2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第四章 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 1 函數(shù)的單調(diào)性與極值學(xué)案 北師大版選修1 -1.doc
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1 函數(shù)的單調(diào)性與極值11導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)f(x)x22x2的圖像如圖所示:問題1:當(dāng)x0(,1)時,函數(shù)在(x0,f(x0)處的切線斜率f(x0)大于零還是小于零?提示:小于零問題2:函數(shù)f(x)x22x2在(,1)上單調(diào)性如何?提示:是減少的問題3:當(dāng)x0(1,)時,函數(shù)在(x0,f(x0)處的切線斜率f(x0)大于零還是小于零?提示:大于零問題4:f(x)x22x2在(1,)上單調(diào)性如何?提示:是增加的函數(shù)在區(qū)間(a,b)上的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的符號關(guān)系導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)函數(shù)在(a,b)上的單調(diào)性f(x)0是增加的f(x)0是減少的1求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間先求函數(shù)的定義域,再求導(dǎo)數(shù)f(x),令f(x)0,得單調(diào)增區(qū)間,令f(x)0(f(x)0. 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例1求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間:(1)f(x)x2ln x;(2)f(x);(3)f(x)x33x2.思路點拔根據(jù)求可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的基本步驟求解精解詳析(1)函數(shù)f(x)的定義域為(0,)f(x)2x.因為x0,所以x10,由f(x)0,解得x,所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為;由f(x)0,解得x,又x(0,),所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為.(2)函數(shù)f(x)的定義域為(,2)(2,)f(x).因為x(,2)(2,),所以ex0,(x2)20.由f(x)0,解得x3,所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(3,);由f(x)0,解得x3,又定義域為(,2)(2,),所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(,2)和(2,3)(3)由f(x)x33x2。得f(x)3x26x3x(x2)由f(x)0,解得0x2,因此,函數(shù)在區(qū)間(0,2)上是單調(diào)遞增的;由f(x)0,解得x2或x0,因此,函數(shù)在區(qū)間(,0)和(2,)上是單調(diào)遞減的故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,2),單調(diào)遞減區(qū)間是(,0)和(2,)一點通1求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟:2含有參數(shù)的函數(shù)求單調(diào)區(qū)間時應(yīng)注意分類討論1下列函數(shù)中在區(qū)間(1,1)上單調(diào)遞減的是()Ay23x2Byln xCyx33x Dysin x解析:顯然,函數(shù)y23x2在區(qū)間(1,1)上是不單調(diào)的;函數(shù)yln x的定義域為(0,),不滿足題目要求;函數(shù)ysin x在(,)上單調(diào)遞增,所以函數(shù)ysin x在區(qū)間(1,1)上也單調(diào)遞增;對于函數(shù)yx33x,y3x233(x1)(x1),當(dāng)x(1,1)時,y0,所以函數(shù)yx33x在區(qū)間(1,1)上單調(diào)遞減答案:C2若f(x)x22x4ln x,則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為()A(0,) B(1,0)(2,)C(2,) D(1,0)解析:由已知得函數(shù)的定義域為(0,),f(x)2x2,由f(x) 0可得x2x20,得x2.