2018年秋高中數(shù)學(xué) 第二章 隨機(jī)變量及其分布 2.1 離散型隨機(jī)變量及其分布列 2.1.1 離散型隨機(jī)變量學(xué)案 新人教A版選修2-3.doc

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2.1.1　離散型隨機(jī)變量 學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.理解隨機(jī)變量及離散型隨機(jī)變量的含義．(重點(diǎn))2.了解隨機(jī)變量與函數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系．(易混點(diǎn))3.能寫出離散型隨機(jī)變量的可能取值，并能解釋其意義．(難點(diǎn)) [自 主 預(yù) 習(xí)探 新 知] 1．隨機(jī)變量 (1)定義：在隨機(jī)試驗(yàn)中，確定一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系，使得每一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果都用一個(gè)確定的數(shù)字表示．在這個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系下，數(shù)字隨著試驗(yàn)結(jié)果變化而變化的變量稱為隨機(jī)變量． (2)表示：隨機(jī)變量常用字母X，Y，ξ，η，…表示． 思考：隨機(jī)變量與函數(shù)有怎樣的關(guān)系？ [提示]　 相同點(diǎn) 隨機(jī)變量和函數(shù)都是一種映射 區(qū)別 隨機(jī)變量是隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果到實(shí)數(shù)的映射，函數(shù)是實(shí)數(shù)到實(shí)數(shù)的映射 聯(lián)系 隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的范圍相當(dāng)于函數(shù)的定義域，隨機(jī)變量的取值范圍相當(dāng)于函數(shù)的值域 2.離散型隨機(jī)變量 (1)定義：所有取值可以一一列出的隨機(jī)變量，稱為離散型隨機(jī)變量． (2)特征： ①可用數(shù)值表示． ②試驗(yàn)之前可以判斷其出現(xiàn)的所有值． ③在試驗(yàn)之前不能確定取何值． ④試驗(yàn)結(jié)果能一一列出． 思考：離散型隨機(jī)變量的取值必須是有限個(gè)嗎？ [提示]　離散型隨機(jī)變量的取值可以是有限個(gè)，例如取值為1,2，…，n；也可以是無限個(gè)，如取值為1,2，…，n，…. [基礎(chǔ)自測(cè)] 1．判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“”) (1)隨機(jī)變量的取值可以是有限個(gè)，也可以是無限個(gè)． (　　) (2)在拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣試驗(yàn)中，“出現(xiàn)正面的次數(shù)”為隨機(jī)變量． (　　) (3)離散型隨機(jī)變量的取值是任意的實(shí)數(shù)． (　　) [解析]　　(1)√　因?yàn)殡S機(jī)變量的每一個(gè)取值，均代表一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果，試驗(yàn)結(jié)果有限個(gè)，隨機(jī)變量的取值就有有限個(gè)，試驗(yàn)結(jié)果有無限個(gè)，隨機(jī)變量的取值就有無限個(gè)． (2)√　因?yàn)閿S一枚硬幣，可能出現(xiàn)的結(jié)果是正面向上或反面向上，以一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)如正面向上的次數(shù)來描述這一隨機(jī)試驗(yàn)，那么正面向上的次數(shù)就是隨機(jī)變量ξ，ξ的取值是0,1. (3)　由離散型隨機(jī)變量的定義可知它的取值能夠一一列出，因此離散型隨機(jī)變量的取值是任意的實(shí)數(shù)的說法錯(cuò)誤． [答案]　(1)√　(2)√　(3) 2．下列變量中，是離散型隨機(jī)變量的是(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：95032116】 A．到2019年10月1日止，我國發(fā)射的人造地球衛(wèi)星數(shù) B．一只剛出生的大熊貓，一年以后的身高 C．某人在車站等出租車的時(shí)間 D．某人投籃10次，可能投中的次數(shù) D　[根據(jù)離散型隨機(jī)變量的定義：其可能取到的不相同的值是有限個(gè)或可列為有限個(gè)，即可以按一定次序一一列出，試驗(yàn)前可以判斷其出現(xiàn)的所有值．選項(xiàng)A、B、C的數(shù)值均有不確定性，而選項(xiàng)D中，投籃10次，可能投中的次數(shù)是離散型隨機(jī)變量．] 3．袋中有大小相同的紅球6個(gè)，白球5個(gè)，從袋中每次任意取出1個(gè)球，直到取出的球是白球?yàn)橹箷r(shí)，所需要的取球次數(shù)為隨機(jī)變量X，則X的可能取值為(　　) A．1,2,3，…，6　　　 B．