2018-2019版高中數(shù)學 第四講 數(shù)學歸納法證明不等式 二 用數(shù)學歸納法證明不等式學案 新人教A版選修4-5.docx

二用數(shù)學歸納法證明不等式學習目標1.會用數(shù)學歸納法證明與正整數(shù)有關的不等式.2.了解貝努利不等式，并會證明貝努利不等式.3.體會歸納猜想證明的思想方法知識點用數(shù)學歸納法證明不等式思考1用數(shù)學歸納法證明問題必須注意的步驟是什么？答案(1)歸納奠基：驗證初始值nn0.(2)歸納遞推：在假設nk(kn0，kN)成立的前提下，證明nk1時問題成立思考2證明不等式與證明等式有什么不同？答案證明不等式需注意的是對式子進行“放縮”梳理(1)利用數(shù)學歸納法證明不等式在運用數(shù)學歸納法證明不等式時，由nk時命題成立，推導nk1命題成立時，常常要與其他方法，如比較法、分析法、綜合法、放縮法等結(jié)合進行(2)貝努利(Bernoulli)不等式如果x是實數(shù)，且x1，x0，n為大于1的自然數(shù)，則有(1x)n1nx.(3)貝努利不等式的推廣事實上，把貝努利不等式中的正整數(shù)n改為實數(shù)時，仍有類似不等式成立當是實數(shù)，并且滿足1或者0時，有(1x)1x(x1)；當是實數(shù)，并且滿足01時，有(1x)1x(x1)類型一數(shù)學歸納法與放縮法結(jié)合證明不等式例1證明：12(nN，n2)證明(1)當n2時，左邊1，右邊2，由于，因此命題成立(2)假設當nk(kN，k2)時，命題成立，即12.當nk1時，12222，即當nk1時，命題成立由(1)(2)可知，不等式對一切nN，n2都成立反思與感悟在歸納遞推過程中常用到放縮法，這也是在用數(shù)學歸納法證明不等式問題時常用的方法之一跟蹤訓練1用數(shù)學歸納法證明：1n(nN，n1)證明(1)當n2時，左邊1，右邊2，左邊右邊，不等式成立(2)假設當nk(k1，kN)時，不等式成立，即1<k，則當nk1時，有1<k<kk1，所以當nk1時，不等式成立由(1)(2)知，對于任意大于1的正整數(shù)n，不等式均成立類型二利用數(shù)學歸納法證明數(shù)列不等式例2已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且滿足a1，an2SnSn10(n2)(1)判斷是否為等差數(shù)列，并證明你的結(jié)論；(2)證明：SSS(n1且nN)(1)解是等差數(shù)列，證明如下：S1a1，所以2.當n2時，anSnSn1，即SnSn12SnSn1.所以2.故是以2為首項，2為公差的等差數(shù)列，且2n.(2)證明當n1時，S，不等式成立假設當nk(k1)時，不等式成立，即SSS成立，則當nk1時，SSSS.即當nk1時，不等式成立由可知，對任意nN不等式都成立反思與感悟(1)首先掌握好數(shù)學歸納法求解問題的步驟及等差、等比數(shù)列的基礎知識，這是解決這類問題的基礎(2)此類題型通常與數(shù)列的遞推公式、通項公式有關，有時要證明的式子是直接給出，有時是根據(jù)條件從前幾項入手，通過觀察、猜想，歸納出一個式子，然后再用數(shù)學歸納法證明跟蹤訓練2設0a1，定義a11a，an1a，求證：對一切正整數(shù)n，有1an.證明(1)當n1時，a11，a11a，命題成立(2)假設當nk(kN)時，命題成立，即1ak.當nk1時，由遞推公式知，ak1a(1a)a1.同時，ak1a1a，故當nk1時，命題也成立，即1ak1.綜合(1)(2)可知，對一切正整數(shù)n，有1an.1用數(shù)學歸納法證明3nn3(n3，nN)，第一步驗證()An1Bn2Cn3Dn4答案C解析由題意知，n的最小值為3，所以第一步驗證n3是否成立2用數(shù)學歸納法證明“Sn1(nN)”時，S1等于()A.B.C.D.答案D解析S1.3用數(shù)學歸納法證明.假設當nk時，不等式成立，則當nk1時，應推證的目標不等式是_答案解析當nk1時，目標不等式為.4若不等式對一切正整數(shù)n都成立，求正整數(shù)a的最大值，并證明你的結(jié)論解當n1時，即，a26.又aN，正整數(shù)a的最大值為25.下面用數(shù)學歸納法證明.(1)當n1時，不等式顯然成立(2)假設當nk(k1)時，成立當nk1時，有.，0，即nk1時不等式也成立由(1)(2)知，對一切nN，都有.