2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第四章 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 1 函數(shù)的單調(diào)性與極值學(xué)案 北師大版選修1 -1.doc

1 函數(shù)的單調(diào)性與極值11導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)f(x)x22x2的圖像如圖所示：?jiǎn)栴}1：當(dāng)x0(，1)時(shí)，函數(shù)在(x0，f(x0)處的切線斜率f(x0)大于零還是小于零？提示：小于零問題2：函數(shù)f(x)x22x2在(，1)上單調(diào)性如何？提示：是減少的問題3：當(dāng)x0(1，)時(shí)，函數(shù)在(x0，f(x0)處的切線斜率f(x0)大于零還是小于零？提示：大于零問題4：f(x)x22x2在(1，)上單調(diào)性如何？提示：是增加的函數(shù)在區(qū)間(a，b)上的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)關(guān)系導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)函數(shù)在(a，b)上的單調(diào)性f(x)0是增加的f(x)0是減少的1求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間先求函數(shù)的定義域，再求導(dǎo)數(shù)f(x)，令f(x)>0，得單調(diào)增區(qū)間，令f(x)<0得單調(diào)減區(qū)間2在某個(gè)區(qū)間內(nèi)f(x)>0(f(x)<0)是函數(shù)f(x)在此區(qū)間內(nèi)為增(減)函數(shù)的充分條件，而不是必要條件如果出現(xiàn)個(gè)別點(diǎn)使f(x)0，不會(huì)影響函數(shù)f(x)在包含該點(diǎn)的某個(gè)區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性例如函數(shù)f(x)x3在定義域(，)上是增加的，但由f(x)3x2知，f(0)0，即并不是在定義域內(nèi)的任意一點(diǎn)處都滿足f(x)>0. 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例1求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：(1)f(x)x2ln x；(2)f(x)；(3)f(x)x33x2.思路點(diǎn)拔根據(jù)求可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的基本步驟求解精解詳析(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，)f(x)2x.因?yàn)閤0，所以x10，由f(x)0，解得x，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為；由f(x)0，解得x，又x(0，)，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為.(2)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?，2)(2，)f(x).因?yàn)閤(，2)(2，)，所以ex0，(x2)20.由f(x)0，解得x3，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(3，)；由f(x)0，解得x3，又定義域?yàn)?，2)(2，)，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(，2)和(2,3)(3)由f(x)x33x2。得f(x)3x26x3x(x2)由f(x)0，解得0x2，因此，函數(shù)在區(qū)間(0,2)上是單調(diào)遞增的；由f(x)0，解得x2或x0，因此，函數(shù)在區(qū)間(，0)和(2，)上是單調(diào)遞減的故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,2)，單調(diào)遞減區(qū)間是(，0)和(2，)一點(diǎn)通1求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟：2含有參數(shù)的函數(shù)求單調(diào)區(qū)間時(shí)應(yīng)注意分類討論1下列函數(shù)中在區(qū)間(1,1)上單調(diào)遞減的是()Ay23x2Byln xCyx33x Dysin x解析：顯然，函數(shù)y23x2在區(qū)間(1,1)上是不單調(diào)的；函數(shù)yln x的定義域?yàn)?0，)，不滿足題目要求；函數(shù)ysin x在(，)上單調(diào)遞增，所以函數(shù)ysin x在區(qū)間(1,1)上也單調(diào)遞增；對(duì)于函數(shù)yx33x，y3x233(x1)(x1)，當(dāng)x(1,1)時(shí)，y0，所以函數(shù)yx33x在區(qū)間(1,1)上單調(diào)遞減答案：C2若f(x)x22x4ln x，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為()A(0，) B(1,0)(2，)C(2，) D(1,0)解析：由已知得函數(shù)的定義域?yàn)?0，)，f(x)2x2，由f(x) 0可得x2x20，得x2.