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2019-2020年高三上學(xué)期數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)教案：第4講 函數(shù)的基本性質(zhì)
課題
函數(shù)的基本性質(zhì)（共 4 課）
修改與創(chuàng)新
課標(biāo)要 求
1．通過已學(xué)過的函數(shù)特別是二次函數(shù)，理解函數(shù)的單調(diào)性、最大（?。┲导捌鋷缀我饬x；
2．結(jié)合具體函數(shù)，了解奇偶性的含義。
命題走 向
從近幾年來看，函數(shù)性質(zhì)是高考命題的主線索，不論是何種函數(shù)，必須與函數(shù)性質(zhì)相關(guān)聯(lián)，因此在復(fù)習(xí)中，針對不同的函數(shù)類別及綜合情況，歸納出一定的復(fù)習(xí)線索。
預(yù)測xx年高考的出題思路是：通過研究函數(shù)的定義域、值域，進(jìn)而研究函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性以及最值。
預(yù)測明年的對本講的考察是：
（1）考察函數(shù)性質(zhì)的選擇題1個(gè)或1個(gè)填空題，還可能結(jié)合導(dǎo)數(shù)出研究函數(shù)性質(zhì)的大題；
（2）以中等難度、題型新穎的試題綜合考察函數(shù)的性質(zhì)，以組合形式、一題多角度考察函數(shù)性質(zhì)預(yù)計(jì)成為新的熱點(diǎn)。
教學(xué)準(zhǔn)備
多媒體
教學(xué)過程
要點(diǎn)精講:
1．奇偶性
（1）定義：如果對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的任意x都有f(－x)=－f(x)，則稱f(x)為奇函數(shù)；如果對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的任意x都有f(－x)=f(x)，則稱f(x)為偶函數(shù)。
如果函數(shù)f(x)不具有上述性質(zhì)，則f(x)不具有奇偶性.如果函數(shù)同時(shí)具有上述兩條性質(zhì)，則f(x)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)。
注意：
函數(shù)是奇函數(shù)或是偶函數(shù)稱為函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)；
由函數(shù)的奇偶性定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個(gè)必要條件是，對于定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，則－x也一定是定義域內(nèi)的一個(gè)自變量（即定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱）。
（2）利用定義判斷函數(shù)奇偶性的格式步驟：
首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱；
確定f(－x)與f(x)的關(guān)系；
作出相應(yīng)結(jié)論：
若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，則f(x)是偶函數(shù)；
若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，則f(x)是奇函數(shù)。
（3）簡單性質(zhì)：
①圖象的對稱性質(zhì)：一個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱；一個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于y軸對稱；
②設(shè)，的定義域分別是，那么在它們的公共定義域上：
奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇
2．單調(diào)性
（1）定義：一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮， 如果對于定義域I內(nèi)的某個(gè)區(qū)間D內(nèi)的任意兩個(gè)自變量x1，x2，當(dāng)x1
f(x2)），那么就說f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)（減函數(shù)）；
注意：
函數(shù)的單調(diào)性是在定義域內(nèi)的某個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)，是函數(shù)的局部性質(zhì)；
必須是對于區(qū)間D內(nèi)的任意兩個(gè)自變量x1，x2；當(dāng)x1 B．k<
C．k>－ D．k<－
解析：選D 函數(shù)y＝(2k＋1)x＋b是減函數(shù)，
則2k＋1<0，即k<－.
3．(教材習(xí)題改編)函數(shù)f(x)＝的最大值是( )
A. B.
C. D.
解析：選D ∵1－x(1－x)＝x2－x＋1＝2＋≥，∴0<≤.
4．(教材習(xí)題改編)f(x)＝x2－2x(x∈)的單調(diào)增區(qū)間為________；f(x)max＝________.
解析：函數(shù)f(x)的對稱軸x＝1，單調(diào)增區(qū)間為，f(x)max＝f(－2)＝f(4)＝8.
答案： 8
5．已知函數(shù)f(x)為R上的減函數(shù)，若mf(n)；
>1，即|x|<1，且x≠0.
