點二項分布的計算及應用題點二項分布的實際應用解依題意，得這4個人中，每個人去淘寶網購物的概率為，去京東商城購物的概率為.設“這4個人中恰有i人去淘寶網購物”為事件Ai(i0,1,2,3,4)，則P(Ai)Ci4i(i0,1,2,3,4)(1)這4個人中恰有1人去淘寶網購物的概率為P(A1)C13.(2)易知X的所有可能取值為0,3,4.P(X0)P(A0)P(A4)C04C40，P(X3)P(A1)P(A3)C13C31，P(X4)P(A2)C22.所以隨機變量X的分布列是X034P