2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第四章 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 2 導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用學(xué)案 北師大版選修1 -1.doc

2 導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用21實(shí)際問題中導(dǎo)數(shù)的意義 某人拉動(dòng)一個(gè)物體前進(jìn)，他所做的功W(單位：J)是時(shí)間t(單位：s)的函數(shù)，設(shè)這個(gè)函數(shù)可以表示為WW(t)t34t210t.問題1：t從1 s到4 s時(shí)，功W關(guān)于時(shí)間t的平均變化率是多少？提示：11(J/s)問題2：上述問題的實(shí)際意義是什么？提示：它表示從t1 s到t4 s這段時(shí)間內(nèi)，這個(gè)人平均每秒做功11 J.問題3：W(1)的實(shí)際意義是什么？提示：W(t)3t28t10，W(1)5.表示此人在t1s時(shí)每秒做功為5 J.實(shí)際問題中導(dǎo)數(shù)的意義1功關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)是功率2降雨量關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)是降雨強(qiáng)度3生產(chǎn)成本關(guān)于產(chǎn)量的導(dǎo)數(shù)是邊際成本4路程關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)是速度速度關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)是加速度5質(zhì)量關(guān)于長度的導(dǎo)數(shù)是線密度在日常生活中，有許多需要用導(dǎo)數(shù)概念來理解的量如物理學(xué)中，速度是路程關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，功率是功關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)解決這些問題，要在閱讀材料、理解題意的基礎(chǔ)上，利用數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)模型進(jìn)行分析，得到數(shù)學(xué)結(jié)論，然后再用數(shù)學(xué)結(jié)論解釋實(shí)際問題 導(dǎo)數(shù)在物理學(xué)中的應(yīng)用例1把原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種不同產(chǎn)品，需要對(duì)原油進(jìn)行冷卻和加熱，如果第x h時(shí)，原油的溫度(單位：)為yf(x)x27x15(0x8)(1)分別計(jì)算當(dāng)x從0變到1，從2變到3時(shí)，原油溫度y關(guān)于時(shí)間x的平均變化率，比較它們的大小，并解釋它們的實(shí)際意義；(2)計(jì)算第2 h和第6 h時(shí)，原油溫度的瞬時(shí)變化率，并說明它們的意義思路點(diǎn)撥(1)平均變化率即為.(2)可利用導(dǎo)數(shù)公式求出y，再分別求當(dāng)x2,6時(shí)的導(dǎo)數(shù)值精解詳析(1)由題意得f(0)15，f(1)9，當(dāng)x從0變到1時(shí)，原油溫度平均變化率為6(/h)，表示從0到1這一小時(shí)內(nèi)，原油溫度平均每小時(shí)降低6.又f(2)5，f(3)3，當(dāng)x從2變到3時(shí)，原油溫度平均變化率為2(/h)，表示從2到3這一小時(shí)內(nèi)，原油溫度平均每小時(shí)降低2.6<2，說明原油溫度在開始的1小時(shí)比以后1小時(shí)的溫度下降的多(2)y2x7，當(dāng)x2時(shí)，y3，當(dāng)x6時(shí)，y5.在第2 h與第6 h時(shí)，原油溫度的瞬時(shí)變化率分別為3與5.這說明x2 h時(shí)原油溫度大約以3/h的速率下降；x6 h時(shí)，原油溫度大約以5/h的速率上升一點(diǎn)通利用導(dǎo)數(shù)解決物理問題，關(guān)鍵是要熟悉相關(guān)的物理概念、公式，并聯(lián)系導(dǎo)數(shù)的物理意義求解1某人拉動(dòng)一個(gè)物體前進(jìn)，他所做的功W是時(shí)間t的函數(shù)WW(t)，則W(t0)表示()Att0時(shí)做的功Btt0時(shí)的速度Ctt0時(shí)的位移 Dtt0時(shí)的功率答案：D2在F1賽車中，賽車位移與比賽時(shí)間t存在函數(shù)關(guān)系s10t5t2(s的單位為m，t的單位為s)求：(1)t20，t0.1時(shí)的s與；(2)求t20時(shí)的瞬時(shí)速度解：(1)ss(20.1)s(20)(1020.1520.12)(10205202)21.05，210.5(m/s)(2)s1010t，當(dāng)t20時(shí)，s101020210(m/s)，即t20時(shí)的瞬時(shí)速度為210 m/s.工作效率問題例2一名工人上班后開始連續(xù)工作，生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量y(單位：g)是工作時(shí)間x(單位：h)的函數(shù)，設(shè)這個(gè)函數(shù)表示為yf(x)4.