故－1 (－1,0)∪(0,1)
1.函數(shù)的單調(diào)性是局部性質(zhì)
從定義上看，函數(shù)的單調(diào)性是指函數(shù)在定義域的某個(gè)子
區(qū)間上的性質(zhì)，是局部的特征．在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)，在整
個(gè)定義域上不一定單調(diào)．
2．函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法
函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是函數(shù)定義域的子區(qū)間，所以求解函
數(shù)的單調(diào)區(qū)間，必須先求出函數(shù)的定義域．對于基本初等
函數(shù)的單調(diào)區(qū)間可以直接利用已知結(jié)論求解，如二次函數(shù)、
對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等；如果是復(fù)合函數(shù)，應(yīng)根據(jù)復(fù)合函
數(shù)的單調(diào)性的判斷方法，首先判斷兩個(gè)簡單函數(shù)的單調(diào)性，
再根據(jù)“同則增，異則減”的法則求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
單調(diào)區(qū)間只能用區(qū)間表示，不能用集合或不等式表示；如有多個(gè)單調(diào)區(qū)間應(yīng)分別寫，不能用并集符號“∪”聯(lián)結(jié)，也不能用“或”聯(lián)結(jié)．
函數(shù)單調(diào)性的判斷
典題導(dǎo)入
(理)判斷函數(shù)f(x)＝x＋(a>0)在(0，＋∞)上的單調(diào)性．
設(shè)x1>x2>0，則
f(x1)－f(x2)＝－＝(x1－x2)＋＝(x1－x2)＋＝(x1－x2).
當(dāng)≥x1>x2>0時(shí)，x1－x2>0,1－<0，
有f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)0)是減函數(shù)；
當(dāng)x1>x2≥時(shí)，x1－x2>0,1－>0，
有f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
此時(shí)，函數(shù)f(x)＝x＋(a>0)是增函數(shù)．
綜上可知，函數(shù)f(x)＝x＋(a>0)在(0， ]上為減函數(shù)；在[，＋∞)上為增函數(shù)．
(文)證明函數(shù)f(x)＝2x－在(－∞，0)上是增函數(shù)．
設(shè)x1，x2是區(qū)間(－∞，0)上的任意兩個(gè)自變量的值，且x10，
因此f(x1)－f(x2)<0，
即f(x1)0，
因此g(x1)－g(x2)<0，即g(x1)，得－10.∴m>1或m<－2.
(2)由f(x)＝可得函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，故3＝－，解得a＝－6.
(1)(－∞，－2)∪(1，＋∞) (2)－6
由題悟法
單調(diào)性的應(yīng)用主要涉及利用單調(diào)性求最值，進(jìn)行大小比較，解抽象函數(shù)不等式，解題時(shí)要注意：一是函數(shù)定義域的限制；二是函數(shù)單調(diào)性的判定；三是等價(jià)轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用．
以題試法
3．(1)(xx孝感調(diào)研)函數(shù)f(x)＝在上的最小值為________，最大值為________．
(2)已知函數(shù)f(x)＝－(a>0，x>0)，若f(x)在上的值域?yàn)?，則a＝__________.
解析：(1)∵f′(x)＝－<0，∴f(x)在上為減函數(shù)，∴f(x)min＝f(3)＝＝，f(x)max＝＝1.
(2)由反比例函數(shù)的性質(zhì)知函數(shù)f(x)＝－(a>0，x>0)在上單調(diào)遞增，
所以即解得a＝.
答案：(1) 1 (2)
1．(xx廣東高考)下列函數(shù)為偶函數(shù)的是( )
A．y＝sin x B．y＝x3
C．y＝ex D．y＝ln
解析：選D 四個(gè)選項(xiàng)中的函數(shù)的定義域都是R.y＝sin x為奇函數(shù)．冪函數(shù)y＝x3也為奇函數(shù)．指數(shù)函數(shù)y＝ex為非奇非偶函數(shù)．令f(x)＝ln ，得f(－x)＝ln ＝ln ＝f(x)．所以y＝ln為偶函數(shù)．
2．已知f(x)＝ax2＋bx是定義在上的偶函數(shù)，那么a＋b 的值是( )
A．－ B.
C. D．－
解析：選B ∵f(x)＝ax2＋bx是定義在上的偶函數(shù)，
∴a－1＋2a＝0，∴a＝.又f(－x)＝f(x)，
∴b＝0，∴a＋b＝.
3．(教材習(xí)題改編)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)，滿足f(x＋4)＝f(x)，則f(8)的值為( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
解析：選B ∵f(x)為奇函數(shù)且f(x＋4)＝f(x)，
∴f(0)＝0，T＝4.
∴f(8)＝f(0)＝0.
4．若函數(shù)f(x)＝x2－|x＋a|為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)a＝________.
解析：法一：∵f(－x)＝f(x)對于x∈R恒成立，∴|－x＋a|＝|x＋a|對于x∈R恒成立，兩邊平方整理得ax＝0，對于x∈R恒成立，故a＝0.
法二：由f(－1)＝f(1)，
得|a－1|＝|a＋1|，故a＝0.
答案：0
5．(xx廣東高考)設(shè)函數(shù)f(x)＝x3cos x＋1.若f(a)＝11，則f(－a)＝________.
解析：觀察可知，y＝x3cos x為奇函數(shù)，且f(a)＝a3cos a＋1＝11，故a3cos a＝10.則f(－a)＝－a3cos a＋1＝－10＋1＝－9.
