2018版高中數(shù)學(xué) 第一章 計(jì)數(shù)原理 1.5.2 二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用（二）學(xué)案 蘇教版選修2-3.doc

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1.5.2　二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用(二) 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.進(jìn)一步理解并掌握二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì).2.能解決二項(xiàng)式系數(shù)的最大、最小問題.3.會(huì)解決整除問題． 知識(shí)點(diǎn)　二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì) 一般地，(a＋b)n展開式的二項(xiàng)式系數(shù)C，C，…，C有如下性質(zhì)： (1)C＝________. (2)C＋C＝________. (3)當(dāng)r＜時(shí)，C＜________； 當(dāng)r＞時(shí)，________＜C. (4)C＋C＋C＋…＋C＝________. 特別提醒：(1)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)中，以最大；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)中以和(兩者相等)最大． (2)二項(xiàng)展開式中，偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和與奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和相等，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋…＝2n－1. 類型一　二項(xiàng)式系數(shù)或系數(shù)最大項(xiàng)問題 例1　(1＋2x)n的展開式中第6項(xiàng)與第7項(xiàng)的系數(shù)相等，求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)和系數(shù)最大的項(xiàng)． 　 　 　 　 　 反思與感悟　(1)求二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)，根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)系數(shù)最大；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大． (2)求展開式中系數(shù)最大項(xiàng)與求二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)是不同的，需根據(jù)各項(xiàng)系數(shù)的正、負(fù)變化情況，一般采用列不等式組，解不等式組的方法求得． 跟蹤訓(xùn)練1　在(－)8的展開式中： (1)系數(shù)的絕對(duì)值最大的項(xiàng)是第幾項(xiàng)？ (2)求二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)； (3)求系數(shù)最大的項(xiàng)． 　 　 　 　　 　 類型二　利用二項(xiàng)式定理解決整除問題 例2　求證：2n＋23n＋5n－4(n∈N*)能被25整除． 　 　 　 　 　 　 　 反思與感悟　利用二項(xiàng)式定理證明或判斷整除問題，一般要進(jìn)行合理變形，常用的變形方法就是拆數(shù)，往往是將冪底數(shù)寫成兩數(shù)的和，并且其中一個(gè)數(shù)是除數(shù)的因數(shù)，這樣能保證被除式展開后的大部分項(xiàng)含有除式的倍數(shù)，進(jìn)而可判斷或證明被除數(shù)能否被除數(shù)整除，若不能整除則可求出余數(shù)． 跟蹤訓(xùn)練2　求證：5151－1能被7整除． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 1．若(x3＋)n(n∈N*)的展開式中只有第6項(xiàng)系數(shù)最大，則該展開式中的常數(shù)項(xiàng)為________． 2．今天是星期一，今天是第1天，那么第810天是星期________． 3．設(shè)a∈Z，且0≤a＜13，若512 012＋a能被13整除，則a＝________. 4．已知n展開式中的第5項(xiàng)是常數(shù)，則展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是第________項(xiàng)． 5．已知(a＋b)n的二項(xiàng)展開式中只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則n＝________. 1．二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì) 求二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)，根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，n為奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；n為偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大． 2．求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)的問題，可設(shè)第r＋1項(xiàng)的系數(shù)Tr＋1最大，則滿足不等式由不等式組解出r的值． 3．余數(shù)及整除問題 (1)求余數(shù)問題 求余數(shù)的關(guān)鍵是將原數(shù)進(jìn)行合理、科學(xué)的拆分，然后借助二項(xiàng)展開式進(jìn)行分析．若最后一項(xiàng)是一個(gè)小于除數(shù)的正數(shù)，則該數(shù)就是所求的余數(shù)；若是負(fù)數(shù)，則還要進(jìn)行簡(jiǎn)單的加、減運(yùn)算產(chǎn)生． (2)整除問題 整除問題實(shí)際上就是判斷余數(shù)是否為零，因此求解整除問題可以借助于求余數(shù)問題展開思路． 答案精析 知識(shí)梳理 知識(shí)點(diǎn) (1)C　(2)C　(3)C　C　(4)2n 題型探究 例1　解　T6＝C(2x)5，T7＝C(2x)6，依題意有C25＝C26?n＝8. ∴(1＋2x)8的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為T5＝C(2x)4＝1 120x4. 設(shè)第r＋1項(xiàng)系數(shù)最大，則有 解得5≤r≤6. ∴r＝5或r＝6. ∴系數(shù)最大的項(xiàng)為T6＝1 792x5， T7＝1 792x6. 跟蹤訓(xùn)練1　解　Tr＋1＝C()8－r()r ＝(－1)rC2r(r＝0,1,2，…，8)． (1)設(shè)第r＋1項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值最大， 則 ∴ 解得5≤r≤6. 又∵0≤r≤8，r∈N，∴r＝5或r＝6. 故系數(shù)的絕對(duì)值最大的項(xiàng)是第6項(xiàng)和第7項(xiàng)． (2)二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為中間項(xiàng)，即第5項(xiàng)，T5＝C24x－6＝1 120x－6. (3)由(1)知，展開式中第6項(xiàng)和第7項(xiàng)的系數(shù)的絕對(duì)值最大，而第6項(xiàng)的系數(shù)為負(fù)，第7項(xiàng)的系數(shù)為正， ∴系數(shù)最大的項(xiàng)為T7＝C26x－11 ＝1 792x－11. 例2　證明　原式＝46n＋5n－4 ＝4(5＋1)n＋5n－4 ＝4(C5n＋C5n－1＋C5n－2＋…＋C)＋5n－4 ＝4(C5n＋C5n－1＋…＋C52＋C51)＋4C＋5n－4 ＝4(C5n＋C5n－1＋…＋C52)＋20n＋4＋5n－4 ＝4(C5n＋C5n－1＋…＋C52)＋25n. 以上各項(xiàng)均為25的整數(shù)倍，故2n＋23n＋5n－4能被25整除． 跟蹤訓(xùn)練2　證明　5151－1＝(49＋2)51－1 ＝C4951＋C49502＋…＋C49250＋C251－1. 易知除C251－1以外各項(xiàng)都能被7整除． 又C251－1＝251－1＝(23)17－1 ＝(7＋1)17－1 ＝C717＋C716＋…＋C7＋C－1 ＝7(C716＋C715＋…＋C)， 顯然能被7整除，所以5151－1能被7整除． 當(dāng)堂訓(xùn)練 1．210　2.一　3.12　4.9　5.8