2018年秋高中數(shù)學(xué) 第二章 數(shù)列 2.3 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和 第2課時 等差數(shù)列前n項(xiàng)和的綜合應(yīng)用學(xué)案 新人教A版必修5.doc

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第2課時　等差數(shù)列前n項(xiàng)和的綜合應(yīng)用 學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.掌握an與Sn的關(guān)系并會應(yīng)用(難點(diǎn)).2.掌握等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)及應(yīng)用(重點(diǎn)).3.會求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值(重點(diǎn)).4.會用裂項(xiàng)相消法求和(易錯點(diǎn))． [自 主 預(yù) 習(xí)探 新 知] 1．Sn與an的關(guān)系 an＝ 2．等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì) (1)等差數(shù)列{an}中，其前n項(xiàng)和為Sn，則{an}中連續(xù)的n項(xiàng)和構(gòu)成的數(shù)列Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n，…構(gòu)成等差數(shù)列． (2)數(shù)列{an}是等差數(shù)列?Sn＝an2＋bn(a，b為常數(shù))． 思考：如果{an}是等差數(shù)列，那么a1＋a2＋…＋a10，a11＋a12＋…＋a20，a21＋a22＋…＋a30是等差數(shù)列嗎？ [提示]　(a11＋a12＋…＋a20)－(a1＋a2＋…＋a10)＝(a11－a1)＋(a12－a2)＋…＋(a20－a10) ＝＝100d，類似可得(a21＋a22＋…＋a30)－(a11＋a12 ＋…＋a20)＝100d. ∴a1＋a2＋…＋a10，a11＋a12＋…＋a20，a21＋a22＋…＋a30是等差數(shù)列． 3．等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn的最值 (1)若a1<0，d>0，則數(shù)列的前面若干項(xiàng)為負(fù)數(shù)項(xiàng)(或0)，所以將這些項(xiàng)相加即得{Sn}的最小值． (2)若a1>0，d<0，則數(shù)列的前面若干項(xiàng)為正數(shù)項(xiàng)(或0)，所以將這些項(xiàng)相加即得{Sn}的最大值． 特別地，若a1>0，d>0，則S1是{Sn}的最小值；若a1<0，d<0，則S1是{Sn}的最大值． 思考：我們已經(jīng)知道當(dāng)公差d≠0時，等差數(shù)列前n項(xiàng)和是關(guān)于n的二次函數(shù)Sn＝n2＋n，類比二次函數(shù)的最值情況，等差數(shù)列的Sn何時有最大值？何時有最小值？ [提示]　由二次函數(shù)的性質(zhì)可以得出：當(dāng)a1<0，d>0時，Sn先減后增，有最小值；當(dāng)a1>0，d<0時，Sn先增后減，有最大值；且n取最接近對稱軸的正整數(shù)時，Sn取到最值． [基礎(chǔ)自測] 1．思考辨析 (1)若Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則數(shù)列也是等差數(shù)列．(　　) (2)若a1>0，d<0，則等差數(shù)列中所有正項(xiàng)之和最大．(　　) (3)在等差數(shù)列中，Sn是其前n項(xiàng)和，則有S2n－1＝(2n－1)an.(　　) [答案]　(1)√　(2)√　(3)√ 2．在項(xiàng)數(shù)為2n＋1的等差數(shù)列中，所有奇數(shù)項(xiàng)的和為165，所有偶數(shù)項(xiàng)的和為150，則n等于(　　) A．9　　　　　　　　 B．10 C．11 D．12 B　[∵＝，∴＝.∴n＝10.故選B項(xiàng)．] 3．等差數(shù)列{an}中，S2＝4，S4＝9，則S6＝________. 15　[由S2，S4－S2， S6－S4成等差數(shù)列得2(S4－S2)＝S2＋(S6－S4) 解得S6＝15.] 4．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝2n－48，則Sn取得最小值時，n為________. 