（浙江專用）2020版高考數(shù)學(xué)新增分大一輪復(fù)習(xí) 第二章 不等式 2.3 二元一次不等式(組)與簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題講義（含解析）.docx

2.3二元一次不等式(組)與簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題最新考綱考情考向分析了解二元一次不等式的幾何意義，掌握平面區(qū)域與二元一次不等式組之間的關(guān)系，并會(huì)求解簡(jiǎn)單的二元線性規(guī)劃問題.以畫二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域、目標(biāo)函數(shù)最值的求法為主，兼顧由最優(yōu)解(可行域)情況確定參數(shù)的范圍，加強(qiáng)轉(zhuǎn)化與化歸和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用意識(shí)本節(jié)內(nèi)容在高考中以選擇、填空題的形式進(jìn)行考查，難度中低檔.1二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域不等式表示區(qū)域AxByC>0直線AxByC0某一側(cè)的所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域不包括邊界直線AxByC0包括邊界直線不等式組各個(gè)不等式所表示平面區(qū)域的公共部分2.線性規(guī)劃中的基本概念名稱意義約束條件由變量x，y組成的不等式(組)線性約束條件由x，y的一次不等式(或方程)組成的不等式組目標(biāo)函數(shù)關(guān)于x，y的函數(shù)解析式，如z2x3y等線性目標(biāo)函數(shù)關(guān)于x，y的一次解析式可行解滿足線性約束條件的解(x，y)可行域所有可行解組成的集合最優(yōu)解使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解線性規(guī)劃問題在線性約束條件下求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值問題概念方法微思考1不等式x0表示的平面區(qū)域是什么？提示不等式x0表示的區(qū)域是y軸的右側(cè)(包括y軸)2可行解一定是最優(yōu)解嗎？二者有何關(guān)系？提示不一定最優(yōu)解是可行解中的一個(gè)或多個(gè)最優(yōu)解必定是可行解，但可行解不一定是最優(yōu)解，最優(yōu)解不一定唯一題組一思考辨析1判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”)(1)二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域是各個(gè)不等式所表示的平面區(qū)域的交集()(2)不等式AxByC>0表示的平面區(qū)域一定在直線AxByC0的上方()(3)點(diǎn)(x1，y1)，(x2，y2)在直線AxByC0同側(cè)的充要條件是(Ax1By1C)(Ax2By2C)>0，異側(cè)的充要條件是(Ax1By1C)(Ax2By2C)<0.()(4)第二、四象限表示的平面區(qū)域可以用不等式xy<0表示()(5)線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解是唯一的()(6)最優(yōu)解指的是使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解()(7)目標(biāo)函數(shù)zaxby(b0)中，z的幾何意義是直線axbyz0在y軸上的截距()題組二教材改編2P86T3不等式組表示的平面區(qū)域是()答案B解析x3y60表示直線x3y60及其右下方部分，xy2<0表示直線xy20的左上方部分，故不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)檫x項(xiàng)B中的陰影部分題組三易錯(cuò)自糾3下列各點(diǎn)中，不在xy10表示的平面區(qū)域內(nèi)的是()A(0,0) B(1,1)C(1,3) D(2，3)答案C解析把各點(diǎn)的坐標(biāo)代入可得(1,3)不適合，故選C.4(2018全國(guó))若x，y滿足約束條件則z3x2y的最大值為_答案6解析作出滿足約束條件的可行域如圖陰影部分(含邊界)所示由z3x2y，得yx.作直線l0：yx，平移直線l0，當(dāng)直線yx過點(diǎn)(2,0)時(shí)，z取最大值，zmax32206.5已知x，y滿足約束條件若使得zaxy取最大值的點(diǎn)(x，y)有無(wú)數(shù)個(gè)，則a的值為_答案1解析先根據(jù)約束條件畫出可行域，如圖中陰影部分(含邊界)所示，當(dāng)直線yaxz和直線AB重合時(shí)，z取得最大值的點(diǎn)(x，y)有無(wú)數(shù)個(gè)，akAB1，a1.