（浙江專用）2020版高考數(shù)學(xué)新增分大一輪復(fù)習(xí) 第六章 平面向量、復(fù)數(shù) 6.3 平面向量的數(shù)量積講義（含解析）.docx

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6.3　平面向量的數(shù)量積 最新考綱 考情考向分析 1.理解平面向量數(shù)量積的概念及其幾何意義． 2.掌握平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，掌握數(shù)量積與兩個(gè)向量的夾角之間的關(guān)系． 3.會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的平行與垂直. 主要考查利用數(shù)量積的定義解決數(shù)量積的運(yùn)算、投影、求模與夾角等問(wèn)題，考查利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示求兩個(gè)向量的夾角、模長(zhǎng)以及判斷兩個(gè)平面向量的平行與垂直關(guān)系．一般以選擇題、填空題的形式考查，偶爾會(huì)在解答題中出現(xiàn)，屬于中檔題. 1．向量的夾角 已知兩個(gè)非零向量a和b，作＝a，＝b，則∠AOB就是向量a與b的夾角，向量夾角的范圍是[0，π]． 2．平面向量的數(shù)量積 定義 設(shè)兩個(gè)非零向量a，b的夾角為θ，則數(shù)量|a||b|cosθ叫做a與b的數(shù)量積，記作ab 投影 |a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影， |b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影 幾何意義 數(shù)量積ab等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積 3.向量數(shù)量積的運(yùn)算律 (1)ab＝ba. (2)(λa)b＝λ(ab)＝a(λb)． (3)(a＋b)c＝ac＋bc. 4．平面向量數(shù)量積的有關(guān)結(jié)論 已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a與b的夾角為θ. 結(jié)論 幾何表示 坐標(biāo)表示 模 |a|＝ |a|＝ 夾角 cosθ＝ cosθ＝ a⊥b的充要條件 ab＝0 x1x2＋y1y2＝0 |ab|與|a||b|的關(guān)系 |ab|≤|a||b| |x1x2＋y1y2|≤ 概念方法微思考 1．a(chǎn)在b方向上的投影與b在a方向上的投影相同嗎？ 提示　不相同．因?yàn)閍在b方向上的投影為|a|cosθ，而b在a方向上的投影為|b|cosθ，其中θ為a與b的夾角． 2．兩個(gè)向量的數(shù)量積大于0，則夾角一定為銳角嗎？ 提示　不一定．當(dāng)夾角為0時(shí)，數(shù)量積也大于0. 題組一　思考辨析 1．判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“”) (1)向量在另一個(gè)向量方向上的投影為數(shù)量，而不是向量．(　√　) (2)兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算結(jié)果是向量．(　√　) (3)由ab＝0可得a＝0或b＝0.(　　) (4)(ab)c＝a(bc)．(　　) (5)兩個(gè)向量的夾角的范圍是.(　　) (6)若ab<0，則a和b的夾角為鈍角．(　　) 題組二　教材改編 2．[P105例4]已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a(2a－b)＝0，則k＝________. 答案　12 解析　∵2a－b＝(4,2)－(－1，k)＝(5,2－k)， 由a(2a－b)＝0，得(2,1)(5,2－k)＝0， ∴10＋2－k＝0，解得k＝12. 3．[P106T3]已知|a|＝5，|b|＝4，a與b的夾角θ＝120，則向量b在向量a方向上的投影為_(kāi)_______． 答案　－2 解析　由數(shù)量積的定義知，b在a方向上的投影為 |b|cosθ＝4cos120＝－2. 