2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 隨機(jī)變量及其分布 2.1.1 離散型隨機(jī)變量學(xué)案 新人教A版選修2-3.doc

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2．1.1　離散型隨機(jī)變量 　1.理解隨機(jī)變量的意義．　2.學(xué)會(huì)區(qū)分離散型與非離散型隨機(jī)變量，并能舉出離散型隨機(jī)變量的例子． 3．理解隨機(jī)變量所表示試驗(yàn)結(jié)果的含義，并恰當(dāng)?shù)囟x隨機(jī)變量． 1．隨機(jī)變量 (1)定義：在隨機(jī)試驗(yàn)中，確定一個(gè)對應(yīng)關(guān)系，使得每一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果都用一個(gè)確定的數(shù)字表示．在這個(gè)對應(yīng)關(guān)系下，數(shù)字隨著試驗(yàn)結(jié)果的變化而變化．像這種隨著試驗(yàn)結(jié)果變化而變化的變量稱為隨機(jī)變量． (2)表示：隨機(jī)變量常用字母X，Y，ξ，η，…表示． 2．離散型隨機(jī)變量 所有取值可以一一列出的隨機(jī)變量，稱為離散型隨機(jī)變量． 隨機(jī)變量是隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果和實(shí)數(shù)之間的一個(gè)對應(yīng)關(guān)系，這種對應(yīng)是人為的，但又是客觀存在的．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 判斷正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“”) (1)離散型隨機(jī)變量的取值是任意的實(shí)數(shù)．(　　) (2)隨機(jī)變量的取值可以是有限個(gè)，也可以是無限個(gè)．(　　) (3)離散型隨機(jī)變量是指某一區(qū)間內(nèi)的任意值．(　　) 答案：(1)　(2)√　(3) 如果X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量且Y＝aX＋b，其中a，b是常數(shù)且a≠0，那么Y(　　) A．不一定是隨機(jī)變量 B．一定是隨機(jī)變量，不一定是離散型隨機(jī)變量 C．可能是定值 D．一定是離散型隨機(jī)變量 答案：D 一木箱中裝有8個(gè)同樣大小的籃球，編號(hào)為1，2，3，4，5，6，7，8，現(xiàn)從中隨機(jī)取出3個(gè)籃球，以ξ表示取出的籃球的最大號(hào)碼，則ξ＝8表示的試驗(yàn)結(jié)果有________種． 答案：21 探究點(diǎn)1　隨機(jī)變量的概念 　判斷下列各個(gè)量，哪些是隨機(jī)變量，哪些不是隨機(jī)變量，并說明理由． (1)北京國際機(jī)場候機(jī)廳中2018年5月1日的旅客數(shù)量； (2)2018年1月1日到6月1日期間所查酒駕的人數(shù)； (3)2018年6月1日濟(jì)南到北京的某次動(dòng)車到北京站的時(shí)間； (4)體積為1 000 cm3的球的半徑長. 【解】　(1)旅客人數(shù)可能是0，1，2，…，出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果是隨機(jī)的，因此是隨機(jī)變量． (2)所查酒駕的人數(shù)可能是0，1，2，…，出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果是隨機(jī)的，因此是隨機(jī)變量． (3)動(dòng)車到達(dá)的時(shí)間可在某一區(qū)間內(nèi)任取一值，是隨機(jī)的，因此是隨機(jī)變量． (4)球的體積為1 000 cm3時(shí)，球的半徑為定值，不是隨機(jī)變量． 