題型一二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域命題點(diǎn)1不含參數(shù)的平面區(qū)域問題例1在平面直角坐標(biāo)系中，不等式組表示的平面區(qū)域的面積是()A.B.C2D2答案B解析作出不等式組表示的平面區(qū)域是以點(diǎn)O(0,0)，B(2，0)和A(1，)為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域，如圖所示的陰影部分(含邊界)，由圖知該平面區(qū)域的面積為2，故選B.命題點(diǎn)2含參數(shù)的平面區(qū)域問題例2(2018嘉興市基礎(chǔ)測(cè)試)若不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)橐粋€(gè)三角形的內(nèi)部區(qū)域，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.B.C.D.答案C解析如圖所示，當(dāng)直線xya在直線xy(該直線經(jīng)過直線xy0和直線3xy3的交點(diǎn))的下方時(shí)，原不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)橐粋€(gè)三角形的內(nèi)部區(qū)域，因此a<，故選C.思維升華平面區(qū)域的形狀問題主要有兩種題型(1)確定平面區(qū)域的形狀，求解時(shí)先畫滿足條件的平面區(qū)域，然后判斷其形狀(2)根據(jù)平面區(qū)域的形狀求解參數(shù)問題，求解時(shí)通常先畫滿足條件的平面區(qū)域，但要注意對(duì)參數(shù)進(jìn)行必要的討論跟蹤訓(xùn)練1(1)不等式組表示的平面區(qū)域的形狀為()A等邊三角形B梯形C等腰直角三角形D正方形答案C解析作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖所示，易知平面區(qū)域的形狀為等腰直角三角形(陰影部分，含邊界)(2)已知由不等式組確定的平面區(qū)域的面積為7，則k的值為()A3B1C3D1答案B解析作出不等式組所表示的平面區(qū)域，如圖陰影部分(含邊界)所示，可知該區(qū)域是等腰直角三角形且面積為8.由于直線ykx2恒過點(diǎn)B(0,2)，且原點(diǎn)的坐標(biāo)恒滿足ykx2，當(dāng)k0時(shí)，y2，此時(shí)平面區(qū)域的面積為6，由于6<7，由此可得k<0.由可得D，依題意應(yīng)有21，解得k1或k3(舍去)，故選B.題型二求目標(biāo)函數(shù)的最值問題命題點(diǎn)1求線性目標(biāo)函數(shù)的最值例3(2018溫州市適應(yīng)性考試)若實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件則z2xy的取值范圍是()A3,4 B3,12C3,9 D4,9答案C解析畫出不等式組表示的可行域如圖中陰影部分(含邊界)所示，作出直線2xy0，結(jié)合圖象，平移直線2xy0得，在點(diǎn)A(3,3)處目標(biāo)函數(shù)取最大值9，在點(diǎn)B(1,1)處目標(biāo)函數(shù)取最小值3，故選C.命題點(diǎn)2求非線性目標(biāo)函數(shù)的最值例4已知實(shí)數(shù)x，y滿足則z的取值范圍是_答案解析作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，這是一個(gè)三角形區(qū)域(包含邊界)，三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為B(1,2)，C，D(2,3)，的幾何意義是可行域內(nèi)任一點(diǎn)(x，y)與點(diǎn)(2,0)連線的斜率，記P(2,0)，連接PB，PC，由于直線PB的斜率為，直線PC的斜率為，由圖可知z的取值范圍是.命題點(diǎn)3求參數(shù)值或取值范圍例5(1)(2018麗水、衢州、湖州三地市質(zhì)檢)已知x，yR滿足條件若目標(biāo)函數(shù)zaxy僅在點(diǎn)(2,3)處取得最大值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A(，1) B(，1C1，) D(1，)答案D解析作出不等式組表示的可行域，如圖中陰影部分(含邊界)所示，目標(biāo)函數(shù)zaxy可化為yaxz，且目標(biāo)函數(shù)僅在點(diǎn)A(2,3)處取到最大值，所以a<kAB，即a<1，所以a>1，故選D.(2)(2018杭州七校聯(lián)考)若x，y滿足約束條件z2xy的最大值為8，則實(shí)數(shù)a的值為()A2B1C1D2答案C解析將目標(biāo)函數(shù)變形為y2xz，當(dāng)z取最大值時(shí)，直線的縱截距最大，易知直線xy50與2xy10的交點(diǎn)(2,3)不能使得目標(biāo)函數(shù)取得最大值8.因?yàn)橹本€ax2y10恒過定點(diǎn)，所以要使目標(biāo)函數(shù)能取到最大值，需1<<，即2<a<，畫出可行域，如圖中陰影部分(含邊界)所示，故目標(biāo)函數(shù)在B處取得最大值，代入目標(biāo)函數(shù)得28，解得a1，故選C.