2018-2019高中數(shù)學(xué) 第三講 柯西不等式與排序不等式 3.3 排序不等式導(dǎo)學(xué)案 新人教A版選修4-5.docx

3.3 排序不等式學(xué)習(xí)目標(biāo)1了解排序不等式的數(shù)學(xué)思想和背景2理解排序不等式的結(jié)構(gòu)與基本原理，會(huì)用排序不等式解決簡(jiǎn)單的不等式問(wèn)題一、自學(xué)釋疑根據(jù)線上提交的自學(xué)檢測(cè)，生生、師生交流討論，糾正共性問(wèn)題。二、合作探究思考探究使用排序不等式的關(guān)鍵是什么？名師點(diǎn)撥：1排序原理的本質(zhì)含義兩組實(shí)數(shù)序列同方向單調(diào)(同時(shí)增或同時(shí)減)時(shí)所得兩兩乘積之和最大，反方向單調(diào)(一增一減)時(shí)所得兩兩乘積之和最小等號(hào)成立的條件是其中至少有一組序列為常數(shù)序列2排序原理的思想在解答數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)常常涉及到一些可以比較大小的量，它們之間并沒(méi)有預(yù)先規(guī)定大小順序，那么在解答問(wèn)題時(shí)，不妨可以把它們按一定順序排列起來(lái)利用排序原理，往往有助于解決問(wèn)題3排序原理的推論對(duì)于實(shí)數(shù)a1，a2，an，設(shè)ai1，ai2，ain為其任一個(gè)排列，則有a1ai1a2ai2anainaaa.4利用排序不等式求最值的方法利用排序不等式求最值時(shí)，先要對(duì)待證不等式及已知條件仔細(xì)分析，觀察不等式的結(jié)構(gòu)，明確兩個(gè)數(shù)組的大小順序，分清順序和、亂序和反序和，由于亂序和是不確定的，根據(jù)需要寫(xiě)出其中的一個(gè)即可一般最值是順序和或反序和5排序不等式證明不等式的策略(1)利用排序不等式證明不等式時(shí)，若已知條件中已給出兩組量的大小關(guān)系，則需要分析清楚順序和、亂序和及反序和利用排序不等式證明即可(2)若在解答數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，涉及一些可以比較大小的量，它們之間并沒(méi)有預(yù)先規(guī)定大小順序那么在解答問(wèn)題時(shí)，我們可以利用排序原理將它們按一定順序排列起來(lái)，繼而用不等式關(guān)系來(lái)解題.【例1】某班學(xué)生要開(kāi)聯(lián)歡會(huì)，需要買(mǎi)價(jià)格不同的禮品4件，5件及2件，現(xiàn)在選擇商品中單價(jià)為3元，2元和1元的禮品，問(wèn)至少要花多少錢(qián)？最多要花多少錢(qián)？【變式訓(xùn)練1】設(shè)a1，a2，a3為正數(shù)，且a1a2a31，求的最小值【例2】已知a，b，cR，求證：a10b10c10.【變式訓(xùn)練2】已知a，b，c都是正數(shù)，求證：.【例3】設(shè)x>0，求證：1xx2x2n(2n1)xn.【變式訓(xùn)練3】已知a，b，c為正數(shù)，用排序不等式證明：2(a3b3c3)a2(bc)b2(ac)c2(ab)參考答案二、合作探究探究1：兩組實(shí)數(shù)序列同方向單調(diào)(同時(shí)增或同時(shí)減)時(shí)所得兩兩乘積之和最大，反方向單調(diào)(一增一減)時(shí)所得兩兩乘積之和最小等號(hào)成立的條件是其中至少有一組序列為常數(shù)序列探究2：在解答數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)常常涉及到一些可以比較大小的量，它們之間并沒(méi)有預(yù)先規(guī)定大小順序，那么在解答問(wèn)題時(shí)，不妨可以把它們按一定順序排列起來(lái)利用排序原理，往往有助于解決問(wèn)題探究3：對(duì)于實(shí)數(shù)a1，a2，an，設(shè)ai1，ai2，ain為其任一個(gè)排列，則有a1ai1a2ai2anainaaa.探究4：利用排序不等式求最值時(shí)，先要對(duì)待證不等式及已知條件仔細(xì)分析，觀察不等式的結(jié)構(gòu)，明確兩個(gè)數(shù)組的大小順序，分清順序和、亂序和反序和，由于亂序和是不確定的，根據(jù)需要寫(xiě)出其中的一個(gè)即可一般最值是順序和或反序和探究5：(1)利用排序不等式證明不等式時(shí)，若已知條件中已給出兩組量的大小關(guān)系，則需要分析清楚順序和、亂序和及反序和利用排序不等式證明即可(2)若在解答數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，涉及一些可以比較大小的量，它們之間并沒(méi)有預(yù)先規(guī)定大小順序那么在解答問(wèn)題時(shí)，我們可以利用排序原理將它們按一定順序排列起來(lái)，繼而用不等式關(guān)系來(lái)解題.【例1】【解】由題意可知，(a1，a2，a3)(2,4,5)，(b1，b2，b3)(1,2,3)，則花錢(qián)最少為：15243219(元)；花錢(qián)最多為：12243525(元)【變式訓(xùn)練1】解不妨設(shè)a3>a1>a2>0，則<<，所以a1a2<a2a3<a3a1.設(shè)亂序和Sa1a2a31，順序和S.由排序不等式得a1a2a31.所以的最小值為1.【例2】【分析】觀察需證不等式可以發(fā)現(xiàn)左、右兩邊的次數(shù)相等因此，應(yīng)該進(jìn)行適當(dāng)?shù)钠礈?，使其成為積的形式【證明】不妨設(shè)abc>0，則>0，且a12b12c12>0.a10b10c10.【變式訓(xùn)練2】證明由于a，b，c的對(duì)稱性，不妨設(shè)abc>0，則.因而.又a5b5c5，由排序不等式，得.又由不等式性質(zhì)，知a2b2c2，.根據(jù)排序不等式，得.由不等式的傳遞性知.【例3】【分析】題中只給出了x>0，但是對(duì)于x1，x<1并不確定，因此，需要分類(lèi)討論【證明】(1)當(dāng)x1時(shí)，1xx2xn，由排序原理知，11xxx2x2xnxnxn1xn1x1xn，1x2x4x2n(n1)xn.又x，x2，xn,1為1，x，x2，xn的一個(gè)排序，于是由排序原理得1xxx2xn1xn1xn1xnxxn1xn1xxn1，xx3x2n1nxn.，得1xx2x2n(2n1)xn.(2)當(dāng)0<x<1時(shí)，1>x>x2>>xn，同理可得綜合(1)與(2)，所以當(dāng)x>0時(shí)，1xx2x2n(2n1)xn.【變式訓(xùn)練3】證明取兩組數(shù)a，b，c；a2，b2，c2.不管a，b，c的大小如何，a3b3c3都是順序和，而a2bb2cc2a，及a2cb2ac2b都是亂序和因此，a3b3c3a2bb2cc2a，a3b3c3a2cb2ac2b.2(a3b3c3)a2(bc)b2(ca)c2(ab)