2018年秋高中數(shù)學(xué) 第三章 函數(shù)的應(yīng)用 3.1 函數(shù)與方程 3.1.2 用二分法求方程的近似解課時(shí)分層作業(yè)23 新人教A版必修1.doc

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課時(shí)分層作業(yè)(二十三)　用二分法求方程的近似解 (建議用時(shí)：40分鐘) [學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)練] 一、選擇題 1．下面關(guān)于二分法的敘述中，正確的是(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：37102363】 A．用二分法可求所有函數(shù)零點(diǎn)的近似值 B．用二分法求方程的近似解時(shí)，可以精確到小數(shù)點(diǎn)后的任一位 C．二分法無(wú)規(guī)律可循，無(wú)法在計(jì)算機(jī)上完成 D．只能用二分法求函數(shù)的零點(diǎn) B　[用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值，需要有端點(diǎn)函數(shù)值符號(hào)相反的區(qū)間，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；二分法是一種程序化的運(yùn)算，故可以在計(jì)算機(jī)上完成，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；求函數(shù)零點(diǎn)的方法還有方程法、函數(shù)圖象法等，故D錯(cuò)誤，故選B.] 2．函數(shù)f(x)的圖象是連續(xù)不斷的曲線，在用二分法求方程f(x)＝0在(1,2)內(nèi)近似解的過(guò)程可得f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，則方程的解所在區(qū)間為(　　) A．(1.25,1.5) B．(1,1.25) C．(1.5,2) D．不能確定 A　[由于f(1.25)f(1.5)<0，則方程的解所在區(qū)間為(1.25,1.5)．] 3．若函數(shù)f(x)＝x3＋x2－2x－2的一個(gè)正數(shù)零點(diǎn)附近的函數(shù)值用二分法計(jì)算，其參考數(shù)據(jù)如下： 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：37102364】 f(1)＝－2 f(1.5)＝0.625 f(1.25)＝－0.984 f(1.375)＝－0.260 f(1.437 5)＝0.162 f(1.406 25)＝－0.054 要么方程x3＋x2－2x－2＝0的一個(gè)近似根(精確度為0.05)可以是(　　) A．1.25 B．1.375 C．1.42 D．1.5 C　[由表格可得，函數(shù)f(x)＝x3＋x2－2x－2的零點(diǎn)在(1.437 5,1.406 25)之間．結(jié)合選項(xiàng)可知，方程x3＋x2－2x－2＝0的一個(gè)近似根(精確度為0.05)可以是1.42.故選C.] 4．用二分法求函數(shù)f(x)＝2x＋3x－7在區(qū)間[0,4]上的零點(diǎn)近似值，取區(qū)間中點(diǎn)2，則下一個(gè)存在零點(diǎn)的區(qū)間為(　　) A．(0,1) B．(0,2) C．(2,3) D．(2,4) B　[因?yàn)閒(0)＝20＋0－7＝－6<0， f(4)＝24＋12－7>0， f(2)＝22＋6－7>0，所以f(0)f(2)<0，所以零點(diǎn)在區(qū)間(0,2)．] 5．在用“二分法”求函數(shù)f(x)零點(diǎn)近似值時(shí)，第一次所取的區(qū)間是[－2,4]，則第三次所取的區(qū)間可能是(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：37102365】 A．[1,4] B．[－2,1] C. D. D　[∵第一次所取的區(qū)間是[－2,4]，∴第二次所取的區(qū)間可能為[－2,1]，[1,4]，∴第三次所取的區(qū)間可能為，，，.] 二、填空題 6．已知函數(shù)f(x)＝x3－2x－2，f(1)f(2)<0，用二分法逐次計(jì)算時(shí)，若x0是[1,2]的中點(diǎn)，則f(x0)＝________. －1.625　[由題意，x0＝1.5，f(x0)＝f(1.5)＝－1.625.] 7．在用二分法求方程f(x)＝0在[0,1]上的近似解時(shí)，經(jīng)計(jì)算，f(0.625)<0，f(0.75)>0，f(0.687 5)<0，即得出方程的一個(gè)近似解為________．(精確度為0.1) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：37102366】 0．687 5　[∵f(0.625)<0，f(0.75)>0，f(0.687 5)<0， ∴方程的解在(0.687 5,0.75)上，而|0.75－0.687 5|<0.1. ∴方程的一個(gè)近似解為0.687 5.] 8．已知圖象連續(xù)不斷的函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(0,0.1)上有唯一零點(diǎn)，如果用二分法求這個(gè)零點(diǎn)(精確度為0.01)的近似值，則應(yīng)將區(qū)間(0,0.1)等分的次數(shù)至少為________． 4　[設(shè)等分的最少次數(shù)為n，則由<0.01，得2n>10，∴n的最小值為4.] 三、解答題 9．用二分法求函數(shù)f(x)＝x3－3的一個(gè)正零點(diǎn)．