思維升華常見的三類目標(biāo)函數(shù)(1)截距型：形如zaxby.(2)距離型：形如z(xa)2(yb)2.(3)斜率型：形如z.跟蹤訓(xùn)練2(1)(2018浙江)若x，y滿足約束條件則zx3y的最小值是_，最大值是_答案28解析由，畫出可行域如圖陰影部分所示(含邊界)由解得A(4，2)，由解得B(2,2)，將函數(shù)yx的圖象平移可知，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)的圖象經(jīng)過A(4，2)時(shí)，zmin43(2)2；當(dāng)目標(biāo)函數(shù)的圖象經(jīng)過B(2,2)時(shí)，zmax2328.(2)(2018浙江金麗衢十二校聯(lián)考)設(shè)x，y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)z12xy的最大值是_，目標(biāo)函數(shù)z2x2y2的最小值是_答案62解析在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出題中的不等式組表示的平面區(qū)域，其是以(2,0)，(0,2)，(4,2)為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域(包含邊界)(圖略)，易得當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z12xy經(jīng)過平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)(4,2)時(shí)，取得最大值2426.z2x2y2表示平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方，易得原點(diǎn)到直線xy2的距離的平方為所求最小值，即z2x2y2的最小值為22.(3)(2018浙江名校聯(lián)盟聯(lián)考)設(shè)x，y滿足若z2xy的最大值為，則實(shí)數(shù)a的值為()AB0C1D或1答案C解析方法一由z2xy存在最大值，可知a>1，顯然a0不符合題意作出不等式組所表示的平面區(qū)域，如圖1或圖2中陰影部分(含邊界)所示，作直線2xy0，平移該直線，易知，當(dāng)平移到過直線xy20與axya0的交點(diǎn)時(shí)，z取得最大值，由得代入2xy得a1，故選C.方法二由z2xy存在最大值，可知a>1，顯然a0不符合題意，作出不等式組所表示的平面區(qū)域，如圖1或圖2中陰影部分(含邊界)所示，作直線2xy0，平移該直線，易知，當(dāng)平移到過直線xy20與axya0的交點(diǎn)時(shí)，z取得最大值，由得代入axya0得a1，故選C.1(2017浙江)若x，y滿足約束條件則zx2y的取值范圍是()A0,6 B0,4C6，) D4，)答案D解析作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示由題意可知，當(dāng)直線yx過點(diǎn)A(2,1)時(shí)，z取得最小值，即zmin2214.所以zx2y的取值范圍是4，)故選D.2(2018杭州質(zhì)檢)設(shè)不等式組所表示的區(qū)域面積為S(mR)若S1，則()Am2B2m0C0<m2Dm2.答案A解析如圖，當(dāng)xy1與ymx的交點(diǎn)為(1,2)時(shí)，陰影部分的面積為1，此時(shí)m2，若S1，則m2，故選A.3(2018嘉興市、麗水市教學(xué)測(cè)試)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，M為不等式組所表示的平面區(qū)域上的一動(dòng)點(diǎn)，則直線OM斜率的最小值為()A2B1CD答案C解析在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出題中的不等式組所表示的平面區(qū)域，其是以(1,0)，(3，1)，(2,2)為頂點(diǎn)的三角形及其內(nèi)部(圖略)，由圖易得平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)(3，1)與原點(diǎn)連線的斜率最小，斜率的最小值為，故選C.4(2019浙江名校新高考研究聯(lián)盟聯(lián)考)設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件則z|x|y的取值范圍是()A.B1,3C.D1,0答案A解析在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出題中的不等式組表示的平面區(qū)域，其是以(1,1)，(1,2)，(1，2)為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域(包含邊界)，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出yxz(x0)和yxz(x<0)(圖略)，由圖易得當(dāng)yxz(x0)經(jīng)過平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)時(shí)，z|x|y取得最小值z(mì)min|0|.