題組三　易錯(cuò)自糾 4．已知向量a，b的夾角為60，|a|＝2，|b|＝1，則|a＋2b|＝________. 答案　2 解析　方法一　|a＋2b|＝ ＝ ＝ ＝＝2. 方法二　(數(shù)形結(jié)合法) 由|a|＝|2b|＝2知，以a與2b為鄰邊可作出邊長(zhǎng)為2的菱形OACB，如圖，則|a＋2b|＝||. 又∠AOB＝60， 所以|a＋2b|＝2. 5．已知點(diǎn)A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，則向量在方向上的投影為_(kāi)_______． 答案　 解析?。?2,1)，＝(5,5)， 由定義知，在方向上的投影為＝＝. 6．已知△ABC的三邊長(zhǎng)均為1，且＝c，＝a，＝b，則ab＋bc＋ac＝________. 答案　－ 解析　∵〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈a，c〉＝120，|a|＝|b|＝|c|＝1， ∴ab＝bc＝ac＝11cos120＝－， ∴ab＋bc＋ac＝－. 題型一　平面向量數(shù)量積的基本運(yùn)算 1．已知a＝(x,1)，b＝(－2,4)，若(a＋b)⊥b，則x等于(　　) A．8B．10C．11D．12 答案　D 解析　∵a＝(x,1)，b＝(－2,4)，∴a＋b＝(x－2,5)， 又(a＋b)⊥b，∴(x－2)(－2)＋20＝0，∴x＝12. 2．(2018全國(guó)Ⅱ)已知向量a，b滿足|a|＝1，ab＝－1，則a(2a－b)等于(　　) A．4B．3C．2D．0 答案　B 解析　a(2a－b)＝2a2－ab＝2|a|2－ab. ∵|a|＝1，ab＝－1，∴原式＝212＋1＝3. 3．(2012浙江)在△ABC中，M是BC的中點(diǎn)，AM＝3，BC＝10，則＝________. 答案　－16 解析　如圖所示， ＝＋， ＝＋＝－， ∴＝(＋)(－) ＝2－2＝||2－||2＝9－25＝－16. 思維升華平面向量數(shù)量積的三種運(yùn)算方法 (1)當(dāng)已知向量的模和夾角時(shí)，可利用定義法求解，即ab＝|a||b|cos〈a，b〉． (2)當(dāng)已知向量的坐標(biāo)時(shí)，可利用坐標(biāo)法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則ab＝x1x2＋y1y2. (3)利用數(shù)量積的幾何意義求解． 題型二　平面向量的模 例1 (1)(2018浙江五校聯(lián)考)如圖，已知在平行四邊形ABCD中，E，M分別為DC的兩個(gè)三等分點(diǎn)，F(xiàn)，N分別為BC的兩個(gè)三等分點(diǎn)，且＝25，＝43，則||2＋||2等于(　　) A．45B．60C．90D．180 答案　C 解析　設(shè)＝a，＝b，依題意得＝＋＝a＋b，＝＋＝a＋b，＝＋＝a＋b，＝＋＝a＋b， ∵＝25，＝43， ∴ 即∴a2＋b2＝45， ∴||2＋||2＝|a＋b|2＋|b－a|2＝(a＋b)2＋(b－a)2＝2(a2＋b2)＝90.故選C. (2)(2017浙江)已知向量a，b滿足|a|＝1，|b|＝2，則|a＋b|＋|a－b|的最小值是________，最大值是________． 答案　4　2 解析　設(shè)a，b的夾角為θ， ∵|a|＝1，|b|＝2， ∴|a＋b|＋|a－b|＝＋ ＝＋. 令y＝＋. 則y2＝10＋2. ∵θ∈[0，π]，∴cos2θ∈[0,1]， ∴y2∈[16,20]， ∴y∈[4,2]，即|a＋b|＋|a－b|∈[4,2]． 思維升華計(jì)算平面向量模的方法 利用數(shù)量積求長(zhǎng)度問(wèn)題是數(shù)量積的重要應(yīng)用，要掌握此類問(wèn)題的處理方法： (1)|a|2＝a2＝aa； (2)|ab|2＝(ab)2＝a22ab＋b2； (3)若a＝(x，y)，則|a|＝. 跟蹤訓(xùn)練1 (1)(2014浙江)設(shè)θ為兩個(gè)非零向量a，b的夾角，已知對(duì)任意實(shí)數(shù)t，|b＋ta|的最小值為1，則(　　) A．若θ確定，則|a|唯一確定 B．若θ確定，則|b|唯一確定 C．若|a|確定，則θ唯一確定 D．