2019年高中數學 第5章 數系的擴充與復數 5.1-5.2 解方程與數系的擴充 復數的概念講義（含解析）湘教版選修2-2.doc

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5．1 & 5.2解方程與數系的擴充 復數的概念 [讀教材填要點] 1．復數的概念 (1)虛數單位：規(guī)定一個符號i代表一個數，滿足條件i2＝－1，稱這個i為虛數單位． (2)復數的定義：形如a＋bi(其中a，b是實數)的數稱為復數，記作z＝a＋bi，其中a 稱為復數a＋bi的實部，記作Re_z，b稱為a＋bi的虛部，記作Im_z. 2．復數的分類 (1)復數a＋bi(a，b∈R) (2)集合表示： 3．復數相等的充要條件 設a，b，c，d都是實數，那么a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d. [小問題大思維] 1．復數m＋ni的實部、虛部一定是m，n嗎？ 提示：不一定．只有當m∈R，n∈R時，m，n才是該復數的實部、虛部． 2．兩個復數能比較大小嗎？若a＋bi>0，則a，b滿足什么條件？ 提示：對于復數z＝a＋bi(a，b∈R)． 當b＝0時，能比較大小， 當b≠0時，不能比較大?。? 即兩個不全是實數的復數不能比較大?。? 若a＋bi>0，則b＝0，a>0. 3．a＝0是復數z＝a＋bi為純虛數的充分條件嗎？ 提示：因為當a＝0且b≠0時，z＝a＋bi才是純虛數，所以a＝0是復數z＝a＋bi為純虛數的必要不充分條件． 復數的分類 (1)給出下列三個命題：①若z∈C，則z2≥0；②2i－1的虛部是2i；③2i的實部是0.其中真命題的個數為(　　) A．0　　　 　B．1　　　 C．2　　　　 D．3 (2)當m為何實數時，復數z＝＋(m2－2m－15)i. ①是虛數；②是純虛數． [自主解答]　(1)選B　對于①，當z∈R時，z2≥0成立，否則不成立，如z＝i，z2＝ －1<0，所以①為假命題； 對于②，2i－1＝－1＋2i，其虛部是2，不是2i，②為假命題； 對于③，2i＝0＋2i，其實部是0，③為真命題．故選B. (2)①當即m≠5且m≠－3時，z是虛數． ②當即m＝3或m＝－2時，z是純虛數． 利用復數的代數形式對復數分類時，關鍵是根據分類標準列出實部、虛部應滿足的關系式(等式或不等式(組))，求解參數時，注意考慮問題要全面． 1．設復數z＝lg(m2－2m－2)＋(m2－m－6)i，當m為何值時， (1)z是實數？(2)z是純虛數？ 解：(1)要使復數z為實數，需滿足 解得m＝3或－2.即當m＝3或－2時，z是實數． (2)要使復數z為純虛數，需滿足 解得m＝－1.即當m＝－1時，z是純虛數． 復數相等的充要條件 求使等式(2x－1)＋i＝y(tǒng)－(3－y)i成立的實數x，y的值． [自主解答]　由復數相等的充要條件得 解得 若將等式換為“(2x－1)＋i＝(3－y)i”呢？ 解：由復數相等的充要條件得 解得 解決復數相等問題的步驟 (1)等號兩側都寫成復數的代數形式； (2)根據兩個復數相等的充要條件列出方程(組)； (3)解方程(組)． 2．已知x2－y2＋2xyi＝2i，求實數x，y的值． 解：∵x2－y2＋2xyi＝2i， ∴ 解得或 已知M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，P＝{－1,1,4i}，若M∪P＝P，求實數m的值． [巧思]　M∪P＝P，則M?P. 故(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1或(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i. [妙解]　∵M∪P＝P，∴M?P. 又∵M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，P＝{ －1,1,4i}． ∴(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1. 或(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i， 即或 解得m＝1或m＝2. 即實數m的值為1或2. 1．若復數2－bi(b∈R)的實部與虛部互為相反數，則b的值為(　　) A．－2　　　　　　　　 B． C．－ D．