（浙江專用）2020版高考數(shù)學新增分大一輪復習 第九章 平面解析幾何 9.6 雙曲線講義（含解析）.docx

9.6雙曲線最新考綱考情考向分析了解雙曲線的定義、標準方程、幾何圖形及簡單幾何性質，了解直線與雙曲線的位置關系.主要側重雙曲線的方程以及以雙曲線方程為載體，研究參數(shù)a，b，c及與漸近線有關的問題，其中離心率和漸近線是重點.題型為選擇、填空題.1.雙曲線定義平面內與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對值等于常數(shù)(小于|F1F2|)的點的軌跡叫做雙曲線.這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距.集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a，c為常數(shù)且a>0，c>0.(1)當2a<|F1F2|時，P點的軌跡是雙曲線；(2)當2a|F1F2|時，P點的軌跡是兩條射線；(3)當2a>|F1F2|時，P點不存在.2.雙曲線的標準方程和幾何性質標準方程1(a>0，b>0)1(a>0，b>0)圖形性質范圍xa或xa，yRxR，ya或ya對稱性對稱軸：坐標軸對稱中心：原點頂點A1(a，0)，A2(a，0)A1(0，a)，A2(0，a)漸近線yxyx離心率e，e(1，)，其中c實虛軸線段A1A2叫做雙曲線的實軸，它的長|A1A2|2a，線段B1B2叫做雙曲線的虛軸，它的長|B1B2|2b；a叫做雙曲線的實半軸長，b叫做雙曲線的虛半軸長a，b，c的關系c2a2b2 (c>a>0，c>b>0)概念方法微思考1.平面內與兩定點F1，F(xiàn)2的距離之差的絕對值等于常數(shù)2a的動點的軌跡一定為雙曲線嗎？為什么？提示不一定.當2a|F1F2|時，動點的軌跡是兩條射線；當2a>|F1F2|時，動點的軌跡不存在；當2a0時，動點的軌跡是線段F1F2的中垂線.2.方程Ax2By21表示雙曲線的充要條件是什么？提示若A>0，B<0，表示焦點在x軸上的雙曲線；若A<0，B>0，表示焦點在y軸上的雙曲線.所以Ax2By21表示雙曲線的充要條件是AB<0.3.與橢圓標準方程相比較，雙曲線標準方程中，a，b只限制a>0，b>0，二者沒有大小要求，若a>b>0，ab>0，0<a<b，雙曲線哪些性質受影響？提示離心率受到影響.e，故當a>b>0時，1<e<，當ab>0時，e(亦稱等軸雙曲線)，當0<a<b時，e>.題組一思考辨析1.判斷下列結論是否正確(請在括號中打“”或“”)(1)平面內到點F1(0，4)，F(xiàn)2(0，4)距離之差的絕對值等于8的點的軌跡是雙曲線.()(2)方程1(mn>0)表示焦點在x軸上的雙曲線.()(3)雙曲線方程(m>0，n>0，0)的漸近線方程是0，即0.()(4)等軸雙曲線的漸近線互相垂直，離心率等于.()(5)若雙曲線1(a>0，b>0)與1(a>0，b>0)的離心率分別是e1，e2，則1(此條件中兩條雙曲線稱為共軛雙曲線).()題組二教材改編2.P61T1若雙曲線1(a>0，b>0)的焦點到其漸近線的距離等于實軸長，則該雙曲線的離心率為()A.B.5C.D.2答案A解析由題意知焦點到其漸近線的距離等于實軸長，雙曲線的漸近線方程為0，即bxay0，2ab.又a2b2c2，5a2c2.e25，e.3.P61A組T3已知a>b>0，橢圓C1的方程為1，雙曲線C2的方程為1，C1與C2的離心率之積為，則C2的漸近線方程為()A.xy0B.xy0C.x2y0D.2xy0答案A解析橢圓C1的離心率為，雙曲線C2的離心率為，所以，即a44b4，所以ab，所以雙曲線C2的漸近線方程是yx，即xy0.4.P62A組T6經過點A(4，1)，且對稱軸都在坐標軸上的等軸雙曲線方程為_.答案1解析設雙曲線的方程為1(a>0)，把點A(4，1)代入，得a215(舍負)，故所求方程為1.