2019年高中數學 第5章 數系的擴充與復數 5.3 復數的四則運算講義（含解析）湘教版選修2-2.doc

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5．3復數的四則運算 [讀教材填要點] 復數的四則運算 一般地，設z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，有 (1)加法：z1＋z2＝a＋c＋(b＋d)i. (2)減法：z1－z2＝a－c＋(b－d)i. (3)乘法：z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i. (4)除法：＝＝＋i(c＋di≠0)． [小問題大思維] 1．若復數z1，z2滿足z1－z2>0，能否認為z1>z2? 提示：不能．如2＋i－i>0，但2＋i與i不能比較大?。? 2．復數的乘法滿足我們以前學過的完全平方公式、平方差公式嗎？ 提示：復數的乘法類似多項式的乘法，滿足完全平方公式和平方差公式． 3．如何辨析復數除法與實數除法的關系？ 提示：復數的除法和實數的除法有所不同，實數的除法可以直接約分、化簡得出結果；而復數的除法是先將兩復數的商寫成分式，然后分母實數化． 復數的加減運算 已知z1＝(3x＋y)＋(y－4x)i，z2＝(4y－2x)－(5x＋3y)i(x，y∈R)，若z1－z2＝ 13－2i，求z1，z2. [自主解答]　z1－z2＝(3x＋y)＋(y－4x)i－[(4y－2x)－(5x＋3y)i] ＝[(3x＋y)－(4y－2x)]＋[(y－4x)＋(5x＋3y)]i ＝(5x－3y)＋(x＋4y)i. 又∵z1－z2＝13－2i，∴(5x－3y)＋(x＋4y)i＝13－2i. ∴解得 ∴z1＝(32－1)＋(－1－42)i＝5－9i. z2＝[4(－1)－22]－[52＋3(－1)]i＝－8－7i. 對復數進行加減運算時，先分清復數的實部與虛部，然后將實部與實部、虛部與虛部分別相加減． 1．(1)計算：＋(2－i)－. (2)已知復數z滿足z＋1－3i＝5－2i，求z. 解：(1)＋(2－i)－ ＝＋i＝1＋i. (2)法一：設z＝x＋yi(x，y∈R)， 因為z＋1－3i＝5－2i， 所以x＋yi＋(1－3i)＝5－2i， 即x＋1＝5且y－3＝－2， 解得x＝4，y＝1， 所以z＝4＋i. 法二：因為z＋1－3i＝5－2i， 所以z＝(5－2i)－(1－3i)＝4＋i. 復數的乘除運算 計算： (1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i)； (2)(1＋i)； (3)(－2＋3i)(1＋2i)； (4)(5－29i)(7－3i)． [自主解答]　(1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i) ＝1－i2＋(－1＋i)＝2－1＋i＝1＋i. (2)(1＋i) ＝(1＋i) ＝(1＋i) ＝＋i ＝－＋i. (3)原式＝＝ ＝＝＋i. (4)原式＝＝ ＝ ＝＝5－2i. (1)三個或三個以上的復數相乘可按從左到右的順序運算或利用結合律運算，混合運算和實數的運算順序一樣． (2)復數的除法法則難以記憶，在做題時，牢記分母“實數化”即可． 2．(1)已知復數z1＝4＋8i，z2＝6＋9i，求復數(z1－z2)i的實部與虛部； (2)已知z是純虛數，是實數，求z. 解：(1)由題意得z1－z2＝(4＋8i)－(6＋9i)＝(4－6)＋(8i－9i)＝－2－i， 則(z1－z2)i＝(－2－i)i＝－2i－i2＝1－2i. 于是復數(z1－z2)i的實部是1，虛部是－2. (2)設純虛數z＝bi(b∈R)， 則＝＝＝. 由于是實數，所以b＋2＝0，即b＝－2，所以z＝－2i. 復數范圍內的方程問題 若關于x的方程x2＋(1＋2i)x－(3m－1)i＝0有實根，求純虛數m的值． [自主解答]　設m＝bi(b≠0)，x0為一實根，代入原方程得x＋(1＋2i)x0－(3bi－1)i＝0. ∴(x＋x0＋3b)＋(2x0＋1)i＝0. ∴解得∴m＝i. 若將“求純虛數m”改為“求實數m”，如何求解？ 解：x2＋(1＋2i)x－(3m－1)i＝0， 即(x2＋x)＋(2x－3m＋1)i＝0， ∴∴或 即m＝或－. 