2018年秋高中數(shù)學(xué) 第三章 空間向量與立體幾何 3.2 立體幾何中的向量方法 第2課時 空間向量與垂直關(guān)系學(xué)案 新人教A版選修2-1.doc

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第2課時　空間向量與垂直關(guān)系 學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.能利用平面法向量證明兩個平面垂直．(重點)2.能利用直線的方向向量和平面的法向量判定并證明空間中的垂直關(guān)系．(重點，難點) [自 主 預(yù) 習(xí)探 新 知] 空間中垂直關(guān)系的向量表示 線線垂直 設(shè)直線l的方向向量為a＝(a1，a2，a3)，直線m的方向向量為b＝(b1，b2，b3)，則l⊥m?ab＝0?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 線面垂直 設(shè)直線l的方向向量是a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量是u＝(a2，b2，c2)，則l⊥α?a∥u?a＝ku?(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)(k∈R) 面面垂直 若平面α的法向量u＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量v＝(a2，b2，c2)，則α⊥β ? u⊥v ?uv＝0?a1a2＋b1b2＋c1c2＝0 思考：若一個平面內(nèi)一條直線的方向向量與另一個平面的法向量共線，則這兩個平面是否垂直？ [提示]　垂直 [基礎(chǔ)自測] 1．思考辨析 (1)直線的方向向量與平面的法向量垂直，則直線與平面垂直．(　　) (2)兩個平面的法向量垂直，則這兩個平面垂直．(　　) (3)若一條直線的方向向量垂直于一個平面內(nèi)兩條直線的方向向量，則直線和平面垂直．(　　) [答案]　(1)　(2)√　(3) 2．若直線l的方向向量a＝(1,0,2)，平面α的法向量為n＝(－2,0，－4)，則(　　) A．l∥α　　　　 B．l⊥α C．l?α D．l與α斜交 B　[∵n＝(－2,0，－4)＝－2(1,0,2)＝－2a， ∴n∥a，∴l(xiāng)⊥α.] 3．若直線l1的方向向量為u1＝(1,3,2)，直線l2上有兩點A(1,0,1)，B(2，－1,2)，則兩直線的位置關(guān)系是________． l1⊥l2　[＝(1，－1,1)，u1＝11－31＋21＝0， 因此l1⊥l2.] 4．已知兩平面α，β的法向量分別為u1＝(1,0,1)，u2＝(0,2,0)，則平面α，β的位置關(guān)系為________. 【導(dǎo)學(xué)號：46342167】 α⊥β　[u1u2＝0，則α⊥β.] [合 作 探 究攻 重 難] 應(yīng)用向量法證明線面垂直 　如圖3210所示，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱長都為2，D為CC1的中點． 圖3210 求證：AB1⊥平面A1BD． [思路探究]　法一：通過證明⊥，⊥，得到AB1⊥BA1，AB1⊥BD 法二：證明與平面A1BD的法向量平行． [證明]　法一：如圖所示，取BC的中點O，連接AO.因為△ABC為正三角形，所以AO⊥BC． 因為在正三棱柱ABCA1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，所以AO⊥平面BCC1B1. 取B1C1的中點O1，以O(shè)為原點，以，，分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系， 則B(1,0,0)，D(－1,1,0)，A1(0,2，)，A(0,0，)，B1(1,2,0)． 所以＝(1,2，－)，＝(－1,2，)，＝(－2,1,0)． 因為＝1(－1)＋22＋(－)＝0. ＝1(－2)＋21＋(－)0＝0. 所以⊥，⊥，即AB1⊥BA1，AB1⊥BD． 又因為BA1∩BD＝B，所以AB1⊥平面A1BD． 法二：建系同方法一． 設(shè)平面A1BD的法向量為n＝(x，y，z)， 則，即 令x＝1得平面A1BD的一個法向量為n＝(1,2，－)， 又＝(1,2，－)，所以n＝，即∥n. 所以AB1⊥平面A1BD． [規(guī)律方法]　1.坐標(biāo)法證明線面垂直有兩種思路 法一：(1)建立空間直角坐標(biāo)系； (2)將直線的方向向量用坐標(biāo)表示； (3)找出平面內(nèi)兩條相交直線，并用坐標(biāo)表示它們的方向向量； (4)分別計算兩組向量的數(shù)量積，得到數(shù)量積為0. 法二：(1)建立空間直角坐標(biāo)系； (2)將直線的方向向量用坐標(biāo)表示； (3)求出平面的法向量； (4)判斷直線的方向向量與平面的法向量平行． 2．使用坐標(biāo)法證明時，如果平面的法向量很明顯，可以用法二，否則常常選用法一解決． [跟蹤訓(xùn)練] 1.如圖3211，長方體ABCDA1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，點P為DD1的中點，求證：直線PB1⊥平面PAC． 