判斷一個(gè)試驗(yàn)是否為隨機(jī)試驗(yàn)的方法 判斷一個(gè)試驗(yàn)是否是隨機(jī)試驗(yàn)，依據(jù)是這個(gè)試驗(yàn)是否滿足隨機(jī)試驗(yàn)的三個(gè)條件，即　 (1)試驗(yàn)在相同條件下是否可重復(fù)進(jìn)行； (2)試驗(yàn)的所有可能的結(jié)果是否是明確的，并且試驗(yàn)的結(jié)果不止一個(gè)； (3)每次試驗(yàn)的結(jié)果恰好是一個(gè)，而且在一次試驗(yàn)前無法預(yù)知出現(xiàn)哪個(gè)結(jié)果． 　指出下列變量中，哪些是隨機(jī)變量，哪些不是隨機(jī)變量，并說明理由． (1)某人射擊一次命中的環(huán)數(shù)； (2)任意擲一枚均勻硬幣5次，出現(xiàn)正面向上的次數(shù)； (3)投一顆質(zhì)地均勻的骰子兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)(最上面的數(shù)字)中的最小值； (4)某個(gè)人的屬相． 解：(1)某人射擊一次，可能命中的環(huán)數(shù)是0環(huán)，1環(huán)，…，10環(huán)，結(jié)果只有其中一個(gè)而且出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果是隨機(jī)的，因此是隨機(jī)變量． (2)任意擲一枚硬幣1次，可能出現(xiàn)正面向上也可能出現(xiàn)反面向上，因此投擲5次硬幣，出現(xiàn)正面向上的次數(shù)可能是0，1，2，3，4，5，而且出現(xiàn)哪種結(jié)果是隨機(jī)的，是隨機(jī)變量． (3)一顆骰子投擲兩次，所得點(diǎn)數(shù)的最小值可以是1，2，3，4，5，6，因此是隨機(jī)變量． (4)屬相是人出生時(shí)便確定的，不是隨機(jī)變量． 探究點(diǎn)2　離散型隨機(jī)變量的判定 　指出下列隨機(jī)變量是不是離散型隨機(jī)變量，并說明理由． (1)從10張已編好號(hào)碼的卡片(從1號(hào)到10號(hào))中任取一張，被取出的卡片的號(hào)數(shù)； (2)某林場中的樹木最高達(dá)30 m，則此林場中樹木的高度． 【解】　(1)是離散型隨機(jī)變量．因?yàn)橹灰〕鲆粡?，便有一個(gè)號(hào)碼，所以被取出的卡片號(hào)數(shù)可以一一列出，符合離散型隨機(jī)變量的定義． (2)不是離散型隨機(jī)變量，因?yàn)榱謭鲋袠淠镜母叨仁且粋€(gè)隨機(jī)變量，它可以取(0，30]內(nèi)的一切值，無法一一列舉，所以不是離散型隨機(jī)變量． 離散型隨機(jī)變量判定的關(guān)鍵及方法 (1)關(guān)鍵：判斷隨機(jī)變量X的所有取值是否可以一一列出． (2)具體方法 ①明確隨機(jī)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果． ②將隨機(jī)試驗(yàn)的試驗(yàn)結(jié)果數(shù)量化． ③確定試驗(yàn)結(jié)果所對應(yīng)的實(shí)數(shù)是否可按一定次序一一列出，如果能一一列出，則該隨機(jī)變量是離散型隨機(jī)變量，否則不是． 　 　指出下列隨機(jī)變量是否是離散型隨機(jī)變量，并說明理由． (1)某超市5月份每天的銷售額； (2)某加工廠加工的一批某種鋼管的外徑與規(guī)定的外徑尺寸之差ξ； (3)江西九江市長江水位監(jiān)測站所測水位在(0，29]這一范圍內(nèi)變化，該水位站所測水位ξ. 解：(1)是離散型隨機(jī)變量．某超市5月份每天的銷售額可以一一列出，故為離散型隨機(jī)變量． (2)不是離散型隨機(jī)變量．實(shí)際測量值與規(guī)定值之間的差值無法一一列出，不是離散型隨機(jī)變量． (3)不是離散型隨機(jī)變量，水位在(0，29]這一范圍內(nèi)變化，不能一一列出，故不是離散型隨機(jī)變量． 