2019-2020年人教B版選修2-3高中數(shù)學(xué)2.3.2《離散型隨機變量的方差》學(xué)案.doc

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2019-2020年人教B版選修2-3高中數(shù)學(xué)2.3.2《離散型隨機變量的方差》學(xué)案 【基礎(chǔ)知識導(dǎo)引】 　　1．了解離散型隨機變量的期望的意義，會根據(jù)離散型隨機變量的分布列求出期望。 　　2．理解公式“E(aε+b)=aEε+b”，以及“若ε～B(n，p)，則Eε=np”。能熟練地應(yīng)用它們求相應(yīng)的離散型隨機變量的期望。 　　3．了解離散型隨機變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差的意義，會根據(jù)離散型隨機變量的分布列求出方差、標(biāo)準(zhǔn)差。 　　4．理解公式“”，以及“ε～B(n，p)，則Dε=npq（這里q=1-p）”，應(yīng)會用上述公式計算有關(guān)隨機變量的方差。 　　　　【教材內(nèi)容全解】 　　離散型隨機變量的分布列完全決定了隨機變量的取值規(guī)律，但是分布列往往不能明顯而集中地表現(xiàn)隨機變量的某些特點，例如它的取值的平均水平、集中位置、穩(wěn)定與波動情況、集中與離散程度等。離散型隨機變量的期望與方差就是體現(xiàn)上述特點的最重要的兩種特征數(shù)（或數(shù)字特征）。 　　1．期望 　　（1）概念分析 　　課本從一個具體的例子入手，引入了離散型隨機變量的期望的概念。對于這個概念，我們應(yīng)從以下兩點來理解： 　　①隨機變量的數(shù)學(xué)期望表示了隨機變量在隨機試驗中所取的平均值，所以隨機變量的數(shù)學(xué)期望（期望）又常稱為隨機變量的平均數(shù)、均值。又由于離散型隨機變量的期望的計算是從它的概率分布出發(fā)，因而期望就是離散型隨機變量的概率平均值。 　?、谡n本中給出的離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望實質(zhì)上是一個不嚴(yán)格的定義，所以課本中涉及到的離散型隨機變量所有可能取的不同值的個數(shù)是有限的，這個定義對于在離散型隨機變量取有限個值是成立的。今后不作特別說明離散型隨機變量的取值均為有限個不同值。 　?。?）根據(jù)離散型隨機變量的期望的概念和意義，在實際應(yīng)用中，我們可以用它來解決一些問題和作出科學(xué)的決策。 　　例如，對于本章引言中的一個問題。我們設(shè)該商場國慶節(jié)在商場外的促銷活動獲得的經(jīng)濟效益為ε萬元，則： 　　P(ε=10)=0.6，P(ε=-4)=0.4， 　　∴Eε=100.6+(-4) 0.4=4.4（萬元） 　　即國慶節(jié)在當(dāng)?shù)赜杏甑母怕适?0%的情況下，在商場外促銷活動的經(jīng)濟效益的期望為4.4萬元，超過在商場內(nèi)促銷活動可獲得的經(jīng)濟效益2萬元。所以，商場應(yīng)該選擇商場外的促銷活動。但應(yīng)注意，對于這樣一次商場外的促銷活動，該商場不是賺10萬，就是虧4萬元。若該商場每年國慶節(jié)均重復(fù)這樣的商業(yè)活動，那么，從平均意義上說，每次可獲的經(jīng)濟效益為這個期望值。正如概率作為隨機變量發(fā)生的頻率一樣，要在大量現(xiàn)象中才能顯現(xiàn)出來。 　　（3）關(guān)于隨機變量的函數(shù)η=aε+b的期望的計算公式的理解，關(guān)鍵是弄清的重要條件是，從而有，i=1，2，…由此可得到η的分布列，由期望的定義求得η的數(shù)學(xué)期望Eη=aEε+b。 　　（4）對二項分布的數(shù)學(xué)期望Eε=np的證明是本節(jié)的難點，可以按以下程序進行思考： 　　設(shè)在一次試驗中某事件發(fā)生的概率p，η是k次試驗中此事件發(fā)生的次數(shù)，令q=1-p，則k=1時，p(η=0)=q，p(η=1)=p， 　　Eη=0q+1p=p； 　　k=2時，，p(η=1)=2pq， 　　， 　　 　　 　　由此可知，在一次試驗中，此事件平均發(fā)生p次；二次試驗中，此事件平均發(fā)生2p次。由此，我們作出猜想，“若ε～B（n，p），則Eε=np”，為公式的證明作了必要的鋪墊。 　　努力探究數(shù)學(xué)知識的發(fā)生過程，對一些數(shù)學(xué)結(jié)論逐步作出科學(xué)猜想，并給出理性的證明，有利于培養(yǎng)我們敢于獨立思考，勇于創(chuàng)新的科學(xué)精神。 　