(1)求x從1 h變到4 h時(shí)，y關(guān)于時(shí)間x的平均變化率，并解釋它的實(shí)際意義；(2)求f(1)，f(4)，解釋它的意義思路點(diǎn)撥利用平均變化率的計(jì)算公式求解，然后結(jié)合實(shí)際問題正確解釋其意義精解詳析(1)當(dāng)x從1 h變到4 h時(shí)，產(chǎn)量y從f(1) (g)變到f(4) (g)，此時(shí)平均變化率為(g/h)，它表示從1 h到4 h這段時(shí)間這個(gè)人平均每小時(shí)生產(chǎn) g產(chǎn)品(2)f(x)，于是f(1) (g/h)，f(4) (g/h)，f(1)和f(4)分別表示在第1小時(shí)和第4小時(shí)這個(gè)人每小時(shí)生產(chǎn)產(chǎn)品 g和 g.一點(diǎn)通工作效率即產(chǎn)量對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)解決該類問題時(shí)要正確表示出工作時(shí)間與產(chǎn)品數(shù)量之間的函數(shù)關(guān)系式，然后利用相應(yīng)的求導(dǎo)公式及法則解決3某考生在參加2011年高考數(shù)學(xué)科考試時(shí)，其解答完的題目數(shù)量y(單位：道)與所用時(shí)間x(單位：分鐘)近似地滿足函數(shù)關(guān)系y2.(1)求x從0分鐘變化到36分鐘時(shí)，y關(guān)于x的平均變化率；(2)求f(64)，f(100)，并解釋它的實(shí)際意義解：(1)x從0分鐘變化到36分鐘，y關(guān)于x的平均變化率為：.它表示該考生前36分鐘平均每分鐘解答完道題(2)f(x)，f(64)，f(100).它們分別表示該考生在第64分鐘和第100分鐘時(shí)每分鐘可解答和道題4東方機(jī)械廠生產(chǎn)一種木材旋切機(jī)械，已知生產(chǎn)總利潤c元與生產(chǎn)量x臺(tái)之間的關(guān)系式為c(x)2x27 000x600.(1)求產(chǎn)量為1 000臺(tái)的總利潤與平均利潤；(2)求產(chǎn)量由1 000臺(tái)提高到1 500臺(tái)時(shí)，總利潤的平均改變量；(3)求c(1 000)與c(1 500)，并說明它們的實(shí)際意義解：(1)產(chǎn)量為1 000臺(tái)時(shí)的總利潤為c(1 000)21 00027 0001 0006005 000 600(元)，平均利潤為5000.6(元)(2)當(dāng)產(chǎn)量由1 000臺(tái)提高到1 500臺(tái)時(shí)，總利潤的平均改變量為2 000(元)(3)c(x)(2x27 000x600)4x7 000，c(1 000)41 0007 0003 000(元)，c(1 500)41 5007 0001 000(元)，它指的是當(dāng)產(chǎn)量為1 000臺(tái)時(shí)，每多生產(chǎn)一臺(tái)機(jī)械可多獲利3 000元而當(dāng)產(chǎn)量為1 500臺(tái)時(shí)，每多生產(chǎn)一臺(tái)機(jī)械可多獲利1 000元.導(dǎo)數(shù)在日常生活中的應(yīng)用例3某機(jī)械廠生產(chǎn)某種機(jī)器配件的最大生產(chǎn)能力為每日100件，假設(shè)日產(chǎn)品的總成本C(元)與日產(chǎn)量x(件)的函數(shù)關(guān)系為C(x)x260x2 050.(1)當(dāng)日產(chǎn)量由10件提高到20件時(shí)，求總成本的平均改變量，并說明其實(shí)際意義；(2)求當(dāng)日產(chǎn)量為75件時(shí)的邊際成本，并說明其實(shí)際意義思路點(diǎn)撥(1)利用函數(shù)平均變化率計(jì)算，然后結(jié)合實(shí)際問題解釋(2)用瞬時(shí)變化率的意義解釋精解詳析(1)當(dāng)x從10件提高到20件時(shí)，總成本C從C(10)2 675(元)變到C(20)3 350(元)，此時(shí)總成本的平均改變量為67.5(元/件)，其表示產(chǎn)量從x10件提高到x20件時(shí)，平均每件產(chǎn)品的總成本的改變量(2)C(x)x60，C(75)756097.5(元/件)，它指的是當(dāng)產(chǎn)量為75件時(shí)，每多生產(chǎn)一件產(chǎn)品，需增加成本97.5元一點(diǎn)通生產(chǎn)成本y關(guān)于產(chǎn)量x的函數(shù)yf(x)中，f(x0)指的是當(dāng)產(chǎn)量為x0時(shí)，生產(chǎn)成本的增加速度，也就是產(chǎn)量為x0時(shí)，每增加一個(gè)單位的產(chǎn)量，需增加f(x0)個(gè)單位的成本5建造一幢長度為x m的橋梁需成本y萬元，函數(shù)關(guān)系為yf(x)(x2x3)(x>0)(1)當(dāng)x從100變到200時(shí)，平均每米的成本為_；(2)f(100)_，其實(shí)際意義為_解析：(1)f(100)1 010.3，f(200)4 020.3，30.1(萬元/m)即平均變化率為30.1萬元/m.(2)f(x)(2x1)，f(100)20.1(萬元/m)，即當(dāng)長度為100 m時(shí)，每增加1 m的長度，成本就增加20.1萬元答案：(1)30.1萬元(2)20.1萬元/m當(dāng)長度為100 m時(shí)， 每增加1 m的長度成本就增加20.1萬元6日常生活中的飲用水通常是經(jīng)過凈化的，隨著水純凈度的提高，所需凈化費(fèi)用不斷增加已知將1噸水凈化到純凈度為x%時(shí)所需費(fèi)用(單位：元)為c(x)(80<x<100)(1)求c(x)；(2)求c(90)，c(98)，并解釋它們的實(shí)際意義解：(1)c(x).