探究點(diǎn)3　用隨機(jī)變量描述隨機(jī)現(xiàn)象 　寫出下列隨機(jī)變量可能取的值，并說明隨機(jī)變量所取的值表示的隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果． (1)一個(gè)袋中裝有8個(gè)紅球，3個(gè)白球，從中任取5個(gè)球，其中所含黑球的個(gè)數(shù)為X. (2)一個(gè)袋中有5個(gè)同樣大小的黑球，編號(hào)為1，2，3，4，5，從中任取3個(gè)球，取出的球的最大號(hào)碼記為X. 【解】　(1)X＝0表示取5個(gè)球全是紅球； X＝1表示取1個(gè)白球，4個(gè)紅球； X＝2表示取2個(gè)白球，3個(gè)紅球； X＝3表示取3個(gè)白球，2個(gè)紅球． (2)X＝3表示取出的球編號(hào)為1，2，3. X＝4表示取出的球編號(hào)為1，2，4；1，3，4或2，3，4. X＝5表示取出的球編號(hào)為1，2，5；1，3，5；1，4，5；2，3，5；2，4，5或3，4，5. [變條件]在本例(1)的條件下，規(guī)定取出一個(gè)紅球贏2元，而每取出一個(gè)白球輸1元，以ξ表示贏得的錢數(shù)，結(jié)果如何？ 解：ξ＝10表示取5個(gè)球全是紅球； ξ＝7表示取1個(gè)白球，4個(gè)紅球； ξ＝4表示取2個(gè)白球，3個(gè)紅球； ξ＝1表示取3個(gè)白球，2個(gè)紅球． 用隨機(jī)變量表示隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果 問題的關(guān)鍵點(diǎn)和注意點(diǎn) (1)關(guān)鍵點(diǎn)：解決此類問題的關(guān)鍵是明確隨機(jī)變量的所有可能取值，以及取每一個(gè)值對應(yīng)的意義，即一個(gè)隨機(jī)變量的取值對應(yīng)一個(gè)或多個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果． (2)注意點(diǎn)：解答過程中不要漏掉某些試驗(yàn)結(jié)果．　 　寫出下列各隨機(jī)變量可能的取值，并說明隨機(jī)變量所表示的隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果． (1)一個(gè)人要開房門，他共有10把鑰匙，其中僅有一把是能開門的，他隨機(jī)取鑰匙去開門并且用后不放回，其中打開門所試的鑰匙個(gè)數(shù)為X； (2)在一個(gè)盒子中，放有標(biāo)號(hào)分別為1，2，3的三張卡片，現(xiàn)從這個(gè)盒子中，有放回地先后抽得兩張卡片的標(biāo)號(hào)分別為x，y，記X＝|x－2|＋|y－x|. 解：(1)X可能取值為1，2，3，…，10.X＝n表示第n次打開房門． (2)因?yàn)閤，y可能取的值為1，2，3， 所以0≤|x－2|≤1，0≤|x－y|≤2，所以0≤X≤3， 所以X可能的取值為0，1，2，3， 用(x，y)表示第一次抽到卡片號(hào)碼為x，第二次抽得號(hào)碼為y，則隨機(jī)變量X取各值的意義為： X＝0表示兩次抽到卡片編號(hào)都是2，即(2，2)． X＝1表示(1，1)，(2，1)，(2，3)，(3，3)． X＝2表示(1，2)，(3，2)． X＝3表示(1，3)，(3，1). 1．下面給出四個(gè)隨機(jī)變量： ①某高速公路上某收費(fèi)站在未來1小時(shí)內(nèi)經(jīng)過的車輛數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量； ②一個(gè)沿直線y＝x進(jìn)行隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，它在該直線上的位置Y是一個(gè)隨機(jī)變量； ③某網(wǎng)站未來1小時(shí)內(nèi)的點(diǎn)擊量； ④一天內(nèi)的溫度η. 其中是離散型隨機(jī)變量的為(　　) A．①②　　　　　　　　　　 B．③④ C．①③ D．