題組三易錯自糾5.已知方程1表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點間的距離為4，則n的取值范圍是()A.(1，3) B.(1，)C.(0，3) D.(0，)答案A解析方程1表示雙曲線，(m2n)(3m2n)>0，解得m2<n<3m2，由雙曲線性質，知c2(m2n)(3m2n)4m2(其中c是半焦距)，焦距2c22|m|4，解得|m|1，1<n<3，故選A.6.若雙曲線1(a>0，b>0)的一條漸近線經過點(3，4)，則此雙曲線的離心率為()A.B.C.D.答案D解析由條件知yx過點(3，4)，4，即3b4a，9b216a2，9c29a216a2，25a29c2，e.故選D.7.(2018浙江省鎮(zhèn)海中學模擬)雙曲線C：y21的漸近線方程為_，設雙曲線1(a>0，b>0)經過點(4，1)，且與雙曲線C具有相同的漸近線，則該雙曲線的標準方程為_.答案y1解析雙曲線y21的漸近線方程為yx；與y21具有相同的漸近線的雙曲線方程可設為y2m(m0)，因為該雙曲線經過點(4，1)，所以m123，即該雙曲線的方程為y23，即1.題型一雙曲線的定義例1(1)已知定點F1(2，0)，F(xiàn)2(2，0)，N是圓O：x2y21上任意一點，點F1關于點N的對稱點為M，線段F1M的中垂線與直線F2M相交于點P，則點P的軌跡是()A.橢圓B.雙曲線C.拋物線D.圓答案B解析如圖，連接ON，由題意可得|ON|1，且N為MF1的中點，又O為F1F2的中點，|MF2|2.點F1關于點N的對稱點為M，線段F1M的中垂線與直線F2M相交于點P，由垂直平分線的性質可得|PM|PF1|，|PF2|PF1|PF2|PM|MF2|2<|F1F2|，由雙曲線的定義可得，點P的軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點的雙曲線.(2)已知F1，F(xiàn)2為雙曲線C：x2y22的左、右焦點，點P在C上，|PF1|2|PF2|，則cosF1PF2_.答案解析由雙曲線的定義有|PF1|PF2|PF2|2a2，|PF1|2|PF2|4，則cosF1PF2.引申探究1.本例(2)中，若將條件“|PF1|2|PF2|”改為“F1PF260”，則F1PF2的面積是多少？解不妨設點P在雙曲線的右支上，則|PF1|PF2|2a2，在F1PF2中，由余弦定理，得cosF1PF2，|PF1|PF2|8，|PF1|PF2|sin602.2.本例(2)中，若將條件“|PF1|2|PF2|”改為“0”，則F1PF2的面積是多少？解不妨設點P在雙曲線的右支上，則|PF1|PF2|2a2，0，在F1PF2中，有|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，即|PF1|2|PF2|216，|PF1|PF2|4，|PF1|PF2|2.思維升華 (1)利用雙曲線的定義判定平面內動點與兩定點的軌跡是否為雙曲線，進而根據要求可求出雙曲線方程.(2)在“焦點三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，經常結合|PF1|PF2|2a，運用平方的方法，建立與|PF1|PF2|的聯(lián)系.跟蹤訓練1(2016浙江)設雙曲線x21的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，若點P在雙曲線上，且F1PF2為銳角三角形，則|PF1|PF2|的取值范圍是_.答案(2，8)解析如圖，由已知可得a1，b，c2，從而|F1F2|4，由對稱性不妨設P在右支上，設|PF2|m，則|PF1|m2am2，由于PF1F2為銳角三角形，結合實際意義需滿足解得1<m<3，又|PF1|PF2|2m2，2<2m2<8.