2018版高中數(shù)學(xué) 第二章 概率 2.3.2 事件的獨(dú)立性學(xué)案 蘇教版選修2-3.doc

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2.3.2　事件的獨(dú)立性 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.在具體情境中，了解兩個(gè)事件相互獨(dú)立的概念.2.能利用獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題． 知識(shí)點(diǎn)一　事件的獨(dú)立性 甲箱里裝有3個(gè)白球、2個(gè)黑球，乙箱里裝有2個(gè)白球，2個(gè)黑球．從這兩個(gè)箱子里分別摸出1個(gè)球，記事件A＝“從甲箱里摸出白球”，事件B＝“從乙箱里摸出白球”． 思考1　事件A發(fā)生會(huì)影響事件B發(fā)生的概率嗎？ 　 思考2　P(A)，P(B)，P(AB)的值為多少？ 　 　 思考3　P(AB)與P(A)，P(B)有什么關(guān)系？ 　 梳理　事件獨(dú)立的定義 一般地，若事件A，B滿足________________，則稱事件A，B獨(dú)立． 知識(shí)點(diǎn)二　事件獨(dú)立的性質(zhì) 思考1　若A，B獨(dú)立，P(AB)與P(A)P(B)相等嗎？ 　 思考2　若A，B獨(dú)立，那么A與，與B，與相互獨(dú)立嗎？ 　 梳理　事件獨(dú)立的性質(zhì)及P(AB)的計(jì)算公式 性質(zhì) (1)若A，B獨(dú)立，且P(A)＞0，則B，A也獨(dú)立，即A與B____________. (2)約定任何事件與必然事件獨(dú)立，任何事件與不可能事件獨(dú)立，則兩個(gè)事件A，B相互獨(dú)立的充要條件是____________________ 概率計(jì)算公式 (1)若事件A與B相互獨(dú)立，則A與B同時(shí)發(fā)生的概率等于事件A發(fā)生的概率與事件B發(fā)生的概率之積，即P(AB)＝P(A)P(B)． (2)推廣：若事件A1，A2，…，An相互獨(dú)立，則這n個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率P(A1A2…An)＝__________________________ 結(jié)論 如果事件A與B相互獨(dú)立，那么______與______，______與______，______與______也都相互獨(dú)立 類型一　事件獨(dú)立性的判斷 例1　分別拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，設(shè)事件A是“第一枚為正面”，事件B是“第二枚為正面”，事件C是“兩枚結(jié)果相同”，則下列事件具有相互獨(dú)立性的有________．(填序號(hào)) ①A，B；②A，C；③B，C. 反思與感悟　三種方法判斷兩事件是否具有獨(dú)立性 (1)定義法：直接判定兩個(gè)事件發(fā)生是否相互影響． (2)公式法：檢驗(yàn)P(AB)＝P(A)P(B)是否成立． (3)條件概率法：當(dāng)P(A)>0時(shí)，可用P(B|A)＝P(B)判斷． 跟蹤訓(xùn)練1　一個(gè)家庭中有若干個(gè)小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A(yù)＝{一個(gè)家庭中既有男孩又有女孩}，B＝{一個(gè)家庭中最多有一個(gè)女孩}．對(duì)下列兩種情形，討論A與B的獨(dú)立性： (1)家庭中有兩個(gè)小孩； (2)家庭中有三個(gè)小孩． 　 　 　 　 　 類型二　求相互獨(dú)立事件的概率 引申探究 1．在本例條件下，求恰有一列火車正點(diǎn)到達(dá)的概率． 2．若一列火車正點(diǎn)到達(dá)計(jì)10分，用ξ表示三列火車的總得分，求P(ξ≤20)．例2　小王某天乘火車從重慶到上海去辦事，若當(dāng)天從重慶到上海的三列火車正點(diǎn)到達(dá)的概率分別為0.8,0.7，0.9，假設(shè)這三列火車是否正點(diǎn)到達(dá)互不影響．求： (1)這三列火車恰好有兩列正點(diǎn)到達(dá)的概率； (2)這三列火車至少有一列正點(diǎn)到達(dá)的概率． 　 　 　 　 　 　 　 　 