(2)c(90)52.84(元/噸)，c(98)1 321(元/噸)因?yàn)楹瘮?shù)的導(dǎo)數(shù)是凈化費(fèi)用的瞬時(shí)變化率，所以純凈度為90%時(shí)，純凈度每提高1個(gè)百分點(diǎn)，每噸水的費(fèi)用就要增加52.84元純凈度為98%時(shí)，純凈度每提高1個(gè)百分點(diǎn)，每噸水的費(fèi)用就要提高1 321元1解決實(shí)際問題一般按下列思路：2解決實(shí)際問題的一般步驟：(1)審題：閱讀理解文字表達(dá)的題意，分清條件和結(jié)論，找出問題的主要關(guān)系；(2)建模：將文字語言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語言，利用數(shù)學(xué)知識(shí)，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；(3)解模：把數(shù)學(xué)問題化歸為常規(guī)問題，選擇合適的數(shù)學(xué)方法求解；(4)對(duì)結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證評(píng)估，定性、定量分析，作出正確的判斷，確定其答案 1圓的面積S是半徑r的函數(shù)S(r)r2，那么在r3時(shí)，面積的變化率是()A6B9C9 D6解析：面積S在r3時(shí)的變化率即為S(3)236.答案：D2速度v關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式為vf(t)t210t，則t1時(shí)的加速度為()A9 B8C9 D8解析：f(t)2t10，f(1)21108，即為t1時(shí)的加速度答案：B3某汽車的緊急剎車裝置在遇到特別情況時(shí)需在2 s內(nèi)完成剎車，其位移(單位：m)關(guān)于時(shí)間(單位：s)的函數(shù)為s(t)t34t220t15，則s(1)的實(shí)際意義為()A汽車剎車后1 s內(nèi)的位移B汽車剎車后1 s內(nèi)的平均速度C汽車剎車后1 s時(shí)的瞬時(shí)速度D汽車剎車后1 s時(shí)的位移解析：由導(dǎo)數(shù)的實(shí)際意義知，位移關(guān)于時(shí)間的瞬時(shí)變化率為該時(shí)刻的瞬時(shí)速度答案：C4從時(shí)刻t0開始的t s內(nèi)，通過某導(dǎo)體的電量(單位：C)可由公式q2t23t表示，則第5 s時(shí)電流強(qiáng)度為()A27 C/s B20 C/sC25 C/s D23 C/s解析：某種導(dǎo)體的電量q在5 s時(shí)的瞬時(shí)變化率就是第5 s時(shí)的電流強(qiáng)度q4t3，當(dāng)t5時(shí)，電流強(qiáng)度為45323(C/s)答案：D5某物體的位移是時(shí)間的函數(shù)s2t3at，物體在t1時(shí)的速度為8，則a的值為_解析：s6t2a，由題意得612a8，a2.答案：26某商品價(jià)格P(單位：元)與時(shí)間t(單位：年)有函數(shù)關(guān)系式P(t)(110%)t，那么在第8個(gè)年頭此商品價(jià)格的變化速度是_解析：P(t)1.1tln 1.1，P(8)1.18ln 1.1(元/年)答案：1.18ln 1.1元/年7在高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中，運(yùn)動(dòng)員相對(duì)于水面的高度h(單位：m)與起跳后的時(shí)間t(時(shí)間：s)間的關(guān)系式為h(t)4t27t16.(1)求t從2 s到3 s時(shí)，高度關(guān)于時(shí)間t的平均變化率；(2)求h(2)，h(3)，并解釋它們的實(shí)際意義解：(1)h(2)14，h(3)1，t從2 s到3 s時(shí)，h關(guān)于t的平均變化率為13(m/s)(2)h(t)8t7，h(2)9 m/s，h(3)17 m/s.h(2)和h(3)分別表示t2 s和t3 s時(shí)，運(yùn)動(dòng)員每秒向下運(yùn)動(dòng)的高度為9 m和17 m.8蜥蜴的體溫隨周圍環(huán)境的溫度而變化，T(t)15表示蜥蜴的體溫T(t)(單位：)為太陽落山后的時(shí)間t(單位：min)的函數(shù)(1)從t0 min到t10 min，蜥蜴的體溫下降了多少？(2)從t0 min到t10 min，蜥蜴的體溫下降的平均變化率是多少？它代表什么實(shí)際意義？(3)求T(5)，并解釋它的實(shí)際意義解：(1)T(10)T(0)1516()，從t0 min到t10 min，蜥蜴的體溫下降了16.(2)從t0 min到t10 min，蜥蜴體溫的平均變化率是：1.6(/min)，它表示從t0 min到t10 min這段時(shí)間內(nèi)，蜥蜴體溫平均每分鐘下降1.6.(3)T(t)，T(5)1.2(/min)，它表示t5 min時(shí)蜥蜴體溫的下降速度為1.2 /min.22最大值、最小值問題 假設(shè)函數(shù)yf(x)，yg(x)，yh(x)在閉區(qū)間a，b上的圖像都是一條連續(xù)不斷的曲線(如下圖所示)，觀察圖像問題1：這三個(gè)函數(shù)在a，b上一定能夠取得最大值、最小值嗎？提示：一定能問題2：yh(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)有最值和極值嗎？提示：無最值，也無極值問題3：如何求函數(shù)在區(qū)間a，b上的最值？提示：先求出(a，b)內(nèi)的極值，再求區(qū)間端點(diǎn)值進(jìn)行比較，最大的就是最大值，最小的就是最小值1函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上的最大(小)值點(diǎn)x0指的是：函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上所有點(diǎn)的函數(shù)值都不超過(不小于)f(x0)2最大值和最小值統(tǒng)稱為最值1函數(shù)的最大值、最小值是一個(gè)整體概念，最大(小)值必須是整個(gè)區(qū)間內(nèi)所有函數(shù)值中最大(小)的2如果在a，b上函數(shù)yf(x)圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值與最小值 求函數(shù)的最值例1求下列函數(shù)的最值(1)f(x)x32x21，x1,2；(2)f(x)xsin x，x0,2思路點(diǎn)撥先求函數(shù)在給定區(qū)間的極值，然后再與端點(diǎn)值比較，即可確定函數(shù)的最值精解詳析(1)f(x)3x24x，令f(x)0，得x10，x2.