若|b|確定，則θ唯一確定 答案　B 解析　|b＋ta|2＝b2＋2abt＋t2a2 ＝|a|2t2＋2|a||b|cosθt＋|b|2. 因?yàn)閨b＋ta|min＝1， 所以＝|b|2(1－cos2θ)＝1. 所以|b|2sin2θ＝1，所以|b|sinθ＝1，即|b|＝. 即θ確定，|b|唯一確定． (2)(2018麗水、衢州、湖州三地市質(zhì)檢)已知向量a，b滿足|a－b|＝|a＋3b|＝2，則|a|的取值范圍是________． 答案　[1,2] 解析　方法一　設(shè)a－b＝m，a＋3b＝n，則a＝(3m＋n)，b＝(n－m)，因?yàn)閨m|＝|n|＝2， 所以16a2＝(3m＋n)2＝9m2＋n2＋6mn＝94＋4＋622cosθ＝40＋24cosθ，其中θ為向量m，n的夾角，cosθ∈[－1,1]，40＋24cosθ∈[16,64]，即a2∈[1,4]，所以|a|的取值范圍是[1,2]． 方法二　由|a－b|＝2得a2＋b2－2ab＝4，由|a＋3b|＝2得a2＋9b2＋6ab＝4，所以a2＋3b2＝4，b2＋ab＝0，設(shè)向量a，b的夾角為θ，所以|b|＝－|a|cosθ，－cosθ∈[0,1]，所以|b|≤|a|，a2＋3b2≤4a2，即4a2≥4，所以|a|≥1，又a2≤4，所以1≤|a|≤2，故|a|的取值范圍是[1,2]． 題型三　平面向量的夾角 例2 (1)(2018浙江高考適應(yīng)性考試)若向量a，b滿足|a|＝4，|b|＝1，且(a＋8b)⊥a，則向量a，b的夾角為(　　) A.B.C.D. 答案　C 解析　由(a＋8b)⊥a，得|a|2＋8ab＝0，因?yàn)閨a|＝4，所以ab＝－2，所以cos〈a，b〉＝＝－，所以向量a，b的夾角為，故選C. (2)已知e1，e2是互相垂直的單位向量．若e1－e2與e1＋λe2的夾角為60，則實(shí)數(shù)λ的值是________． 答案　 解析　由題意知|e1|＝|e2|＝1，e1e2＝0， |e1－e2|＝ ＝＝＝2. 同理|e1＋λe2|＝. 所以cos60＝ ＝＝＝， 解得λ＝. 思維升華求平面向量的夾角的方法 (1)定義法：cosθ＝，θ的取值范圍為[0，π]． (2)坐標(biāo)法：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則cosθ＝. (3)解三角形法：把兩向量的夾角放到三角形中． 跟蹤訓(xùn)練2(1)(2011浙江)若平面向量α，β滿足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β為鄰邊的平行四邊形的面積為，則α與β的夾角θ的取值范圍是________． 答案　 解析　由題意知S＝|α||β|sinθ＝≤sinθ， ∵θ∈[0，π]，∴θ∈. (2)(2018浙江金華名校統(tǒng)考)已知向量a，b是夾角為的單位向量，當(dāng)實(shí)數(shù)λ≤－1時(shí)，向量a與向量a＋λb的夾角的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　根據(jù)向量a，b是夾角為的單位向量， 畫出圖形，如圖所示，設(shè)＝a，＝b，∠AOB＝， 當(dāng)λ＝－1時(shí)，a＋λb＝＋＝， 此時(shí)a與a＋λb的夾角為∠AOD＝； 當(dāng)λ<－1時(shí)，a＋λb＝＋＝，此時(shí)a與a＋λb的夾角為∠AOF，且∠AOD<∠AOF<∠AOE，即<∠AOF<.綜上，向量a與向量a＋λb的夾角的取值范圍是. 1．已知a，b為非零向量，則“ab>0”是“a與b的夾角為銳角”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 答案　B 解析　根據(jù)向量數(shù)量積的定義式可知，若ab>0，則a與b的夾角為銳角或零角，若a與b的夾角為銳角，則一定有ab>0，所以“ab>0”是“a與b的夾角為銳角”的必要不充分條件，故選B. 2．(2018臺(tái)州調(diào)研)已知向量a＝(2,1)，b＝(1,3)，則向量2a－b與a的夾角為(　　) A．135B．60C．45D．30 答案　C 解析　由題意可得2a－b＝2(2,1)－(1,3)＝(3，－1)， 則|2a－b|＝＝， |a|＝＝， 且(2a－b)a＝(3，－1)(2,1)＝6－1＝5， 設(shè)所求向量的夾角為θ，由題意可得 cosθ＝＝＝， 則向量2a－b與a的夾角為45. 