2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第三講 柯西不等式與排序不等式 本講知識歸納與達(dá)標(biāo)驗收講義（含解析）新人教A版選修4-5.doc

第三講 柯西不等式與排序不等式考情分析從近兩年高考來看，對本部分內(nèi)容還未單獨考查，但也不能忽視，利用柯西不等式構(gòu)造“平方和的積”與“積的和的平方”，利用排序不等式證明成“對稱”形式，或兩端是“齊次式”形式的不等式問題真題體驗 1(2017江蘇高考)已知a，b，c，d為實數(shù)，且a2b24，c2d216，證明：acbd8.證明：由柯西不等式可得：(acbd)2(a2b2)(c2d2)因為a2b24，c2d216，所以(acbd)264，因此acbd8.2(2015陜西高考)已知關(guān)于x的不等式|xa|b的解集為x|2x4(1)求實數(shù)a，b的值；(2)求的最大值解：(1)由|xa|b，得baxba，則解得(2) 24，當(dāng)且僅當(dāng)，即t1時等號成立，故()max4.利用柯西不等式證明有關(guān)不等式問題柯西不等式的一般形式為(aaa)(bbb)(a1b1a2b2anbn)2(ai，biR，i1，2，n)，形式簡潔、美觀、對稱性強(qiáng)，靈活地運用柯西不等式，可以使一些較為困難的不等式證明問題迎刃而解例1已知a，b為正實數(shù)，ab1，x1，x2為正實數(shù)(1)求的最小值；(2)求證：(ax1bx2)(ax2bx1)x1x2.解(1)a，b為正實數(shù)，ab1，x1，x2為正實數(shù)，3336，當(dāng)且僅當(dāng)，ab，即ab，且x1x21時，有最小值6.(2)證明：a，bR，ab1，x1，x2為正實數(shù)，(ax1bx2)(ax2bx1)()2()2()2()2()2x1x2(ab)2x1x2，當(dāng)且僅當(dāng)x1x2時取等號.利用排序不等式證明有關(guān)的不等式問題排序不等式具有自己獨特的體現(xiàn)：多個變量的排列與其大小順序有關(guān)，特別是與多變量間的大小順序有關(guān)的不等式問題，利用排序不等式解決往往很簡捷例2在ABC中，試證：.證明不妨設(shè)abc，于是ABC.由排序不等式，得aAbBcCaAbBcC，aAbBcCbAcBaC，aAbBcCcAaBbC.以上三式相加，得3(aAbBcC)(abc)(ABC)(abc)得，又由0bca,0abc,0acb，有0A(bca)C(abc)B(acb)a(BCA)b(ACB)c(ABC)a(2A)b(2B)c(2C)(abc)2(aAbBcC)得.由得原不等式成立.利用柯西不等式或排序不等式求最值問題有關(guān)不等式問題往往要涉及到對式子或量的范圍的限定其中含有多變量限制條件的最值問題往往難以處理在這類題目中，利用柯西不等式或排序不等式處理往往比較容易例3已知5a23b2，求a22abb2的最大值解(a)2(b)22(ab)2a22abb2，當(dāng)且僅當(dāng)5a3b即a，b時取等號a22abb2(5a23b2)1.a22abb2的最大值為1.例4已知abc1.(1)求S2a23b2c2的最小值及取得最小值時a，b，c的值；(2)若2a23b2c21，求c的取值范圍解(1)根據(jù)柯西不等式，得1abcab1c(2a23b2c2) ，即 1，S，當(dāng)且僅當(dāng)a，b，c時等號成立，當(dāng)a，b，c時，Smin.(2)由條件可得根據(jù)柯西不等式，得(ab)2(a)2(b)2(2a23b2)，(1c)2(1c2)，解得c1.c的取值范圍為. (時間：90分鐘，總分120分)一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，滿分50分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1設(shè)a，bR且ab16，則的最小值是()A.B.C. D.解析：選A(ab)24，.當(dāng)且僅當(dāng)，即ab8時取等號2已知x3y5z6，則x2y2z2的最小值為()A. B.C. D6解析：選C由柯西不等式，得x2y2z2(123252)(x2y2z2)(x3y5z)262，當(dāng)且僅當(dāng)x時等號成立3已知a，b，c為正數(shù)且abc3，則的最小值為()A4 B4C6 D6解析：選Ca，b，c為正數(shù) ab.同理 bc， ca，相加得 ()2(bca)6，即6，當(dāng)且僅當(dāng)abc時取等號4設(shè)a，b，c均大于0，a2b2c23，則abbcca的最大值為()A0 B1C3 D.