答案:C3求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,指出其單調(diào)性(1)y2xcos x;(2)yx3x.解:(1)由題意得y2sin x,1sin x1,y0,得x;令y3x210,得x.yx3x有三個單調(diào)區(qū)間,其中在和上分別是增加的,在上是減少的由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍例2已知函數(shù)f(x)x3ax6.(1)若函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(1,1),求a的值和函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)若函數(shù)f(x)在(1,)上是增加的,求a的取值范圍思路點撥(1)函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(1,1),即f(x)0的解集為(1,1)(2)函數(shù)f(x)在(1,)單調(diào)遞增,則f(x)0在(1,)上恒成立精解詳析(1)由題意得f(x)3x2a.函數(shù)f(x)的一個單調(diào)遞減區(qū)間為(1,1)3x2a0,則x1或xg(1)3.a3.當(dāng)a3時,f(x)3(x21),此時函數(shù)f(x)在(1,)上增加,a的取值范圍是(,3一點通已知函數(shù)yf(x),xa,b的單調(diào)性,求參數(shù)的取值范圍的步驟:(1)求導(dǎo)數(shù)yf(x);(2)轉(zhuǎn)化為f(x)0或f(x)0在xa,b上恒成立問題;(3)由不等式恒成立求參數(shù)范圍;(4)驗證等號是否成立4若函數(shù)f(x)mx在區(qū)間上單調(diào)遞增,則m的取值范圍為()A.B.C2,) D2,)解析:由題意f(x)m 0在上恒成立,即m 在上恒成立,令g(x),g(x)x,在x上g(x)0,所以g(x)maxg(1),故m.答案:A5若函數(shù)f(x)ax3x2x8在(,)上增加,求a的取值范圍解:當(dāng)a0時,f(x)x2x8(x)2,不滿足條件a0.當(dāng)a0時,f(x)3ax22x1.f(x)在(,)上增加,f(x)0,即3ax22x10在R上恒成立,即即解得a.a的取值范圍為.用函數(shù)單調(diào)性證明不等式例3求證:當(dāng)x2時,x36x212x8.思路點撥通過函數(shù)f(x)x36x212x8的單調(diào)性,證明f(x)0.精解詳析設(shè)f(x)x36x212x8,則f(x)3x212x123(x24x4)3(x2)2.x2時,f(x)0恒成立,f(x)在(,2上是增加的,x2時, f(x)f(2)0,即x36x212x80,即x36x212x8.一點通要證明不等式g(x)(x)(或g(x)(x)成立,可以構(gòu)造函數(shù)f(x)g(x)(x),然后再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)f(x)g(x)(x)的單調(diào)性,根據(jù)單調(diào)性獲得f(x)0(或f(x)0),從而證明了不等式g(x)(x)(或g(x)(x)6求證:sin xx,x(0,)證明:令f(x)sin xx,f(x)cos x1,x(0,),cos x(1,1),f(x)cos x10,f(x)在(0,)上是減少的,f(x)f(0)0,即sin xx0,sin xx.7設(shè)f(x)ln x1,證明:當(dāng)x1時,f(x)(x1)證明:記g(x)ln x1(x1),則當(dāng)x1時,g(x)0,即g(x)在(1,)上單調(diào)遞減又g(1)0,故g(x)0,即f(x)(x1)1函數(shù)的單調(diào)性相同的單調(diào)區(qū)間不只一個時,在寫結(jié)論時,要用“,”或“和”隔開,不能用“”連接2利用分離參數(shù)求解恒成立問題,不要忘了驗證等號是否成立 1在下列命題中,正確的是()A若f(x)在(a,b)內(nèi)是增加的,則對任意x(a,b)都有f(x)0B若在(a,b)內(nèi)對任意x都有f(x)0,則f(x)在(a,b)內(nèi)是增加的C若在(a,b)內(nèi)f(x)為單調(diào)函數(shù),則f(x)也為單調(diào)函數(shù)D若可導(dǎo)函數(shù)在(a,b)內(nèi)有f(x)0,則在(a,b)內(nèi)有f(x)0解析:由函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系可知選項B正確答案:B2y8x2ln x在和上分別是()A增加的,增加的B增加的,減少的C減少的,增加的 D減少的,減少的解析:y16x,當(dāng)x時,y0,函數(shù)在上是增加的答案:C3已知函數(shù)f(x)ln x,則有()Af(2)f(e)f(3) Bf(e)f(2)f(3)Cf(3)f(e)f(2) Df(e)f(3)f(2)解析:函數(shù)f(x)的定義域為(0,),且f(x)0,f(x)在(0,)上為增加的,f(2)f(e)f(3)答案:A4.