題型二雙曲線的標準方程例2(1)(2018浙江省金華東陽中學期中)ABC的頂點為A(5，0)，B(5，0)，ABC的內切圓圓心在直線x3上，則頂點C的軌跡方程是()A.1B.1C.1(x>3) D.1(x>4)答案C解析由條件可得，圓與x軸的切點為T(3，0)，由相切的性質得|CA|CB|TA|TB|826<|AB|10，因此點C在以A，B為焦點的雙曲線的右支上，2a6，2c10，a3，b4，故頂點C的軌跡方程是1(x>3).(2)根據下列條件，求雙曲線的標準方程：虛軸長為12，離心率為；焦距為26，且經過點M(0，12)；經過兩點P(3，2)和Q(6，7).解設雙曲線的標準方程為1或1(a>0，b>0).由題意知，2b12，e，b6，c10，a8.雙曲線的標準方程為1或1.雙曲線經過點M(0，12)，M(0，12)為雙曲線的一個頂點，故焦點在y軸上，且a12.又2c26，c13，b2c2a225.雙曲線的標準方程為1.設雙曲線方程為mx2ny21(mn>0).解得雙曲線的標準方程為1.思維升華求雙曲線標準方程的方法1.定義法根據雙曲線的定義確定a2，b2的值，再結合焦點位置，求出雙曲線方程，常用的關系有：(1)c2a2b2；(2)雙曲線上任意一點到雙曲線兩焦點的距離的差的絕對值等于2a.2.待定系數(shù)法(1)一般步驟判斷：根據已知條件，確定雙曲線的焦點是在x軸上，還是在y軸上，還是兩個坐標軸都有可能；設：根據中的判斷結果，設出所需的未知數(shù)或者標準方程；列：根據題意，列出關于a，b，c的方程或者方程組；解：求解得到方程.(2)常見設法與雙曲線1共漸近線的雙曲線方程可設為(0)；若雙曲線的漸近線方程為yx，則雙曲線方程可設為(0)；若雙曲線過兩個已知點，則雙曲線方程可設為1(mn<0)；與雙曲線1共焦點的雙曲線方程可設為1(b2<k<a2)；與橢圓1(a>b>0)有共同焦點的雙曲線方程可設為1(b2<<a2).跟蹤訓練2(1)設橢圓C1的離心率為，焦點在x軸上且長軸長為26，若曲線C2上的點到橢圓C1的兩個焦點的距離的差的絕對值等于8，則曲線C2的標準方程為_.答案1解析由題意知橢圓C1的焦點坐標為F1(5，0)，F(xiàn)2(5，0)，設曲線C2上的一點P，則|PF1|PF2|8.由雙曲線的定義知，a4，b3.故曲線C2的標準方程為1.即1.(2)已知雙曲線C：1(a>0，b>0)的一條漸近線方程為yx，且與橢圓1有公共焦點，則C的方程為()A.1B.1C.1D.1答案B解析由yx，可得.由橢圓1的焦點為(3，0)，(3，0)，可得a2b29.由可得a24，b25.所以C的方程為1.故選B.題型三雙曲線的幾何性質命題點1與漸近線有關的問題例3過雙曲線1(a>0，b>0)的左焦點F作圓O：x2y2a2的兩條切線，切點為A，B，雙曲線左頂點為C，若ACB120，則雙曲線的漸近線方程為()A.yxB.yxC.yxD.yx答案A解析如圖所示，連接OA，OB，設雙曲線1(a>0，b>0)的焦距為2c(c>0)，則C(a，0)，F(xiàn)(c，0).由雙曲線和圓的對稱性知，點A與點B關于x軸對稱，則ACOBCOACB12060.因為|OA|OC|a，所以ACO為等邊三角形，所以AOC60.因為FA與圓O切于點A，所以OAFA，在RtAOF中，AFO90AOF906030，所以|OF|2|OA|，即c2a，所以ba，故雙曲線1(a>0，b>0)的漸近線方程為yx，即yx.命題點2求離心率的值(或范圍)例4(1)(2018麗水、衢州、湖州質檢)已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線1(a>0，b>0)的左、右焦點，P為雙曲線右支上一點，滿足PF2F1，連接PF1交y軸于點Q，若|QF2|c，則雙曲線的離心率是()A.B.C.1D.1答案C解析設O為坐標原點，由題意可得，PF2x軸，OQPF2，所以Q為PF1的中點，易知F2(c，0)，因為|QF2|c，所以|OQ|c，又|OQ|PF2|，所以|PF2|2|OQ|2c，所以|PF1|2c，根據雙曲線的定義，得|PF1|PF2|2a，即2c2c2a，所以e1.