當(dāng)yxz(x<0)經(jīng)過平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)(1，2)時(shí)，z|x|y取得最大值z(mì)max|1|(2)3，綜上所述，z|x|y的取值范圍為，故選A.5設(shè)x，y滿足約束條件向量a(2x,1)，b(1，my)，則滿足ab的實(shí)數(shù)m的最小值為()A.BC.D答案B解析由向量a(2x,1)，b(1，my)，ab得2xmy0，整理得my2x，根據(jù)約束條件畫出可行域，如圖所示，將求m的最小值轉(zhuǎn)化為求y2xm在y軸上的截距的最小值，當(dāng)直線y2xm經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，m最小，由解得A，則實(shí)數(shù)m的最小值為2.故選B.6(2018浙江“七彩陽(yáng)光”聯(lián)盟期初聯(lián)考)已知變量x，y滿足約束條件若不等式2xym20恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為()A，B，C(，)D(，)答案D解析作出約束條件表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分(含邊界)所示，令z2xy，則y2xz，當(dāng)直線y2xz經(jīng)過點(diǎn)A(4，1)時(shí)，z取得最大值，即zmax2(4)17.因?yàn)椴坏仁?xym20恒成立，所以m2(2xy)maxzmax恒成立，即m27，解得m或m，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為(，)，故選D.7(2018臺(tái)州市質(zhì)量評(píng)估)已知實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組則(x1)2(y2)2的取值范圍是()A1,5 B，5C5,25 D5,26答案D解析畫出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分(含邊界)所示，因?yàn)?x1)2(y2)2表示平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到點(diǎn)P(1，2)的距離的平方，直線PO：y2x與直線x2y0垂直，由圖知，點(diǎn)P(1，2)到直線x2y0的距離的平方為所求最小值，即為25，與點(diǎn)A(0,3)的距離的平方為所求最大值，即為(01)23(2)226，所以所求取值范圍為5,26，故選D.8(2018紹興市嵊州市適應(yīng)性考試)已知實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件若ztxy的最小值為1，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是()At2B2t1Ct1Dt2或t1答案B解析畫出滿足約束條件的平面區(qū)域，如圖中陰影部分(含邊界)所示，由圖易知只有平移直線txy0經(jīng)過直線2xy10與直線xy10的交點(diǎn)C(0,1)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)ztxy的值為1，則目標(biāo)函數(shù)ztxy要取得最小值1，直線ztxy必過點(diǎn)C(0,1)當(dāng)t0時(shí)，則t1，即0t1；當(dāng)t<0時(shí)，則t2，即2t<0.綜上可知，實(shí)數(shù)t的取值范圍是2t1，故選B.9(2018杭州地區(qū)四校聯(lián)考)不等式組表示的平面區(qū)域的面積是_；若z|xy|，則z的取值范圍為_答案解析畫出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分(含邊界)所示，其中G、H，則不等式組表示的平面區(qū)域的面積S.令z1xy，作出直線xy0，平移該直線，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)G時(shí)，z1取得最小值，經(jīng)過H時(shí)，z1取得最大值，所以xy，所以0z.10(2018紹興市六校質(zhì)檢)已知實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件若zxy的最大值為6，則m_，z12xy的最小值為_答案39解析作出不等式組所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分(含邊界)所示，由圖可知，當(dāng)直線zxy過點(diǎn)A(m，m)時(shí)，z取得最大值6，所以m3.