（浙江專用）2020版高考數(shù)學(xué)新增分大一輪復(fù)習(xí) 第五章 三角函數(shù)、解三角形 5.1 任意角、弧度制及任意角的三角函數(shù)講義（含解析）.docx

5.1任意角、弧度制及任意角的三角函數(shù)最新考綱考情考向分析1.了解角、角度制與弧度制的概念，掌握弧度與角度的換算2.理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的定義.以理解任意角三角函數(shù)的概念、能進行弧度與角度的互化和扇形弧長、面積的計算為主，常與向量、三角恒等變換相結(jié)合，考查三角函數(shù)定義的應(yīng)用及三角函數(shù)的化簡與求值，考查分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用意識題型以選擇題為主，低檔難度.1角的概念(1)任意角：定義：角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形；分類：角按旋轉(zhuǎn)方向分為正角、負(fù)角和零角(2)所有與角終邊相同的角，連同角在內(nèi)，構(gòu)成的角的集合是S|k360，kZ(3)象限角：使角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，那么，角的終邊在第幾象限，就說這個角是第幾象限角；如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個角不屬于任何一個象限2弧度制(1)定義：把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角，用符號rad表示，讀作弧度正角的弧度數(shù)是一個正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是一個負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是0.(2)角度制和弧度制的互化：180rad,1rad，1rad.(3)扇形的弧長公式：l|r，扇形的面積公式：Slr|r2.3任意角的三角函數(shù)任意角的終邊與單位圓交于點P(x，y)時，則siny，cosx，tan(x0)三個三角函數(shù)的初步性質(zhì)如下表：三角函數(shù)定義域第一象限符號第二象限符號第三象限符號第四象限符號sinRcosRtan4.三角函數(shù)線如下圖，設(shè)角的終邊與單位圓交于點P，過P作PMx軸，垂足為M，過A(1,0)作單位圓的切線與的終邊或終邊的反向延長線相交于點T.三角函數(shù)線有向線段MP為正弦線；有向線段OM為余弦線；有向線段AT為正切線概念方法微思考1總結(jié)一下三角函數(shù)值在各象限的符號規(guī)律提示一全正、二正弦、三正切、四余弦2三角函數(shù)坐標(biāo)法定義中，若取點P(x，y)是角終邊上異于頂點的任一點，怎樣定義角的三角函數(shù)？提示設(shè)點P到原點O的距離為r，則sin，cos，tan(x0)題組一思考辨析1判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“”或“”)(1)銳角是第一象限的角，第一象限的角也都是銳角()(2)角的三角函數(shù)值與其終邊上點P的位置無關(guān)()(3)不相等的角終邊一定不相同()(4)若為第一象限角，則sincos>1.()題組二教材改編2P10A組T7角225_弧度，這個角在第_象限答案二3P15T2若角的終邊經(jīng)過點Q，則sin_，cos_.答案4P10A組T6一條弦的長等于半徑，這條弦所對的圓心角大小為_弧度答案題組三易錯自糾5集合中的角所表示的范圍(陰影部分)是()答案C解析當(dāng)k2n(nZ)時，2n2n，此時表示的范圍與表示的范圍一樣；當(dāng)k2n1 (nZ)時，2n2n，此時表示的范圍與表示的范圍一樣，故選C.6已知點P在角的終邊上，且0,2)，則的值為()A.B.C.D.答案C解析因為點P在第四象限，所以根據(jù)三角函數(shù)的定義可知tan，又，所以.7在0到2范圍內(nèi)，與角終邊相同的角是_答案解析與角終邊相同的角是2k(kZ)，令k1，可得與角終邊相同的角是.8函數(shù)y的定義域為_答案(kZ)解析2cosx10，cosx.由三角函數(shù)線畫出x滿足條件的終邊范圍(如圖陰影部分所示)，x(kZ)題型一角及其表示1下列與角的終邊相同的角的表達(dá)式中正確的是 ()A2k45(kZ) Bk360(kZ)Ck360315(kZ) Dk(kZ)答案C解析與角的終邊相同的角可以寫成2k(kZ)，但是角度制與弧度制不能混用，所以只有答案C正確2設(shè)集合M，N，那么()AMNBMNCNMDMN答案B解析由于M中，x18045k9045(2k1)45，2k1是奇數(shù)；而N中，x18045k4545(k1)45，k1是整數(shù)，因此必有MN，故選B.3終邊在直線yx上，且在2，2)內(nèi)的角的集合為_答案解析如圖，在坐標(biāo)系中畫出直線yx，可以發(fā)現(xiàn)它與x軸的夾角是，在0,2)內(nèi)，終邊在直線yx上的角有兩個：，；在2，0)內(nèi)滿足條件的角有兩個：，故滿足條件的角構(gòu)成的集合為.4若角是第二象限角，則是第_象限角答案一或三解析是第二象限角，2k<<2k，kZ，k<<k，kZ.