3．已知向量a，b滿足|a|＝1，|b|＝2，且a－b＝(，)，則|2a－b|等于(　　) A．2B.C.D．2 答案　A 解析　根據(jù)題意，|a－b|＝＝， 則(a－b)2＝a2＋b2－2ab＝5－2ab＝5， 可得ab＝0，結(jié)合|a|＝1，|b|＝2， 可得(2a－b)2＝4a2＋b2－4ab＝4＋4＝8， 則＝2，故選A. 4．(2018寧波質(zhì)檢)在△ABC中，|＋|＝|－|，AB＝2，AC＝1，E，F(xiàn)為BC的三等分點(diǎn)，則等于(　　) A.B.C.D. 答案　B 解析　由|＋|＝|－|，化簡(jiǎn)得＝0，又因?yàn)锳B和AC為三角形的兩條邊，它們的長(zhǎng)不可能為0，所以AB與AC垂直，所以△ABC為直角三角形．以A為原點(diǎn)，以AC所在直線為x軸，以AB所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示， 則A(0,0)，B(0,2)，C(1,0)．不妨令E為BC的靠近C的三等分點(diǎn)，則E，F(xiàn)， 所以＝，＝， 所以＝＋＝. 5．已知兩個(gè)單位向量a和b的夾角為60，則向量a－b在向量a方向上的投影為(　　) A．－1B．1C．－D. 答案　D 解析　由題意可得|a|＝|b|＝1， 且ab＝|a||b|cos60＝， a(a－b)＝a2－ab＝1－＝， 則向量a－b在向量a方向上的投影為 ＝＝.故選D. 6．(2018溫州“十五校聯(lián)合體”聯(lián)考)已知向量a，b的夾角為θ，|a＋b|＝6，|a－b|＝2，則θ的取值范圍是(　　) A．0≤θ≤ B.≤θ＜ C.≤θ＜ D．0＜θ＜ 答案　A 解析　由|a＋b|＝6， 得|a|2＋2ab＋|b|2＝36，① 由|a－b|＝2， 得|a|2－2ab＋|b|2＝12，② 由①②得|a|2＋|b|2＝24，且ab＝6， 從而有cosθ＝≥＝， 又0≤θ≤π，故0≤θ≤. 7．若平面向量a，b滿足b＝7，|a|＝，|b|＝2，則向量a與b的夾角為_(kāi)_______． 答案　 解析　∵(a＋b)b＝ab＋b2＝7， ∴ab＝7－b2＝3. 設(shè)向量a與b的夾角為α， 則cosα＝＝＝. 又0≤α≤π，∴α＝， 即向量a與b的夾角為. 8．已知a＝(λ，2λ)，b＝(3λ，2)，如果a與b的夾角為銳角，則λ的取值范圍是______________． 答案　∪∪ 解析　a與b的夾角為銳角，則ab>0且a與b不共線，則 解得λ<－或0<λ<或λ>，所以λ的取值范圍是 ∪∪. 9．(2018浙江名校協(xié)作體試題)已知在△ABC中，AB＝3，BC＝，AC＝2，且O是△ABC的外心，則＝________，＝________. 答案　2　－ 解析　因?yàn)镺是△ABC的外心，所以向量在向量上的投影＝1，向量在向量上的投影為＝，所以＝2，＝，所以＝－＝2－＝－. 10．(2018溫州市高考適應(yīng)性測(cè)試)若向量a，b滿足(a＋b)2－b2＝|a|＝3，且|b|≥2，則a在b方向上的投影的取值范圍是________． 答案　 解析　由(a＋b)2－b2＝|a|＝3，得(a＋b)2－b2＝|a|2＋2ab＋|b|2－|b|2＝9＋2ab＝3，解得ab＝－3，又因?yàn)閨b|≥2，則向量a在向量b方向上的投影為∈. 11．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)(2a＋b)＝61. (1)求a與b的夾角θ； (2)求|a＋b|； (3)若＝a，＝b，求△ABC的面積． 解　(1)因?yàn)?2a－3b)(2a＋b)＝61， 所以4|a|2－4ab－3|b|2＝61. 又|a|＝4，|b|＝3， 所以64－4ab－27＝61， 所以ab＝－6， 所以cosθ＝＝＝－. 又0≤θ≤π，所以θ＝. (2)|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2ab＋|b|2 ＝42＋2(－6)＋32＝13， 所以|a＋b|＝. (3)因?yàn)榕c的夾角θ＝， 所以∠ABC＝π－＝. 又||＝|a|＝4，||＝|b|＝3， 所以S△ABC＝||||sin∠ABC ＝43＝3. 12．