答案：－9
1.奇、偶函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)：
(1)定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，這是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件；
(2)奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱；反之亦然；
(3)若奇函數(shù)f(x)在x＝0處有定義，則f(0)＝0；
(4)利用奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱可知，奇函數(shù)在原點(diǎn)兩側(cè)的對稱區(qū)間上的單調(diào)性相同；利用偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱可知，偶函數(shù)在原點(diǎn)兩側(cè)的對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反．
2．若函數(shù)滿足f(x＋T)＝f(x)，由函數(shù)周期性的定義可知T是函數(shù)的一個(gè)周期；應(yīng)注意nT(n∈Z且n≠0)也是函數(shù)的周期．
函數(shù)奇偶性的判斷
典題導(dǎo)入
(xx福州質(zhì)檢)設(shè)Q為有理數(shù)集，函數(shù)f(x)＝g(x)＝，則函數(shù)h(x)＝f(x)g(x)( )
A．是奇函數(shù)但不是偶函數(shù)
B．是偶函數(shù)但不是奇函數(shù)
C．既是奇函數(shù)也是偶函數(shù)
D．既不是偶函數(shù)也不是奇函數(shù)
∵當(dāng)x∈Q時(shí)，－x∈Q，∴f(－x)＝f(x)＝1；當(dāng)x∈?RQ時(shí)，－x∈?RQ，∴f(－x)＝f(x)＝－1.綜上，對任意x∈R，都有f(－x)＝f(x)，故函數(shù)f(x)為偶函數(shù)．∵g(－x)＝＝＝－＝－g(x)，∴函數(shù)g(x)為奇函數(shù)．∴h(－x)＝f(－x)g(－x)＝f(x)＝－f(x)g(x)＝－h(huán)(x)，∴函數(shù)h(x)＝f(x)g(x)是奇函數(shù)．∴h(1)＝f(1)g(1)＝，h(－1)＝f(－1)g(－1)＝1＝，h(－1)≠h(1)，∴函數(shù)h(x)不是偶函數(shù)．
A
由題悟法
利用定義判斷函數(shù)奇偶性的方法
(1)首先求函數(shù)的定義域，定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱是函數(shù)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要條件；
(2)如果函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，可進(jìn)一步判斷f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是否對定義域內(nèi)的每一個(gè)x恒成立(恒成立要給予證明，否則要舉出反例)．
判斷分段函數(shù)的奇偶性應(yīng)分段分別證明f(－x)與f(x)的關(guān)系，只有對各段上的x都滿足相同的關(guān)系時(shí)，才能判斷其奇偶性．
以題試法
1．判斷下列函數(shù)的奇偶性．
(1)f(x)＝＋；
(2)f(x)＝3x－3－x；
(3)f(x)＝；
(4)f(x)＝
解：(1)∵由得x＝1，
∴f(x)的定義域?yàn)閧－1,1}．
又f(1)＋f(－1)＝0，f(1)－f(－1)＝0，
即f(x)＝f(－x)．
∴f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)．
(2)∵f(x)的定義域?yàn)镽，
∴f(－x)＝3－x－3x＝－(3x－3－x)＝－f(x)，
所以f(x)為奇函數(shù)．
(3)∵由得－2≤x≤2且x≠0.
∴f(x)的定義域?yàn)椋?
∴f(x)＝＝＝，
∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函數(shù)．
(4)f(x)的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對稱，當(dāng)x>0時(shí)，f(－x)＝－(－x)2－2＝－(x2＋2)＝－f(x)；
當(dāng)x<0時(shí)，f(－x)＝(－x)2＋2＝－(－x2－2)＝－f(x)；
當(dāng)x＝0時(shí)，f(0)＝0，也滿足f(－x)＝－f(x)．
故該函數(shù)為奇函數(shù)．
函數(shù)奇偶性的應(yīng)用
典題導(dǎo)入
(1)(xx上海高考)已知y＝f(x)＋x2是奇函數(shù)，且f(1)＝1.若g(x)＝f(x)＋2，則g(－1)＝________.
(2)(xx煙臺(tái)調(diào)研)設(shè)偶函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上為減函數(shù)，且f(2)＝0，則不等式>0的解集為( )
A．(－2,0)∪(2，＋∞) B．(－∞，－2)∪(0,2)
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－2,0)∪(0,2)
(1)∵y＝f(x)＋x2是奇函數(shù)，且x＝1時(shí)，y＝2，∴當(dāng)x＝－1時(shí)，y＝－2，即f(－1)＋(－1)2＝－2，
得f(－1)＝－3，所以g(－1)＝f(－1)＋2＝－1.
(2)∵f(x)為偶函數(shù)，
∴＝>0.
∴xf(x)>0.