②④ 解析：選C.①是，因?yàn)?小時(shí)內(nèi)經(jīng)過該收費(fèi)站的車輛可一一列出．②不是，質(zhì)點(diǎn)在直線y＝x上運(yùn)動(dòng)時(shí)的位置無法一一列出．③是，1小時(shí)內(nèi)網(wǎng)站的訪問次數(shù)可一一列出．④不是，1天內(nèi)的溫度η是該天最低溫度和最高溫度這一范圍內(nèi)的任意實(shí)數(shù)，無法一一列出． 2．?dāng)S兩顆骰子，所得點(diǎn)數(shù)之和為γ，那么γ＝4表示的隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果是(　　) A．一顆是3點(diǎn)，一顆是1點(diǎn) B．兩顆都是2點(diǎn) C．兩顆都是4點(diǎn) D．一顆是3點(diǎn)，一顆是1點(diǎn)或兩顆都是2點(diǎn) 解析：選D.因?yàn)棣茫?表示兩個(gè)骰子之和為4，有(3，1)，(1，3)，(2，2)，即γ＝4表示的隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果是一顆是3點(diǎn)，一顆是1點(diǎn)或兩顆都是2點(diǎn)，故選D. 3．寫出下列隨機(jī)變量的可能取值，并說明隨機(jī)變量的取值表示的事件． (1)在含有5件次品的200件產(chǎn)品中任意抽取4件，其中次品件數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量； (2)一袋中裝有5個(gè)白球和5個(gè)黑球，從中任取3個(gè)，其中所含黑球的個(gè)數(shù)Y是一個(gè)隨機(jī)變量． 解：(1)隨機(jī)變量X的可能取值為0，1，2，3，4. X＝0，表示“抽取0件次品”； X＝1，表示“抽取1件次品”； X＝2，表示“抽取2件次品”； X＝3，表示“抽取3件次品”； X＝4，表示“抽取4件次品”． (2)隨機(jī)變量Y的可能取值為0，1，2，3. Y＝0，表示“取出0個(gè)黑球，3個(gè)白球”； Y＝1，表示“取出1個(gè)黑球，2個(gè)白球”； Y＝2，表示“取出2個(gè)黑球，1個(gè)白球”； Y＝3，表示“取出3個(gè)黑球，0個(gè)白球”． 　　　　　　　 知識(shí)結(jié)構(gòu) 深化拓展 1.隨機(jī)變量與函數(shù)的關(guān)系 相同點(diǎn) 隨機(jī)變量和函數(shù)都是一種映射 區(qū)別 隨機(jī)變量是隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果到實(shí)數(shù)的映射，函數(shù)是實(shí)數(shù)到實(shí)數(shù)的映射 聯(lián)系 隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的范圍相當(dāng)于函數(shù)的定義域，隨機(jī)變量的取值范圍相當(dāng)于函數(shù)的值域 2.離散型隨機(jī)變量的特征 (1)可用數(shù)值表示． (2)試驗(yàn)之前可以判斷其出現(xiàn)的所有值． (3)在試驗(yàn)之前不能確定取何值． (4)試驗(yàn)結(jié)果能一一列出. ,　　　　　　　 [A　基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)] 1．①某電話亭內(nèi)的一部電話1小時(shí)內(nèi)使用的次數(shù)記為X； ②某人射擊2次，擊中目標(biāo)的環(huán)數(shù)之和記為X； ③測量一批電阻，在950 Ω～1 200 Ω之間的阻值記為X； ④一個(gè)在數(shù)軸上隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，它在數(shù)軸上的位置記為X. 其中是離散型隨機(jī)變量的是(　　) A．①② B．①③ C．①④ D．①②④ 解析：選A.根據(jù)離散型隨機(jī)變量的定義知，①②是離散型隨機(jī)變量． 