答案：C3求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，指出其單調(diào)性(1)y2xcos x；(2)yx3x.解：(1)由題意得y2sin x，1sin x1，y<0，單調(diào)區(qū)間為(，)，且函數(shù)y2xcos x在R上為減少的(2)函數(shù)的定義域?yàn)镽，令y3x21>0，得x<或x>；令y3x21<0，得<x<.yx3x有三個(gè)單調(diào)區(qū)間，其中在和上分別是增加的，在上是減少的由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍例2已知函數(shù)f(x)x3ax6.(1)若函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(1,1)，求a的值和函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若函數(shù)f(x)在(1，)上是增加的，求a的取值范圍思路點(diǎn)撥(1)函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(1,1)，即f(x)<0的解集為(1,1)(2)函數(shù)f(x)在(1，)單調(diào)遞增，則f(x)0在(1，)上恒成立精解詳析(1)由題意得f(x)3x2a.函數(shù)f(x)的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間為(1,1)3x2a<0的解集為(1,1)，即3(1)2a0.a3.當(dāng)a3時(shí)，f(x)3(x21)，令f(x)>0，則x>1或x<1.函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(，1)和(1，)(2)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在(1，)上是增加的，f(x)0在(1，)上恒成立，即3x2a0在(1，)上恒成立a3x2在(1，)上恒成立令g(x)3x2，當(dāng)x(1，)時(shí)，g(x)>g(1)3.a3.當(dāng)a3時(shí)，f(x)3(x21)，此時(shí)函數(shù)f(x)在(1，)上增加，a的取值范圍是(，3一點(diǎn)通已知函數(shù)yf(x)，xa，b的單調(diào)性，求參數(shù)的取值范圍的步驟：(1)求導(dǎo)數(shù)yf(x)；(2)轉(zhuǎn)化為f(x)0或f(x)0在xa，b上恒成立問題；(3)由不等式恒成立求參數(shù)范圍；(4)驗(yàn)證等號(hào)是否成立4若函數(shù)f(x)mx在區(qū)間上單調(diào)遞增，則m的取值范圍為()A.B.C2，) D2，)解析：由題意f(x)m 0在上恒成立，即m 在上恒成立，令g(x)，g(x)x，在x上g(x)0，所以g(x)maxg(1)，故m.答案：A5若函數(shù)f(x)ax3x2x8在(，)上增加，求a的取值范圍解：當(dāng)a0時(shí)，f(x)x2x8(x)2，不滿足條件a0.當(dāng)a0時(shí)，f(x)3ax22x1.f(x)在(，)上增加，f(x)0，即3ax22x10在R上恒成立，即即解得a.a的取值范圍為.用函數(shù)單調(diào)性證明不等式例3求證：當(dāng)x2時(shí)，x36x212x8.思路點(diǎn)撥通過函數(shù)f(x)x36x212x8的單調(diào)性，證明f(x)0.精解詳析設(shè)f(x)x36x212x8，則f(x)3x212x123(x24x4)3(x2)2.x2時(shí)，f(x)0恒成立，f(x)在(，2上是增加的，x2時(shí)， f(x)f(2)0，即x36x212x80，即x36x212x8.一點(diǎn)通要證明不等式g(x)(x)(或g(x)(x)成立，可以構(gòu)造函數(shù)f(x)g(x)(x)，然后再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)f(x)g(x)(x)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性獲得f(x)0(或f(x)0)，從而證明了不等式g(x)(x)(或g(x)(x)6求證：sin x<x，x(0，)證明：令f(x)sin xx，f(x)cos x1，x(0，)，cos x(1,1)，f(x)cos x1<0，f(x)在(0，)上是減少的，f(x)<f(0)0，即sin xx<0，sin x<x.7設(shè)f(x)ln x1，證明：當(dāng)x1時(shí)，f(x)(x1)證明：記g(x)ln x1(x1)，則當(dāng)x1時(shí)，g(x)0，即g(x)在(1，)上單調(diào)遞減又g(1)0，故g(x)0，即f(x)(x1)1函數(shù)的單調(diào)性相同的單調(diào)區(qū)間不只一個(gè)時(shí)，在寫結(jié)論時(shí)，要用“，”或“和”隔開，不能用“”連接2利用分離參數(shù)求解恒成立問題，不要忘了驗(yàn)證等號(hào)是否成立 1在下列命題中，正確的是()A若f(x)在(a，b)內(nèi)是增加的，則對(duì)任意x(a，b)都有f(x)0B若在(a，b)內(nèi)對(duì)任意x都有f(x)0，則f(x)在(a，b)內(nèi)是增加的C若在(a，b)內(nèi)f(x)為單調(diào)函數(shù)，則f(x)也為單調(diào)函數(shù)D若可導(dǎo)函數(shù)在(a，b)內(nèi)有f(x)0，則在(a，b)內(nèi)有f(x)0解析：由函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系可知選項(xiàng)B正確答案：B2y8x2ln