2019年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題突破課時(shí)作業(yè)16 圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題 理.doc

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課時(shí)作業(yè)16　圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題 1．[2018全國(guó)卷Ⅱ]設(shè)拋物線(xiàn)C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，過(guò)F且斜率為k(k>0)的直線(xiàn)l與C交于A，B兩點(diǎn)，|AB|＝8. (1)求l的方程； (2)求過(guò)點(diǎn)A，B且與C的準(zhǔn)線(xiàn)相切的圓的方程． 解析：(1)解：由題意得F(1,0)，l的方程為 y＝k(x－1)(k>0)． 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0. Δ＝16k2＋16>0，故x1＋x2＝. 所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝. 由題設(shè)知＝8，解得k＝－1(舍去)或k＝1. 因此l的方程為y＝x－1. (2)解：由(1)得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(3,2)，所以AB的垂直平分線(xiàn)方程為y－2＝－(x－3)，即y＝－x＋5. 設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為(x0，y0)，則 解得或 因此所求圓的方程為(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144. 2．[2018天津卷]設(shè)橢圓＋＝1(a>b>0)的右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，已知橢圓的離心率為，|AB|＝. (1)求橢圓的方程． (2)設(shè)直線(xiàn)l：y＝kx(k＜0)與橢圓交于P，Q兩點(diǎn)，l與直線(xiàn)AB交于點(diǎn)M，且點(diǎn)P，M均在第四象限．若△BPM的面積是△BPQ面積的2倍，求k的值． 解析：(1)解：設(shè)橢圓的焦距為2c，由已知有＝，又由a2＝b2＋c2，可得2a＝3b.又|AB|＝＝，從而a＝3，b＝2. 所以，橢圓的方程為＋＝1. (2)解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x1，y1)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x2，y2)，由題意知，x2>x1>0，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(－x1，－y1)． 由△BPM的面積是△BPQ面積的2倍，可得|PM|＝2|PQ|，從而x2－x1＝2[x1－(－x1)]，即x2＝5x1. 易知直線(xiàn)AB的方程為2x＋3y＝6， 由方程組消去y，可得x2＝. 由方程組消去y， 可得x1＝. 由x2＝5x1，可得＝5(3k＋2)，兩邊平方，整理得18k2＋25k＋8＝0，解得k＝－，或k＝－. 當(dāng)k＝－時(shí)，x2＝－9<0，不合題意，舍去； 當(dāng)k＝－時(shí)，x2＝12，x1＝，符合題意． 所以，k的值為－. 3．[2018全國(guó)卷Ⅰ]設(shè)拋物線(xiàn)C：y2＝2x，點(diǎn)A(2,0)，B(－2,0)，過(guò)點(diǎn)A的直線(xiàn)l與C交于M，N兩點(diǎn)． (1)當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，求直線(xiàn)BM的方程； (2)證明：∠ABM＝∠ABN. 解析：(1)解：當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，l的方程為x＝2，可得點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,2)或(2，－2)． 所以直線(xiàn)BM的方程為y＝x＋1或y＝－x－1. (2)證明：當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，AB為MN的垂直平分線(xiàn)， 所以∠ABM＝∠ABN. 當(dāng)l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)l的方程為y＝k(x－2)(k≠0)， M(x1，y1)，N(x2，y2)，則x1>0，x2>0. 由得ky2－2y－4k＝0， 可知y1＋y2＝，y1y2＝－4. 直線(xiàn)BM，BN的斜率之和為kBM＋kBN＝＋＝.① 將x1＝＋2，x2＝＋2及y1＋y2，y1y2的表達(dá)式代入①式分子，可得x2y1＋x1y2＋2(y1＋y2)＝＝＝0. 所以kBM＋kBN＝0，可知BM，BN的傾斜角互補(bǔ)，所以∠ABM＝∠ABN. 綜上，∠ABM＝∠ABN. 4．[2018北京卷]已知橢圓M：＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，焦距為2.