反思與感悟　明確事件中的“至少有一個(gè)發(fā)生”“至多有一個(gè)發(fā)生”“恰好有一個(gè)發(fā)生”“都發(fā)生”“都不發(fā)生”“不都發(fā)生”等詞語的意義． 一般地，已知兩個(gè)事件A，B，它們的概率分別為P(A)，P(B)，那么： (1)A，B中至少有一個(gè)發(fā)生為事件A＋B. (2)A，B都發(fā)生為事件AB. (3)A，B都不發(fā)生為事件 . (4)A，B恰有一個(gè)發(fā)生為事件A＋B. (5)A，B中至多有一個(gè)發(fā)生為事件A＋B＋ . 跟蹤訓(xùn)練2　甲、乙兩人破譯一密碼，他們能破譯的概率分別為和，求兩人破譯時(shí)，以下事件發(fā)生的概率： (1)兩人都能破譯的概率； (2)恰有一人能破譯的概率； (3)至多有一人能破譯的概率． 　 　 　 　 　 　 　 類型三　相互獨(dú)立事件的綜合應(yīng)用 例3　在一場(chǎng)娛樂晚會(huì)上，有5位民間歌手(1至5號(hào))登臺(tái)演唱，由現(xiàn)場(chǎng)數(shù)百名觀眾投票選出最受歡迎歌手．各位觀眾要彼此獨(dú)立地在選票上選3名歌手，其中觀眾甲是1號(hào)歌手的歌迷，他必選1號(hào)，不選2號(hào)，另在3至5號(hào)中隨機(jī)選2名．觀眾乙和丙對(duì)5位歌手的演唱沒有偏愛，因此在1至5號(hào)中隨機(jī)選3名歌手． (1)求觀眾甲選中3號(hào)歌手且觀眾乙未選中3號(hào)歌手的概率； (2)X表示3號(hào)歌手得到觀眾甲、乙、丙的票數(shù)之和，求X的概率分布． 　 　 　 　 　 　 反思與感悟　概率問題中的數(shù)學(xué)思想 (1)正難則反：靈活應(yīng)用對(duì)立事件的概率關(guān)系(P(A)＋P()＝1)簡(jiǎn)化問題，是求解概率問題最常用的方法． (2)化繁為簡(jiǎn)：將復(fù)雜事件的概率轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單事件的概率，即尋找所求事件與已知事件之間的關(guān)系．“所求事件”分幾類(考慮加法公式，轉(zhuǎn)化為互斥事件)還是分幾步組成(考慮乘法公式，轉(zhuǎn)化為相互獨(dú)立事件)． (3)方程思想：利用有關(guān)的概率公式和問題中的數(shù)量關(guān)系，建立方程(組)，通過解方程(組)使問題獲解． 跟蹤訓(xùn)練3　甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床各自獨(dú)立加工同一種零件，已知甲機(jī)床加工的零件是一等品而乙機(jī)床加工的零件不是一等品的概率為，乙機(jī)床加工的零件是一等品而丙機(jī)床加工的零件不是一等品的概率為，甲、丙兩臺(tái)機(jī)床加工的零件都是一等品的概率為. (1)分別求甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床各自加工的零件是一等品的概率； (2)從甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床加工的零件中各取一個(gè)進(jìn)行檢驗(yàn)，求至少有一個(gè)一等品的概率． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 1．甲、乙兩水文站同時(shí)做水文預(yù)報(bào)，若甲站、乙站各自預(yù)報(bào)準(zhǔn)確的概率分別為0.8和0.7，那么在一次預(yù)報(bào)中，甲、乙預(yù)報(bào)都準(zhǔn)確的概率為________． 2．打靶時(shí)，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若兩人同時(shí)射擊，則他們同時(shí)中靶的概率是________________________________________________________________________． 3．甲袋中有8個(gè)白球，4個(gè)紅球；乙袋中有6個(gè)白球，6個(gè)紅球．從每袋中任取一個(gè)球，則取得同色球的概率為________________________________________________________________________． 4．