?。?）這部分教材安排了四個例題，其中例1和例2著重幫助理解期望概念。例1實際上指出了隨機事件發(fā)生的概率p與一次隨機試驗中隨機事件發(fā)生的次數(shù)的期望之間的相等關(guān)系。例2的隨機變量以相等的概率取6個不同數(shù)值，那么隨機變量的期望就等于這些不同數(shù)值的平均數(shù)，在一定程度上揭示了某類隨機變量的數(shù)學(xué)期望與相應(yīng)數(shù)值的算術(shù)平均數(shù)之間的關(guān)系。 　　例3是產(chǎn)品抽查問題，理解起來較困難。在這類問題中常涉及次品率、抽樣是否放回的問題。若采用放回抽樣，則各次抽樣時的次品率不變，各次抽樣是否抽出次品是完全獨立的事件。若采用不放回抽樣，每次抽樣后次品率將會發(fā)生變化，因而各次抽樣不獨立。但是直觀上看，當(dāng)產(chǎn)品的數(shù)量很大而抽查次數(shù)較少時，在抽樣時抽出次品與否對后面抽樣的次品率影響很小，因而也可以認(rèn)為各次抽樣是彼此獨立的。 　　例4是利用二項分布的數(shù)學(xué)期望公式解決實際問的一個例子。 　　2．方差 　?。?）方差的概念較難理解，因此課本采用與初中代數(shù)中介紹的一組數(shù)據(jù)的方差定義類比的方法，直接定義離散型隨機變量ε的方差。這樣我們對離散型隨機變量方差的概念的建立就不感到突然，而且理解起來也較容易。方差體現(xiàn)了隨機變量所取的值相對于它的期望的集中與離散、穩(wěn)定與波動的程度。它是繼數(shù)學(xué)期望后的另一種隨機變量的重要數(shù)字特征，在現(xiàn)實生活中有廣泛的應(yīng)用。 　　（2）方差與標(biāo)準(zhǔn)差的計算較復(fù)雜，教材只要求能根據(jù)定義求出離散型隨機變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差。另外，為計算方便，課本上直接給出了兩個計算方差的簡單公式： 　?、伲? 　?、谌绻拧獴（n，p），則Dε=npq。 　　這兩個公式只要求會應(yīng)用就行了。 　?。?）這部分教材中安排了兩個有關(guān)方差、標(biāo)準(zhǔn)差的例題。在這兩個例題中，都有，但。其中例5中，和都以相等的概率取各個不同的數(shù)值，取較為分散的數(shù)值，取較為集中的數(shù)值。，，。方差比較清楚地指出了比取值更集中。由，，可以看出這兩個隨機變量取值與其期望的偏差，這個偏差我們甚至可以從隨機變量的分布列通過猜想得到。 　　在例6中，和所有可能取的值是一致的，只是概率分布不一樣。，這時通過和來比較和的集中與離散程度，即兩個射手射擊成績的穩(wěn)定狀況。 　　通過上述兩例我們可以明確在實際問題中，常常在或與很接近時用和來比較兩個隨機變量和，并決定取舍。 　　　　【難題巧解點撥】 　　例1 交5元錢，可以參加一次摸獎。一袋中有同樣大小的球10個，其中有8個標(biāo)有1元錢，2個標(biāo)有5元錢，摸獎?wù)咧荒軓闹腥稳?個球，他所得獎勵是所抽2球的錢數(shù)之和。求抽獎人獲利的數(shù)學(xué)期望。 　　分析 抽到的2個球上的錢數(shù)之和ε是個隨機變量，其每一個ε取值時所代表的隨機事件的概率值是容易獲得的，本題的目標(biāo)是求參加摸獎的人獲利η的數(shù)學(xué)期望。由ε與η關(guān)系為η=ε-5，利用公式Eη=Eε-5可獲解答。 　　解 設(shè)ε為抽到的2球錢數(shù)之和，則ε的可能取值如下： 　　ε=2（抽到2個1元）， 　　ε=6（抽到1個1元，1個5元）， 　　ε10（抽到2個5元）。 　　所以，由題意： 　　，， 　　， 　　， 　　又設(shè)η為抽獎?wù)攉@利可能值，則η=ε-5，所以抽獎?wù)攉@利的期望為： 　　。 　　點撥 要分清楚是誰獲利？不能忽視了先交5元才能參加這一抽獎。因此，不能只計算Eε，最終Eη的結(jié)果為負(fù)值，說明摸獎?wù)呷糁貜?fù)這種抽獎，平均每摸一次要虧1.4元。 　　　　例2 甲、乙兩名工人加工同一種零件，兩人每天加工的零件數(shù)相等，所得次品數(shù)分別為ε、η，ε和η的分布列如下： 　　ε 0 1 2 η 0 1 2 P P 　　 　　試對這兩名工人的技術(shù)水平進行比較。 　　分析 一是要比較兩名工人在加工零件數(shù)相等的條件下出次品數(shù)的平均值，即期望；二是要看出次品數(shù)的波動情況，即方差值的大小。 　　解 工人甲生產(chǎn)出次品數(shù)ε的期望和方差分別為： 　　， 　??