設(shè)f(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù),yf(x)的圖像如右圖所示,則yf(x)的圖像最有可能是()解析:由yf(x)的圖像可知,當(dāng)x2時,f(x)0;當(dāng)0x2時,f(x)0,函數(shù)yf(x)在(,0)和(2,)上為增加的,在(0,2)上為減少的答案:C5函數(shù)f(x)(3x2)ex的單調(diào)遞增區(qū)間是_解析:f(x)(3x2)ex,f(x)2xex(3x2)ex(x22x3)ex.令f(x)0,則x22x30,解得3 x1.函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(3,1)答案:(3,1)6若函數(shù)f(x)x3ax8的單調(diào)減區(qū)間為(5,5),則a的值為_解析:f(x)3x2a,f(x)0的解為5x5,352a0,a75.答案:757已知向量a(x2,x1),b(1x,t),若函數(shù)f(x)ab在區(qū)間(1,1)上是增加的,求t的取值范圍解:由題意得f(x)x2(1x)t(x1)x3x2txt,f(x)3x22xt.若f(x)在(1,1)上是增加的,則在(1,1)上f(x)0恒成立即t3x22x在區(qū)間(1,1)上恒成立考慮函數(shù)g(x)3x22x3(x)2,x(1,1)顯然g(x)0,即f(x)在(1,1)上是增加的故t的取值范圍是5,)8已知函數(shù)f(x)x33ax1,a0,求f(x)的單調(diào)區(qū)間解:f(x)3x23a3(x2a),當(dāng)a0時,對任意xR,都有f(x)0,即a0時,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(,)當(dāng)a 0時,f(x)0時,解得x或x,所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(,),(,),f(x)0時,解得x,所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(,)即a0時,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(,),(,);f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(,)12函數(shù)的極值 “橫看成嶺側(cè)成峰,遠(yuǎn)近高低各不同”,說的是廬山的高低起伏,錯落有致,在群山中,各個山峰的頂端,雖然不一定是群山的最高處,但它卻是其附近的最高點如圖為某同學(xué)繪制的廬山主峰剖面圖問題1:若把該圖視為某函數(shù)的圖像,圖中共有多少個相對于附近的“最高”點?提示:5個問題2:這些“最高”點的左右兩側(cè)函數(shù)的單調(diào)性如何?提示:左側(cè)增,右側(cè)減問題3:圖中共有多少個相對于附近的“最低點”?提示:4個問題4:這些“最低”點的左右兩側(cè)函數(shù)的單調(diào)性如何?提示:左側(cè)減,右側(cè)增1函數(shù)極值的有關(guān)定義(1)在包含x0的一個區(qū)間(a,b)內(nèi),函數(shù)yf(x)在任何一點的函數(shù)值都不大于x0點的函數(shù)值,稱點x0為函數(shù)yf(x)的極大值點,其函數(shù)值f(x0)為函數(shù)的極大值(2)在包含x0的一個區(qū)間(a,b)內(nèi),函數(shù)yf(x)在任何一點的函數(shù)值都不小于x0點的函數(shù)值,稱點x0為函數(shù)yf(x)的極小值點,其函數(shù)值f(x0)為函數(shù)的極小值(3)極大值與極小值統(tǒng)稱為極值,極大值點與極小值點統(tǒng)稱為極值點2函數(shù)極值的判定(1)單調(diào)性判別:如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a,x0)上是增加的,在區(qū)間(x0,b)上是減少的,則x0是極大值點,f(x0)是極大值如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a,x0)上是減少的,在區(qū)間(x0,b)上是增加的,則x0是極小值點,f(x0)是極小值(2)圖表判別:極大值的判定.x(a,x0)x0(x0,b)f(x)0yf(x)增加極大值減少極小值的判定:x(a,x0)x0(x0,b)f(x)0yf(x)減少極小值增加(3)圖像判別:極大值極小值1函數(shù)的極值是函數(shù)的局部性質(zhì),它反映了函數(shù)在某一點附近的大小情況2由函數(shù)極值的定義知道,函數(shù)在一個區(qū)間的端點處一定不可能取得極值,即端點一定不是函數(shù)的極值點3在一個給定的區(qū)間上,函數(shù)可能有若干個極值點,也可能不存在極值點,極大值不一定大于極小值 求函數(shù)的極值例1求下列函數(shù)的極值(1)f(x)x33x29x5;(2)f(x).