在某道路的A，B，C三處設(shè)有交通燈，這三盞燈在1分鐘內(nèi)開放綠燈的時(shí)間分別為25秒、35秒、45秒，某輛車在這段道路上勻速行駛，則三處都不停車的概率為________________________________________________________________________． 5．甲、乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員分別進(jìn)行一次投籃，如果兩人投中的概率都是0.6，計(jì)算： (1)兩人都投中的概率； (2)其中恰有一人投中的概率； (3)至少有1人投中的概率． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 1．相互獨(dú)立事件與互斥事件的區(qū)別 相互獨(dú)立事件 互斥事件 判斷方法 一個(gè)事件的發(fā)生與否對(duì)另一個(gè)事件發(fā)生的概率沒有影響 兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生，即AB＝? 概率公式 A與B相互獨(dú)立等價(jià)于P(AB) ＝P(A)P(B) 若A與B互斥，則P(A＋B)＝P(A)＋P(B)，反之不成立 2.相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率P(AB)＝P(A)P(B)，即兩個(gè)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率等于每個(gè)事件發(fā)生的概率的積． 答案精析 問題導(dǎo)學(xué) 知識(shí)點(diǎn)一 思考1　不影響． 思考2　P(A)＝，P(B)＝， P(AB)＝＝. 思考3　P(AB)＝P(A)P(B)． 梳理　P(A|B)＝P(A) 知識(shí)點(diǎn)二 思考1　相等．因?yàn)镻(AB)＝P(A|B)P(B)＝P(A)P(B)． 思考2　獨(dú)立． 梳理　相互獨(dú)立　P(AB)＝P(A)P(B)　P(A1)P(A2)…P(An)　A　　　B　　 題型探究 例1　①②③ 解析　利用古典概型概率公式計(jì)算可得P(A)＝0.5，P(B)＝0.5，P(C)＝0.5，P(AB)＝0.25，P(AC)＝0.25，P(BC)＝0.25. 可以驗(yàn)證P(AB)＝P(A)P(B)，P(AC)＝P(A)P(C)，P(BC)＝P(B)P(C)． 所以根據(jù)事件相互獨(dú)立的定義，事件A與B相互獨(dú)立， 事件B與C相互獨(dú)立，事件A與C相互獨(dú)立． 跟蹤訓(xùn)練1　解　(1)有兩個(gè)小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形為 Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}， 它有4個(gè)基本事件，由等可能性知概率都為. 這時(shí)A＝{(男，女)，(女，男)}， B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}， AB＝{(男，女)，(女，男)}， 于是P(A)＝，P(B)＝， P(AB)＝. 由此可知P(AB)≠P(A)P(B)， 所以事件A，B不相互獨(dú)立． (2)有三個(gè)小孩的家庭，小孩為男孩、女孩的所有可能情形為Ω＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(男，女，女)，(女，男，男)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}． 由等可能性知這8個(gè)基本事件的概率均為，這時(shí)A中含有6個(gè)基本事件，B中含有4個(gè)基本事件，AB中含有3個(gè)基本事件． 于是P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(AB)＝， 顯然有P(AB)＝＝P(A)P(B)成立， 從而事件A與B是相互獨(dú)立的． 例2　解　用A，B，C分別表示這三列火車正點(diǎn)到達(dá)的事件， 則P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9， 所以P()＝0.2，P()＝0.3，P()＝0.1. (1)由題意得A，B，C之間互相獨(dú)立，所以恰好有兩列火車正點(diǎn)到達(dá)的概率為 P1＝P(BC)＋P(AC)＋P(AB) ＝P()P(B)P(C)＋P(A)P()P(C)＋P(A)P(B)P() ＝0.20.70.9＋0.80.30.9＋0.80.70.1 ＝0.398. (2)三列火車至少有一列正點(diǎn)到達(dá)的概率為 P2＝1－P( ) ＝1－P()P()P() ＝1－0.20.30.1＝0.994. 