故選C.(2)(2018浙江省紹興市適應性考試)如圖，已知雙曲線C：1(a>0，b>0)的左焦點為F，A為虛軸的一個端點.若以A為圓心的圓與C的一條漸近線相切于點B，且t(tR)，則該雙曲線的離心率為()A.2B.C.D.答案D解析由題圖知F(c，0)，A(0，b)，漸近線方程為yx.由已知得A，B，F(xiàn)三點共線，且AFOB.所以點F到漸近線OB的距離為db，|AF|，又由BOFOAF，得|FO|2|FB|FA|.即c2b，即c4b2(c2b2)，則c4(c2a2)(2c2a2)，整理得c43a2c2a40，即e43e210，解得e2.所以該雙曲線的離心率e，故選D.思維升華1.求雙曲線的漸近線的方法求雙曲線1(a>0，b>0)或1(a>0，b>0)的漸近線方程的方法是令右邊的常數(shù)等于0，即令0，得yx；或令0，得yx.反之，已知漸近線方程為yx，可設雙曲線方程為(a>0，b>0，0).2.求雙曲線的離心率(1)求雙曲線的離心率或其范圍的方法求a，b，c的值，由1直接求e.列出含有a，b，c的齊次方程(或不等式)，借助于b2c2a2消去b，然后轉化成關于e的方程(或不等式)求解.(2)雙曲線的漸近線的斜率k與離心率e的關系：k.跟蹤訓練3(1)已知點F1，F(xiàn)2是雙曲線C：1(a>0，b>0)的左、右焦點，O為坐標原點，點P在雙曲線C的右支上，且滿足|F1F2|2|OP|，|PF1|3|PF2|，則雙曲線C的離心率的取值范圍是()A.(1，) B.C.D.答案C解析由|F1F2|2|OP|，可得|OP|c，故PF1F2為直角三角形，且PF1PF2，則|PF1|2|PF2|2|F1F2|2.由雙曲線的定義可得|PF1|PF2|2a，則|PF1|2a|PF2|，所以(|PF2|2a)2|PF2|24c2，整理得(|PF2|a)22c2a2.又|PF1|3|PF2|，即2a|PF2|3|PF2|，可得|PF2|a，所以|PF2|a2a，即2c2a24a2，可得ca.由e，且e>1，可得1<e.故選C.(2)已知F1，F(xiàn)2是雙曲線1(a>0，b>0)的左、右焦點，過F1的直線l與雙曲線的左、右兩支分別交于點B，A，若ABF2為等邊三角形，則雙曲線的離心率為()A.B.4C.D.答案A解析因為ABF2為等邊三角形，所以不妨設|AB|BF2|AF2|m，因為A為雙曲線右支上一點，所以|F1A|F2A|F1A|AB|F1B|2a，因為B為雙曲線左支上一點，所以|BF2|BF1|2a，|BF2|4a，由ABF260，得F1BF2120，在F1BF2中，由余弦定理得4c24a216a222a4acos120，得c27a2，則e27，又e>1，所以e.故選A.離心率問題離心率是橢圓、雙曲線的重要幾何性質，是高考重點考查的一個知識點，這類問題一般有兩類：一類是根據一定的條件求離心率；另一類是根據一定的條件求離心率的取值范圍，無論是哪類問題，其難點都是建立關于a，b，c的關系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的b用a，c表示，轉化為關于離心率e的關系式，這是化解有關橢圓與雙曲線的離心率問題難點的根本方法.例1已知橢圓E：1(a>b>0)的右焦點為F，短軸的一個端點為M，直線l：3x4y0交橢圓E于A，B兩點.若|AF|BF|4，點M到直線l的距離不小于，則橢圓E的離心率的取值范圍是()A.B.C.D.答案A解析設左焦點為F0，連接F0A，F(xiàn)0B，則四邊形AFBF0為平行四邊形.|AF|BF|4，|AF|AF0|4，a2.設M(0，b)，則M到直線l的距離d，1b<2.離心率e，故選A.