因此x變化時(shí)，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x1(1,0)02f(x)00f(x)2極大值1極小值1當(dāng)x0或2時(shí)，f(x)取最大值1；當(dāng)x1時(shí)，f(x)取最小值2.(2)f(x)cos x，令f(x)0，且x0,2，x1，x2.當(dāng)x變化時(shí)，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x02f(x)00f(x)0極大值極小值當(dāng)x0時(shí)，f(x)取最小值0；當(dāng)x2時(shí)，f(x)取最大值.一點(diǎn)通求解函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，在熟練掌握求解步驟的基礎(chǔ)上，還須注意以下幾點(diǎn)：(1)對(duì)函數(shù)進(jìn)行準(zhǔn)確求導(dǎo)；(2)研究函數(shù)的單調(diào)性，正確確定極值和區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值；(3)比較極值與區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值的大小1函數(shù)yx2cos x在區(qū)間上的最大值為()A.B2C.2 D.解析：令y12sin x0，得x，比較函數(shù)在0，處的函數(shù)值，得ymax.答案：A2求下列函數(shù)的最值(1)f(x)xx3,4；(2)f(x)x33xx， 解：(1)f(x)1，x3,4，f(x)>0，即f(x)在3,4為增函數(shù)，當(dāng)x3時(shí)，f(x)取最小值f(3)3；當(dāng)x4時(shí)，f(x)取最大值f(4)45.(2)f(x)3x23，令f(x)0，得x1.而f(1)2，f(1)2，f()0，f()0，x1時(shí)，f(x)取最大值f(1)2；x1時(shí)，f(x)取最小值f(1)2.與最值有關(guān)的恒成立問題例2設(shè)f(x)x3x22x5.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增、遞減區(qū)間；(2)當(dāng)x1,2時(shí)，f(x)<m恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍思路點(diǎn)撥(1)利用導(dǎo)數(shù)易求f(x)的單調(diào)區(qū)間，對(duì)于(2)可轉(zhuǎn)化為求f(x)的最大值小于m.精解詳析(1)f(x)3x2x2，令f(x)0，即3x2x20x1或x.所以當(dāng)x時(shí)f(x)>0，f(x)為增加的；當(dāng)x時(shí)，f(x)<0，f(x)為減少的當(dāng)x(1，)時(shí)，f(x)>0，f(x)為增加的所以f(x)的遞增區(qū)間為和(1，)，f(x)的遞減區(qū)間為.(2)當(dāng)x1,2時(shí)，f(x)<m恒成立，只需使f(x)在1,2上的最大值小于m即可由(1)知f(x)極大值f()5，f(x)極小值f(1).又f(1)，f(2)7，所以f(x)在1,2上的最大值為f(2)7.所以m>7，即m的取值范圍為(7，)一點(diǎn)通解決恒成立問題，常用方法是轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，通過分離參數(shù)，要使m>f(x)恒成立，只需m>f(x)的最大值即可，同理，要使m<f(x)恒成立，只需m<f(x)的最小值即可3設(shè)f(x)ln x，g(x)f(x)f(x)(1)求g(x)的單調(diào)區(qū)間和最小值；(2)求a的取值范圍，使得g(a)g(x) 對(duì)任意x0都成立解：(1)由題設(shè)知f(x)ln x，g(x)ln x，x0，所以g(x)，令g(x)0得，x1，當(dāng)x(0,1)時(shí)，g(x)0，故(0,1)是g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間當(dāng)x(1，)時(shí)，g(x)0，故(1，)是g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間因此，x1是g(x)的唯一極值點(diǎn)，且為極小值點(diǎn)，從而是最小值點(diǎn)，所以g(x)的最小值為g(1)1.(2)由(1)知g(x)的最小值為1，所以g(a)g(x)對(duì)任意x0成立g(a)1，即ln a1，從而得0ae.故a的取值范圍為(0，e)4已知函數(shù)f(x)xln x.(1)求f(x)的最小值；(2)若對(duì)所有的x1都有f(x)ax1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解：(1)f(x)的定義域?yàn)?0，)，f(x)1ln x，令f(x)>0，解得x>，令f(x)<0，解得0<x<.從而f(x)在(0，)上減少，在(，)上增加，所以當(dāng)x時(shí)，f(x)取得最小值.(2)由題意得f(x)ax1在1，)上恒成立，即不等式aln x對(duì)于x1，)恒成立令g(x)ln x，則g(x).當(dāng)x>1時(shí)，g(x)>0，g(x)在1，)上是增加的，所以g(x)的最小值為g(1)1.則a1.故a的取值范圍是(，1.面積、體積(容積)的最值問題例3某地政府為科技興市，欲將如圖所示的一塊不規(guī)則的非農(nóng)業(yè)用地規(guī)劃建成一個(gè)矩形的高科技工業(yè)園已知ABBC，OABC，且|AB|BC|4 km，|AO|2 km，曲線段OC是以點(diǎn)O為頂點(diǎn)且開口向上的拋物線的一段如果要使矩形的兩邊分別落在AB，BC上，且一個(gè)頂點(diǎn)落在曲線段OC上，應(yīng)如何規(guī)劃才能使矩形工業(yè)園的用地面積最大？