x在和上分別是()A增加的，增加的B增加的，減少的C減少的，增加的 D減少的，減少的解析：y16x，當(dāng)x時(shí)，y<0，函數(shù)在上是減少的，當(dāng)x時(shí)，y>0，函數(shù)在上是增加的答案：C3已知函數(shù)f(x)ln x，則有()Af(2)f(e)f(3) Bf(e)f(2)f(3)Cf(3)f(e)f(2) Df(e)f(3)f(2)解析：函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，)，且f(x)0，f(x)在(0，)上為增加的，f(2)f(e)f(3)答案：A4.設(shè)f(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，yf(x)的圖像如右圖所示，則yf(x)的圖像最有可能是()解析：由yf(x)的圖像可知，當(dāng)x<0或x>2時(shí)，f(x)>0；當(dāng)0<x<2時(shí)，f(x)<0，函數(shù)yf(x)在(，0)和(2，)上為增加的，在(0,2)上為減少的答案：C5函數(shù)f(x)(3x2)ex的單調(diào)遞增區(qū)間是_解析：f(x)(3x2)ex，f(x)2xex(3x2)ex(x22x3)ex.令f(x)0，則x22x30，解得3 x1.函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(3,1)答案：(3,1)6若函數(shù)f(x)x3ax8的單調(diào)減區(qū)間為(5,5)，則a的值為_解析：f(x)3x2a，f(x)<0的解為5<x<5，352a0，a75.答案：757已知向量a(x2，x1)，b(1x，t)，若函數(shù)f(x)ab在區(qū)間(1,1)上是增加的，求t的取值范圍解：由題意得f(x)x2(1x)t(x1)x3x2txt，f(x)3x22xt.若f(x)在(1,1)上是增加的，則在(1,1)上f(x)0恒成立即t3x22x在區(qū)間(1,1)上恒成立考慮函數(shù)g(x)3x22x3(x)2，x(1,1)顯然g(x)<g(1)，故t3x22x在區(qū)間(1,1)上恒成立tg(1)，即t5.而當(dāng)t5時(shí)，f(x)在(1,1)上滿足f(x)>0，即f(x)在(1,1)上是增加的故t的取值范圍是5，)8已知函數(shù)f(x)x33ax1，a0，求f(x)的單調(diào)區(qū)間解：f(x)3x23a3(x2a)，當(dāng)a0時(shí)，對(duì)任意xR，都有f(x)0，即a0時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(，)當(dāng)a 0時(shí)，f(x)0時(shí)，解得x或x，所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(，)，(，)，f(x)0時(shí)，解得x，所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(，)即a0時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(，)，(，)；f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(，)12函數(shù)的極值 “橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同”，說的是廬山的高低起伏，錯(cuò)落有致，在群山中，各個(gè)山峰的頂端，雖然不一定是群山的最高處，但它卻是其附近的最高點(diǎn)如圖為某同學(xué)繪制的廬山主峰剖面圖問題1：若把該圖視為某函數(shù)的圖像，圖中共有多少個(gè)相對(duì)于附近的“最高”點(diǎn)？提示：5個(gè)問題2：這些“最高”點(diǎn)的左右兩側(cè)函數(shù)的單調(diào)性如何？提示：左側(cè)增，右側(cè)減問題3：圖中共有多少個(gè)相對(duì)于附近的“最低點(diǎn)”？提示：4個(gè)問題4：這些“最低”點(diǎn)的左右兩側(cè)函數(shù)的單調(diào)性如何？提示：左側(cè)減，右側(cè)增1函數(shù)極值的有關(guān)定義(1)在包含x0的一個(gè)區(qū)間(a，b)內(nèi)，函數(shù)yf(x)在任何一點(diǎn)的函數(shù)值都不大于x0點(diǎn)的函數(shù)值，稱點(diǎn)x0為函數(shù)yf(x)的極大值點(diǎn)，其函數(shù)值f(x0)為函數(shù)的極大值(2)在包含x0的一個(gè)區(qū)間(a，b)內(nèi)，函數(shù)yf(x)在任何一點(diǎn)的函數(shù)值都不小于x0點(diǎn)的函數(shù)值，稱點(diǎn)x0為函數(shù)yf(x)的極小值點(diǎn)，其函數(shù)值f(x0)為函數(shù)的極小值(3)極大值與極小值統(tǒng)稱為極值，極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)2函數(shù)極值的判定(1)單調(diào)性判別：如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，x0)上是增加的，在區(