例2(2018浙江省綠色評價聯(lián)盟高考適應性考試)已知F1，F(xiàn)2是雙曲線1(a>0，b>0)的左、右焦點，P是雙曲線上一點，且PF1PF2，若PF1F2的內切圓半徑為，則該雙曲線的離心率為()A.1B.C.D.1答案C解析由對稱性不妨設點P在第一象限，如圖，由題意設PF1F2的內切圓切三邊于G，D，E三點，則|PG|PE|，|GF1|DF1|，|EF2|DF2|.又|PF1|PF2|2a，則|GF1|EF2|DF1|DF2|2a，設D(x0，0)，則x0c(cx0)2a，即x0a，所以切點D為雙曲線的右頂點，|PF1|GP|GF1|DF1|cac，|PF2|PE|EF2|DF2|cac，在RtPF1F2中，由勾股定理得22(2c)2，整理得4c24ac5a20，則4e24e50，解得離心率e(舍負)，故選C.1.(2018浙江)雙曲線y21的焦點坐標是()A.(，0)，(，0) B.(2，0)，(2，0)C.(0，)，(0，) D.(0，2)，(0，2)答案B解析雙曲線方程為y21，a23，b21，且雙曲線的焦點在x軸上，c2，即該雙曲線的焦點坐標為(2，0)，(2，0).故選B.2.已知雙曲線1(a>0，b>0)的離心率為2，則該雙曲線的漸近線方程為()A.xy0B.xy0C.xy0D.2xy0答案C解析雙曲線的方程是1(a>0，b>0)，雙曲線的漸近線方程為yx.又離心率e2，c2a，ba.由此可得雙曲線的漸近線方程為yxx，即xy0.故選C.3.已知雙曲線C：1(a>0，b>0)的右焦點為F，點B是虛軸的一個端點，線段BF與雙曲線C的右支交于點A，若2，且|4，則雙曲線C的方程為()A.1B.1C.1D.1答案D解析不妨設B(0，b)，由2，F(xiàn)(c，0)，可得A，代入雙曲線C的方程可得1，即，.又|4，c2a2b2，a22b216，由可得a24，b26，雙曲線C的方程為1，故選D.4.設F1，F(xiàn)2分別為雙曲線1的左、右焦點，過F1引圓x2y29的切線F1P交雙曲線的右支于點P，T為切點，M為線段F1P的中點，O為坐標原點，則|MO|MT|等于()A.4B.3C.2D.1答案D解析連接PF2，OT，則有|MO|PF2|(|PF1|2a)(|PF1|6)|PF1|3，|MT|PF1|F1T|PF1|PF1|4，于是有|MO|MT|1，故選D.5.已知雙曲線x21的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，雙曲線的離心率為e，若雙曲線上存在一點P使e，則的值為()A.3B.2C.3D.2答案B解析由題意及正弦定理得e2，|PF1|2|PF2|，由雙曲線的定義知|PF1|PF2|2，|PF1|4，|PF2|2，又|F1F2|4，由余弦定理可知cosPF2F1，|cosPF2F1242.故選B.6.已知雙曲線1的右焦點為F，P為雙曲線左支上一點，點A(0，)，則APF周長的最小值為()A.4B.4(1)C.2() D.3答案B解析由題意知F(，0)，設左焦點為F0，則F0(，0)，由題可知APF的周長l為|PA|PF|AF|，而|PF|2a|PF0|，l|PA|PF0|2a|AF|AF0|AF|2a22444(1)，當且僅當A，F(xiàn)0，P三點共線時取得“”，故選B.7.已知離心率為的雙曲線C：1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，M是雙曲線C的一條漸近線上的點，且OMMF2，O為坐標原點，若SOMF216，則雙曲線的實軸長是()A.32B.16C.84D.4答案B解析由題意知F2(c，0)，不妨令點M在漸近線yx上，由題意可知|F2M|b，所以|OM|a.由16，可得ab16，即ab32，又a2b2c2，所以a8，b4，c4，所以雙曲線C的實軸長為16.故選B.8.已知雙曲線C1：1(a>0，b>0)，圓C2：x2y22axa20，若雙曲線C1的一條漸近線與圓C2有兩個不同的交點，則雙曲線C1的離心率的范圍是()A.B.C.