2．10件產(chǎn)品中有3件次品，從中任取2件，可作為隨機(jī)變量的是(　　) A．取到產(chǎn)品的件數(shù) B．取到正品的概率 C．取到次品的件數(shù) D．取到次品的概率 解析：選C.A中取到產(chǎn)品的件數(shù)是一個(gè)常量，不是變量，B，D也是一個(gè)定值，而C中取到次品的件數(shù)可能是0，1，2，是隨機(jī)變量． 3．袋中有大小相同的紅球6個(gè)，白球5個(gè)，從袋中每次任意取出1個(gè)球，直到取出的球是白球?yàn)橹?，所需要的取球次?shù)為隨機(jī)變量X，則X的可能取值為(　　) A．1，2，3，…，6 B．1，2，3，…，7 C．0，1，2，…，5 D．1，2，…，5 解析：選B.由于取到白球取球停止，所以取球次數(shù)可以是1，2，3，…，7. 4．(2018河北徐水一中月考)某人進(jìn)行射擊，共有5發(fā)子彈，擊中目標(biāo)或子彈打完就停止射擊，射擊次數(shù)為ξ，則“ξ＝5”表示的試驗(yàn)結(jié)果是(　　) A．第5次擊中目標(biāo) B．第5次未擊中目標(biāo) C．前4次均未擊中目標(biāo) D．第4次擊中目標(biāo) 解析：選C.擊中目標(biāo)或子彈打完就停止射擊，射擊次數(shù)ξ＝5，則說明前4次均未擊中目標(biāo)． 5．袋中裝有大小和顏色均相同的5個(gè)乒乓球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，現(xiàn)從中任意抽取2個(gè)，設(shè)兩個(gè)球上的數(shù)字之積為X，則X所有可能值的個(gè)數(shù)是(　　) A．6 B．7 C．10 D．25 解析：選C.X的所有可能值有12，13，14，15，23，24，25，34，35，45，共計(jì)10個(gè)． 6．給出下列四個(gè)命題： ①某次數(shù)學(xué)期中考試中，其中一個(gè)考場30名考生中做對選擇題第12題的人數(shù)是隨機(jī)變量；②黃河每年的最大流量是隨機(jī)變量；③某體育館共有6個(gè)出口，散場后從某一出口退場的人數(shù)是隨機(jī)變量；④方程x2－2x－3＝0根的個(gè)數(shù)是隨機(jī)變量．其中正確的是________． 解析：①②③是正確的，④中方程x2－2x－3＝0的根有2個(gè)是確定的，不是隨機(jī)變量． 答案：①②③ 7．已知Y＝2X為離散型隨機(jī)變量，Y的取值為1，2，3，4，…，10，則X的取值為________． 解析：由Y＝2X得X＝Y(jié). 因?yàn)閅的取值為1，2，3，4，…，10， 所以X的取值為，1，，2，，3，，4，，5. 答案：，1，，2，，3，，4，，5 8．在考試中，需回答三個(gè)問題，考試規(guī)則規(guī)定：每題回答正確得100分，回答不正確得－100分，則這名同學(xué)回答這三個(gè)問題的總得分ξ的所有可能取值是________． 解析：若答對0個(gè)問題得分－300； 若答對1個(gè)問題得分－100； 若答對2個(gè)問題得分100； 若問題全答對得分300. 答案：－300，－100，100，300 9．某車間三天內(nèi)每天生產(chǎn)10件某產(chǎn)品，其中第一天、第二天分別生產(chǎn)了1件、2件次品，而質(zhì)檢部門每天要在生產(chǎn)的10件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取4件進(jìn)行檢查，若發(fā)現(xiàn)有次品，則當(dāng)天的產(chǎn)品不能通過．若廠內(nèi)對車間生產(chǎn)的產(chǎn)品采用記分制，兩天全不通過檢查得0分，通過一天、兩天分別得1分、2分，設(shè)該車間在這兩天內(nèi)總得分為ξ，寫出ξ的可能取值． 解：ξ的可能取值為0，1，2. ξ＝0表示在兩天檢查中均發(fā)現(xiàn)了次品； ξ＝1表示在兩天檢查中有1天沒有檢查到次品，1天檢查到了次品； ξ＝2表示在兩天檢查中都沒有發(fā)現(xiàn)次品． 