（浙江專用）2020版高考數(shù)學新增分大一輪復(fù)習 第五章 三角函數(shù)、解三角形 5.6 正弦定理和余弦定理講義（含解析）.docx

5.6正弦定理和余弦定理最新考綱考情考向分析掌握正弦定理、余弦定理及其應(yīng)用.以利用正弦、余弦定理解三角形為主，常與三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)、三角恒等變換、三角形中的幾何計算交匯考查，加強數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用意識題型多樣，中檔難度.1正弦定理、余弦定理在ABC中，若角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，R為ABC外接圓半徑，則定理正弦定理余弦定理內(nèi)容(1)2R(2)a2b2c22bccosA；b2c2a22cacosB；c2a2b22abcosC變形(3)a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC；(4)sinA，sinB，sinC；(5)abcsinAsinBsinC；(6)asinBbsinA，bsinCcsinB，asinCcsinA(7)cosA；cosB；cosC2.在ABC中，已知a，b和A時，解的情況A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式absinAbsinA<a<baba>b解的個數(shù)一解兩解一解一解3.三角形常用面積公式(1)Saha(ha表示邊a上的高)；(2)SabsinCacsinBbcsinA；(3)Sr(abc)(r為三角形內(nèi)切圓半徑)概念方法微思考1在ABC中，A>B是否可推出sinA>sinB?提示在ABC中，由A>B可推出sinA>sinB.2如圖，在ABC中，有如下結(jié)論：bcosCccosBa.試類比寫出另外兩個式子提示acosBbcosAc；acosCccosAb.題組一思考辨析1判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“”或“”)(1)三角形中三邊之比等于相應(yīng)的三個內(nèi)角之比()(2)當b2c2a2>0時，三角形ABC為銳角三角形()(3)在ABC中，.()(4)在三角形中，已知兩邊和一角就能求三角形的面積()題組二教材改編2P10B組T2在ABC中，acosAbcosB，則這個三角形的形狀為答案等腰三角形或直角三角形解析由正弦定理，得sinAcosAsinBcosB，即sin2Asin2B，所以2A2B或2A2B，即AB或AB，所以這個三角形為等腰三角形或直角三角形3P18T1在ABC中，A60，AC4，BC2，則ABC的面積為答案2解析，sinB1，B90，AB2，SABC222.題組三易錯自糾4在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若c<bcosA，則ABC為()A鈍角三角形B直角三角形C銳角三角形D等邊三角形答案A解析由已知及正弦定理得sinC<sinBcosA，sin(AB)<sinBcosA，sinAcosBcosAsinB<sinBcosA，又sinA>0，cosB<0，B為鈍角，故ABC為鈍角三角形5在ABC中，已知b40，c20，C60，則此三角形的解的情況是()A有一解B有兩解C無解D有解但解的個數(shù)不確定答案C解析由正弦定理得，sinB>1.角B不存在，即滿足條件的三角形不存在6設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c.若bc2a,3sinA5sinB，則C.答案解析由3sinA5sinB及正弦定理，得3a5b.又因為bc2a，所以ab，cb，所以cosC.因為C(0，)，所以C.題型一利用正、余弦定理解三角形例1(2018天津)在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知bsinAacos.(1)求角B的大?。?2)設(shè)a2，c3，求b和sin(2AB)的值解(1)在ABC中，由正弦定理，可得bsinAasinB.又由bsinAacos，得asinBacos，即sinBcos，所以tanB.又因為B(0，)，所以B.(2)在ABC中，由余弦定理及a2，c3，B，得b2a2c22accosB7，故b.由bsinAacos，可得sinA.因為a<c，所以cosA.因此sin2A2sinAcosA，cos2A2cos2A1.所以sin(2AB)sin2AcosBcos2AsinB.