并求出最大的用地面積(精確到0.1 km2)思路點(diǎn)撥建立坐標(biāo)系，求出OC所在拋物線的方程，用P(在OC上)的坐標(biāo)表示矩形的面積，再求最大值精解詳析以O(shè)為原點(diǎn)，OA所在的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，依題意可設(shè)拋物線的方程為x22py(p>0)，且過點(diǎn)C(2,4)，所以222p4，解得p.故曲線段OC的方程為yx2(0x2)設(shè)p(x，x2)(0<x<2)是矩形落在曲線段OC上的一個(gè)頂點(diǎn)，則PM2x，PN4x2，工業(yè)園的用地面積SPMPN(2x)(4x2)x32x24x8，則S3x24x4.令S0，得x或x2(舍去)當(dāng)x時(shí)，S>0，S是增加的；當(dāng)x時(shí)，S<0，S是減少的當(dāng)x時(shí)，S取得最大值，此時(shí)PM，PN，Smax9.5(km2)故把工業(yè)園規(guī)劃成長為 km，寬為 km時(shí)，工業(yè)園的用地面積最大，約為9.5 km2.一點(diǎn)通對(duì)于面積、容積的最值問題，正確設(shè)出變量，準(zhǔn)確寫出面積、容積的表達(dá)式是解決問題的關(guān)鍵利用導(dǎo)數(shù)來求函數(shù)的最值是解決問題的方法；若在所給區(qū)間a，b上，函數(shù)f(x)存在唯一的極值，必為函數(shù)的最值5建造一個(gè)容積為8立方米，深為2米的無蓋長方體蓄水池，池壁的造價(jià)為每平方米100元，池底的造價(jià)為每平方米300元，則總造價(jià)的最小值為()A400元 B1 200元C1 600元 D2 800元解析：設(shè)總造價(jià)為y元，池底的一邊長x米，池底的面積為824(平方米)，池底的另一邊長為米，池壁的面積為4平方米，故有y430041004001 200(x0)y400，令y0得x2，由y 0得x 2，由y0得0x2，即y在(0,2)上是減少的，在(2，)上是增加的，所以當(dāng)x2時(shí)，y取得最小值，且ymin2 800.答案：D6用總長為14.8 m的鋼條制成一個(gè)長方形容器的框架，如果所制作容器的底面一邊比另一邊長0.5 m，那么高為多少時(shí)容器的容積最大？并求出它的最大容積解：設(shè)容器底面短邊長為x m，則另一邊長為(x0.5) m，容器的高為14.84x4(x0.5)(3.22x) (m)由x>0,3.22x>0，得0<x<1.6.容器的體積為yx(x0.5)(3.22x)2x32.2x21.6x(0<x<1.6)y6x24.4x1.6，令y0，得15x211x40.x11，x2(不合題意，舍去)當(dāng)0<x<1時(shí)，y>0，當(dāng)1<x<1.6時(shí)，y<0.當(dāng)x1時(shí)，y取極大值，也是最大值，此時(shí)y22.21.61.8，高為3.2211.2.容器的高為1.2 m時(shí)容積最大，最大容積為1.8 m3.生活中的最值問題例4如圖，某工廠擬建一座平面圖為矩形，且面積為200 m2的三級(jí)污水處理池，由于地形限制，長、寬都不能超過16 m，如果池外周壁建造單價(jià)為每米400元，中間兩條隔墻建造單價(jià)為每米248元，池底建造單價(jià)為每平方米80元(池壁厚度忽略不計(jì)，且池?zé)o蓋)(1)寫出總造價(jià)y(元)與污水處理池長x(m)的函數(shù)關(guān)系式，并指出其定義域；(2)污水處理池的長和寬各為多少時(shí)，污水處理池的總造價(jià)最低？并求出最低總造價(jià)思路點(diǎn)撥可設(shè)長為x m，則寬為 m，然后表示出外周壁造價(jià)、中間隔墻造價(jià)及池底造價(jià)，這三部分的和即為總造價(jià)，用導(dǎo)數(shù)可求出最小值精解詳析(1)設(shè)長為x m，則寬為 m，據(jù)題意得解得x16，y40024816 000800x16 000(x16)(2)y8000，解得x18.當(dāng)x(0,18)時(shí)，函數(shù)y為減少的；當(dāng)x(18，)時(shí)，函數(shù)y為增加的又x16，當(dāng)x16時(shí)，y取最小值45 000.當(dāng)且僅當(dāng)長為16 m、寬為12.5 m時(shí)，總造價(jià)y最低為45 000元一點(diǎn)通費(fèi)用、用料最省、成本最低、利潤最大等問題是日常生活中常見問題，解決這類問題要明確自變量的意義以及最值問題所研究的對(duì)象，正確寫出函數(shù)表達(dá)式，準(zhǔn)確求導(dǎo)，把數(shù)學(xué)結(jié)論返回到實(shí)際問題中去7某工廠生產(chǎn)的機(jī)器銷售收入y1(萬元)是產(chǎn)量x(千臺(tái))的函數(shù)：y117x2(x0)，生產(chǎn)總成本y2(萬元)也是產(chǎn)量x(千臺(tái))的函數(shù)：y22x3x2(x0)，為使利潤y(萬元)最大，應(yīng)生產(chǎn)()A6千臺(tái) B7千臺(tái)C8千臺(tái) D9千臺(tái)解析：利潤yy1y218x22x3(x0)，y6x236x，令y0得x6；由y0得0x6，y單調(diào)遞增；由y0得x6，y單調(diào)遞減所以當(dāng)x6時(shí)，y取得最大值答案：A8某工廠生產(chǎn)某種水杯，每個(gè)水杯的原材料費(fèi)、加工費(fèi)分別為30元、m元(m為常數(shù)，且2m3)，設(shè)每個(gè)水杯的出廠價(jià)為x元(35x41)，根據(jù)市場調(diào)查，水杯的日銷售量與ex(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))成反比例，已知每個(gè)水杯的出廠價(jià)為40元時(shí)，日銷售量為10個(gè)(1)求該工廠的日利潤y(元)與每個(gè)水杯的出廠價(jià)x(元)的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)每個(gè)水杯的出廠價(jià)為多少元時(shí)，該工廠的日利潤最大，并求日利潤的最大值解：(1)設(shè)日銷售量為s，則s，因?yàn)閤40時(shí)，s10，故10，則k10e40，所以s，故y(x30m)(35x41)(2)y10e4010e40.