10．小王錢夾中只剩有20元、10元、5元、2元和1元的人民幣各一張．他決定隨機(jī)抽出兩張，用來買晚餐，用X表示這兩張人民幣的金額之和．寫出X的可能取值，并說明所取值表示的隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果． 解：X的可能取值為(單位：元)：3，6，7，11，12，15，21，22，25，30.其中X＝3表示抽到的是1元和2元，X＝6表示抽到的是1元和5元，X＝7表示抽到的是2元和5元，X＝11表示抽到的是1元和10元，X＝12表示抽到的是2元和10元，X＝15表示抽到的是5元和10元，X＝21表示抽到的是1元和20元，X＝22表示抽到的是2元和20元，X＝25表示抽到的是5元和20元，X＝30表示抽到的是10元和20元． [B　能力提升] 11．一用戶在打電話時(shí)忘了號(hào)碼的最后四位數(shù)字，只記得最后四位數(shù)字兩兩不同，且都大于5，于是他隨機(jī)撥最后四位數(shù)字(兩兩不同)，設(shè)他撥到所要號(hào)碼時(shí)已撥的次數(shù)為ξ，則隨機(jī)變量ξ的所有可能取值的種數(shù)為(　　) A．20 B．24 C．4 D．18 解析：選B.由于后四位數(shù)字兩兩不同，且都大于5，因此只能是6，7，8，9四位數(shù)字的不同排列，故有A＝24種． 12．拋擲兩枚骰子各一次，記第一枚骰子擲出的點(diǎn)數(shù)與第二枚骰子擲出的點(diǎn)數(shù)的差為X，則“X＞4”表示的試驗(yàn)結(jié)果是________． 解析：因?yàn)橐幻恩蛔拥狞c(diǎn)數(shù)可以是1，2，3，4，5，6六種結(jié)果之一，由已知得－5≤X≤5，也就是說“X＞4”就是“X＝5”．所以，“X＞4”表示兩枚骰子中第一枚為6點(diǎn)，第二枚為1點(diǎn)． 答案：第一枚為6點(diǎn)，第二枚為1點(diǎn) 13．下列隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果能否用離散型隨機(jī)變量表示？若能，請寫出各隨機(jī)變量可能的取值，并說明這些值所表示的隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果． (1)盒中裝有6支白粉筆和2支紅粉筆，從中任意取出3支，其中所含白粉筆的支數(shù)X，所含紅粉筆的支數(shù)Y； (2)離開天安門的距離Y； (3)袋中有大小完全相同的紅球5個(gè)，白球4個(gè)，從袋中任意取出一球，若取出的球是白球，則過程結(jié)束；若取出的球是紅球，則將此紅球放回袋中，然后重新從袋中任意取出一球，直至取出的球是白球，此規(guī)定下的取球次數(shù)X. 解：(1)X可取1，2，3. {X＝i}表示取出i支白粉筆，3－i支紅粉筆，其中i＝1，2，3. {Y＝j(luò)}表示取出j支紅粉筆，3－j支白粉筆，其中j＝0，1，2. (2)Y可取[0，＋∞)中的數(shù)．Y＝k表示離開天安門的距離為k(km)．不是離散型隨機(jī)變量． (3)X可取所有的正整數(shù)．{X＝i}表示前i－1次取出紅球，而第i次取出白球，這里i∈N*.是離散型隨機(jī)變量． 14．(選做題)一個(gè)袋中裝有5個(gè)白球和5個(gè)黑球，從中任取3個(gè)，其中所含白球的個(gè)數(shù)為ξ. (1)列表說明可能出現(xiàn)的結(jié)果與對應(yīng)的ξ的值； (2)若規(guī)定抽取3個(gè)球中，每抽到一個(gè)白球加5分，抽到黑球不加分，且最后不管結(jié)果都加上6分．求最終得分η的可能取值，并判定η的隨機(jī)變量類型． 解：(1) ξ 0 1 2 3 結(jié)果 取得3個(gè)黑球 取得1個(gè)白球，2個(gè)黑球 取得2個(gè)白球，1個(gè)黑球 取得3個(gè)白球 (2)由題意可得η＝5ξ＋6，而ξ可能的取值范圍為{0，1，2，3}，所以η對應(yīng)的各值是：50＋6，51＋6，52＋6，53＋6. 故η的可能取值為{6，11，16，21}，顯然η為離散型隨機(jī)變量．