2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第四章 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 2 導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用學(xué)案 北師大版選修1 -1.doc
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2 導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用21實(shí)際問(wèn)題中導(dǎo)數(shù)的意義 某人拉動(dòng)一個(gè)物體前進(jìn),他所做的功W(單位:J)是時(shí)間t(單位:s)的函數(shù),設(shè)這個(gè)函數(shù)可以表示為WW(t)t34t210t.問(wèn)題1:t從1 s到4 s時(shí),功W關(guān)于時(shí)間t的平均變化率是多少?提示:11(J/s)問(wèn)題2:上述問(wèn)題的實(shí)際意義是什么?提示:它表示從t1 s到t4 s這段時(shí)間內(nèi),這個(gè)人平均每秒做功11 J.問(wèn)題3:W(1)的實(shí)際意義是什么?提示:W(t)3t28t10,W(1)5.表示此人在t1s時(shí)每秒做功為5 J.實(shí)際問(wèn)題中導(dǎo)數(shù)的意義1功關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)是功率2降雨量關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)是降雨強(qiáng)度3生產(chǎn)成本關(guān)于產(chǎn)量的導(dǎo)數(shù)是邊際成本4路程關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)是速度速度關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)是加速度5質(zhì)量關(guān)于長(zhǎng)度的導(dǎo)數(shù)是線密度在日常生活中,有許多需要用導(dǎo)數(shù)概念來(lái)理解的量如物理學(xué)中,速度是路程關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù),功率是功關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)解決這些問(wèn)題,要在閱讀材料、理解題意的基礎(chǔ)上,利用數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)模型進(jìn)行分析,得到數(shù)學(xué)結(jié)論,然后再用數(shù)學(xué)結(jié)論解釋實(shí)際問(wèn)題 導(dǎo)數(shù)在物理學(xué)中的應(yīng)用例1把原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種不同產(chǎn)品,需要對(duì)原油進(jìn)行冷卻和加熱,如果第x h時(shí),原油的溫度(單位:)為yf(x)x27x15(0x8)(1)分別計(jì)算當(dāng)x從0變到1,從2變到3時(shí),原油溫度y關(guān)于時(shí)間x的平均變化率,比較它們的大小,并解釋它們的實(shí)際意義;(2)計(jì)算第2 h和第6 h時(shí),原油溫度的瞬時(shí)變化率,并說(shuō)明它們的意義思路點(diǎn)撥(1)平均變化率即為.(2)可利用導(dǎo)數(shù)公式求出y,再分別求當(dāng)x2,6時(shí)的導(dǎo)數(shù)值精解詳析(1)由題意得f(0)15,f(1)9,當(dāng)x從0變到1時(shí),原油溫度平均變化率為6(/h),表示從0到1這一小時(shí)內(nèi),原油溫度平均每小時(shí)降低6.又f(2)5,f(3)3,當(dāng)x從2變到3時(shí),原油溫度平均變化率為2(/h),表示從2到3這一小時(shí)內(nèi),原油溫度平均每小時(shí)降低2.60)(1)當(dāng)x從100變到200時(shí),平均每米的成本為_(kāi);(2)f(100)_,其實(shí)際意義為_(kāi)解析:(1)f(100)1 010.3,f(200)4 020.3,30.1(萬(wàn)元/m)即平均變化率為30.1萬(wàn)元/m.(2)f(x)(2x1),f(100)20.1(萬(wàn)元/m),即當(dāng)長(zhǎng)度為100 m時(shí),每增加1 m的長(zhǎng)度,成本就增加20.1萬(wàn)元答案:(1)30.1萬(wàn)元(2)20.1萬(wàn)元/m當(dāng)長(zhǎng)度為100 m時(shí), 每增加1 m的長(zhǎng)度成本就增加20.1萬(wàn)元6日常生活中的飲用水通常是經(jīng)過(guò)凈化的,隨著水純凈度的提高,所需凈化費(fèi)用不斷增加已知將1噸水凈化到純凈度為x%時(shí)所需費(fèi)用(單位:元)為c(x)(80x0,即f(x)在3,4為增函數(shù),當(dāng)x3時(shí),f(x)取最小值f(3)3;當(dāng)x4時(shí),f(x)取最大值f(4)45.