思維升華 (1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情況下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根據(jù)正弦定理、余弦定理列出關(guān)于未知元素的方程，通過解方程求得未知元素；(2)正弦定理、余弦定理的另一個作用是實現(xiàn)三角形邊角關(guān)系的互化，解題時可以把已知條件化為角的三角函數(shù)關(guān)系，也可以把已知條件化為三角形邊的關(guān)系跟蹤訓(xùn)練1(1)在ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知bc，a22b2(1sinA)，則A等于()A.B.C.D.答案C解析在ABC中，由余弦定理得a2b2c22bccosA，bc，a22b2(1cosA)，又a22b2(1sinA)，cosAsinA，tanA1，A(0，)，A，故選C.(2)(2018浙江金華一中月考)在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若a2，C，tanA，則sinA，b.答案4解析因為角A為ABC的內(nèi)角，tanA，sin2Acos2A1，聯(lián)立解得sinA(舍負)又在ABC中，由正弦定理得，解得c5，則在ABC中，由余弦定理得a2b2c22abcosC，即(2)2b25222bcos，解得b4(負舍)題型二和三角形面積有關(guān)的問題例2(2016浙江)在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知bc2acosB.(1)證明：A2B；(2)若ABC的面積S，求角A的大小(1)證明由正弦定理得sinBsinC2sinAcosB，故2sinAcosBsinBsin(AB)sinBsinAcosBcosAsinB，于是sinBsin(AB)又A，B(0，)，故0<AB<，所以B(AB)或BAB，因此A(舍去)或A2B，所以A2B.(2)解由S，得absinC，故有sinBsinCsinAsin2BsinBcosB，由sinB0，得sinCcosB.又B，C(0，)，所以CB.當BC時，A；當CB時，A.綜上，A或A.思維升華 (1)對于面積公式SabsinCacsinBbcsinA，一般是已知哪一個角就使用哪一個公式(2)與面積有關(guān)的問題，一般要用到正弦定理或余弦定理進行邊和角的轉(zhuǎn)化跟蹤訓(xùn)練2(1)若AB2，ACBC，則SABC的最大值為()A2B.C.D3答案A解析設(shè)BCx，則ACx.根據(jù)三角形的面積公式，得SABCABBCsinBx.根據(jù)余弦定理，得cosB.將代入，得SABCx.由三角形的三邊關(guān)系，得解得22<x<22，故當x2時，SABC取得最大值2，故選A.(2)在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c.若c2(ab)26，C，則ABC的面積是答案解析c2(ab)26，c2a2b22ab6.C，c2a2b22abcosa2b2ab.由得ab60，即ab6.SABCabsinC6.題型三正弦定理、余弦定理的應(yīng)用命題點1判斷三角形的形狀例3(1)在ABC中，a，b，c分別為角A，B，C所對的邊，若a2bcosC，則此三角形一定是()A等腰直角三角形B直角三角形C等腰三角形D等腰三角形或直角三角形答案C解析方法一由余弦定理可得a2b，因此a2a2b2c2，得b2c2，于是bc，從而ABC為等腰三角形方法二由正弦定理可得sinA2sinBcosC，因此sin(BC)2sinBcosC，即sinBcosCcosBsinC2sinBcosC，于是sin(BC)0，因此BC0，即BC，故ABC為等腰三角形(2)(2018杭州二中期中)在ABC中，acosAbcosB，則ABC的形狀是()A等腰三角形B等腰直角三角形C直角三角形D以上都可能答案D解析由余弦定理可得ab，化簡得(a2b2c2)(ab)(ab)0，由于ab>0，所以a2b2c2或ab，故選D.引申探究1本例(2)中，若將條件變?yōu)閍2b2c2ab，且2cosAsinBsinC，判斷ABC的形狀解a2b2c2ab，cosC，又0<C<，C，又由2cosAsinBsinC得sin(BA)0，AB，故ABC為等邊三角形命題點2求解幾何問題例4如圖，在平面四邊形ABCD中，DAB，ADAB23，BD，ABBC.(1)求sinABD的值；(2)若BCD，求CD的長解(1)因為ADAB23，所以可設(shè)AD2k，AB3k(k>0)又BD，DAB，所以由余弦定理，得()2(3k)2(2k)223k2kcos，解得k1，所以AD2，AB3，sinABD.(2)因為ABBC，所以cosDBCsinABD，所以sinDBC，所以，所以CD.