思路點撥首先從方程f(x)0入手,求出在函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)所有可能的極值點,然后按照函數(shù)極值的判斷方法判斷在這些點處是否取得極值精解詳析(1)f(x)3x26x9.解方程3x26x90,得x11,x23.當(dāng)x變化時,f(x)與f(x)的變化情況如下表:x(,1)1(1,3)3(3,)f(x)00f(x)增加極大值減少極小值增加因此,當(dāng)x1時函數(shù)取得極大值,且極大值為f(1)10;當(dāng)x3時函數(shù)取得極小值,且極小值為f(3)22.(2)函數(shù)f(x)的定義域為(0,),且f(x).令f(x)0,得xe.當(dāng)x變化時,f(x)與f(x)的變化情況如下表:x(0,e)e(e,)f(x)0f(x)增加極大值減少故當(dāng)xe時函數(shù)取得極大值,且極大值為f(e).一點通求函數(shù)yf(x)的極值點的步驟:(1)求出導(dǎo)數(shù)f(x)(2)解方程f(x)0.(3)對于方程f(x)0的每一個解x0,分析f(x)在x0左、右兩側(cè)的符號(即f(x)的單調(diào)性),確定極值點:若f(x)在x0兩側(cè)的符號“左正右負(fù)”,則x0為極大值點;若f(x)在x0兩側(cè)的符號“左負(fù)右正”,則x0為極小值點;若f(x)在x0兩側(cè)的符號相同,則x0不是極值點1.已知f(x)ax3bx2c,其導(dǎo)函數(shù)f(x)的圖像如圖所示,則函數(shù)f(x)的極大值是()A2acB4acC3a Dc解析:由導(dǎo)函數(shù)f(x)的圖像知當(dāng)0x2時,f(x)0;當(dāng)x2時,f(x)0;當(dāng)x2時,f(x)0.又f(x)3ax22bx,所以b3a,f(x)ax33ax2c,所以函數(shù)f(x)的極大值為f(2)4ac.答案:B2求函數(shù)yx44x35的極值解:y4x312x24x2(x3)令y4x2(x3)0,得x10,x23.當(dāng)x變化時,y,y的變化情況如下表:x(,0)0(0,3)3(3,)y00y不是極值極小值故當(dāng)x3時函數(shù)取得極小值,且y極小值f(3)22.已知極值求參數(shù)例2設(shè)x1與x2是函數(shù)f(x)aln xbx2x的兩個極值點(1)試確定常數(shù)a和b的值;(2)判斷x1,x2是函數(shù)f(x)的極大值點還是極小值點,并說明理由思路點撥x1與x2是函數(shù)f(x)的兩個極值點,則1,2即為f(x)0的兩個根,由此可得a,b的方程組,解方程組即可求解,然后再判斷x1,x2為極大值點還是極小值點精解詳析(1)f(x)aln xbx2x,f(x)2bx1.由題意可知f(1)f(2)0,a2b10且4b10.解方程組得a,b.f(x)ln xx2x.(2)x1,x2分別是函數(shù)f(x)的極小值點,極大值點理由如下:f(x)x1x1x1.又f(x)的定義域為(0,),當(dāng)x(0,1)時,f(x)0;當(dāng)x(2,)時,f(x)1時,f(x)0,當(dāng)3x1時,f(x)1或x0;當(dāng)1x1時,g(x)或a時,圖像有1個交點;當(dāng)a或a時,圖像有2個交點;當(dāng)a或a時,函數(shù)有1個零點;當(dāng)a或a時,函數(shù)有2個零點;當(dāng)a0)的圖像與x軸恰有一個交點,求a的值解:f(x).令f(x)0,得x1.當(dāng)x1時,f(x)0;當(dāng)xx1時,f(x)0,函數(shù)f(x)a在x1處取極小值f(1)ea.函數(shù)f(x)a與x軸恰有一個交點,f(1)0.ae.7討論三次方程x39xa0的解的個數(shù),其中a為常數(shù)解:設(shè)方程對應(yīng)的函數(shù)為f(x)x39xa,則f(x)3x29,令f(x)0,則x,即函數(shù)f(x)有兩個極值點為x1,x2.f()6a,f()6a.