圖3211 [證明]　依題設(shè)，以D為坐標(biāo)原點，如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，則C(1,0,0)，P(0,0,1)，A(0，1,0)，B1(1,1,2)， 于是＝(－1,1,0)，＝(－1,0,1)，＝(1,1,1)， ∴＝(－1,1,0)(1,1,1)＝0， ＝(－1,0,1)(1,1,1)＝0， 故⊥，⊥，即PB1⊥CP，PB1⊥CA， 又CP∩CA＝C，且CP?平面PAC，CA?平面PAC． 故直線PB1⊥平面PAC． 應(yīng)用向量法證明面面垂直 　如圖3212所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝2，BB1＝1，E為BB1的中點，證明：平面AEC1⊥平面AA1C1C． 圖3212 [思路探究]　要證明兩個平面垂直，由兩個平面垂直的條件，可證明這兩個平面的法向量垂直，轉(zhuǎn)化為求兩個平面的法向量n1，n2，證明n1n2＝0. [解]　由題意得AB，BC，B1B兩兩垂直．以B為原點，BA，BC，BB1分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系． 則A(2,0,0)，A1(2,0,1)，C(0,2,0)，C1(0,2,1)，E， 則＝(0,0,1)，＝(－2,2,0)，＝(－2,2,1)，＝－2,0，. 設(shè)平面AA1C1C的一個法向量為n1＝(x1，y1，z1)． 則? 令x1＝1，得y1＝1.∴n1＝(1,1,0)． 設(shè)平面AEC1的一個法向量為n2＝(x2，y2，z2)． 則? 令z2＝4，得x2＝1，y2＝－1.∴n2＝(1，－1,4)． ∵n1n2＝11＋1(－1)＋04＝0. ∴n1⊥n2，∴平面AEC1⊥平面AA1C1C． [規(guī)律方法]　1.利用空間向量證明面面垂直通?？梢杂袃蓚€途徑：一是利用兩個平面垂直的判定定理將面面垂直問題轉(zhuǎn)化為線面垂直進(jìn)而轉(zhuǎn)化為線線垂直；二是直接求解兩個平面的法向量，由兩個法向量垂直，得面面垂直． 2．向量法證明面面垂直的優(yōu)越性主要體現(xiàn)在不必考慮圖形的位置關(guān)系，恰當(dāng)建系或用基向量表示后，只需經(jīng)過向量運算就可得到要證明的結(jié)果，思路方法“公式化”，降低了思維難度． [跟蹤訓(xùn)練] 2．三棱錐被平行于底面ABC的平面所截得的幾何體如圖3213所示，截面為三角形A1B1C1，∠BAC＝90，A1A⊥平面ABC．A1A＝，AB＝AC＝2A1C1＝2，D為BC中點． 圖3213 證明：平面A1AD⊥平面BCC1B1. 【導(dǎo)學(xué)號：46342168】 [證明]　如圖，建立空間直角坐標(biāo)系．則A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)， A1(0,0，)，C1(0,1，)， 因為D為BC的中點， 所以D點坐標(biāo)為(1,1,0)， 所以＝(－2,2,0)，＝(1,1,0)，＝(0,0，)， 因為＝－2＋2＋0＝0，＝0＋0＋0＝0， 所以⊥，⊥，所以BC⊥AD，BC⊥AA1， 又AD∩AA1＝A，所以BC⊥平面ADA1，而BC?平面BCC1B1， 所以平面A1AD⊥平面BCC1B1. [當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)固 雙 基] 1．若直線l的方向向量a＝(8，－12,0)，平面α的法向量μ＝(2，－3,0)，則直線l與平面α的位置關(guān)系是(　　) A．l∥α B．l⊥α C．直線l與平面α相交但不垂直 D．無法確定 B　[∵μ＝a. ∴μ∥a，∴l(xiāng)⊥α.] 2．若平面α，β垂直，則下面可以作為這兩個平面的法向量的是(　　) A．n1＝(1,2,1)，n2＝(－3,1,1) B．n1＝(1,1,2)，n2＝(－2,1,1) C．n1＝(1,1,1)，n2＝(－1,2,1) D．n1＝(1,2,1)，n2＝(0，－2，－2) A　[選項A中，n1n2＝1(－3)＋21＋11＝0.故選A．] 3．已知＝(2,2,1)，＝(4,5,3)，則平面ABC的一個單位法向量為(　　) A． B． C． D． B　[設(shè)平面ABC的法向量為n＝(x，y，z)，則有取x＝1，則y＝－2，z＝2. 所以n＝(1，－2,2)．由于|n|＝3，所以平面ABC的一個單位法向量可以是.] 4．已知平面α和平面β的法向量分別為a＝(1,2,3)，b＝(x，－2,3)，且α⊥β，則x＝________. －5　[∵α⊥β，∴a⊥b， ∴ab＝x－4＋9＝0， ∴x＝－5.] 5．在正方體ABCDA1B1C1D1中，E為CC1的中點，證明：平面B1ED⊥平面B1BD． 【導(dǎo)學(xué)號：46342169】 [證明]　以DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系． 設(shè)正方體的棱長為1，則D(0,0,0)，B1(1,1,1)，E，＝(1,1,1)，＝，設(shè)平面B1DE的法向量為n1＝(x，y，z)，則x＋y＋z＝0且y＋z＝0，令z＝－2，則y＝1，x＝1，∴n1＝(1,1，－2)．同理求得平面B1BD的法向量為n2＝(1，－1,0)，由n1n2＝0，知n1⊥n2，∴平面B1DE⊥平面B1BD．