(1，2) D.(2，)答案A解析由雙曲線方程可得其漸近線方程為yx，即bxay0，圓C2：x2y22axa20可化為(xa)2y2a2，圓心C2的坐標為(a，0)，半徑ra，由雙曲線C1的一條漸近線與圓C2有兩個不同的交點，得<a，即c>2b，即c2>4b2，又知b2c2a2，所以c2>4(c2a2)，即c2<a2，所以e<，又知e>1，所以雙曲線C1的離心率的取值范圍為，故選A.9.雙曲線的焦點在x軸上，實軸長為4，離心率為，則該雙曲線的標準方程為_，漸近線方程為_.答案1yx解析由2a4，得a2，c2，b2，所以雙曲線的標準方程為1，漸近線方程為yx.10.已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線x21(b>0)的左、右焦點，A是雙曲線上在第一象限內的點，若|AF2|2且F1AF245，延長AF2交雙曲線的右支于點B，則F1AB的面積等于_.答案4解析由題意知a1，由雙曲線定義知|AF1|AF2|2a2，|BF1|BF2|2a2，|AF1|2|AF2|4，|BF1|2|BF2|.由題意知|AB|AF2|BF2|2|BF2|，|BA|BF1|，BAF1為等腰三角形，F(xiàn)1AF245，ABF190，BAF1為等腰直角三角形.|BA|BF1|AF1|42，|BA|BF1|224.11.已知焦點在x軸上的雙曲線1，它的焦點到漸近線的距離的取值范圍是_.答案(0，2)解析對于焦點在x軸上的雙曲線1(a>0，b>0)，它的焦點(c，0)到漸近線bxay0的距離為b.雙曲線1，即1，其焦點在x軸上，則解得4<m<8，則焦點到漸近線的距離d(0，2).12.已知雙曲線C：1(a>0，b>0)的右焦點為F，左頂點為A，以F為圓心，F(xiàn)A為半徑的圓交C的右支于P，Q兩點，APQ的一個內角為60，求雙曲線C的離心率.解設左焦點為F1，由于雙曲線和圓都關于x軸對稱，又APQ的一個內角為60，PAF30，PFA120，|AF|PF|ca，|PF1|3ac，在PFF1中，由余弦定理得|PF1|2|PF|2|F1F|22|PF|F1F|cosF1FP，即3c2ac4a20，即3e2e40，e(舍負).13.(2018湖州模擬)已知雙曲線1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F2的直線交雙曲線的右支于A，B兩點，AF1B90，AF1B的內切圓的圓心的縱坐標為a，則雙曲線的離心率為()A.2B.3C.D.答案A解析設內切圓的圓心M(x，y)，圓M分別切AF1，BF1，AB于S，T，Q，如圖，連接MS，MT，MF1，MQ，則|F1T|F1S|，故四邊形SF1TM是正方形，邊長為圓M的半徑.由|AS|AQ|，|BT|BQ|，得|AF1|AQ|SF1|TF1|BF1|BQ|，又|AF1|AF2|BF1|BF2|，Q與F2重合，|SF1|AF1|AF2|2a，|MF2|2a，即(xc)2y24a2，|MF1|2a，(xc)2y28a2，聯(lián)立解得x，y24a2，又ya，故4a2，得e2.14.如圖，已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線x21(b>0)的左、右焦點，過點F1的直線與圓x2y21相切于點T，與雙曲線的左、右兩支分別交于A，B，若|F2B|AB|，求b的值.解方法一因為|F2B|AB|，所以結合雙曲線的定義，得|AF1|BF1|AB|BF1|BF2|2，連接OT，在RtOTF1中，|OT|1，|OF1|c，|TF1|b，所以cosF2F1A，sinF2F1A，所以A，將點A的坐標代入雙曲線得1，化簡得b64b55b44b340，得(b22b2)(b42b33b22b2)0，而b42b33b22b2b2(b1)2b21(b1)2>0，故b22b20，解得b1(負值舍去)，即b1.