數(shù)學歸納法證明不等式的技巧(1)證明不等式時，由nk到nk1的推證過程與證明等式有所不同，由于不等式中的不等關系，需要我們在證明時，對原式進行“放大”或者“縮小”才能使用到nk時的假設，所以需要認真分析，適當放縮，才能使問題簡單化，這是利用數(shù)學歸納法證明不等式時常用的方法之一(2)數(shù)學歸納法的應用通常需要與數(shù)學的其他方法聯(lián)系在一起，如比較法、放縮法、配湊法、分析法和綜合法等，才能完成證明過程一、選擇題1對于不等式n1(nN)，某同學用數(shù)學歸納法的證明過程如下：(1)當n1時，11，不等式成立(2)假設當nk(kN)時，不等式成立，即k1，則當nk1時，(k1)1，nk1時，不等式成立則上述證法()A過程全部正確Bn1驗得不正確C歸納假設不正確D從nk到nk1的推理不正確答案D解析證明過程中，當nk1時，沒有應用nk時的歸納假設，故選D.2用數(shù)學歸納法證明1<2(n2，nN)的第一步需證明()A1<2B1<2C1<2D1<2答案C3若不等式對大于1的一切自然數(shù)n都成立，則自然數(shù)m的最大值為()A12B13C14D不存在答案B解析令f(n)，取n2,3,4,5等值，發(fā)現(xiàn)f(n)是單調(diào)遞增的，所以f(n)min，由f(2)，得m的最大值為13.4對于正整數(shù)n，下列不等式不正確的是()A3n12nB0.9n10.1nC0.9n10.1nD0.1n10.9n答案C解析由貝努利不等式(1x)n1nx(nN，x1)，得當x2時，即3n12n成立；當x0.1時，0.9n10.1n成立；當x0.9時，0.1n10.9n成立0.9n10.1n不成立5若不等式對nk成立，則它對nk2也成立若該不等式對n2成立，則下列結(jié)論正確的是()A該不等式對所有正整數(shù)n都成立B該不等式對所有正偶數(shù)n都成立C該不等式對所有正奇數(shù)n都成立D該不等式對所有自然數(shù)n都成立答案B解析因為當n2時，不等式成立，且該不等式對nk2也成立，所以該不等式對所有的正偶數(shù)n都成立6設n為正整數(shù)，f(n)1，計算得f(2)，f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，f(32)>.觀察上述結(jié)果，可推測出一般結(jié)論()Af(2n)>Bf(n2)>Cf(2n)D以上都不正確答案C解析由f(2)，f(22)，f(23)，f(24)，f(25)，可推測出f(2n).二、填空題7證明：1n1(n1)，當n2時，要證明的式子為_答案213解析當n2時，要證明的式子為213.8以下是用數(shù)學歸納法證明“nN時，2nn2”的過程，證明：(1)當n1時，2112，不等式顯然成立(2)假設當nk(kN)時不等式成立，即2kk2.那么，當nk1時，2k122k2k2kk2k2k22k1(k1)2.即當nk1時不等式也成立根據(jù)(1)和(2)可知，對任何nN不等式都成立其中錯誤的步驟為_(填序號)答案(2)解析在2k122k2k2kk2k2k22k1中用了k22k1，這是一個不確定的結(jié)論如k2時，k22k1.9用數(shù)學歸納法證明“對于足夠大的自然數(shù)n，總有2n>n3”時，驗證第一步不等式成立所取的第一個值n0最小應當是_答案1010用數(shù)學歸納法證明“2nn21對于nn0的正整數(shù)n都成立”時，第一步證明中的起始值n0應取_答案5解析n取1,2,3,4時不等式不成立，起始值為5.三、解答題11用數(shù)學歸納法證明：對一切大于1的自然數(shù)n，不等式>成立證明(1)當n2時，左邊1，右邊，左邊>右邊，所以不等式成立(2)假設當nk(k2且kN)時，不等式成立，即>，那么當nk1時，>>，所以當nk1時，不等式也成立由(1)(2)知，對一切大于1的自然數(shù)n，不等式都成立12已知Sn1(n1，且nN)，求證：1.證明(1)當n2時，11，即n2時命題成立(2)假設當nk(k2，kN)時，命題成立，即11.當nk1時，1共項1111，故當nk1時，命題也成立由(1)(2)知，對nN，n2，1成立13已知遞增等差數(shù)列an滿足：a11，且a1，a2，a4成等比數(shù)列(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)若不等式對任意nN恒成立，試猜想出實數(shù)m的最小值，并證明解(1)設數(shù)列an公差為d(d>0)，由題意可知a1a4a，即1(13d)(1d)2，解得d1或d0(舍去)所以an1(n1)1n.(2)不等式等價于，當n1時，m；當n2時，m；而>，所以猜想，m的最小值為.下面證不等式對任意nN恒成立證明：當n1時，命題成立假設當nk(k1，kN)時，不等式成立，當nk1時，只需證，只需證，只需證2k2，只需證4k28k34k28k4，即證34，顯然成立所以，對任意nN，不等式恒成立四、探究與拓展14求證：(nN)證明(1)當n1時，左邊，右邊1，左邊右邊，所以不等式成立(2)假設當nk(k1，kN)時不等式成立，即成立，則當nk1時，只需證明即可，即證，即證，即證(1)，而當k1時上式顯然成立，所以當nk1時，不等式也成立由(1)(2)可知，不等式對所有nN都成立