(1)若f()f()0,對應(yīng)方程有三個解,解得6a6;(2)若f()f()0,對應(yīng)方程有兩個解,解得a6或a6;(3)若f()f()0,對應(yīng)方程有一個解,解得a6或a6;綜上可知:當(dāng)6a6時,方程有三個解;當(dāng)a6或a6時,方程有兩個解;當(dāng)a6或a6時,方程有一個解1對于可導(dǎo)函數(shù),導(dǎo)數(shù)為零的點不一定是極值點,而極值點的導(dǎo)數(shù)一定為零2極值點一定是某一區(qū)間內(nèi)的點,而不能是區(qū)間的端點3函數(shù)在其單調(diào)區(qū)間內(nèi)無極值 1已知函數(shù)f(x)的定義域為(a,b),導(dǎo)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上的圖像如圖所示,則函數(shù)yf(x)在(a,b)上極大值點的個數(shù)為()A4B3C2 D1解析:極大值點在導(dǎo)函數(shù)f(x)的零點處,且滿足零點的左側(cè)為正,右側(cè)為負(fù),由導(dǎo)函數(shù)的圖像可知這樣的極值點共有3個答案:B2若函數(shù)f(x)x2x在x0處有極小值,則x0等于()A. BCln 2 Dln 2解析:f(x)2xx2xln 2,令f(x)0,得x.當(dāng)x時f(x)時,f(x)0,當(dāng)x時,函數(shù)f(x)取極小值答案:B3函數(shù)f(x)13xx3()A有極小值,無極大值 B無極小值,有極大值C無極小值,無極大值 D有極小值,有極大值解析:f(x)3x23,由f(x)0得x1.當(dāng)x(1,1)時f(x)0,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1,1);同理,f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(,1)和(1,)當(dāng)x1時,函數(shù)有極小值1,當(dāng)x1時,函數(shù)有極大值3.答案:D4三次函數(shù)當(dāng)x1時有極大值4,當(dāng)x3時有極小值0,則此函數(shù)的解析式是()Ayx36x29x Byx36x29xCyx36x29x Dyx36x29x解析:設(shè)f(x)ax3bx2cxd(a0),則f(x)3ax22bxc,由題意得f(1)f(3)0,f(1)4,f(3)0,即解得:a1,b6,c9,d0.答案:B5函數(shù)yx3x2x1在x_處取極大值解析:y3x22x1(3x1)(x1)當(dāng)1x時,y或x0.函數(shù)在x1處取極大值答案:16函數(shù)f(x)ax1ln x(a0)在定義域內(nèi)的極值點的個數(shù)為_解析:f(x)a,當(dāng)a0時,f(x)0在(0,)上恒成立,函數(shù)f(x)在(0,)上是減少的,故f(x)在(0,)上沒有極值點答案:07已知a,b是實數(shù),1和1是函數(shù)f(x)x3ax2bx的兩個極值點(1)求a和b的值;(2)設(shè)函數(shù)g(x)的導(dǎo)函數(shù)g(x)f(x)2,求g(x)的極值點解:(1)由題設(shè)知f(x)3x22axb,且f(1)32ab0,f(1)32ab0,解得a0,b3.(2)由(1)知f(x)x33x.因為f(x)2(x1)2(x2),所以g(x)0的根為x1x21,x32,于是函數(shù)g(x)的極值點只可能是1或2.當(dāng)x2時,g(x)0;當(dāng)2x1時,g(x)0,故2是g(x)的極值點當(dāng)2x1或x1時,g(x)0,故1不是g(x)的極值點所以g(x)的極值點為2.8設(shè)f(x)aln xx1,其中aR,曲線yf(x)在點(1,f(1)處的切線垂直于y軸(1)求a的值;(2)求函數(shù)f(x)的極值解:(1)f(x)aln xx1,f(x).由于曲線yf(x)在點(1,f(1)處的切線垂直于y軸,故該切線的斜率為0,即f(1)0,從而a0,解得a1.(2)由(1)知f(x)ln xx1(x0),f(x).令f(x)0,解得x11,x2(x2不在定義域內(nèi),舍去)當(dāng)x(0,1)時,f(x)0,故f(x)在(0,1)上為減少的;當(dāng)x(1,)時,f(x)0,故f(x)在(1,)上為增加的故f(x)在x1處取得極小值f(1)3.- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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- 2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第四章 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 函數(shù)的單調(diào)性與極值學(xué)案 北師大版選修1 -1 2017 2018 學(xué)年 高中數(shù)學(xué) 第四 導(dǎo)數(shù) 應(yīng)用 函數(shù) 調(diào)性 極值 北師大 選修
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