； 　　工人乙生產(chǎn)出次品數(shù)η的期望和方差分別為： 　　， 　　 　　由Eε=Eη知，兩人出次品的平均數(shù)相同，技術(shù)水平相當(dāng)，但Dε>Dη，可見乙的技術(shù)比較穩(wěn)定。 　　點撥 期望僅體現(xiàn)了隨機變量取值的平均大小，但有時僅知道均值的大小還不夠。如果兩個隨機變量的均值相等，還要看隨機變量的取值如何在均值周圍變化，即計算方差。方差大說明隨機變量取值較分散，方差小說明取值分散性小或者取值比較集中、穩(wěn)定。 　　 　　例3 設(shè)事件A發(fā)生的概率為p，證明事件A在一次試驗中發(fā)生次數(shù)ε的方差不超過。 　　分析 一次試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)ε只有兩個值，因此，只要求出隨機變量的概率分布，用定義就可以解決。 　　解 記一次試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)ε可能值為0，1。 　　ε的分布列為 　　 ε 0 1 p 1-p p 　　 　　∴ε的期望Eε=0(1-p)+1p=p， 　　ε的方差 　　 　　當(dāng)且僅當(dāng)p=1-p即時取等號。 　　點撥 將文字?jǐn)⑹鲂詥栴}，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符號表達，這是一種重要的數(shù)學(xué)抽象思維能力。 　　 　　例4 某尋呼臺共有客戶3000人，若尋呼臺準(zhǔn)備了100份小禮品，邀請客戶在指定時間來領(lǐng)取。假設(shè)任一客戶去領(lǐng)獎的概率為4%。問尋呼臺能否向每一位客戶都發(fā)出領(lǐng)獎邀請？若能使每一位領(lǐng)獎人都得到禮品，尋呼臺至少應(yīng)準(zhǔn)備多少禮品？ 　　分析 可能來多少人，是一個隨機變量。由于每人是否去領(lǐng)獎，相互間是獨立的，因而隨機變量服從二項分布，用數(shù)學(xué)期望來反映平均領(lǐng)獎人數(shù)，即能說明是否可行。 　　解 設(shè)來領(lǐng)獎的人數(shù)ε=k，(k=0，1，2，…，3000)，所以，則ε～B(3000，0.04)，那么Eε=30000.04=120（人）>100（人）。 　　答：尋呼臺不能向每一位客戶都發(fā)送領(lǐng)獎邀請。若要使每一位領(lǐng)獎人都得到禮品，尋呼臺至少應(yīng)準(zhǔn)備120份禮品。 　　點撥 數(shù)學(xué)期望反映了隨機變量取值的平均水平。用它來刻畫、比較和描述取值的平均情況，在一些實際問題中有重要價值。因此，要想到用期望來解決這一問題。 　　　　【課本習(xí)題解答】 　　練習(xí)（P12） 　　1．離散型隨機變量的期望是對隨機變量在試驗中所取得的值的平均值的一種描述，一般情況下未必等于它在試驗中出現(xiàn)的概率最大的值。舉例略。 　　2．Eε=2.3。 　　3．Eη=0。 　　4．設(shè)其中所含白球個數(shù)為ε，則ε的分布列如下表： 　　 ε 0 1 2 3 4 p 　　 　　可得Eε=2。 　　5．，Eε=2.5。 　　6．ε～B（10，0.9），Eε=9。 　　練習(xí)（P15） 　　1．Eε=00.1+10.2+20.4+30.2+40.1=2， 　　 　　2．Eε=C， 　　。 　　3．Eε=0(1-p)+1p=p, 　　 　　1．解：該工人一個季度里所得獎金為ε，則ε是一個離散型隨機變量。由于該工人每月完成任務(wù)與否是等可能的，可從他每月完成任務(wù)的概率等于，所以， 　　，， 　　，， 　　則（元） 　　2．（1）4； （2）9。 　　3．解：設(shè)該商場國慶節(jié)在商場外的促銷活動獲得的經(jīng)濟效益為ε萬元，由已知，有 　　P(ε=10)=0.6，P(ε=-4)=0.4， 　　所以，Eε=100.6+(-4) 0.4=4.4（萬元）。即在國慶節(jié)當(dāng)?shù)赜杏甑母怕适?0%的情況下，在商場外的促銷活動的經(jīng)濟效益的期望是4.4萬元，超過在商場內(nèi)促銷活動可獲得的經(jīng)濟效益2萬元。所以，商場應(yīng)該選擇商場外的促銷活動。 　　4．ε～B（20，0.06），Eε=200.06=1.2。 　　5．拋擲2枚均勻硬幣，都出現(xiàn)正面的概率為，所以，，。 　　6．解：拋擲兩個骰子，兩個骰子都不出現(xiàn)5點和6點的概率是，所以至少有一個5點或6點的概率是。所以。。 　　7．；，，。由此可知，甲品牌手表的質(zhì)量比乙品牌手表的質(zhì)量好。 　　8．，，。 由于 ，即甲種棉花纖維長度的方差小些，所以甲種棉花的質(zhì)量好（纖維長度比較均勻）。