當(dāng)k為偶數(shù)時，是第一象限角；當(dāng)k為奇數(shù)時，是第三象限角綜上，是第一或第三象限角思維升華 (1)利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的角，方法是先寫出與這個角的終邊相同的所有角的集合，然后通過對集合中的參數(shù)k(kZ)賦值來求得所需的角(2)確定k，(kN*)的終邊位置的方法先寫出k或的范圍，然后根據(jù)k的可能取值確定k或的終邊所在位置題型二弧度制及其應(yīng)用例1已知一扇形的圓心角為，半徑為R，弧長為l.若，R10cm，求扇形的面積解由已知得，R10cm，S扇形R2102(cm2)引申探究1若例題條件不變，求扇形的弧長及該弧所在弓形的面積解lR10(cm)，S弓形S扇形S三角形lRR2sin10102(cm2)2若例題條件改為：“若扇形周長為20cm”，當(dāng)扇形的圓心角為多少弧度時，這個扇形的面積最大？解由已知得，l2R20，則l202R(0<R<10)所以SlR(202R)R10RR2(R5)225，所以當(dāng)R5cm時，S取得最大值25cm2，此時l10cm，2rad.思維升華應(yīng)用弧度制解決問題的方法(1)利用扇形的弧長和面積公式解題時，要注意角的單位必須是弧度(2)求扇形面積最大值的問題時，常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題(3)在解決弧長問題和扇形面積問題時，要合理地利用圓心角所在的三角形跟蹤訓(xùn)練1(1)若圓弧長度等于圓內(nèi)接正三角形的邊長，則其圓心角的弧度數(shù)的絕對值為()A.B.C3D.答案D解析如圖，等邊三角形ABC是半徑為r的圓O的內(nèi)接三角形，則線段AB所對的圓心角AOB，作OMAB，垂足為M，在RtAOM中，AOr，AOM，AMr，ABr，lr，|.(2)一扇形是從一個圓中剪下的一部分，半徑等于圓半徑的，面積等于圓面積的，則扇形的弧長與圓周長之比為_答案解析設(shè)圓的半徑為r，則扇形的半徑為，記扇形的圓心角為，由扇形面積等于圓面積的，可得，解得.所以扇形的弧長與圓周長之比為.題型三三角函數(shù)的概念命題點1三角函數(shù)定義的應(yīng)用例2(1)已知角的終邊與單位圓的交點為P，則sintan等于()ABCD答案C解析由OP2y21，得y2，y.當(dāng)y時，sin，tan，此時，sintan.當(dāng)y時，sin，tan，此時，sintan.所以sintan.(2)設(shè)是第三象限角，且cos，則是()A第一象限角B第二象限角C第三象限角D第四象限角答案B解析由是第三象限角知，為第二或第四象限角，cos，cos<0，綜上可知，為第二象限角命題點2三角函數(shù)線例3(1)滿足cos的角的集合是_答案解析作直線x交單位圓于C，D兩點，連接OC，OD，則OC與OD圍成的區(qū)域(圖中陰影部分)即為角終邊的范圍，故滿足條件的角的集合為.(2)若<<，從單位圓中的三角函數(shù)線觀察sin，cos，tan的大小關(guān)系是_答案sin<cos<tan解析如圖，作出角的正弦線MP，余弦線OM，正切線AT，觀察可知sin<cos<tan.思維升華 (1)利用三角函數(shù)的定義，已知角終邊上一點P的坐標(biāo)可求的三角函數(shù)值；已知角的三角函數(shù)值，也可以求出點P的坐標(biāo)(2)利用三角函數(shù)線解不等式要注意邊界角的取舍，結(jié)合三角函數(shù)的周期性寫出角的范圍跟蹤訓(xùn)練2(1)已知角的終邊經(jīng)過點(3a9，a2)，且cos0，sin>0.則實數(shù)a的取值范圍是()A(2,3 B(2,3)C2,3) D2,3答案A解析cos0，sin>0，角的終邊落在第二象限或y軸的正半軸上2<a3.(2)在(0,2)內(nèi)，使得sinx>cosx成立的x的取值范圍是()A.B.C.D.答案C解析當(dāng)x時，sinx>0，cosx0，顯然sinx>cosx成立；當(dāng)x時，如圖，OA為x的終邊，此時sinx|MA|，cosx|OM|，sinxcosx；當(dāng)x時，如圖，OB為x的終邊，此時sinx|NB|，cosx|ON|，sinx>cosx同理當(dāng)x時，sinx>cosx；當(dāng)x時，sinxcosx，故選C.1下列說法中正確的是()A第一象限角一定不是負(fù)角B不相等的角，它們的終邊必不相同C鈍角一定是第二象限角D終邊與始邊均相同的兩個角一定相等答案C解析因為33036030，所以330角是第一象限角，且是負(fù)角，所以A錯誤；同理330角和30角不相等，但它們終邊相同，所以B錯誤；因為鈍角的取值范圍為(90，180)，所以C正確；0角和360角的終邊與始邊均相同，但它們不相等，所以D錯誤2已知扇形的周長是6，面積是2，則扇形的圓心角的弧度數(shù)是()A1B4C1或4D2或4答案C解析設(shè)扇形的半徑為r，弧長為l，則解得或從而4或1.3若角終邊過點P(4，m)，且sin，則m等于()A3B3C.D3答案B解析sin，且m>0，解得m3.4點P從(1,0)出發(fā)，沿單位圓逆時針方向運動弧長到達(dá)Q點，則Q點的坐標(biāo)為()A.B.C.D.