【導(dǎo)學(xué)號：91432176】 23或24　[由an≤0即2n－48≤0得n≤24. ∴所有負(fù)項(xiàng)的和最小，即n＝23或24.] [合 作 探 究攻 重 難] 等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì) 　(1)等差數(shù)列{an}的前m項(xiàng)和為30，前2m項(xiàng)和為100，求數(shù)列{an}的前3m項(xiàng)的和S3m； (2)兩個等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn和Tn，已知＝，求的值． [解]　(1)在等差數(shù)列中， ∵Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差數(shù)列． ∴30,70，S3m－100成等差數(shù)列． ∴270＝30＋(S3m－100)，∴S3m＝210. (2)＝＝＝＝＝. [規(guī)律方法]　等差數(shù)列前n項(xiàng)和計算的幾種思維方法 (1))整體思路：利用公式Sn＝，設(shè)法求出整體a1＋an，再代入求解. ( (2))待定系數(shù)法：利用Sn是關(guān)于n的二次函數(shù)，設(shè)Sn＝An2＋Bn(A≠0)，列出方程組求出A，B即可，或利用是關(guān)于n的一次函數(shù)，設(shè)＝an＋b(a≠0)進(jìn)行計算. [跟蹤訓(xùn)練] 1．(1)等差數(shù)列{an}中，a2＋a7＋a12＝24，則S13＝________. 【導(dǎo)學(xué)號：91432177】 (2)等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝2n＋1，其前n項(xiàng)和為Sn，則數(shù)列的前10項(xiàng)和為________． (1)104　(2)75　[(1)由a2＋a7＋a12＝24，得a7＝8， 所以S13＝13＝a713＝104. (2)因?yàn)閍n＝2n＋1，所以a1＝3. 所以Sn＝＝n2＋2n，所以＝n＋2， 所以是公差為1，首項(xiàng)為3的等差數(shù)列， 所以前10項(xiàng)和為310＋1＝75.] 等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn的函數(shù)特征 [探究問題] 1．將首項(xiàng)為a1＝2，公差d＝3的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和看作關(guān)于n的函數(shù)，那么這個函數(shù)有什么結(jié)構(gòu)特征？如果一個數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn＝3n2＋n，那么這個數(shù)列是等差數(shù)列嗎？上述結(jié)論推廣到一般情況成立嗎？ 提示：首項(xiàng)為2，公差為3的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn＝2n＋＝n2＋n， 顯然Sn是關(guān)于n的二次型函數(shù)． 且常數(shù)項(xiàng)為0，二次項(xiàng)系數(shù)為，一次項(xiàng)系數(shù)為a1－；如果一個數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn＝3n2＋n，那么當(dāng)n＝1時，S1＝a1＝4. 當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝6n－2，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝6n－2，所以該數(shù)列為等差數(shù)列，事實(shí)上對于任何一個等差數(shù)列的前n項(xiàng)和都是關(guān)于n的二次型函數(shù)，且常數(shù)項(xiàng)為0，反之，一個數(shù)列的前n項(xiàng)和具備上述特征，該數(shù)列一定是等差數(shù)列． 2．已知一個數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn＝n2－5n，試畫出Sn關(guān)于n的函數(shù)圖象．你能說明數(shù)列{an}的單調(diào)性嗎？該數(shù)列前n項(xiàng)和有最值嗎？ 提示： Sn＝n2－5n＝2－，它的圖象是分布在函數(shù)y＝x2－5x的圖象上的離散的點(diǎn)，由圖象的開口方向可知該數(shù)列是遞增數(shù)列，圖象開始下降說明了{(lán)an}前n項(xiàng)為負(fù)數(shù)．由Sn的圖象可知，Sn有最小值且當(dāng)n＝2或3時，Sn最小，最小值為－6，即數(shù)列{an}前2項(xiàng)或前3項(xiàng)和最小． 　數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝33n－n2， (1)求{an}的通項(xiàng)公式； (2)問{an}的前多少項(xiàng)和最大； (3)設(shè)bn＝|an|，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn′. 