(2)f(x)3x23,令f(x)0,得x1.而f(1)2,f(1)2,f()0,f()0,x1時(shí),f(x)取最大值f(1)2;x1時(shí),f(x)取最小值f(1)2.與最值有關(guān)的恒成立問(wèn)題例2設(shè)f(x)x3x22x5.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增、遞減區(qū)間;(2)當(dāng)x1,2時(shí),f(x)0,f(x)為增加的;當(dāng)x時(shí),f(x)0,f(x)為增加的所以f(x)的遞增區(qū)間為和(1,),f(x)的遞減區(qū)間為.(2)當(dāng)x1,2時(shí),f(x)7,即m的取值范圍為(7,)一點(diǎn)通解決恒成立問(wèn)題,常用方法是轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題,通過(guò)分離參數(shù),要使mf(x)恒成立,只需mf(x)的最大值即可,同理,要使mf(x)恒成立,只需m0,解得x,令f(x)0,解得0x1時(shí),g(x)0,g(x)在1,)上是增加的,所以g(x)的最小值為g(1)1.則a1.故a的取值范圍是(,1.面積、體積(容積)的最值問(wèn)題例3某地政府為科技興市,欲將如圖所示的一塊不規(guī)則的非農(nóng)業(yè)用地規(guī)劃建成一個(gè)矩形的高科技工業(yè)園已知ABBC,OABC,且|AB|BC|4 km,|AO|2 km,曲線段OC是以點(diǎn)O為頂點(diǎn)且開(kāi)口向上的拋物線的一段如果要使矩形的兩邊分別落在AB,BC上,且一個(gè)頂點(diǎn)落在曲線段OC上,應(yīng)如何規(guī)劃才能使矩形工業(yè)園的用地面積最大?并求出最大的用地面積(精確到0.1 km2)思路點(diǎn)撥建立坐標(biāo)系,求出OC所在拋物線的方程,用P(在OC上)的坐標(biāo)表示矩形的面積,再求最大值精解詳析以O(shè)為原點(diǎn),OA所在的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系,如圖,依題意可設(shè)拋物線的方程為x22py(p0),且過(guò)點(diǎn)C(2,4),所以222p4,解得p.故曲線段OC的方程為yx2(0x2)設(shè)p(x,x2)(0x0,S是增加的;當(dāng)x時(shí),S0,3.22x0,得0x1.6.容器的體積為yx(x0.5)(3.22x)2x32.2x21.6x(0x1.6)y6x24.4x1.6,令y0,得15x211x40.x11,x2(不合題意,舍去)當(dāng)0x0,當(dāng)1x1.6時(shí),y1在區(qū)間(1,)內(nèi)恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A(,1) B(,1C(1,) D1,)解析:f(x)axln x,f(x)1在(1,)內(nèi)恒成立,a在(1,)內(nèi)恒成立設(shè)g(x),x(1,)時(shí),g(x)0,即g(x)在(1,)上是減少的,g(x)0或f(x)0),令f(x)0,得x.f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為.答案:C3已知對(duì)任意實(shí)數(shù)x,有f(x)f(x),且x0時(shí),f(x)0,則x0時(shí)()Af(x)0 Bf(x)0Cf(x)0 D無(wú)法確定解析:因?yàn)閒(x)f(x),所以f(x)為偶函數(shù)又x0時(shí),f(x)0,故f(x)在x0時(shí)為增加的,由偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上單調(diào)性相反,可知當(dāng)x0時(shí),f(x)為減少的答案:B4設(shè)函數(shù)f(x)ax3bx2cxd(a0),則f(x)在R上為增加的充要條件是()Ab24ac0 Bb0,c0Cb0,c0 Db23ac0解析:要使f(x)在R上為增加的,則f(x)3ax22bxc0在R上恒成立(但f(x)不恒等于零),故只需4b212ac0,即b23ac0.答案:D5若函數(shù)f(x)在(0,)上可導(dǎo),且滿足f(x)xf(x),則一定有()A函數(shù)F(x)在(0,)上為增加的B函數(shù)F(x)在(0,)上為減少的C函數(shù)G(x)xf(x)在(0,)上為增加的D函數(shù)G(x)xf(x)在(0,)上為減少的解析:設(shè)yxf(x),則yxf(x)f(x)0,故yxf(x)在(0,)上為增加的答案:C6函數(shù)y2x33x212x5在0,3上的最大值與最小值分別是()A5,15 B5,4C4,15 D5,16解析:y6x26x12,令y0,得x1,2,又f(2)15,f(0)5,f(3)4,最大值、最小值分別是5,15.答案:A7函數(shù)f(x)x3ax23x9,已知f(x)在x3處取得極值,則a()A2 B3C4 D5解析:f(x)3x22ax3,又f(x)在x3處取得極值,f(3)306a0.得a5.答案:D8把長(zhǎng)為12 cm的細(xì)鐵絲鋸成兩段,各自圍成一個(gè)正三角形,那么這兩個(gè)正三角形的面積之和的最小值是()A. cm2 B4 cm2C3 cm2 D2 cm2解析:設(shè)一個(gè)三角形的邊長(zhǎng)為x cm,則另一個(gè)三角形的邊長(zhǎng)為(4x) cm,兩個(gè)三角形的面積和為Sx2(4x)2x22x4(0x4)令Sx20,則x2,且x2時(shí),S0,2x0.