qū)間(x0，b)上是減少的，則x0是極大值點(diǎn)，f(x0)是極大值如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，x0)上是減少的，在區(qū)間(x0，b)上是增加的，則x0是極小值點(diǎn)，f(x0)是極小值(2)圖表判別：極大值的判定.x(a，x0)x0(x0，b)f(x)0yf(x)增加極大值減少極小值的判定：x(a，x0)x0(x0，b)f(x)0yf(x)減少極小值增加(3)圖像判別：極大值極小值1函數(shù)的極值是函數(shù)的局部性質(zhì)，它反映了函數(shù)在某一點(diǎn)附近的大小情況2由函數(shù)極值的定義知道，函數(shù)在一個(gè)區(qū)間的端點(diǎn)處一定不可能取得極值，即端點(diǎn)一定不是函數(shù)的極值點(diǎn)3在一個(gè)給定的區(qū)間上，函數(shù)可能有若干個(gè)極值點(diǎn)，也可能不存在極值點(diǎn)，極大值不一定大于極小值 求函數(shù)的極值例1求下列函數(shù)的極值(1)f(x)x33x29x5；(2)f(x).思路點(diǎn)撥首先從方程f(x)0入手，求出在函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)所有可能的極值點(diǎn)，然后按照函數(shù)極值的判斷方法判斷在這些點(diǎn)處是否取得極值精解詳析(1)f(x)3x26x9.解方程3x26x90，得x11，x23.當(dāng)x變化時(shí)，f(x)與f(x)的變化情況如下表：x(，1)1(1,3)3(3，)f(x)00f(x)增加極大值減少極小值增加因此，當(dāng)x1時(shí)函數(shù)取得極大值，且極大值為f(1)10；當(dāng)x3時(shí)函數(shù)取得極小值，且極小值為f(3)22.(2)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，)，且f(x).令f(x)0，得xe.當(dāng)x變化時(shí)，f(x)與f(x)的變化情況如下表：x(0，e)e(e，)f(x)0f(x)增加極大值減少故當(dāng)xe時(shí)函數(shù)取得極大值，且極大值為f(e).一點(diǎn)通求函數(shù)yf(x)的極值點(diǎn)的步驟：(1)求出導(dǎo)數(shù)f(x)(2)解方程f(x)0.(3)對(duì)于方程f(x)0的每一個(gè)解x0，分析f(x)在x0左、右兩側(cè)的符號(hào)(即f(x)的單調(diào)性)，確定極值點(diǎn)：若f(x)在x0兩側(cè)的符號(hào)“左正右負(fù)”，則x0為極大值點(diǎn)；若f(x)在x0兩側(cè)的符號(hào)“左負(fù)右正”，則x0為極小值點(diǎn)；若f(x)在x0兩側(cè)的符號(hào)相同，則x0不是極值點(diǎn)1.已知f(x)ax3bx2c，其導(dǎo)函數(shù)f(x)的圖像如圖所示，則函數(shù)f(x)的極大值是()A2acB4acC3a Dc解析：由導(dǎo)函數(shù)f(x)的圖像知當(dāng)0x2時(shí)，f(x)0；當(dāng)x2時(shí)，f(x)0；當(dāng)x2時(shí)，f(x)0.又f(x)3ax22bx，所以b3a，f(x)ax33ax2c，所以函數(shù)f(x)的極大值為f(2)4ac.答案：B2求函數(shù)yx44x35的極值解：y4x312x24x2(x3)令y4x2(x3)0，得x10，x23.當(dāng)x變化時(shí)，y，y的變化情況如下表：x(，0)0(0,3)3(3，)y00y不是極值極小值故當(dāng)x3時(shí)函數(shù)取得極小值，且y極小值f(3)22.已知極值求參數(shù)例2設(shè)x1與x2是函數(shù)f(x)aln xbx2x的兩個(gè)極值點(diǎn)(1)試確定常數(shù)a和b的值；(2)判斷x1，x2是函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)，并說明理由思路點(diǎn)撥x1與x2是函數(shù)f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)，則1,2即為f(x)0的兩個(gè)根，由此可得a，b的方程組，解方程組即可求解，然后再判斷x1，x2為極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)精解詳析(1)f(x)aln xbx2x，f(x)2bx1.由題意可知f(1)f(2)0，a2b10且4b10.解方程組得a，b.f(x)ln xx2x.(2)x1，x2分別是函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn)，極大值點(diǎn)理由如下：f(x)x1x1x1.又f(x)的定義域?yàn)?0，)，當(dāng)x(0,1)時(shí)，f(x)<0；當(dāng)x(1,2)時(shí)，f(x)>0；當(dāng)x(2，)時(shí)，f(x)<0，故在x1處函數(shù)f(x)取得極小值，在x2處函數(shù)取得極大值，故x1為極小值點(diǎn)，x2為極大值點(diǎn)一點(diǎn)通已知函數(shù)極值情況，逆向應(yīng)用確定函數(shù)的解析式時(shí)，注意兩點(diǎn)：(1)根據(jù)極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0和極值兩個(gè)條件列方程組(2)因?yàn)閷?dǎo)數(shù)值等于零不是此點(diǎn)為極值點(diǎn)的充要條件，所以求解后必須驗(yàn)證根的合理性3函數(shù)f(x)2x33x2a的極大值為6，那么a_.