復數方程問題，常借助復數相等的充要條件轉化為實數問題解決． 3．已知關于x的方程x2＋kx－i＝0有一根是i，求k的值． 解：因為i為方程x2＋kx－i＝0的一個根， 所以代入原方程，得i2＋ki－i＝0. 所以k＝＝＝1－i. 計算：1＋i＋i2＋i3＋…＋i2 018. [解]　法一：∵i＋i2＋i3＋i4＝0，∴in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0. ∴1＋i＋i2＋i3＋…＋i2 018 ＝1＋i＋i2＋(i3＋i4＋i5＋i6)＋(i7＋i8＋i9＋i10)＋…＋(i2 015＋i2 016＋i2 017＋i2 018) ＝1＋i＋i2＝i. 法二：1＋i＋i2＋…＋i2 018 ＝＝ ＝＝＝i. 1．(6－2i)－(3i＋1)等于(　　) A．3－3i　　　　　　　 　B．5－5i C．7＋i D．5＋5i 解析：(6－2i)－(3i＋1)＝(6－1)＋(－2－3)i＝5－5i. 答案：B 2．(全國卷Ⅱ)＝(　　) A．1＋2i　　　　　　　　 　B．1－2i C．2＋i D．2－i 解析：＝＝＝2－i. 答案：D 3．已知復數z＝1－i，則＝(　　) A．2i B．－2i C．2 D．－2 解析：法一：因為z＝1－i， 所以＝＝＝－2i. 法二：由已知得z－1＝－i，而＝＝＝＝－2i. 答案：B 4．若z＝－時，求z2 018＋z102＝________. 解析：z2＝2＝－i. z2 018＋z102＝(－i)1 009＋(－i)51 ＝(－i)1 008(－i)＋(－i)48(－i)3 ＝－i＋i＝0 答案：0 5．已知復數z1＝a2－3－i，z2＝－2a＋a2i，若z1＋z2是純虛數，則實數a＝________. 解析：由條件知z1＋z2＝a2－2a－3＋(a2－1)i，又z1＋z2是純虛數， 所以解得a＝3. 答案：3 6．已知復數z＝. (1)求復數z； (2)若z2＋az＋b＝1－i，求實數a，b的值． 解：(1)z＝＝＝＝1＋i. (2)把z＝1＋i代入得(1＋i)2＋a(1＋i)＋b＝1－i， 即a＋b＋(2＋a)i＝1－i， 所以解得 1．設i為虛數單位，則＝(　　) A．－2－3i　　　　　　　　 　B．－2＋3i C．2－3i D．2＋3i 解析：＝＝＝2－3i. 答案：C 2．(山東高考)已知i是虛數單位，若復數z滿足zi＝1＋i，則z2＝(　　) A．－2i B．2i C．－2 D．2 解析：∵zi＝1＋i，∴z＝＝＋1＝1－i. ∴z2＝(1－i)2＝1＋i2－2i＝－2i. 答案：A 3．若a為實數，且(2＋ai)(a－2i)＝－4i，則a＝(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 解析：∵(2＋ai)(a－2i)＝－4i， ∴4a＋(a2－4)i＝－4i. ∴解得a＝0. 答案：B 4．已知z1＝－2－3i，z2＝，則＝(　　) A．－4＋3i B．3＋4i C．3－4i D．4－3i 解析：∵z1＝－2－3i，z2＝， ∴＝＝ ＝－i(2＋i)2＝－(3＋4i)i＝4－3i. 答案：D 二、填空題 5．復數＋的虛部是________． 解析：∵＋＝(－2－i)＋(1＋2i)＝－＋i， ∴虛部是. 答案： 6．若復數z滿足z＝i(2－z)(i是虛數單位)，則z＝______. 解析：∵z＝i(2－z)，∴z＝2i－iz， ∴(1＋i)z＝2i，∴z＝＝1＋i. 答案：1＋i 7．(天津高考)已知a∈R，i為虛數單位，若為實數，則a的值為________． 解析：由＝＝－i是實數，得－＝0，所以a＝－2. 答案：－2 8．若z＝i－1是方程z2＋az＋b＝0的一個根，則實數a，b的值分別為________，________. 解析：把z＝i－1代入方程z2＋az＋b＝0， 得(－a＋b)＋(a－2)i＝0，即 解得a＝2，b＝2. 答案：2　2 三、解答題 9．復數z＝，若z2＋＜0，求純虛數a. 解：z＝＝＝＝1－i. ∵a為純虛數， ∴設a＝mi(m≠0)， 則z2＋＝(1－i)2＋＝－2i＋＝－＋i＜0. ∴ ∴m＝4.∴a＝4i. 10．已知x，y∈R，且＋＝，求x，y的值． 解：∵＋＝， ∴＋＝. 即5x(1－i)＋2y(1－2i)＝5－15i. (5x＋2y)－(5x＋4y)i＝5－15i. ∴解得