引申探究 1．解　恰有一列火車正點(diǎn)到達(dá)的概率為 P3＝P(A )＋P(B)＋P( C) ＝P(A)P()P()＋P()P(B)P()＋P()P()P(C) ＝0.80.30.1＋0.20.70.1＋0.20.30.9 ＝0.092. 2．解　事件“ξ≤20”表示“至多兩列火車正點(diǎn)到達(dá)”，其對(duì)立事件為“三列火車都正點(diǎn)到達(dá)”， 所以P(ξ≤20)＝1－P(ABC)＝1－P(A)P(B)P(C) ＝1－0.80.70.9＝0.496. 跟蹤訓(xùn)練2　解　記事件A為“甲獨(dú)立地破譯出密碼”，事件B為“乙獨(dú)立地破譯出密碼”． (1)兩個(gè)人都破譯出密碼的概率為 P(AB)＝P(A)P(B)＝＝. (2)恰有一人破譯出密碼分為兩類：甲破譯出乙破譯不出，乙破譯出甲破譯不出，即A＋B， ∴P(A＋B)＝P(A)＋P(B) ＝P(A)P()＋P()P(B) ＝＋ ＝. (3)至多有一人破譯出密碼的對(duì)立事件是兩人都破譯出密碼， ∴其概率為1－P(AB)＝1－＝. 例3　解　(1)設(shè)A表示事件“觀眾甲選中3號(hào)歌手”，B表示事件“觀眾乙選中3號(hào)歌手”， 則P(A)＝＝，P(B)＝＝. 因?yàn)槭录嗀與B相互獨(dú)立， 所以觀眾甲選中3號(hào)歌手且觀眾乙未選中3號(hào)歌手的概率為P(A)＝P(A)P()＝P(A)[1－P(B)]＝＝. (2)設(shè)C表示事件“觀眾丙選中3號(hào)歌手”， 則P(C)＝＝， 因?yàn)閄可能的取值為0,1,2,3，且取這些值的概率分別為P(X＝0)＝P( )＝＝， P(X＝1)＝P(A )＋P(B)＋P( C) ＝＋＋＝＝， P(X＝2)＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC) ＝＋＋＝， P(X＝3)＝P(ABC)＝ ＝. 所以X的概率分布如下表： X 0 1 2 3 P 跟蹤訓(xùn)練3　解　(1)設(shè)A，B，C分別為甲，乙，丙三臺(tái)機(jī)床各自加工的零件是一等品的事件． 由題意得 即 由①③得P(B)＝1－P(C)， 代入②得27[P(C)]2－51P(C)＋22＝0， 解得P(C)＝或P(C)＝(舍去)． 將P(C)＝代入②，得P(B)＝， 將P(B)＝代入①，得P(A)＝. 故甲，乙，丙三臺(tái)機(jī)床各自加工的零件是一等品的概率分別是，，. (2)記D為從甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床加工的零件中各取一個(gè)進(jìn)行檢驗(yàn)，其中至少有一個(gè)一等品的事件， 則P(D)＝1－P()＝1－[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)]＝1－＝. 故從甲、乙、丙加工的零件中各取一個(gè)進(jìn)行檢驗(yàn)，至少有一個(gè)一等品的概率為. 當(dāng)堂訓(xùn)練 1．0.56　2.　3.　4. 5．解　(1)設(shè)A表示事件“甲投籃一次并且投中”，B表示事件“乙投籃一次并且投中”，則AB表示事件“兩人各投籃一次并且都投中”．由題意可知，事件A與事件B相互獨(dú)立，∴P(AB)＝P(A)P(B)＝0.60.6＝0.36. (2)事件“兩人各投籃一次，恰好有一人投中”包括兩種情況：一種是甲投中，乙未投中(事件A發(fā)生)；另一種是甲未投中，乙投中(事件B發(fā)生)．根據(jù)題意得這兩種情況不可能同時(shí)發(fā)生，即事件A與B互斥，并且事件A與，與B相互獨(dú)立，故所求概率為 P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B) ＝0.6(1－0.6)＋(1－0.6)0.6 ＝0.48. (3)事件“兩人各投籃一次，至少有一人投中”的對(duì)立事件為“兩人各投籃一次，均未投中”，它的概率是P( )＝P()P()＝(1－0.6)(1－0.6)＝0.16. ∴至少有一人投中的概率為1－P( )＝1－0.16＝0.84.