命題點3解三角形的實際應(yīng)用例5(1)如圖，從氣球A上測得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為75，30，此時氣球的高AD是60m，則河流的寬度BC等于()A240(1)mB180(1)mC120(1)mD30(1)m答案C解析如圖，在RtACD中，CAD903060，AD60m，所以CDADtan6060(m)在RtABD中，BAD907515，所以BDADtan1560(2)(m)所以BCCDBD6060(2)120(1)(m)(2)如圖，小明同學在山頂A處觀測到一輛汽車在一條水平的公路上沿直線勻速行駛，小明在A處測得公路上B，C兩點的俯角分別為30，45，且BAC135，若山高AD100m，汽車從B點到C點歷時14s，則這輛汽車的速度約為m/s.(精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：1.414，2.236)答案22.6解析因為小明在A處測得公路上B，C兩點的俯角分別為30，45，所以BAD60，CAD45，設(shè)這輛汽車的速度為vm/s，則BC14v，在RtADB中，AB200.在RtADC中，AC100.在ABC中，由余弦定理，得BC2AC2AB22ACABcosBAC，所以(14v)2(100)220022100200cos135，所以v22.6，所以這輛汽車的速度約為22.6m/s.思維升華 (1)判斷三角形形狀的方法化邊：通過因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系化角：通過三角恒等變換，得出內(nèi)角的關(guān)系，此時要注意應(yīng)用ABC這個結(jié)論(2)求解幾何計算問題要注意：根據(jù)已知的邊角畫出圖形并在圖中標示；選擇在某個三角形中運用正弦定理或余弦定理(3)在實際問題中，可能會遇到空間與平面(地面)同時研究的問題，這時最好畫兩個圖形，一個空間圖形，一個平面圖形，這樣處理起來既清楚又不容易搞錯(4)三角函數(shù)模型的應(yīng)用體現(xiàn)在兩方面：一是已知函數(shù)模型求解數(shù)學問題；二是把實際問題抽象轉(zhuǎn)化成數(shù)學問題，利用三角函數(shù)的有關(guān)知識解決問題跟蹤訓(xùn)練3(1)在ABC中，cos2(a，b，c分別為角A，B，C的對邊)，則ABC的形狀為()A等邊三角形B直角三角形C等腰三角形或直角三角形D等腰直角三角形答案B解析cos2，cos2，(1cosB)cac，acosBc，2a2a2c2b2，a2b2c2，ABC為直角三角形(2)在平面四邊形ABCD中，ABC75，BC2，則AB的取值范圍是答案(，)解析如圖所示，延長BA與CD相交于點E，過點C作CFAD交AB于點F，則BF<AB<BE.在等腰三角形CBF中，F(xiàn)CB30，CFBC2，BF.在等腰三角形ECB中，CEB30，ECB75，BECE，BC2，BE.<AB<.1在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.若a，b3，A60，則邊c等于()A1B2C4D6答案C解析a2c2b22cbcosA，13c292c3cos60，即c23c40，解得c4或c1(舍去)2(2018杭州地區(qū)七校期中聯(lián)考)在ABC中，a2m，b4m(m>0)，如果三角形有解，則角A的取值范圍是()A0<A60B0<A<30C0<A<90D30<A<60答案A解析由題意得點B在以C為圓心，2m為半徑的圓上(除去與直線AC的交點)，所以A>0，且當AB與圓C相切時，角A取得最大值，此時ABBC，則sinA，又因為a<b，所以角A為銳角，所以角A的最大值為60，綜上所述，角A的取值范圍為0<A60，故選A.3(2018金華十校模擬)在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知B30，ABC的面積為，且sinAsinC2sinB，則b的值為()A42B42C.1D.1答案D解析在ABC中，由sinAsinC2sinB結(jié)合正弦定理得ac2b，ABC的面積為acsinBac，解得ac6，則在ABC中，由余弦定理得b2a2c22accosB(ac)22ac2accosB(2b)2(2)6，解得b1，故選D.4在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知三個向量m，n，p共線，則ABC的形狀為()A等邊三角形B等腰三角形C直角三角形D等腰直角三角形答案A解析向量m，n共線，acosbcos.由正弦定理得sinAcossinBcos.2sincoscos2sincoscos.則sinsin.0<<，0<<，即AB.