所以x2時(shí),S取最小值2.答案:D9設(shè)函數(shù)f(x)ax2bxc(a,b,cR)若x1為函數(shù)f(x)ex的一個(gè)極值點(diǎn),則下列圖像不可能為yf(x)的圖像的是()解析:f(x)exf(x)exf(x)(ex)f(x)f(x)ex,又x1為函數(shù)f(x)ex的一個(gè)極值點(diǎn),f(1)f(1)0,而選項(xiàng)D中f(1)0,f(1)0,故D中圖像不可能為yf(x)的圖像答案:D10某商場(chǎng)從生產(chǎn)廠家以每件20元購(gòu)進(jìn)一批商品,若該商品零售價(jià)定為p元,銷售量為Q,則銷售量Q(單位:件)與零售價(jià)p(單位:元)有如下關(guān)系:Q8 300170pp2,則最大毛利潤(rùn)(毛利潤(rùn)銷售收入進(jìn)貨支出)為()A30元 B60元C28 000元 D23 000元解析:設(shè)毛利潤(rùn)為L(zhǎng)(p),由題意知L(p)pQ20QQ(p20)(8 300170pp2)(p20)p3150p211 700p166 000,所以L(p)3p2300p11 700.令L(p)0,解得p30或p130(舍去)此時(shí),L(30)23 000.因?yàn)樵趐30附近的左側(cè)L(p)0,右側(cè)L(p)0.即4a2120,a23a20,a2或a0,所以不存在實(shí)數(shù)a,使得f(x)是(,)上的單調(diào)函數(shù)16(本小題滿分12分)已知f(x)ax3bx22xc在x2時(shí)有極大值6,在x1時(shí)有極小值,求a,b,c的值;并求f(x)在區(qū)間3,3上的最大值和最小值解:(1)f(x)3ax22bx2,由條件知解得a,b,c.(2)f(x)x3x22x,f(x)x2x2(x1)(x2)列表如下:x3(3,2)2(2,1)1(1,3)3f(x)00f(x)6由上表知,在區(qū)間3,3上,當(dāng)x3時(shí),f(x)取最大值,x1時(shí),f(x)取最小值.17(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)x33ax23x1.(1)當(dāng)a時(shí),討論f(x)的單調(diào)性;(2)若x2,)時(shí),f(x)0,求a的取值范圍解:(1)當(dāng)a時(shí),f(x)x33x23x1.f(x)3x26x3.令f(x)0,得x11,x21.當(dāng)x( , 1)時(shí),f(x)0,f(x)在(,1)上是增加的;當(dāng)x(1,1)時(shí),f(x)0,f(x)在(1,1)上是減少的;當(dāng)x(1,)時(shí),f(x)0,f(x)在(1,)上是增加的(2)要使x2,)時(shí),f(x)0恒成立,只需x2,)時(shí),f(x)min0即可由于f(x)3(x22ax1)3(xa)21a2,當(dāng)a21時(shí),f(x)0且不恒為零,所以f(x)在2,)上的最小值為f(2);當(dāng)a21時(shí),由f(x)0可得xa,記x1a,x2a.結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)易知,當(dāng)x(,x1)(x2,)時(shí),f(x)0,當(dāng)x(x1,x2)時(shí),f(x)0.所以f(x)在(,x1)和(x2,)上是增加的,在(x1,x2)上是減少的而由x1x20知x22,即f(x)在2,)上是增加的,故此時(shí)也有f(x)minf(2)綜上可知,f(x)在2,)上的最小值為f(2)3(4a5),由f(2)0,得a,故a的取值范圍為.18(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)x2aln x,aR.(1)若a2,求這個(gè)函數(shù)的圖像在點(diǎn)(1,f(1)處的切線方程;(2)求f(x)在區(qū)間1,e上的最小值解:(1)a2時(shí),f(x)x22ln x,f(1),f(x)x,f(1)1,所以切線方程為y(x1),即2x2y30.(2)依題意,x0,f(x)x(x2a),當(dāng)a1時(shí),因?yàn)閤1,e,1x2e2,所以f(x)0(當(dāng)且僅當(dāng)xa1時(shí)等號(hào)成立),所以f(x)在區(qū)間1,e上是增加的,最小值為f(1).當(dāng)ae2時(shí),因?yàn)?x2e2,所以f(x)0(當(dāng)且僅當(dāng)xe,ae2時(shí)等號(hào)成立),所以f(x)在區(qū)間1,e上是減少的,最小值為f(e)e2a.當(dāng)1ae2時(shí),解f(x)(x2a)0得x(負(fù)值舍去),f(x)的符號(hào)和f(x)的單調(diào)性如下表:x1,)(,ef(x)0f(x)最小值故f(x)在區(qū)間1,e上的最小值為f()aa ln a.綜上所述,a1時(shí),f(x)的最小值為f(1);1ae2時(shí),f(x)的最小值為f()aaln a;ae2時(shí),f(x)的最小值為f(e)e2a.- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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