令y10e400，則x31m.當(dāng)2m3時(shí)，y0，所以y在35x41上為減函數(shù)，所以x35時(shí)，日利潤取得最大值，且最大值為10e5(5m)元用導(dǎo)數(shù)解決應(yīng)用問題求最值的方法步驟： 1函數(shù)f(x)在x2,4上的最小值為()A0B.C. D.解析：f(x)，f(x).當(dāng)x2,4時(shí)，f(x)0，即函數(shù)f(x)在2,4上是減少的，故當(dāng)x4時(shí)，函數(shù)f(x)的最小值為.答案：C2函數(shù)f(x)x3x2xa在區(qū)間0,2上的最大值是3，則a的值為()A2 B1C2 D1解析：由題意f(x)3x22x1，令f(x)0，得x1或x(舍去)又f(0)a，f(1)a1，f(2)a2，所以f(x)的最大值為a23，故a1.答案：B3已知函數(shù)f(x)axln x，若f(x)>1在區(qū)間(1，)內(nèi)恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A(，1) B(，1C(1，) D1，)解析：f(x)axln x，f(x)>1在(1，)內(nèi)恒成立，a>在(1，)內(nèi)恒成立設(shè)g(x)，x(1，)時(shí)，g(x)<0，即g(x)在(1，)上是減少的，g(x)<g(1)1，a1，即a的取值范圍是1，)答案：D4.如圖，將直徑為d的圓木鋸成長方體橫梁，橫截面為矩形，橫梁的強(qiáng)度同它的斷面高的平方與寬x的積成正比(強(qiáng)度系數(shù)為k，k0)要將直徑為d的圓木鋸成強(qiáng)度最大的橫梁，斷面的寬x應(yīng)為()A. B.C.d D.d解析：設(shè)斷面高為h，則h2d2x2.設(shè)橫梁的強(qiáng)度函數(shù)為f(x)，則f(x)kxh2kx(d2x2)，0xd.令f(x)k(d23x2)0，解得xd(舍去負(fù)值)當(dāng)0xd時(shí)，f(x)0，f(x)是增加的；當(dāng)dxd時(shí)，f(x)0，f(x)是減少的所以函數(shù)f(x)在定義域(0，d)內(nèi)只有一個(gè)極大值點(diǎn)xd.所以xd時(shí)，f(x)有最大值答案：C5已知函數(shù)f(x)x312x8在區(qū)間3,3上的最大值與最小值分別為M，m，則Mm_.解析：令f(x)3x2120，解得x2.計(jì)算f(3)17，f(2)24，f(2)8，f(3)1，所以M24，m8，故Mm32.答案：326.如圖，已知一罐圓柱形紅牛飲料的容積為250 mL，則它的底面半徑等于_時(shí)(用含有的式子表示)，可使所用的材料最省解析：設(shè)圓柱的高為h，表面積為S，容積為V，底面半徑為r，則表面積S2rh2r2，而V250r2h，得h，則S2r2r22r2，S4r，令S0得r，因?yàn)镾只有一個(gè)極值，所以當(dāng)r時(shí)，S取得最小值，即此時(shí)所用的材料最省答案：7函數(shù)f(x)x3fx2x.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)求f(cos x)的最小值和最大值解：(1)f(x)3x22fx1，則f322f1，得f1，故f(x)x3x2x.令f(x)3x22x10，解得x或x1.故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為和(1，)；同理可得f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為.(2)設(shè)cos xt1,1，由(1)知f(x)在區(qū)間上是增加的，在區(qū)間上是減少的，故f(cos x)maxf；又f(1)f(1)1，故f(cos x)min1.8某地建一座橋，兩端的橋墩已建好，這兩墩相距m米余下工程只需建兩端橋墩之間的橋面和橋墩經(jīng)測算，一個(gè)橋墩的工程費(fèi)用為256萬元，距離為x米的相鄰兩墩之間的橋面工程費(fèi)用為(2)x萬元假設(shè)橋墩等距離分布，所有橋墩都視為點(diǎn)，且不考慮其他因素記余下工程的費(fèi)用為y萬元(1)試寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)m640米時(shí)，需新建多少個(gè)橋墩才能使y最??？解：(1)設(shè)需新建n個(gè)橋墩，則(n1)xm，即n1，所以yf(x)256n(n1)(2)x256(2)xm2m256.(2)由(1)知，f(x)mx(x512)令f(x)0，得x512，所以x64.當(dāng)0x64時(shí)，f(x)0，f(x)在區(qū)間(0,64)內(nèi)為減少的；當(dāng)64x640時(shí)，f(x)0，f(x)在區(qū)間(64,640)內(nèi)為增加的所以f(x)在x64處取得最小值此時(shí)n119.故需新建9個(gè)橋墩才能使y最小對(duì)應(yīng)學(xué)生用書P58一、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟：(1)求導(dǎo)數(shù)f(x)；(2)解不等式f(x)>0或f(x)<0；(3)寫出單調(diào)增區(qū)間或減區(qū)間特別注意寫單調(diào)區(qū)間時(shí)，區(qū)間之間用“和”或“，”隔開，絕對(duì)不能用“”連接二、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值的步驟：(1)確定函數(shù)f(x)的定義域；(2)解方程f(x)0的根；(3)檢驗(yàn)f(x)0的根的兩側(cè)的f(x)的符號(hào)，若左正右負(fù)，則f(x)在此根處取極大值；若左負(fù)右正，則f(x)在此根處取得極小值否則此根不是f(x)的極值點(diǎn)三、求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a，b上的最大值、最小值的方法與步驟(1)求f(x)在(a，b)內(nèi)的極值；(2