∴或
又f(－2)＝f(2)＝0，f(x)在(0，＋∞)上為減函數(shù)，
故x∈(0,2)或x∈(－∞，－2)．
(1)－1 (2)B
本例(2)的條件不變，若n≥2且n∈N*，試比較f(－n)，f(1－n)，f(n－1)，f(n＋1)的大?。?
解：∵f(x)為偶函數(shù)，所以f(－n)＝f(n)，
f(1－n)＝f(n－1)．
又∵函數(shù)y＝f(x)在(0，＋∞)為減函數(shù)，且0f(2a)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．
解析：(1)當(dāng)x<0時(shí)，則－x>0，所以f(x)＝x2＋x，f(－x)＝ax2－bx，而f(－x)＝－f(x)，即－x2－x＝ax2－bx，
所以a＝－1，b＝1，故a＋b＝0.
(2)因?yàn)閒(x)＝x2＋2x在 (xx山東高考)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋6)＝f(x)．當(dāng)－3≤x<－1時(shí)，f(x)＝－(x＋2)2；當(dāng)－1≤x<3時(shí)，f(x)＝x.則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 012)＝( )
A．335 B．338
C．1 678 D．2 012
由f(x＋6)＝f(x)可知，函數(shù)f(x)的周期為6，所以f(－3)＝f(3)＝－1，f(－2)＝f(4)＝0，f(－1)＝f(5)＝－1，f(0)＝f(6)＝0，f(1)＝1，f(2)＝2，所以在一個(gè)周期內(nèi)有f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1＋2－1＋0－1＋0＝1，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2 012)＝f(1)＋f(2)＋3351＝1＋2＋335＝338.
B
由題悟法
1．周期性常用的結(jié)論：
對f(x)定義域內(nèi)任一自變量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，則T＝2a；
(2)若f(x＋a)＝，則T＝2a；
(3)若f(x＋a)＝－，則T＝2a.
2．周期性與奇偶性相結(jié)合的綜合問題中，周期性起到轉(zhuǎn)換自變量值的作用，奇偶性起到調(diào)節(jié)符號作用．
以題試法
3．設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且對任意實(shí)數(shù)x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．當(dāng)x∈時(shí)，f(x)＝2x－x2.
(1)求證：f(x)是周期函數(shù)；
(2)當(dāng)x∈時(shí)，求f(x)的解析式．
解：(1)證明：∵f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．
∴f(x)是周期為4的周期函數(shù)．
(2)∵x∈，∴－x∈，
∴4－x∈，
∴f(4－x)＝2(4－x)－(4－x)2＝－x2＋6x－8.
又∵f(4－x)＝f(－x)＝－f(x)，
∴－f(x)＝－x2＋6x－8，
即f(x)＝x2－6x＋8，x∈．
函數(shù)的基本性質(zhì)是函數(shù)的重要內(nèi)容，復(fù)習(xí)時(shí)務(wù)必細(xì)致地回顧。這部分內(nèi)容應(yīng)集合題目進(jìn)行適當(dāng)?shù)貧w納總結(jié)。
復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判斷僅作了解。
周期性是必修4學(xué)習(xí)的內(nèi)容，要求學(xué)生找到必修4的相關(guān)內(nèi)容，并超前復(fù)習(xí)。
通過具體問題，讓學(xué)生理解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)的含義的不同。
通過此例，讓學(xué)生回顧，鞏固用定義證明單調(diào)性的步驟。
總結(jié)判斷函數(shù)單調(diào)性的常見方法。
讓學(xué)生分析、明確，求解抽象不等式，應(yīng)根據(jù)單調(diào)性或圖像化為具體不等式。
概況總結(jié)奇偶函數(shù)的性質(zhì)，以讓學(xué)生更好的把握這一知識(shí)。
此例3、4兩題的奇偶性的判斷，學(xué)生有一定的困難，教師應(yīng)與學(xué)生共同探索，尋找解決的途徑。
周期性常用的結(jié)論，在題目中容易出現(xiàn)，讓學(xué)生自己利用定義證明這3條結(jié)論。
板書設(shè)計(jì)
函數(shù)的基本性質(zhì)
1．奇偶性
（1）定義：如果對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的任意x都有f(－x)=－f(x)， 例1
則稱f(x)為奇函數(shù)；如果對于函
（2）簡單性質(zhì)：
①圖象的對稱性質(zhì)：一個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于 例2
原點(diǎn)對稱；一個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于y軸對稱；
②設(shè)，的定義域分別是，那么在它們的公共定義域上： 例3
奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇
2．單調(diào)性
（1）定義： 例4
（2）判斷函數(shù)單調(diào)性的方法步驟
任取x1，x2∈D，且x1
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2019-2020年高三上學(xué)期數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)教案：第4講
函數(shù)的基本性質(zhì)
2019
2020
年高
上學(xué)
期數(shù)
一輪
復(fù)習(xí)
教案
函數(shù)
基本
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