2 解析：復數2－bi的實部為2，虛部為－b， 由題意知2＝－(－b)，所以b＝2. 答案：D 2．若a，b∈R，i是虛數單位，a＋2 018i＝2－bi，則a2＋bi＝(　　) A．2 018＋2i B．2 018＋4i C．2＋2 018i D．4－2 018i 解析：因為a＋2 018i＝2－bi， 所以a＝2，－b＝2 018，即a＝2，b＝－2 018， 所以a2＋bi＝4－2 018i. 答案：D 3．若復數z＝m2－1＋(m2－m－2)i為實數，則實數m的值為(　　) A．－1 B．2 C．1 D．－1或2 解析：∵復數z＝m2－1＋(m2－m－2)i為實數， ∴m2－m－2＝0，解得m＝－1或m＝2. 答案：D 4．復數(1＋)i的實部為________． 解析：復數(1＋)i＝0＋(1＋)i. ∴實部為0. 答案：0 5．已知z1＝m2－3m＋mi，z2＝4＋(5m＋4)i，其中m∈R，i為虛數單位，若z1＝z2，則m的值為________． 解析：由題意得m2－3m＋mi＝4＋(5m＋4)i， 從而解得m＝－1. 答案：－1 6．實數m為何值時，復數z＝lg(m2＋2m＋1)＋(m2＋3m＋2)i是：(1)實數？(2)虛數？ (3)純虛數？ 解：(1)若z為實數，則 即 解得m＝－2. ∴當m＝－2時，z為實數． (2)若z是虛數， 則 即 解得m≠－2且m≠－1. ∴當m≠－2且m≠－1時，z為虛數． (3)若z為純虛數，則 即 即 解得m＝0. ∴當m＝0時，復數z為純虛數． 一、選擇題 1．下列各數中，純虛數的個數是(　　) 3＋ ，i, 0i , 3i＋8，i(2＋)，0.618 A．0　　　　　　　　　　 　B．1 C．2 D．3 解析：根據純虛數的定義知，i，i(2＋)是純虛數． 答案：C 2．若復數a＋2i的實部和復數2＋(a2－a－3)i的虛部相等，則實數a的值為(　　) A．3 B．－1 C．3或－1 D．－3或1 解析：根據題意有a2－a－3＝a，即a2－2a－3＝0， 解得a＝3或a＝－1. 答案：C 3．若(x＋y)i＝x－1(x，y∈R)，則2x＋y的值為(　　) A.　　　　　　　　 　B．2 C．0 D．1 解析：由復數相等的充要條件知， 解得∴x＋y＝0. ∴2x＋y＝20＝1. 答案：D 4．已知M＝{1,2，m2－3m－1＋(m2－5m－6)i}，N＝{－1,3}，M∩N＝{3}，則實數m的值為(　　) A．－1或6 B．－1或4 C．－1 D．4 解析：由M∩N＝{3}，知 m2－3m－1＋(m2－5m－6)i＝3， ∴ 解得m＝－1. 答案：C 二、填空題 5．已知z1＝－4a＋1＋(2a2＋3a)i，z2＝2a＋(a2＋a)i，其中a∈R，z1>z2，則a的值為________． 解析：由z1>z2， 得 即 解得a＝0. 答案：0 6．若log2(m2－3m－3)＋ilog2(m－2)為純虛數，則實數m＝________. 解析：因為log2(m2－3m－3)＋ilog2(m－2)為純虛數， 所以所以m＝4. 答案：4 7．設a，b∈R，若(a＋b)＋i＝－10＋abi(i為虛數單位)，則(－)2＝________. 解析：∵(a＋b)＋i＝－10＋abi，且a，b∈R， ∴ ∴(－)2＝a＋b－2＝－10－2＝－12. 答案：－12 8．如果(m2－1)＋(m2－2m)i＞1則實數m的值為______． 解析：由題意得解得m＝2. 答案：2 三、解答題 9．已知復數z＝＋(a2－5a－6)i(a∈R)．實數a取什么值時，z是(1)實數？ (2)虛數？(3)純虛數？ 解：(1)當z為實數時， 有 所以 所以當a＝6時，z為實數． (2)當z為虛數時， 有 所以即a≠1且a≠6. 所以當a∈(－∞，－1)∪(－1,1)∪(1,6)∪(6，＋∞)時，z為虛數． (3)當z為純虛數時，有 所以 所以不存在實數a使得z為純虛數． 10．已知復數z1＝4－m2＋(m－2)i，z2＝λ＋2sin θ＋(cos θ－2)i(其中i是虛數單位，m，λ，θ∈R)． (1)若z1為純虛數，求實數m的值； (2)若z1＝z2，求實數λ的取值范圍． 解：(1)∵z1為純虛數， 則解得m＝－2. (2)由z1＝z2，得 ∴λ＝4－cos2θ－2sin θ＝sin2θ－2sin θ＋3 ＝(sin θ－1)2＋2. ∵－1≤sin θ≤1， ∴當sin θ＝1時，λmin＝2， 當sin θ＝－1時，λmax＝6， ∴實數λ的取值范圍是[2,6]．