)將(1)求得的極值與f(a)，f(b)相比較，其中最大的一個(gè)值為最大值，最小的一個(gè)值為最小值特別地，當(dāng)f(x)在a，b上單調(diào)時(shí)，其最小值、最大值在區(qū)間端點(diǎn)取得；當(dāng)f(x)在(a，b)內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，若在這一點(diǎn)處f(x)有極大(或極小)值，則可以判斷f(x)在該點(diǎn)處取得最大(或最小)值，這里(a，b)也可以是(，)四、導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用利用導(dǎo)數(shù)求實(shí)際問題的最大(小)值時(shí)，應(yīng)注意的問題：(1)求實(shí)際問題的最大(小)值時(shí)，一定要從問題的實(shí)際意義去考查，不符合實(shí)際意義的值應(yīng)舍去(2)在實(shí)際問題中，由f(x)0常常僅解到一個(gè)根，若能判斷函數(shù)的最大(小)值在x的變化區(qū)間內(nèi)部得到，則這個(gè)根處的函數(shù)值就是所求的最大(小)值(時(shí)間90分鐘，滿分120分)一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1函數(shù)f(x)2xcos x在(，)上()A無最值B有極值C有最大值 D有最小值解析：f(x)2xcos x，f(x)2sin x0恒成立故f(x)2xcos x在(，)上是增加的，既沒有最大值也沒有最小值答案：A2函數(shù)f(x)2x2ln x的遞增區(qū)間是()A. B.C. D.和解析：f(x)4x(x>0)，令f(x)>0，得x>.f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為.答案：C3已知對(duì)任意實(shí)數(shù)x，有f(x)f(x)，且x0時(shí)，f(x)0，則x0時(shí)()Af(x)0 Bf(x)0Cf(x)0 D無法確定解析：因?yàn)閒(x)f(x)，所以f(x)為偶函數(shù)又x0時(shí)，f(x)0，故f(x)在x0時(shí)為增加的，由偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上單調(diào)性相反，可知當(dāng)x0時(shí)，f(x)為減少的答案：B4設(shè)函數(shù)f(x)ax3bx2cxd(a0)，則f(x)在R上為增加的充要條件是()Ab24ac0 Bb0，c0Cb0，c0 Db23ac0解析：要使f(x)在R上為增加的，則f(x)3ax22bxc0在R上恒成立(但f(x)不恒等于零)，故只需4b212ac0，即b23ac0.答案：D5若函數(shù)f(x)在(0，)上可導(dǎo)，且滿足f(x)xf(x)，則一定有()A函數(shù)F(x)在(0，)上為增加的B函數(shù)F(x)在(0，)上為減少的C函數(shù)G(x)xf(x)在(0，)上為增加的D函數(shù)G(x)xf(x)在(0，)上為減少的解析：設(shè)yxf(x)，則yxf(x)f(x)0，故yxf(x)在(0，)上為增加的答案：C6函數(shù)y2x33x212x5在0,3上的最大值與最小值分別是()A5，15 B5,4C4，15 D5，16解析：y6x26x12，令y0，得x1,2，又f(2)15，f(0)5，f(3)4，最大值、最小值分別是5，15.答案：A7函數(shù)f(x)x3ax23x9，已知f(x)在x3處取得極值，則a()A2 B3C4 D5解析：f(x)3x22ax3，又f(x)在x3處取得極值，f(3)306a0.得a5.答案：D8把長為12 cm的細(xì)鐵絲鋸成兩段，各自圍成一個(gè)正三角形，那么這兩個(gè)正三角形的面積之和的最小值是()A. cm2 B4 cm2C3 cm2 D2 cm2解析：設(shè)一個(gè)三角形的邊長為x cm，則另一個(gè)三角形的邊長為(4x) cm，兩個(gè)三角形的面積和為Sx2(4x)2x22x4(0<x<4)令Sx20，則x2，且x<2時(shí)，S<0,2<x<4時(shí)，S>0.所以x2時(shí)，S取最小值2.答案：D9設(shè)函數(shù)f(x)ax2bxc(a，b，cR)若x1為函數(shù)f(x)ex的一個(gè)極值點(diǎn)，則下列圖像不可能為yf(x)的圖像的是()解析：f(x)exf(x)exf(x)(ex)f(x)f(x)ex，又x1為函數(shù)f(x)ex的一個(gè)極值點(diǎn)，f(1)f(1)0，而選項(xiàng)D中f(1)>0，f(1)>0，故D中圖像不可能為yf(x)的圖像答案：D10某商場從生產(chǎn)廠家以每件20元購進(jìn)一批商品，若該商品零售價(jià)定為p元，銷售量為Q，則銷售量Q(單位：件)與零售價(jià)p(單位：元)有如下關(guān)系：Q8 300170pp2，則最大毛利潤(毛利潤銷售收入進(jìn)貨支出)為()A30元 B60元C28 000元 D23 000元解析：設(shè)毛利潤為L(p)，由題意知L(p)pQ20QQ(p20)(8 300170pp2)(p20)p3150p211 700p166 000，所以L(p)3p2300p11 700.令L(p)0，解得p30或p130(舍去)此時(shí)，L(30)23 000.因?yàn)樵趐30附近的左側(cè)L(p)>0，右側(cè)L(p)<0，所以L(30)是最大值，即零售價(jià)定為每件30元時(shí)，最大毛利潤為23 000元答案：D二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，請(qǐng)把正確的答案填在題中的橫線上)11已知函數(shù)f(x)x3ax2x1有極大值和極小值，則a的取值范圍是_解析：令f(x)3x22ax0，此方程應(yīng)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以>0.即4a212>0，a23a2>0，a>2或a<1.