答案A解析點P旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)也為，由三角函數(shù)定義可知Q點的坐標(biāo)(x，y)滿足xcos，ysin.5已知點P(cos，tan)在第二象限，則角的終邊在()A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限答案C解析因為點P(cos，tan)在第二象限，所以所以角的終邊在第三象限，故選C.6(2018嘉興模擬)sin2cos3tan4的值()A小于0B大于0C等于0D不存在答案A解析sin2>0，cos3<0，tan4>0，sin2cos3tan4<0.7已知角的終邊過點P(8m，6sin30)，且cos，則m的值為()ABC.D.答案C解析由題意得點P(8m，3)，r，所以cos，解得m，又cos<0，所以8m<0，即m>0，所以m.8下列命題中正確命題的個數(shù)是()第二象限角大于第一象限角；三角形的內(nèi)角是第一象限角或第二象限角；不論是用角度制還是用弧度制度量一個角，它們與扇形的半徑的大小無關(guān)；若sinsin，則與的終邊相同；若cos<0，則是第二或第三象限的角A1B2C3D4答案A解析舉反例：第一象限角370不小于第二象限角100，故錯；當(dāng)三角形的內(nèi)角為90時，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故錯；正確；由于sinsin，但與的終邊不相同，故錯；當(dāng)cos1，時，其既不是第二象限角，也不是第三象限角，故錯綜上可知，只有正確9若圓弧長度等于該圓內(nèi)接正方形的邊長，則其圓心角的弧度數(shù)是_答案解析設(shè)圓半徑為r，則圓內(nèi)接正方形的對角線長為2r，正方形邊長為r，圓心角的弧度數(shù)是.10若角的終邊與直線y3x重合，且sin<0，又P(m，n)是角終邊上一點，且|OP|，則mn_.答案2解析由已知tan3，n3m，又m2n210，m21.又sin<0，m1，n3.故mn2.11已知角的終邊上一點P的坐標(biāo)為，則角的最小正值為_答案解析由題意知，點P，r1，所以點P在第四象限，根據(jù)三角函數(shù)的定義得cossin，故2k(kZ)，所以的最小正值為.12函數(shù)y的定義域為_答案，kZ解析利用三角函數(shù)線(如圖)，由sinx，可知2kx2k，kZ.13.已知角的終邊在如圖所示陰影表示的范圍內(nèi)(不包括邊界)，則角用集合可表示為_答案解析在0,2)內(nèi)，終邊落在陰影部分角的集合為，所求角的集合為.14若角的終邊落在直線yx上，角的終邊與單位圓交于點，且sincos<0，則cossin_.答案解析由角的終邊與單位圓交于點，得cos，又由sincos<0知，sin<0，因為角的終邊落在直線yx上，所以角只能是第三象限角記P為角的終邊與單位圓的交點，設(shè)P(x，y)(x<0，y<0)，則|OP|1(O為坐標(biāo)原點)，即x2y21，又由yx得x，y，所以cosx，因為點在單位圓上，所以2m21，解得m，所以sin，所以cossin.15九章算術(shù)是我國古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表作，其中“方田”章給出了計算弧田面積時所用的經(jīng)驗公式，即弧田面積(弦矢矢2)弧田(如圖1)由圓弧和其所對弦圍成，公式中“弦”指圓弧所對弦長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差，現(xiàn)有圓心角為，半徑為3米的弧田，如圖2所示按照上述經(jīng)驗公式計算所得弧田面積大約是_平方米(結(jié)果保留整數(shù)，1.73)答案5解析如題圖2，由題意可得AOB，OA3，所以在RtAOD中，AOD，DAO，ODAO3，可得CD3，由ADAOsin3，可得AB2AD3.所以弧田面積S(弦矢矢2)5(平方米)16.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合且與單位圓相交于A點，它的終邊與單位圓相交于B點，始邊不動，終邊運動(1)若點B的橫坐標(biāo)為，求tan的值；(2)若AOB為等邊三角形，寫出與角終邊相同的角的集合；(3)若，請寫出弓形AB的面積S與的函數(shù)關(guān)系式解(1)根據(jù)題意可得B，tan.(2)若AOB為等邊三角形，則B或B，當(dāng)B時，；當(dāng)B時，.與角終邊相同的角的集合是.(3)若，則S扇形r2，而SAOB11sinsin，故弓形AB的面積Ssin，.