同理可得BC.ABC的形狀為等邊三角形故選A.5已知ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若cosC，bcosAacosB2，則ABC的外接圓面積為()A4B8C9D36答案C解析cbcosAacosB2，由cosC，得sinC，再由正弦定理可得2R6，R3，所以ABC的外接圓面積為R29，故選C.6(2018浙東北聯(lián)盟期中考試)在200m高的山頂上，測得山下一塔頂與塔底的俯角分別是30，60，則塔高為()A.mB.mC.mD.m答案A解析設(shè)山頂為A，塔底為C，塔頂為D，過點A作CD的垂線，交CD的延長線于點B(圖略)，則易得AB，BDABtan30tan30(m)，所以CDBCBD200(m)，故選A.7在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若(a2c2b2)tanBac，則角B的值為答案或解析由余弦定理，得cosB，結(jié)合已知等式得cosBtanB，sinB，又0<B<，B或.8(2019臺州調(diào)研)為了測量A，C兩點間的距離，選取同一平面上B，D兩點，測出四邊形ABCD各邊的長度(單位：km)如圖所示，且BD180，則AC的長為km.答案7解析在ABC中，由余弦定理得AC28252285cosB，在ACD中，由余弦定理得AC23252235cosD，由cosDcosB并消去AC2得cosB，所以AC7.9ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知b2，B，C，則ABC的面積為答案1解析b2，B，C.由正弦定理，得c2，A，sinAsinsincoscossin.則SABCbcsinA221.10(2018諸暨模擬)如圖，已知ABC中，AB8，AC5，BC7，AB的中垂線交BC于點D，則BD，ADC的面積等于答案解析記AB的中點為E，在ABC中，由余弦定理得cosB，sinB，SABCABBCsinB10；在RtBDE中，BEAB4，cosB，因此BD，SABDSABC，SADCSABC.11(2018寧波模擬)在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，已知3asin Cccos A.(1)求sinA的值；(2)若B，ABC的面積為9，求a的值解(1)因為3asinCccosA，所以3sinAsinCsinCcosA，又因為sinC0，所以tanA，A(0，)，所以sinA.(2)由(1)知，cosA，sinCsin(AB)sin.由正弦定理得，c2a，因為SABCacsinBa2aa29，所以a3.12(2018北京)在ABC中，a7，b8，cosB.(1)求A；(2)求AC邊上的高解(1)在ABC中，因為cosB，所以sinB.由正弦定理得sinA.由題設(shè)知<B<，所以0<A<，所以A.(2)在ABC中，因為sinCsin(AB)sinAcosBcosAsinB，所以AC邊上的高為asinC7.13在ABC中，a2b2c22absinC，則ABC的形狀是()A不等腰的直角三角形B等腰直角三角形C鈍角三角形D正三角形答案D解析易知a2b2c2a2b2a2b22abcosC2absinC，即a2b22absin，由于a2b22ab，當且僅當ab時取等號，所以2absin2ab，sin1，故只能ab且C，所以ABC為正三角形14已知ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a2b2c2bc，a3，則ABC的周長的最大值為()A2B6C.D9答案D解析a2b2c2bc，bcb2c2a2，cosA，A(0，)，A.a3，由正弦定理得2，b2sinB，c2sinC，則abc32sinB2sinC32sinB2sin33sinB3cosB36sin，B，當B時周長取得最大值9.15(2018舟山中學模擬)已知銳角A是ABC的一個內(nèi)角，a，b，c是三角形中各角的對應(yīng)邊，若sin2Acos2A，則下列各式正確的是()Abc2aBbc<2aCbc2aDbc2a答案C解析由sin2Acos2A得cos2Asin2A，則cos2A，又A，2A，A，BC，在ABC中，由正弦定理得，而sinBsinCsinBsinsinBcosBsinBsin.又0<B<，<B<，<sin1，即<sinBsinC，而a(bc)(bc)，即2abc，故選C.16(2018諸暨調(diào)研)在直角ABC中，A，B，點P在ABC內(nèi)，APC，BPC，設(shè)PCA，求tan的值解由題意知ACBC，PBCPCA，PCBCsin，又APC，PAC，在APC中，由正弦定理得，即2，化簡得2sincos，易知cos0，tan.