答案：(，1)(2，)12若函數(shù)f(x)ax22xln x(a0)在區(qū)間1,2上是增加的，則實(shí)數(shù)a的最小值為_解析：易知x0，且f(x)ax2，函數(shù)f(x)在區(qū)間1,2上是增加的，f(x)0對(duì)x1,2恒成立，即不等式ax22x10對(duì)x1,2恒成立，即a21恒成立，故amax，而當(dāng)x2時(shí)，21取到最大值，實(shí)數(shù)a的取值范圍為a，即實(shí)數(shù)a的最小值為.答案：13某廠生產(chǎn)產(chǎn)品x件的總成本c(x)1 200x3(萬元)，已知產(chǎn)品單價(jià)P(萬元)與產(chǎn)品件數(shù)x滿足：P，則產(chǎn)量定為_件時(shí)，總利潤最大解析：總利潤L(x)x1 2005001 200(x 0)由L(x)x20得x25；令L(x)0得0x25；令L(x)0得x25.故L(x)在(0,25)上是增加的，在(25，)上是減少的，所以當(dāng)產(chǎn)量定為25件時(shí)，總利潤最大答案：2514已知函數(shù)f(x)2ln x(a0)若當(dāng)x(0，)時(shí)，f(x)2恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析：f(x)2，即a2x22x2ln x，令g(x)2x22x2ln x，則g(x)2x(12ln x)由g(x)0，得xe，0(舍去)，且0xe時(shí)，g(x)0，當(dāng)xe時(shí)，g(x)0，xe時(shí)，g(x)取最大值g(e)e，ae.答案：e，)三、解答題(本大題共4小題，共50分解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)15(本小題滿分12分)設(shè)函數(shù)f(x)6x33(a2)x22ax.(1)若f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)為x1，x2，且x1x21，求實(shí)數(shù)a的值；(2)是否存在實(shí)數(shù)a，使得f(x)是(，)上的單調(diào)函數(shù)？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由解：f(x)18x26(a2)x2a.(1)由已知有f(x1)f(x2)0，從而x1x21，所以a9.(2)因?yàn)?6(a2)24182a36(a24)>0，所以不存在實(shí)數(shù)a，使得f(x)是(，)上的單調(diào)函數(shù)16(本小題滿分12分)已知f(x)ax3bx22xc在x2時(shí)有極大值6，在x1時(shí)有極小值，求a，b，c的值；并求f(x)在區(qū)間3,3上的最大值和最小值解：(1)f(x)3ax22bx2，由條件知解得a，b，c.(2)f(x)x3x22x，f(x)x2x2(x1)(x2)列表如下：x3(3，2)2(2,1)1(1,3)3f(x)00f(x)6由上表知，在區(qū)間3,3上，當(dāng)x3時(shí)，f(x)取最大值，x1時(shí)，f(x)取最小值.17(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)x33ax23x1.(1)當(dāng)a時(shí)，討論f(x)的單調(diào)性；(2)若x2，)時(shí)，f(x)0，求a的取值范圍解：(1)當(dāng)a時(shí)，f(x)x33x23x1.f(x)3x26x3.令f(x)0，得x11，x21.當(dāng)x( ， 1)時(shí)，f(x)0，f(x)在(，1)上是增加的；當(dāng)x(1，1)時(shí)，f(x)0，f(x)在(1，1)上是減少的；當(dāng)x(1，)時(shí)，f(x)0，f(x)在(1，)上是增加的(2)要使x2，)時(shí)，f(x)0恒成立，只需x2，)時(shí)，f(x)min0即可由于f(x)3(x22ax1)3(xa)21a2，當(dāng)a21時(shí)，f(x)0且不恒為零，所以f(x)在2，)上的最小值為f(2)；當(dāng)a21時(shí)，由f(x)0可得xa，記x1a，x2a.結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)易知，當(dāng)x(，x1)(x2，)時(shí)，f(x)0，當(dāng)x(x1，x2)時(shí)，f(x)0.所以f(x)在(，x1)和(x2，)上是增加的，在(x1，x2)上是減少的而由x1x20知x22，即f(x)在2，)上是增加的，故此時(shí)也有f(x)minf(2)綜上可知，f(x)在2，)上的最小值為f(2)3(4a5)，由f(2)0，得a，故a的取值范圍為.18(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)x2aln x，aR.(1)若a2，求這個(gè)函數(shù)的圖像在點(diǎn)(1，f(1)處的切線方程；(2)求f(x)在區(qū)間1，e上的最小值解：(1)a2時(shí)，f(x)x22ln x，f(1)，f(x)x，f(1)1，所以切線方程為y(x1)，即2x2y30.(2)依題意，x0，f(x)x(x2a)，當(dāng)a1時(shí)，因?yàn)閤1，e，1x2e2，所以f(x)0(當(dāng)且僅當(dāng)xa1時(shí)等號(hào)成立)，所以f(x)在區(qū)間1，e上是增加的，最小值為f(1).當(dāng)ae2時(shí)，因?yàn)?x2e2，所以f(x)0(當(dāng)且僅當(dāng)xe，ae2時(shí)等號(hào)成立)，所以f(x)在區(qū)間1，e上是減少的，最小值為f(e)e2a.當(dāng)1ae2時(shí)，解f(x)(x2a)0得x(負(fù)值舍去)，f(x)的符號(hào)和f(x)的單調(diào)性如下表：x1，)(，ef(x)0f(x)最小值故f(x)在區(qū)間1，e上的最小值為f()aa ln a.綜上所述，a1時(shí)，f(x)的最小值為f(1)；1ae2時(shí)，f(x)的最小值為f()aaln a；ae2時(shí)，f(x)的最小值為f(e)e2a.