方法二因為|F2B|AB|，所以結合雙曲線的定義，得|AF1|BF1|AB|BF1|BF2|2，連接AF2，則|AF2|2|AF1|4.連接OT，在RtOTF1中，|OT|1，|OF1|c，|TF1|b，所以cosF2F1A.在AF1F2中，由余弦定理得cosF2F1A，所以c232b，又在雙曲線中，c21b2，所以b22b20，解得b1(負值舍去)，即b1.15.(2018浙江省聯(lián)盟學校聯(lián)考)已知雙曲線1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，直線l過F2且交雙曲線的右支于A，B兩點，記AF1F2的內切圓半徑為r1，BF1F2的內切圓半徑為r2，若r1r231，則直線l的斜率為()A.1B.C.D.2答案C解析方法一當A在第一象限時，如圖1，設AF1F2的內切圓O1分別切AF1，F(xiàn)1F2，F(xiàn)2A于點Q，P，N，則|AQ|AN|，|F1Q|F1P|，|F2P|F2N|，又|AF1|AF2|2a，即(|AQ|F1Q|)(|AN|F2N|)2a，|F1Q|F2N|2a，|F1F2|F2P|F2N|2a，即2c2|F2P|2a，|F2P|ca，P為雙曲線的右頂點，同理，BF1F2的內切圓O2也切F1F2于雙曲線的右頂點，連接O1P，O2P，則O1，P，O2三點共線，且O1O2F1F2.連接O1F2，O2F2，又O1F2平分F1F2A，O2F2平分F1F2B，O1F2O290，RtO1F2PRtF2O2PRtO1O2F2，|O1F2|2|O1P|O1O2|，|O2F2|2|O2P|O1O2|，3，則tanO2O1F2，O2O1F230，則O1F2P60，AF2P120，kAB.由對稱性可得A在第四象限時，kAB.綜上，直線l的斜率為.方法二當A在第一象限時，如圖2，設AF1F2的內切圓O1分別切AF1，F(xiàn)1F2，F(xiàn)2A于點Q，P，N，則|AQ|AN|，|F1Q|F1P|，|F2P|F2N|，又|AF1|AF2|2a，即(|AQ|F1Q|)(|AN|F2N|)2a，|F1Q|F2N|2a，|F1F2|F2P|F2N|2a，即2c2|F2P|2a，|F2P|ca，P為雙曲線的右頂點，同理，BF1F2的內切圓O2也切F1F2于雙曲線的右頂點，連接O1P，O2P，則O1，P，O2三點共線，且O1O2F1F2.設O2切BF2于點H，連接O1N，O2H，則在直角梯形O2HNO1中，|O2H|r2，|O1N|r13r2，|O1O2|r1r24r2，作O2TO1N于點T，則|O1T|r1r22r2，故在RtO1O2T中，O2O1T60，AF2P120，kAB.由對稱性可得A在第四象限時，kAB.綜上，直線l的斜率為.16.(2018浙江省杭州地區(qū)四校聯(lián)考)已知F1，F(xiàn)2是雙曲線C：1(a>0，b>0)的左、右焦點，點P(在第一象限)在雙曲線的右支上，直線PF2的傾斜角為120，PF1F2的面積S(a2b2)，求雙曲線C的離心率.解方法一設P(x0，y0)，易知|F1F2|2c，c，所以PF1F2的面積S2c|y0|c2，解得|y0|c.因為直線PF2的傾斜角為120，所以|PF2|c.在PF1F2中，由余弦定理得|PF1|2|PF2|2|F1F2|22|PF2|F1F2|cosPF2F1c2(2c)22c2ccos603c2，所以|PF1|c.由雙曲線的定義可得2a|PF1|PF2|cc(1)c，所以雙曲線的離心率e1.方法二設P(x0，y0)，易知|F1F2|2c，c，所以PF1F2的面積S2c|y0|c2，解得|y0|c.因為直線PF2的傾斜角為120，所以x0c，所以P.由點P在雙曲線上可得1，整理得c48c2a24a40，即e48e240，解得e242或e242.因為e>1，所以e242，所以e1.