已知△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點(diǎn)，求(＋)的最小值． 解　方法一　設(shè)BC的中點(diǎn)為D，AD的中點(diǎn)為E， 則有＋＝2， 則(＋)＝2 ＝2(＋)(－) ＝2(2－2)． 而2＝2＝， 當(dāng)P與E重合時(shí)，2有最小值0， 故此時(shí)(＋)取最小值， 最小值為－22＝－2＝－. 方法二　以AB所在直線為x軸，AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，如圖， 則A(－1,0)，B(1,0)，C(0，)， 設(shè)P(x，y)，取BC的中點(diǎn)D，則D. (＋)＝2 ＝2(－1－x，－y) ＝2 ＝2. 因此，當(dāng)x＝－，y＝時(shí)， (＋)取最小值，為2＝－. 13．(2018浙江名校聯(lián)盟聯(lián)考)已知在△ABC中，AB＝4，AC＝2，AC⊥BC，D為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P滿足＝＋，則(＋)的最小值為(　　) A．－2B．－C．－D．－ 答案　C 解析　由＝＋知點(diǎn)P在直線CD上，以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CB所在直線為x軸，CA所在直線為y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則A(0,2)，B(2，0)，C(0,0)，D(，1)，∴直線CD的方程為y＝x， 設(shè)P，則＝， ＝，＝， ∴＋＝， ∴(＋)＝－x(2－2x)＋x2－x ＝x2－x＝2－， ∴當(dāng)x＝時(shí)，(＋)取得最小值－. 14．(2018杭州質(zhì)檢)記M的最大值和最小值分別為Mmax和Mmin.若平面向量a，b，c滿足|a|＝|b|＝ab＝c(a＋2b－2c)＝2.則(　　) A．|a－c|max＝ B．|a＋c|max＝ C．|a－c|min＝ D．|a＋c|min＝. 答案　A 解析　由題意，建立平面直角坐標(biāo)系(圖略)，不妨取a＝(2,0)，b＝(1，)，則a＋2b＝(4,2)．設(shè)c＝(x，y)， 由c(a＋2b－2c)＝2得(x－1)2＋2＝， 即c對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上， 則|a－c|max＝＋＝.故選A. 15．已知，是非零不共線的向量，設(shè)＝＋，定義點(diǎn)集A＝，當(dāng)F1，F(xiàn)2∈A時(shí)，若對(duì)于任意的m≥3，當(dāng)F1，F(xiàn)2不在直線PQ上時(shí)，不等式≤k恒成立，則實(shí)數(shù)k的最小值為_(kāi)_______． 答案　 解析　由＝＋(m≥3)， 可得P，Q，M三點(diǎn)共線，且(m＋1)＝＋m， 即m＋＝＋m，即m＝，所以＝m， 由A＝， 可得cos∠PFM＝cos∠QFM， 即∠PFM＝∠QFM，則FM為∠PFQ的角平分線， 由角平分線的性質(zhì)定理可得＝＝m， 以P為坐標(biāo)原點(diǎn)，PQ所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系(圖略)，則P，Q，F(xiàn)(x，y)， 于是＝m， 化簡(jiǎn)得2＋y2＝2， 故點(diǎn)F(x，y)是以為圓心，為半徑的圓．要使得不等式對(duì)m≥3恒成立， 只需2≤k，即k≥＝ 對(duì)m≥3恒成立，∴k≥＝. 16．(2019嘉興質(zhì)檢)已知|c|＝2，向量b滿足2|b－c|＝bc.當(dāng)b，c的夾角最大時(shí)，求|b|的值． 解　設(shè)＝b，＝c，則∠BOC即向量b，c的夾角，b－c＝.由2|b－c|＝bc， 可知2||＝2||cos∠BOC， 從而cos∠BOC＝≥0. 若||＝0，則∠BOC＝0，不符合題意； 若||>0，則∠BOC為銳角， 設(shè)OB＝m，BC＝n， 則cos∠BOC＝，在△OBC中， 由余弦定理可知cos∠BOC＝＝， 所以＝， 即m2＝n2＋4n－4， 從而cos2∠BOC＝＝ ＝， 所以當(dāng)n＝2時(shí)，cos2∠BOC取得最小值，∠BOC取得最大值，為，此時(shí)|b|＝m＝＝2.