1,2,3，…，7 C．0,1,2，…，5 D．1,2，…，5 B　[由于取到白球游戲結(jié)束，由題意可知X的可能取值為1,2,3,4,5,6,7.] 4．下列隨機(jī)變量不是離散型隨機(jī)變量的是________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：95032117】 ①某景點(diǎn)一天的游客數(shù)X； ②某手機(jī)一天內(nèi)收到呼叫次數(shù)X； ③水文站觀測(cè)到江水的水位數(shù)X； ④某收費(fèi)站一天內(nèi)通過的汽車車輛數(shù)X. [解析]　①②④中的隨機(jī)變量X可能取的值，我們都可以按一定的次序一一列出，因此都是離散型隨機(jī)變量；③中X可以取一區(qū)間內(nèi)的一切值，無法按一定次序一一列出，故③不是離散型隨機(jī)變量． [答案]?、? [合 作 探 究攻 重 難] 隨機(jī)變量的概念 　(1)6件產(chǎn)品中有2件次品與4件正品，從中任取2件，則下列可作為隨機(jī)變量的是(　　) A．取到產(chǎn)品的件數(shù)　　 B．取到正品的件數(shù) C．取到正品的概率 D．取到次品的概率 (2)判斷下列各個(gè)量，哪些是隨機(jī)變量，哪些不是隨機(jī)變量，并說明理由． ①北京國際機(jī)場(chǎng)候機(jī)廳中明天的旅客數(shù)量； ②2018年5月1日至10月1日期間所查酒駕的人數(shù)； ③2018年6月1日濟(jì)南到北京的某次動(dòng)車到北京站的時(shí)間； ④體積為1 000 cm3的球的半徑長． (1)B　[A中取到的產(chǎn)品的件數(shù)是一個(gè)常量不是變量，C、D也是一個(gè)定值，而B中取到正品的件數(shù)可能是0,1,2，是隨機(jī)變量．] (2)[解]　①旅客人數(shù)可能是0,1,2，…，出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果是隨機(jī)的，因此是隨機(jī)變量． ②所查酒駕的人數(shù)可能是0,1,2，…，出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果是隨機(jī)的，因此是隨機(jī)變量． ③動(dòng)車到達(dá)的時(shí)間可在某一區(qū)間內(nèi)任取一值，是隨機(jī)的，因此是隨機(jī)變量． ④球的體積為1 000 cm3時(shí)，球的半徑為定值，不是隨機(jī)變量． [規(guī)律方法]　 隨機(jī)變量的辨析方法 1．隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果具有可變性，即每次試驗(yàn)對(duì)應(yīng)的結(jié)果不盡相同． 2．隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果具有確定性，即每次試驗(yàn)總是恰好出現(xiàn)這些結(jié)果中的一個(gè)，但在一次試驗(yàn)之前卻不能肯定這次試驗(yàn)會(huì)出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果． 如果一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果對(duì)應(yīng)的變量具有以上兩點(diǎn)，則該變量即為隨機(jī)變量． [跟蹤訓(xùn)練] 1．判斷下列各個(gè)量，哪些是隨機(jī)變量，哪些不是隨機(jī)變量，并說明理由． (1)某天騰訊公司客服接到咨詢電話的個(gè)數(shù)； (2)標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水沸騰的溫度； (3)在一次繪畫作品評(píng)比中，設(shè)一、二、三等獎(jiǎng)，你的一件作品獲得的獎(jiǎng)次； (4)體積為64 cm3的正方體的棱長． [解]　(1)接到咨詢電話的個(gè)數(shù)可能是0,1,2，…出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果都是隨機(jī)的，因此是隨機(jī)變量． (2)標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水沸騰的溫度100℃是定值，所以不是隨機(jī)變量． (3)獲得的獎(jiǎng)次可能是1,2,3，出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果都是隨機(jī)的，因此是隨機(jī)變量． (4)體積為64 cm3的正方體的棱長為4 cm為定值，不是隨機(jī)變量． 離散型隨機(jī)變量的判定 　指出下列隨機(jī)變量是否是離散型隨機(jī)變量，并說明理由． (1)某教學(xué)資源網(wǎng)站一天內(nèi)的點(diǎn)擊量． (2)你明天上學(xué)進(jìn)入校門的時(shí)間． (3)某市明年下雨的次數(shù)． (4)抽檢一件產(chǎn)品的真實(shí)質(zhì)量與標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的誤差. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：95032118】 [思路探究]　根據(jù)隨機(jī)變量的實(shí)際背景，判斷隨機(jī)變量的取值是否可以一一列出，從而判斷是否為離散型隨機(jī)變量． [解]　(1)某教學(xué)資源網(wǎng)站一天內(nèi)的點(diǎn)擊量可以一一列出，是離散型隨機(jī)變量． (2)你明天上學(xué)進(jìn)入校門的時(shí)間，可以是某區(qū)間內(nèi)任意實(shí)數(shù)，不能一一列出，不是離散型隨機(jī)變量． (3)某市明年下雨的次數(shù)可以一一列出，是離散型隨機(jī)變量． (4)抽檢一件產(chǎn)品的真實(shí)質(zhì)量與標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的誤差可以在某區(qū)間內(nèi)連續(xù)取值，不能一一列出，不是離散型隨機(jī)變量． [規(guī)律方法]　 離散型隨機(jī)變量判定的關(guān)鍵及方法 (1)關(guān)鍵：判斷隨機(jī)變量X的所有取值是否可以一一列出． (2)具體方法： ①明確隨機(jī)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果； ②將隨機(jī)試驗(yàn)的試驗(yàn)結(jié)果數(shù)量化； ③確定試驗(yàn)結(jié)果所對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)是否可按一定次序一一列出，如果能一一列出，則該隨機(jī)變量是離散型隨機(jī)變量，否則不是． [跟蹤訓(xùn)練] 2．給出下列四種變量 (1)某電話亭內(nèi)的一部電話1小時(shí)內(nèi)使用的次數(shù)記為X. (2)某人射擊2次，擊中目標(biāo)的環(huán)數(shù)之和記為X. (3)測(cè)量一批電阻，在950 Ω和1 200 Ω之間的阻值記為X. (4)一個(gè)在數(shù)軸上隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，它在數(shù)軸上的位置記為X.其中離散型隨機(jī)變量的個(gè)數(shù)是(　　) A．1個(gè)　　　　　　　　 B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) B　[(1)某電話亭內(nèi)的一部電話1小時(shí)內(nèi)使用的次數(shù)記為X，X是離散型隨機(jī)變量； (2)某人射擊2次，擊中目標(biāo)的環(huán)數(shù)之和記為X，X是離散型隨機(jī)變量； (3)測(cè)量一批電阻，阻值在950 Ω～1 200 Ω之間，是連續(xù)型隨機(jī)變量； (4)一個(gè)在數(shù)軸上運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，它在數(shù)軸上的位置記為X，X不是隨機(jī)變量． 故離散型隨機(jī)變量個(gè)數(shù)是2個(gè)．] 3．有下列問題： (1)某單位一天來往的人數(shù)X； (2)從已編號(hào)的5張卡片中(從1號(hào)到5號(hào))任取一張，被取出的卡片號(hào)數(shù)X； (3)一天內(nèi)的溫度為X； (4)某人一生內(nèi)的身高為X； (5)全民運(yùn)動(dòng)會(huì)上，一選手進(jìn)行射箭比賽，擊中目標(biāo)得10分，未擊中目標(biāo)得零分，用X表示該選手在比賽中的得分； (6)某林場(chǎng)樹木最高達(dá)50米，此林場(chǎng)樹木的高度X. 上述問題中的X是離散型隨機(jī)變量的是________． [解析]　(1)，(2)，(5)都可以一一列出，故都是離散型隨機(jī)變量，而(3)，(4)都是連續(xù)型隨機(jī)變量，不能一一列出，(6)也不能一一列出，樹木高度有無限多個(gè)，也不是離散型隨機(jī)變量． [答案]　(1)，(2)，(5) 隨機(jī)變量的可能取值及試驗(yàn)結(jié)果 [探究問題] 1．拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，可能出現(xiàn)正面向上、反面向上兩種結(jié)果．這種試驗(yàn)結(jié)果能用數(shù)字表示嗎？ [提示]　可以．用數(shù)字1和0分別表示正面向上和反面向上． 2．在一塊地里種10棵樹苗，設(shè)成活的樹苗數(shù)為X，則X可取哪些數(shù)字？ [提示]　X＝0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10. 3．拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)為ξ，則“ξ≥4”表示的隨機(jī)事件是什么？ [提示]　“ξ≥4”表示出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為4點(diǎn)，5點(diǎn)，6點(diǎn)． 　寫出下列隨機(jī)變量可能取的值，并說明隨機(jī)變量所取的值表示的隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果． (1)一個(gè)袋中裝有8個(gè)紅球，3個(gè)白球，從中任取5個(gè)球，其中所含白球的個(gè)數(shù)為X. (2)一個(gè)袋中有5個(gè)同樣大小的黑球，編號(hào)為1,2,3,4,5，從中任取3個(gè)球，取出的球的最大號(hào)碼記為X. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：95032119】 [思路探究]　→ → [解]　(1)X＝0表示取5個(gè)球全是紅球； X＝1表示取1個(gè)白球，4個(gè)紅球； X＝2表示取2個(gè)白球，3個(gè)紅球； X＝3表示取3個(gè)白球，2個(gè)紅球． (2)X＝3表示取出的球編號(hào)為1,2,3. X＝4表示取出的球編號(hào)為1,2,4；1,3,4或2,3,4. X＝5表示取出的球編號(hào)為1,2,5；1,3,5；1,4,5；2,3,5；2,4,5或3,4,5. 母題探究：1.(變換條件、改變問法)在本例(1)條件下，規(guī)定取出一個(gè)紅球贏2元，而每取出一個(gè)白球輸1元，以ξ表示贏得的錢數(shù)，結(jié)果如何？ [解]　ξ＝10表示取5個(gè)球全是紅球； ξ＝7表示取1個(gè)白球，4個(gè)紅球； ξ＝4表示取2個(gè)白球，3個(gè)紅球； ξ＝1表示取3個(gè)白球，2個(gè)紅球． 2．(改變問法)本例(2)中，“最大”改為“最小”，其他條件不變，應(yīng)如何解答？ [解]　X可取1,2,3. X＝3表示取出的3個(gè)球的編號(hào)為3,4,5； X＝2表示取出的3個(gè)球的編號(hào)為2,3,4或2,3,5或2,4,5； X＝1表示取出的3個(gè)球的編號(hào)為1,2,5或1,3,5或1,4,5或1,2,4或1,3,4或1,2,3. [規(guī)律方法]　用隨機(jī)變量表示隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果的關(guān)鍵點(diǎn)和注意點(diǎn) (1)關(guān)鍵點(diǎn)：解決此類問題的關(guān)鍵是明確隨機(jī)變量的所有可能取值，以及取每一個(gè)值對(duì)應(yīng)的意義，即一個(gè)隨機(jī)變量的取值對(duì)應(yīng)一個(gè)或多個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果． (2)注意點(diǎn)：解答過程中不要漏掉某些試驗(yàn)結(jié)果． [跟蹤訓(xùn)練] 4．寫出下列各隨機(jī)變量可能取的值，并說明隨機(jī)變量所取的值表示的隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果． (1)在2018年北京大學(xué)的自主招生中，參與面試的5名考生中，通過面試的考生人數(shù)X； (2)射手對(duì)目標(biāo)進(jìn)行射擊，擊中目標(biāo)得1分，未擊中目標(biāo)得0分，該射手在一次射擊中的得分用ξ表示． [解]　(1)X可能取值0,1,2,3,4,5， X＝i表示面試通過的有i人，其中i＝0,1,2,3,4,5. (2)ξ可能取值為0,1， 當(dāng)ξ＝0時(shí)，表明該射手在本次射擊中沒有擊中目標(biāo)； 當(dāng)ξ＝1時(shí)，表明該射手在本次射擊中擊中目標(biāo)． [當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)固 雙 基] 1．袋中有2個(gè)黑球、6個(gè)紅球，從中任取兩個(gè)，可以作為隨機(jī)變量的是(　　) A．取到的球的個(gè)數(shù)　　 B．取到紅球的個(gè)數(shù) C．至少取到一個(gè)紅球 D．至少取到一個(gè)紅球的概率 B　[A的取值不具有隨機(jī)性，C是一個(gè)事件而非隨機(jī)變量，D中概率值是一個(gè)定值而非隨機(jī)變量，只有B滿足要求．] 2．下列變量中，不是隨機(jī)變量的是(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：95032120】 A．2020年奧運(yùn)會(huì)上中國取得的金牌數(shù) B．2018年冬奧會(huì)上中國取得的獎(jiǎng)牌數(shù) C．某人投籃2次，投中的次數(shù) D．某急救中心每天接到的呼救次數(shù) B　[2018年我國冬奧會(huì)上取得的獎(jiǎng)牌數(shù)是一個(gè)具體的數(shù)字，不是隨機(jī)變量，其他三個(gè)均為隨機(jī)變量．] 3．隨機(jī)變量X是某城市1天之中發(fā)生的火警次數(shù)，隨機(jī)變量Y是某城市1天之內(nèi)的溫度，隨機(jī)變量ξ是某火車站1小時(shí)內(nèi)的旅客流動(dòng)人數(shù)．這三個(gè)隨機(jī)變量中不是離散型隨機(jī)變量的是(　　) A．X和ξ B．只有Y C．Y和ξ D．只有ξ B　[某城市1天之內(nèi)的溫度不能一一列舉，故Y不是離散型隨機(jī)變量．] 4．甲進(jìn)行3次射擊，甲擊中目標(biāo)的概率為，記甲擊中目標(biāo)的次數(shù)為ξ，則ξ的可能取值為________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：95032121】 [解析]　甲可能在3次射擊中，一次也未中，也可能中1次，2次，3次． [答案]　0,1,2,3 5．甲、乙兩隊(duì)員進(jìn)行乒乓球單打比賽，規(guī)定采用“七局四勝制”．用ξ表示需要比賽的局?jǐn)?shù)，寫出“ξ＝6”時(shí)表示的試驗(yàn)結(jié)果． [解]　根據(jù)題意可知，ξ＝6表示甲在前5局中勝3局且在第6局中勝出或乙在前5局中勝3局且在第6局中勝出．