斜率為k的直線(xiàn)l與橢圓M有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A，B. (1)求橢圓M的方程； (2)若k＝1，求|AB|的最大值； (3)設(shè)P(－2,0)，直線(xiàn)PA與橢圓M的另一個(gè)交點(diǎn)為C，直線(xiàn)PB與橢圓M的另一個(gè)交點(diǎn)為D，若C，D和點(diǎn)Q共線(xiàn)，求k. 解析：(1)解：由題意得解得a＝，b＝1. 所以橢圓M的方程為＋y2＝1. (2)解：設(shè)直線(xiàn)l的方程為y＝x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)． 由得4x2＋6mx＋3m2－3＝0， 所以x1＋x2＝－，x1x2＝. 所以|AB|＝ ＝ ＝ ＝ . 當(dāng)m＝0，即直線(xiàn)l過(guò)原點(diǎn)時(shí)，|AB|最大，最大值為. (3)解：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由題意得x1＋3y1＝3，x2＋3y2＝3. 直線(xiàn)PA的方程為y＝(x＋2)． 由得 [(x1＋2)2＋3y1]x2＋12y1x＋12y1－3(x1＋2)2＝0. 設(shè)C(xC，yC)， 所以xC＋x1＝＝. 所以xC＝－x1＝. 所以yC＝(xC＋2)＝. 設(shè)D(xD，yD)， 同理得xD＝，yD＝. 記直線(xiàn)CQ，DQ的斜率分別為kCQ，kDQ， 則kCQ－kDQ＝－ ＝4(y1－y2－x1＋x2)． 因?yàn)镃，D，Q三點(diǎn)共線(xiàn)， 所以kCQ－kDQ＝0. 故y1－y2＝x1－x2. 所以直線(xiàn)l的斜率k＝＝1. 5．[2018太原市高三年級(jí)模擬試題(一)]已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，右焦點(diǎn)為F2(1,0)，點(diǎn)B在橢圓C上． (1)求橢圓C的方程； (2)若直線(xiàn)l：y＝k(x－4)(k≠0)與橢圓C由左至右依次交于M，N兩點(diǎn)，已知直線(xiàn)A1M與A2N相交于點(diǎn)G，證明：點(diǎn)G在定直線(xiàn)上，并求出定直線(xiàn)的方程． 解析：(1)由F2(1,0)，知c＝1，由題意得所以a＝2，b＝，所以橢圓C的方程為＋＝1. (2)因?yàn)閥＝k(x－4)，所以直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn)(4,0)，由橢圓的對(duì)稱(chēng)性知點(diǎn)G在直線(xiàn)x＝x0上． 當(dāng)直線(xiàn)l過(guò)橢圓C的上頂點(diǎn)時(shí)，M(0，)， 所以直線(xiàn)l的斜率k＝－，由得或所以N， 由(1)知A1(－2,0)，A2(2,0)， 所以直線(xiàn)lA1M的方程為y＝(x＋2)，直線(xiàn)lA2N的方程為y＝－(x－2)，所以G，所以G在直線(xiàn)x＝1上． 當(dāng)直線(xiàn)l不過(guò)橢圓C的上頂點(diǎn)時(shí)，設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，由 得(3＋4k2)x2－32k2x＋64k2－12＝0， 所以Δ＝(－32k2)2－4(3＋4k2)(64k2－12)＞0，得－＜k＜， x1＋x2＝，x1x2＝， 易得直線(xiàn)lA1M的方程為y＝(x＋2)，直線(xiàn)lA2N的方程為y＝(x－2)，當(dāng)x＝1時(shí)，＝得2x1x2－5(x1＋x2)＋8＝0， 所以－＋＝0顯然成立，所以G在直線(xiàn)x＝1上． 6．[2018南昌市NCS0607項(xiàng)目第二次模擬]已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)兩定點(diǎn)A(－2，0)，B(2，0)及動(dòng)點(diǎn)C(x，y)，△ABC的兩邊AC，BC所在直線(xiàn)的斜率之積為－. (1)求動(dòng)點(diǎn)C的軌跡E的方程； (2)設(shè)P是y軸上的一點(diǎn)，若(1)中軌跡E上存在兩點(diǎn)M，N使得＝2，求以AP為直徑的圓的面積的取值范圍． 解析：(1)由已知，kACkBC＝－，即＝－， 所以3x2＋4y2＝24，又三點(diǎn)構(gòu)成三角形，所以y≠0， 所以點(diǎn)C的軌跡E的方程為＋＝1(y≠0)． (2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0，t) 當(dāng)直線(xiàn)MN的斜率不存在時(shí)，可得M，N分別是短軸的兩端點(diǎn)，得到t＝. 當(dāng)直線(xiàn)MN的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)MN的方程為y＝kx＋t(k≠0)， M(x1，y1)，N(x2，y2)， 則由＝2得x1＝－2x2.　① 聯(lián)立得得(3＋4k2)x2＋8ktx＋4t2－24＝0， 當(dāng)Δ＞0得64k2t2－4(3＋4k2)(4t2－24)＞0，整理得t2＜8k2＋6. 所以x1＋x2＝－，x1x2＝，?、? 由①②，消去x1，x2得k2＝. 則解得＜t2＜6. 不妨取M(－2，0)，可求得N，此時(shí)t＝，由(1)知y≠0，故t2≠2. 綜上，≤t2＜2或2＜t2＜6. 又以AP為直徑的圓的面積S＝π， 所以S的取值范圍是∪.