解析：由f(x)6x26x，知函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(，0)和(1，)，單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1)，故f(x)在x0處取得極大值6，故a6.答案：64已知函數(shù)f(x)x3ax2(a6)x1沒有極值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A(3,6)B3,6C(，3)(6，) D(，36，)解析：f(x)3x22axa6，由題意可知f(x)0沒有實(shí)根或有兩個(gè)相等實(shí)根，故4a212(a6)0，解得3a6，故選B.答案：B5是否存在實(shí)數(shù)a，使函數(shù)f(x)x3x2ax1在x1處取極值？若存在，求出a的值，并判斷f(1)是極大值還是極小值；若不存在，請(qǐng)說明理由解：假設(shè)存在實(shí)數(shù)a使函數(shù)f(x)x3x2ax1在x1處取極值又f(x)x22xa，f(1)0，即12a0，a3當(dāng)a3時(shí)，f(x)x22x3，令f(x)0得x1或x3.當(dāng)x>1時(shí)，f(x)>0，當(dāng)3<x<1時(shí)，f(x)<0，故函數(shù)f(x)在x1處取極小值故存在實(shí)數(shù)a3使函數(shù)f(x)x3x2ax1在x1處取極小值.函數(shù)極值的應(yīng)用例3試確定函數(shù)f(x)x3xa的零點(diǎn)個(gè)數(shù)思路點(diǎn)撥函數(shù)f(x)x3xa的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，即函數(shù)f(x)與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，也可視為g(x)x3x與ya這兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，可由g(x)的單調(diào)性和極值作出草圖，數(shù)形結(jié)合求解精解詳析函數(shù)f(x)x3xa零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為方程x3xa解的個(gè)數(shù)，可轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(x)x3x與函數(shù)ya圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù)函數(shù)ya的圖像為平行于x軸的直線，下面研究g(x)x3x的圖像由題意知，g(x)x21，令g(x)x210，解得x1或x1.當(dāng)x>1或x<1時(shí)，g(x)>0；當(dāng)1<x<1時(shí)，g(x)<0.x1為極小值點(diǎn)，x1為函數(shù)的極大值點(diǎn)，極大值g(1)，極小值g(1)，函數(shù)g(x)的草圖如右圖當(dāng)a>或a<時(shí)，圖像有1個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)a或a時(shí)，圖像有2個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)<a<時(shí)，圖像有3個(gè)交點(diǎn)綜上所述，當(dāng)a>或a<時(shí)，函數(shù)有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)a或a時(shí)，函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)<a<時(shí)，函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)一點(diǎn)通研究函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)可轉(zhuǎn)化為其圖像與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，也可轉(zhuǎn)化為較熟悉的兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)問題用導(dǎo)數(shù)可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值，可以畫出函數(shù)草圖，通過數(shù)形結(jié)合來確定交點(diǎn)個(gè)數(shù)6若函數(shù)f(x)a(x>0)的圖像與x軸恰有一個(gè)交點(diǎn)，求a的值解：f(x).令f(x)0，得x1.當(dāng)x>1時(shí)，f(x)>0；當(dāng)x<x<1時(shí)，f(x)<0，函數(shù)f(x)a在x1處取極小值f(1)ea.函數(shù)f(x)a與x軸恰有一個(gè)交點(diǎn)，f(1)0.ae.7討論三次方程x39xa0的解的個(gè)數(shù)，其中a為常數(shù)解：設(shè)方程對(duì)應(yīng)的函數(shù)為f(x)x39xa，則f(x)3x29，令f(x)0，則x，即函數(shù)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)為x1，x2.f()6a，f()6a.