【導(dǎo)學(xué)號：91432178】 思路探究：(1)利用Sn與an的關(guān)系求通項(xiàng)，也可由Sn的結(jié)構(gòu)特征求a1，d，從而求出通項(xiàng)． (2)利用Sn的函數(shù)特征求最值，也可以用通項(xiàng)公式找到通項(xiàng)的變號點(diǎn)求解． (3)利用an判斷哪些項(xiàng)是正數(shù)，哪些項(xiàng)是負(fù)數(shù)，再求解，也可以利用Sn的函數(shù)特征判斷項(xiàng)的正負(fù)求解． [解]　(1)法一：(公式法)當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝34－2n， 又當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝32＝34－21滿足an＝34－2n. 故{an}的通項(xiàng)公式為an＝34－2n. 法二：(結(jié)構(gòu)特征法)由Sn＝－n2＋33n知Sn是關(guān)于n的缺常數(shù)項(xiàng)的二次型 函數(shù)，所以{an}是等差數(shù)列，由Sn的結(jié)構(gòu)特征知 解得a1＝32，d＝－2，所以an＝34－2n. (2)法一：(公式法)令an≥0，得34－2n≥0，所以n≤17， 故數(shù)列{an}的前17項(xiàng)大于或等于零． 又a17＝0，故數(shù)列{an}的前16項(xiàng)或前17項(xiàng)的和最大． 法二：(函數(shù)性質(zhì)法)由y＝－x2＋33x的對稱軸為x＝. 距離最近的整數(shù)為16,17.由Sn＝－n2＋33n的 圖象可知：當(dāng)n≤17時，an≥0，當(dāng)n≥18時，an<0， 故數(shù)列{an}的前16項(xiàng)或前17項(xiàng)的和最大． (3)由(2)知，當(dāng)n≤17時，an≥0； 當(dāng)n≥18時，an<0. 所以當(dāng)n≤17時，Sn′＝b1＋b2＋…＋bn ＝|a1|＋|a2|＋…＋|an| ＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝33n－n2. 當(dāng)n≥18時， Sn′＝|a1|＋|a2|＋…＋|a17|＋|a18|＋…＋|an| ＝a1＋a2＋…＋a17－(a18＋a19＋…＋an) ＝S17－(Sn－S17)＝2S17－Sn ＝n2－33n＋544. 故Sn′＝ 母題探究：1.(變條件)將例題中的條件“Sn＝33n－n2”變?yōu)椤霸诘炔顢?shù)列{an}中a1＝25，S17＝S9”求其前n項(xiàng)和Sn的最大值． [解]　法一：∵S9＝S17，a1＝25， ∴925＋d ＝1725＋d， 解得d＝－2. ∴Sn＝25n＋(－2)＝－n2＋26n ＝－(n－13)2＋169. ∴當(dāng)n＝13時，Sn有最大值169. 　法二：同法一，求出公差d＝－2. ∴an＝25＋(n－1)(－2)＝－2n＋27. ∵a1＝25>0， 由 得 又∵n∈N*，∴當(dāng)n＝13時，Sn有最大值169. 法三：∵S9＝S17， ∴a10＋a11＋…＋a17＝0. 由等差數(shù)列的性質(zhì)得a13＋a14＝0. ∵a1>0，∴d<0.∴a13>0，a14<0. ∴當(dāng)n＝13時，Sn有最大值169. 法四：設(shè)Sn＝An2＋Bn.∵S9＝S17， ∴二次函數(shù)對稱軸為x＝＝13，且開口方向向下， ∴當(dāng)n＝13時，Sn取得最大值169. 2．(變條件)將例題中的條件“Sn＝33n－n2”變?yōu)椤癝n＝－＋n”求數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和Tn. [解]　a1＝S1＝－12＋1＝101. 當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1 ＝－ ＝－3n＋104. ∵n＝1也適合上式， ∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝－3n＋104(n∈N*)． 由an＝－3n＋104≥0，得n≤34.7. 即當(dāng)n≤34時，an>0； 當(dāng)n≥35時，an<0. (1)當(dāng)n≤34時，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝－n2＋n； (2)當(dāng)n≥35時， Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|a34|＋|a35|＋…＋|an| ＝(a1＋a2＋…＋a34)－(a35＋a36＋…＋an) ＝2(a1＋a2＋…＋a34)－(a1＋a2＋…＋an) ＝2S34－Sn ＝2－ ＝n2－n＋3 502. 故Tn＝ [規(guī)律方法]　 1．在等差數(shù)列中，求Sn的最小(大)值的方法： (1)利用通項(xiàng)公式尋求正、負(fù)項(xiàng)的分界點(diǎn)，則從第一項(xiàng)起到分界點(diǎn)該項(xiàng)的各項(xiàng)和為最大(小)． (2)借助二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)求最值． 2．