解析：選C設(shè)abc0，由排序不等式得a2b2c2abbcac，所以abbcca3，故選C.5已知a，b，c為正數(shù)，則(abc)的最小值為()A1 B.C3 D4解析：選D(abc)()2()22224.當(dāng)且僅當(dāng)abc時取等號6已知(x1)2(y2)24，則3x4y的最大值為()A21 B11C18 D28解析：選A根據(jù)柯西不等式得(x1)2(y2)232423(x1)4(y2)2(3x4y11)2，(3x4y11)2100.可得3x4y21，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號7設(shè)a，b，c為正數(shù)，ab4c1，則2的最大值是()A. B.C2 D.解析：選B1ab4c()2()2(2)2()2()2(2)2(121212)(2)2，(2)23，當(dāng)且僅當(dāng)ab4c時等式成立，故2的最大值為.8函數(shù)f(x)cos x，則f(x)的最大值是()A. B.C1 D2解析：選A因為f(x)cos x，所以f(x) cos x ，當(dāng)且僅當(dāng)cos x時取等號9若5x16x27x34x41，則3x2x5xx的最小值是()A. B.C3 D.解析：選B3x2x5(x3)2x(5x16x27x34x4)21，即3x2x5xx.10已知a，b，cR，則a2(a2bc)b2(b2ac)c2(c2ab)的正負(fù)情況是()A大于零 B大于等于零C小于零 D小于等于零解析：選B設(shè)abc>0，所以a3b3c3，根據(jù)排序不等式，得a3ab3bc3ca3bb3cc3a.又abacbc，a2b2c2，所以a3bb3cc3aa2bcb2cac2ab.所以a4b4c4a2bcb2cac2ab，即a2(a2bc)b2(b2ac)c2(c2ab)0.二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分把正確答案填寫在題中橫線上)11設(shè)a，b，c是正實數(shù)，且abc9，則的最小值為_解析：(abc)()2()2()2218，2，當(dāng)且僅當(dāng)abc3時等號成立的最小值為2.答案：212已知A，B，C是三角形三個內(nèi)角的弧度數(shù)，則的最小值是_解析：(ABC)(111)29，而ABC，故，當(dāng)且僅當(dāng)ABC時，等號成立答案：13設(shè)有兩組實數(shù)：a1，a2，a3，an與b1，b2，b3，bn，且它們滿足：a1a2a3an，b1b2b3bn，若c1，c2，c3，cn是b1，b2，b3，bn的任意一個排列，則a1b1a2b2anbna1c1a2c2ancna1bna2bn1anb1，反序和與順序和相等的條件是_解析：反序和與順序和相等，則兩組數(shù)至少有一組相等答案：a1a2an或b1b2bn14設(shè)a，b，c為正數(shù)，且a2b3c13，求的最大值為_解析：(a2b3c)2()2，()2.當(dāng)且僅當(dāng)時取等號又a2b3c13，a9，b，c時，有最大值.答案：三、解答題(本大題共4小題，共50分解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)15(本小題滿分12分)已知實數(shù)a，b，c，d滿足abcd3，a22b23c26d25，求實數(shù)a的取值范圍解：由柯西不等式，得：(2b23c26d2)(bcd)2，即2b23c26b2(bcd)2.由條件可得5a2(3a)2，解得1a2.所以實數(shù)a的取值范圍為1,216(本小題滿分12分)求函數(shù)y的最大值解：由1sin x0,4sin x10，得sin x1，則y22(14)，即y，當(dāng)且僅當(dāng)4(1sin x)sin x，即sin x時等號成立，所以函數(shù)y的最大值為.17(本小題滿分12分)設(shè)a1，a2，an是1,2，n的一個排列，求證：.證明：設(shè)b1，b2，bn1是a1，a2，an1的一個排列，且b1<b2<<bn1；c1，c2，cn1是a2，a3，an的一個排列，且c1<c2<<cn1，則>>>且b11，b22，bn1n1，c12，c23，cn1n.利用排序不等式，有.原不等式成立18(本小題滿分14分)已知函數(shù)f(x)|x2|3.(1)若f(x)<0，求x的取值范圍；(2)在(1)的條件下，求g(x)34的最大值解：(1)因為f(x)<0|x2|<33<x2<31<x<5，所以x的取值范圍是(1,5)(2)由(1)知g(x)34.由柯西不等式得(3242)()2()2(34)2，所以g(x)5，當(dāng)且僅當(dāng)，即x時，g(x)取得最大值5.