(1)若f()f()0，對(duì)應(yīng)方程有三個(gè)解，解得6a6；(2)若f()f()0，對(duì)應(yīng)方程有兩個(gè)解，解得a6或a6；(3)若f()f()0，對(duì)應(yīng)方程有一個(gè)解，解得a6或a6；綜上可知：當(dāng)6a6時(shí)，方程有三個(gè)解；當(dāng)a6或a6時(shí)，方程有兩個(gè)解；當(dāng)a6或a6時(shí)，方程有一個(gè)解1對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)，導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)，而極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)一定為零2極值點(diǎn)一定是某一區(qū)間內(nèi)的點(diǎn)，而不能是區(qū)間的端點(diǎn)3函數(shù)在其單調(diào)區(qū)間內(nèi)無極值 1已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?a，b)，導(dǎo)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上的圖像如圖所示，則函數(shù)yf(x)在(a，b)上極大值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()A4B3C2 D1解析：極大值點(diǎn)在導(dǎo)函數(shù)f(x)的零點(diǎn)處，且滿足零點(diǎn)的左側(cè)為正，右側(cè)為負(fù)，由導(dǎo)函數(shù)的圖像可知這樣的極值點(diǎn)共有3個(gè)答案：B2若函數(shù)f(x)x2x在x0處有極小值，則x0等于()A. BCln 2 Dln 2解析：f(x)2xx2xln 2，令f(x)0，得x.當(dāng)x<時(shí)f(x)<0，當(dāng)x>時(shí)，f(x)>0，當(dāng)x時(shí)，函數(shù)f(x)取極小值答案：B3函數(shù)f(x)13xx3()A有極小值，無極大值 B無極小值，有極大值C無極小值，無極大值 D有極小值，有極大值解析：f(x)3x23，由f(x)0得x1.當(dāng)x(1,1)時(shí)f(x)0，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1,1)；同理，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(，1)和(1，)當(dāng)x1時(shí)，函數(shù)有極小值1，當(dāng)x1時(shí)，函數(shù)有極大值3.答案：D4三次函數(shù)當(dāng)x1時(shí)有極大值4，當(dāng)x3時(shí)有極小值0，則此函數(shù)的解析式是()Ayx36x29x Byx36x29xCyx36x29x Dyx36x29x解析：設(shè)f(x)ax3bx2cxd(a0)，則f(x)3ax22bxc，由題意得f(1)f(3)0，f(1)4，f(3)0，即解得：a1，b6，c9，d0.答案：B5函數(shù)yx3x2x1在x_處取極大值解析：y3x22x1(3x1)(x1)當(dāng)1<x<時(shí)，y<0；當(dāng)x>或x<1時(shí)，y>0.函數(shù)在x1處取極大值答案：16函數(shù)f(x)ax1ln x(a0)在定義域內(nèi)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為_解析：f(x)a，當(dāng)a0時(shí)，f(x)0在(0，)上恒成立，函數(shù)f(x)在(0，)上是減少的，故f(x)在(0，)上沒有極值點(diǎn)答案：07已知a，b是實(shí)數(shù)，1和1是函數(shù)f(x)x3ax2bx的兩個(gè)極值點(diǎn)(1)求a和b的值；(2)設(shè)函數(shù)g(x)的導(dǎo)函數(shù)g(x)f(x)2，求g(x)的極值點(diǎn)解：(1)由題設(shè)知f(x)3x22axb，且f(1)32ab0，f(1)32ab0，解得a0，b3.(2)由(1)知f(x)x33x.因?yàn)閒(x)2(x1)2(x2)，所以g(x)0的根為x1x21，x32，于是函數(shù)g(x)的極值點(diǎn)只可能是1或2.當(dāng)x2時(shí)，g(x)0；當(dāng)2x1時(shí)，g(x)0，故2是g(x)的極值點(diǎn)當(dāng)2x1或x1時(shí)，g(x)0，故1不是g(x)的極值點(diǎn)所以g(x)的極值點(diǎn)為2.8設(shè)f(x)aln xx1，其中aR，曲線yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線垂直于y軸(1)求a的值；(2)求函數(shù)f(x)的極值解：(1)f(x)aln xx1，f(x).由于曲線yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線垂直于y軸，故該切線的斜率為0，即f(1)0，從而a0，解得a1.(2)由(1)知f(x)ln xx1(x0)，f(x).令f(x)0，解得x11，x2(x2不在定義域內(nèi)，舍去)當(dāng)x(0,1)時(shí)，f(x)0，故f(x)在(0,1)上為減少的；當(dāng)x(1，)時(shí)，f(x)0，故f(x)在(1，)上為增加的故f(x)在x1處取得極小值f(1)3.