尋求正、負(fù)項(xiàng)分界點(diǎn)的方法： (1)尋找正、負(fù)項(xiàng)的分界點(diǎn)，可利用等差數(shù)列性質(zhì)或利用或來尋找． (2)利用到y(tǒng)＝ax2＋bx(a≠0)的對稱軸距離最近的左側(cè)的一個正數(shù)或離對稱軸最近且關(guān)于對稱軸對稱的兩個整數(shù)對應(yīng)項(xiàng)即為正、負(fù)項(xiàng)的分界點(diǎn)． 3．求解數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和，應(yīng)先判斷{an}的各項(xiàng)的正負(fù)，然后去掉絕對值號，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列的求和問題. 裂項(xiàng)相消法求和 　等差數(shù)列{an}中，a1＝3，公差d＝2，Sn為前n項(xiàng)和，求＋＋…＋. 思路探究：根據(jù){an}為等差數(shù)列求出其前n項(xiàng)和，根據(jù)的通項(xiàng)特征，利用裂項(xiàng)相消法求和． [解]　∵等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝3，公差d＝2， ∴前n項(xiàng)和Sn＝na1＋d ＝3n＋2＝n2＋2n(n∈N*)， ∴＝＝ ＝， ∴＋＋…＋ ＝ ＝ ＝－. [規(guī)律方法]　 裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前n項(xiàng)和的基本思想是設(shè)法將數(shù)列的每一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)(裂項(xiàng))之差，并使它們在相加時除了首尾各有一項(xiàng)或少數(shù)幾項(xiàng)外，其余各項(xiàng)都能前后相消，進(jìn)而求數(shù)列的前n項(xiàng)和. [跟蹤訓(xùn)練] 2．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝，求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn. 【導(dǎo)學(xué)號：91432179】 [解]　an＝＝， ∴Sn＝＋＋＋…＋＋ ＝ ＝＝， ∴Sn＝. [當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)固 雙 基] 1．已知某等差數(shù)列共有10項(xiàng)，其奇數(shù)項(xiàng)之和為15，偶數(shù)項(xiàng)之和為30，則其公差為(　　) A．5　　　　　　　　 B．4 C．3 D．2 C　[由題知S偶－S奇＝5d ∴d＝＝3.] 2．已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且S6>S7>S5，有下列四個命題：①d<0；②S11>0；③S12<0；④數(shù)列{Sn}中的最大項(xiàng)為S11，其中正確命題的序號是(　　) 【導(dǎo)學(xué)號：91432180】 A．②③ B．①② C．①③ D．①④ B　[∵S6>S7，∴a7<0， ∵S7>S5，∴a6＋a7>0， ∴a6>0，∴d<0，①正確． 又S11＝(a1＋a11)＝11a6>0，②正確． S12＝(a1＋a12)＝6(a6＋a7)>0，③不正確． {Sn}中最大項(xiàng)為S6，④不正確． 故正確的是①②.] 3．已知等差數(shù)列{an}中，|a5|＝|a9|，公差d>0，則使得前n項(xiàng)和Sn取得最小值的正整數(shù)n的值是________． 6或7　[由|a5|＝|a9|且d>0得a5<0，a9>0，且a5＋a9＝0?2a1＋12d＝0?a1＋6d＝0，即a7＝0，故S6＝S7且最?。甝 4．?dāng)?shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝，其前n項(xiàng)和Sn＝9，則n＝________. 99　[an＝＝－， ∴Sn＝(－1)＋(－)＋…＋(－)＝－1＝9. ∴n＝99.] 5．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和公式為Sn＝n2－30n. (1)求數(shù)列 {an}的通項(xiàng)公式an； (2)求Sn的最小值及對應(yīng)的n值. 【導(dǎo)學(xué)號：91432181】 [解]　(1)∵Sn＝n2－30n， ∴當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝－29. 當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(n2－30n)－[(n－1)2－30(n－1)]＝2n－31. ∵n＝1也適合， ∴an＝2n－31，n∈N*. (2)法一：Sn＝n2－30n ＝2－225 ∴當(dāng)n＝15時，Sn最小，且最小值為S15＝－225. 法二：∵an＝2n－31，∴a115時，an>0. ∴當(dāng)n＝15時，Sn最小，且最小值為S15＝－225.