(精確度為0.01) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：37102367】 [解]　由于f(1)＝－2<0，f(2)＝5>0，因此可取區(qū)間(1,2)作為計(jì)算的初始區(qū)間，用二分法逐次計(jì)算，列表如下： 區(qū)間 中點(diǎn)的值 中點(diǎn)函數(shù)近似值 (1,2) 1.5 0.375 (1,1.5) 1.25 －1.046 9 (1.25,1.5) 1.375 －0.400 4 (1.375,1.5) 1.437 5 －0.029 5 (1.437 5,1.5) 1.468 75 0.168 4 (1.437 5,1.468 75) 1.453 125 0.068 4 (1.437 5,1.453 125) 1.445 312 5 0.019 2 (1.437 5,1.445 312 5) ∵|1.445 312 5－1.437 5|＝0.007 812 5<0.01，∴x＝1.445 312 5可作為函數(shù)的一個(gè)正零點(diǎn)． 10．用二分法求方程x2－5＝0的一個(gè)近似正解．(精確度為0.1) [解]　令f(x)＝x2－5，因?yàn)閒(2.2)＝－0.16<0，f(2.4)＝0.76>0，所以f(2.2)f(2.4)<0， 即這個(gè)函數(shù)在區(qū)間(2.2,2.4)內(nèi)有零點(diǎn)x0， 取區(qū)間(2.2,2.4)的中點(diǎn)x1＝2.3，f(2.3)＝0.29，因?yàn)閒(2.2)f(2.3)<0，所以x0∈(2.2,2.3)， 再取區(qū)間(2.2,2.3)的中點(diǎn)x2＝2.25，f(2.25)＝0.062 5，因?yàn)閒(2.2)f(2.25)<0， 所以x0∈(2.2,2.25)，由于|2.25－2.2|＝0.05<0.1， 所以原方程的近似正解可取為2.25. [沖A挑戰(zhàn)練] 1．下列函數(shù)中不能用二分法求零點(diǎn)近似值的是(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：37102368】 A．f(x)＝3x－1 B．f(x)＝x3 C．f(x)＝|x| D．f(x)＝ln x C　[對(duì)于選項(xiàng)C而言，令|x|＝0，得x＝0，即函數(shù)f(x)＝|x|存在零點(diǎn)，但當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>0；當(dāng)x<0時(shí)，f(x)>0，所以f(x)＝|x|的函數(shù)值非負(fù)，即函數(shù)f(x)＝|x|有零點(diǎn)，但零點(diǎn)兩側(cè)函數(shù)值同號(hào)，所以不能用二分法求零點(diǎn)的近似值．] 2．在用二分法求函數(shù)f(x)的一個(gè)正實(shí)數(shù)零點(diǎn)時(shí)，經(jīng)計(jì)算，f(0.64)＜0，f(0.72)＞0，f(0.68)＜0，則函數(shù)的一個(gè)精確到0.1的正實(shí)數(shù)零點(diǎn)的近似值為(　　) A．0.68 B．0.72 C．0.7 D．0.6 C　[已知f(0.64)＜0，f(0.72)＞0，則函數(shù)f(x)的零點(diǎn)的初始區(qū)間為[0.64,0.72]，又0.68＝(0.64＋0.72)，且f(0.68)＜0，所以零點(diǎn)在區(qū)間[0.68,0.72]，且該區(qū)間的左、右端點(diǎn)精確到0.1所取的近似值都是0.7.因此，0.7就是所求函數(shù)的一個(gè)正實(shí)數(shù)零點(diǎn)的近似值．] 3．用二分法求函數(shù)f(x)＝3x－x－4的一個(gè)零點(diǎn)，其參考數(shù)據(jù)如下： 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：37102369】 f(1.600 0)≈0.200 f(1.587 5)≈0.133 f(1.575 0)≈0.067 f(1.562 5)≈0.003 f(1.556 2)≈－0.029 f(1.550 0)≈－0.060 據(jù)此數(shù)據(jù)，可得方程3x－x－4＝0的一個(gè)近似解(精確度為0.01)可取________． 1．562 5　[f(1.562 5)＝0.003>0，f(1.556 2)＝－0.029<0，方程3x－x－4＝0的一個(gè)近似解在(1.556 2，1.562 5)上，且滿足精確度為0.01，所以所求近似解可取為1.562 5.] 4．某同學(xué)在借助計(jì)算器求“方程lg x＝2－x的近似解(精確度為0.1)”時(shí)，設(shè)f(x)＝lg x＋x－2，算得f(1)<0，f(2)>0；在以下過(guò)程中，他用“二分法”又取了4個(gè)x的值，計(jì)算了其函數(shù)值的正負(fù)，并得出判斷：方程的近似解是x≈1.8.那么他再取的x的4個(gè)值依次是________． 1．5,1.75,1.875,1.812 5　[第一次用二分法計(jì)算得區(qū)間(1.5,2)，第二次得區(qū)間(1.75,2)，第三次得區(qū)間(1.75,1.875)，第四次得區(qū)間(1.75,1.812 5)．] 5．已知函數(shù)f(x)＝3ax2＋2bx＋c，a＋b＋c＝0，f(0)>0，f(1)>0，證明a>0，并利用二分法證明方程f(x)＝0在區(qū)間[0,1]內(nèi)有兩個(gè)實(shí)根. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：37102370】 [證明]　∵f(1)>0，∴3a＋2b＋c>0， 即3(a＋b＋c)－b－2c>0. ∵a＋b＋c＝0，∴－b－2c>0，則－b－c>c，即a>c. ∵f(0)>0，∴c>0，則a>0. 在區(qū)間[0,1]內(nèi)選取二等分點(diǎn)， 則f＝a＋b＋c＝a＋(－a)＝－a<0. ∵f(0)>0，f(1)>0， ∴函數(shù)f(x)在區(qū)間和上各有一個(gè)零點(diǎn)． 又f(x)最多有兩個(gè)零點(diǎn)，從而f(x)＝0在[0,1]內(nèi)有兩個(gè)實(shí)根．