2018年秋高中數(shù)學(xué) 第三章 空間向量與立體幾何 3.2 立體幾何中的向量方法 第2課時 空間向量與垂直關(guān)系學(xué)案 新人教A版選修2-1.doc

第2課時空間向量與垂直關(guān)系學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.能利用平面法向量證明兩個平面垂直(重點)2.能利用直線的方向向量和平面的法向量判定并證明空間中的垂直關(guān)系(重點，難點)自 主 預(yù) 習(xí)探 新 知空間中垂直關(guān)系的向量表示線線垂直設(shè)直線l的方向向量為a(a1，a2，a3)，直線m的方向向量為b(b1，b2，b3)，則lmab0a1b1a2b2a3b30線面垂直設(shè)直線l的方向向量是a(a1，b1，c1)，平面的法向量是u(a2，b2，c2)，則lauaku(a1，b1，c1)k(a2，b2，c2)(kR)面面垂直若平面的法向量u(a1，b1，c1)，平面的法向量v(a2，b2，c2)，則 uv uv0a1a2b1b2c1c20思考：若一個平面內(nèi)一條直線的方向向量與另一個平面的法向量共線，則這兩個平面是否垂直？提示垂直基礎(chǔ)自測1思考辨析(1)直線的方向向量與平面的法向量垂直，則直線與平面垂直()(2)兩個平面的法向量垂直，則這兩個平面垂直()(3)若一條直線的方向向量垂直于一個平面內(nèi)兩條直線的方向向量，則直線和平面垂直()答案(1)(2)(3)2若直線l的方向向量a(1,0,2)，平面的法向量為n(2,0，4)，則()AlBlClDl與斜交Bn(2,0，4)2(1,0,2)2a，na，l.3若直線l1的方向向量為u1(1,3,2)，直線l2上有兩點A(1,0,1)，B(2，1,2)，則兩直線的位置關(guān)系是_l1l2(1，1,1)，u11131210，因此l1l2.4已知兩平面，的法向量分別為u1(1,0,1)，u2(0,2,0)，則平面，的位置關(guān)系為_. 【導(dǎo)學(xué)號：46342167】u1u20，則.合 作 探 究攻 重 難應(yīng)用向量法證明線面垂直如圖3210所示，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱長都為2，D為CC1的中點圖3210求證：AB1平面A1BD思路探究法一：通過證明，得到AB1BA1，AB1BD法二：證明與平面A1BD的法向量平行證明法一：如圖所示，取BC的中點O，連接AO.因為ABC為正三角形，所以AOBC因為在正三棱柱ABCA1B1C1中，平面ABC平面BCC1B1，所以AO平面BCC1B1.取B1C1的中點O1，以O(shè)為原點，以，分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則B(1,0,0)，D(1,1,0)，A1(0,2，)，A(0,0，)，B1(1,2,0)所以(1,2，)，(1,2，)，(2,1,0)因為1(1)22()0.1(2)21()00.所以，即AB1BA1，AB1BD又因為BA1BDB，所以AB1平面A1BD法二：建系同方法一設(shè)平面A1BD的法向量為n(x，y，z)，則，即令x1得平面A1BD的一個法向量為n(1,2，)，又(1,2，)，所以n，即n.所以AB1平面A1BD規(guī)律方法1.坐標(biāo)法證明線面垂直有兩種思路法一：(1)建立空間直角坐標(biāo)系；(2)將直線的方向向量用坐標(biāo)表示；(3)找出平面內(nèi)兩條相交直線，并用坐標(biāo)表示它們的方向向量；(4)分別計算兩組向量的數(shù)量積，得到數(shù)量積為0.法二：(1)建立空間直角坐標(biāo)系；(2)將直線的方向向量用坐標(biāo)表示；(3)求出平面的法向量；(4)判斷直線的方向向量與平面的法向量平行2使用坐標(biāo)法證明時，如果平面的法向量很明顯，可以用法二，否則常常選用法一解決跟蹤訓(xùn)練1.