當(dāng)直線z12xy過點(diǎn)B(6,3)時(shí)，z1取得最小值，最小值為9.11(2019浙江部分重點(diǎn)中學(xué)調(diào)研)若實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件則該不等式組表示的平面區(qū)域的面積為_，目標(biāo)函數(shù)z3|x|4y的取值范圍是_答案65,18解析由題意得，該不等式組表示的平面區(qū)域是直角三角形ABC及其內(nèi)部區(qū)域(如圖中陰影部分所示)該三角形的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A(1,0)，B(1,2)，C(2，3)，且ABAC，AB2，AC3，所以SABC236.因?yàn)槟繕?biāo)函數(shù)z3|x|4y可化為y|x|，結(jié)合圖形可知，目標(biāo)函數(shù)z3|x|4y在B(1,2)處取得最小值，且zmin5，在C(2，3)處取得最大值，且zmax18.所以z5,1812(2018浙江六校協(xié)作體聯(lián)考)若變量x，y滿足約束條件且有無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)(x，y)使得目標(biāo)函數(shù)zx2y取得最大值，則實(shí)數(shù)的值為_答案1解析可行域如圖中陰影部分(含邊界)所示目標(biāo)函數(shù)zx2y可化為yx，因?yàn)橛袩o(wú)窮多個(gè)點(diǎn)(x，y)使得直線yx在y軸上的截距取得最大值，由圖可得yx與直線BC：y1重合時(shí)滿足題意，所以，解得1.13(2018杭州高級(jí)中學(xué)仿真考試)已知實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件則xy的最大值是()A.B.C4D.答案A解析畫出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分(含邊界)所示，設(shè)直線x2y60與曲線y相切于第一象限，切點(diǎn)為(x0，y0)由y，得y，所以解得所以xy的最大值為，故選A.14(2018浙江知名重點(diǎn)中學(xué)考前熱身聯(lián)考)設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件則x3y的最大值為_；若x24y2a恒成立，則實(shí)數(shù)a的最小值為_答案820解析作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖1中陰影部分(含邊界)所示，由圖1可知，當(dāng)ux3y過點(diǎn)A(2,2)時(shí)，ux3y取得最大值umax2328.令xx，2yy，則原不等式組等價(jià)于作出可行域如圖2中陰影部分(含邊界)所示，由圖2可知，x2y2的最大值，即原點(diǎn)到點(diǎn)B(2,4)的距離的平方，易得|OB|2224220，所以a的最小值為20.15(2018臺(tái)州市三區(qū)三校適應(yīng)性考試)已知實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件a為常數(shù)，若目標(biāo)函數(shù)zy|x|的最大值是，則實(shí)數(shù)a的取值組成的集合是_答案解析由題意，要使不等式3<x2ya22a成立，則a22a>3，解得a<1或a>3.作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，其中A，E(3,6)當(dāng)點(diǎn)E(3,6)在直線x2ya22a的上方時(shí)，326>a22a，即3<a<5，故有3<a<1或3<a<5，此時(shí)可行域?yàn)樗倪呅蜛BCD及其內(nèi)部(不包含線段AB)，則x>0，易知目標(biāo)函數(shù)zy|x|yx在點(diǎn)D處取得最大值，即，解得a0(舍去)或a4；當(dāng)點(diǎn)E(3,6)在直線x2ya22a的下方或在直線上時(shí)，326a22a，解得a3或a5，故有a3或a5，此時(shí)可行域?yàn)槿切蜛BE及其內(nèi)部(不包含線段AB)，則x>0，目標(biāo)函數(shù)zy|x|yx在點(diǎn)E(3,6)處取得最大值，則63，解得a.綜上，實(shí)數(shù)a的取值組成的集合是.16(2018浙江金華一中模擬)若實(shí)數(shù)x，y滿足則|x2y1|3|xy|的取值范圍為_答案解析設(shè)目標(biāo)函數(shù)z|x2y1|3|xy|.如圖所示，分四種情況：當(dāng)時(shí)，z4x5y1，滿足約束條件下的平面區(qū)域，只有一個(gè)點(diǎn)A(1,0)，此時(shí)z3；當(dāng)時(shí)，z2xy1，滿足約束條件下的平面區(qū)域不存在；當(dāng)時(shí)，z2xy1，滿足約束條件下的平面區(qū)域?yàn)锳DE，則直線z2xy1經(jīng)過點(diǎn)D時(shí)，取得最小值，經(jīng)過點(diǎn)A(1,0)時(shí)，取得最大值3；當(dāng)時(shí)，z4x5y1，滿足約束條件下的平面區(qū)域?yàn)樗倪呅蜝CED，則直線z4x5y1經(jīng)過點(diǎn)D時(shí)，取得最小值，經(jīng)過點(diǎn)C(2,3)時(shí)，取得最大值8.綜上可知z|x2y1|3|xy|的最小值為，最大值為8，即|x2y1|3|xy|的取值范圍是.