如圖3211，長方體ABCDA1B1C1D1中，ABAD1，AA12，點P為DD1的中點，求證：直線PB1平面PAC圖3211證明依題設(shè)，以D為坐標(biāo)原點，如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，則C(1,0,0)，P(0,0,1)，A(0，1,0)，B1(1,1,2)，于是(1,1,0)，(1,0,1)，(1,1,1)，(1,1,0)(1,1,1)0，(1,0,1)(1,1,1)0，故，即PB1CP，PB1CA，又CPCAC，且CP平面PAC，CA平面PAC故直線PB1平面PAC應(yīng)用向量法證明面面垂直如圖3212所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABBC，ABBC2，BB11，E為BB1的中點，證明：平面AEC1平面AA1C1C圖3212思路探究要證明兩個平面垂直，由兩個平面垂直的條件，可證明這兩個平面的法向量垂直，轉(zhuǎn)化為求兩個平面的法向量n1，n2，證明n1n20.解由題意得AB，BC，B1B兩兩垂直以B為原點，BA，BC，BB1分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系則A(2,0,0)，A1(2,0,1)，C(0,2,0)，C1(0,2,1)，E，則(0,0,1)，(2,2,0)，(2,2,1)，2,0，.設(shè)平面AA1C1C的一個法向量為n1(x1，y1，z1)則令x11，得y11.n1(1,1,0)設(shè)平面AEC1的一個法向量為n2(x2，y2，z2)則令z24，得x21，y21.n2(1，1,4)n1n2111(1)040.n1n2，平面AEC1平面AA1C1C規(guī)律方法1.利用空間向量證明面面垂直通?？梢杂袃蓚€途徑：一是利用兩個平面垂直的判定定理將面面垂直問題轉(zhuǎn)化為線面垂直進(jìn)而轉(zhuǎn)化為線線垂直；二是直接求解兩個平面的法向量，由兩個法向量垂直，得面面垂直2向量法證明面面垂直的優(yōu)越性主要體現(xiàn)在不必考慮圖形的位置關(guān)系，恰當(dāng)建系或用基向量表示后，只需經(jīng)過向量運算就可得到要證明的結(jié)果，思路方法“公式化”，降低了思維難度跟蹤訓(xùn)練2三棱錐被平行于底面ABC的平面所截得的幾何體如圖3213所示，截面為三角形A1B1C1，BAC90，A1A平面ABCA1A，ABAC2A1C12，D為BC中點圖3213證明：平面A1AD平面BCC1B1. 【導(dǎo)學(xué)號：46342168】證明如圖，建立空間直角坐標(biāo)系則A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，A1(0,0，)，C1(0,1，)，因為D為BC的中點，所以D點坐標(biāo)為(1,1,0)，所以(2,2,0)，(1,1,0)，(0,0，)，因為2200，0000，所以，所以BCAD，BCAA1，又ADAA1A，所以BC平面ADA1，而BC平面BCC1B1，所以平面A1AD平面BCC1B1.當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)固 雙 基1若直線l的方向向量a(8，12,0)，平面的法向量(2，3,0)，則直線l與平面的位置關(guān)系是()AlBlC直線l與平面相交但不垂直D無法確定Ba.a，l.2若平面，垂直，則下面可以作為這兩個平面的法向量的是()An1(1,2,1)，n2(3,1,1)Bn1(1,1,2)，n2(2,1,1)Cn1(1,1,1)，n2(1,2,1)Dn1(1,2,1)，n2(0，2，2)A選項A中，n1n21(3)21110.故選A3已知(2,2,1)，(4,5,3)，則平面ABC的一個單位法向量為()ABC DB設(shè)平面ABC的法向量為n(x，y，z)，則有取x1，則y2，z2.所以n(1，2,2)由于|n|3，所以平面ABC的一個單位法向量可以是.4已知平面和平面的法向量分別為a(1,2,3)，b(x，2,3)，且，則x_.5，ab，abx490，x5.5在正方體ABCDA1B1C1D1中，E為CC1的中點，證明：平面B1ED平面B1BD 【導(dǎo)學(xué)號：46342169】證明以DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)正方體的棱長為1，則D(0,0,0)，B1(1,1,1)，E，(1,1,1)，設(shè)平面B1DE的法向量為n1(x，y，z)，則xyz0且yz0，令z2，則y1，x1，n1(1,1，2)同理求得平面B1BD的法向量為n2(1，1,0)，由n1n20，知n1n2，平面B1DE平面B1BD