（浙江專用）2020版高考數(shù)學(xué)新增分大一輪復(fù)習(xí) 第九章 平面解析幾何 9.6 雙曲線講義（含解析）.docx

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9.6　雙曲線 最新考綱 考情考向分析 了解雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何圖形及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，了解直線與雙曲線的位置關(guān)系. 主要側(cè)重雙曲線的方程以及以雙曲線方程為載體，研究參數(shù)a，b，c及與漸近線有關(guān)的問題，其中離心率和漸近線是重點(diǎn).題型為選擇、填空題. 1.雙曲線定義 平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)(小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線.這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距. 集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c為常數(shù)且a>0，c>0. (1)當(dāng)2a<|F1F2|時(shí)，P點(diǎn)的軌跡是雙曲線； (2)當(dāng)2a＝|F1F2|時(shí)，P點(diǎn)的軌跡是兩條射線； (3)當(dāng)2a>|F1F2|時(shí)，P點(diǎn)不存在. 2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì) 標(biāo)準(zhǔn)方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 圖形 性質(zhì) 范圍 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 對(duì)稱性 對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸　對(duì)稱中心：原點(diǎn) 頂點(diǎn) A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 漸近線 y＝x y＝x 離心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝ 實(shí)虛軸 線段A1A2叫做雙曲線的實(shí)軸，它的長|A1A2|＝2a，線段B1B2叫做雙曲線的虛軸，它的長|B1B2|＝2b；a叫做雙曲線的實(shí)半軸長，b叫做雙曲線的虛半軸長 a，b，c的關(guān)系 c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0) 概念方法微思考 1.平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之差的絕對(duì)值等于常數(shù)2a的動(dòng)點(diǎn)的軌跡一定為雙曲線嗎？為什么？ 提示　不一定. 當(dāng)2a＝|F1F2|時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是兩條射線； 當(dāng)2a>|F1F2|時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡不存在； 當(dāng)2a＝0時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是線段F1F2的中垂線. 2.方程Ax2＋By2＝1表示雙曲線的充要條件是什么？ 提示　若A>0，B<0，表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線；若A<0，B>0，表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線.所以Ax2＋By2＝1表示雙曲線的充要條件是AB<0. 3.與橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程相比較，雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中，a，b只限制a>0，b>0，二者沒有大小要求，若a>b>0，a＝b>0，0b>0時(shí)，10時(shí)，e＝(亦稱等軸雙曲線)，當(dāng)0. 題組一　思考辨析 1.判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“”) (1)平面內(nèi)到點(diǎn)F1(0，4)，F(xiàn)2(0，－4)距離之差的絕對(duì)值等于8的點(diǎn)的軌跡是雙曲線.(　　) (2)方程－＝1(mn>0)表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線.(　　) (3)雙曲線方程－＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的漸近線方程是－＝0，即＝0.(　√　) (4)等軸雙曲線的漸近線互相垂直，離心率等于.(　√　) (5)若雙曲線－＝1(a>0，b>0)與－＝1(a>0，b>0)的離心率分別是e1，e2，則＋＝1(此條件中兩條雙曲線稱為共軛雙曲線).(　√　) 題組二　教材改編 2.[P61T1]若雙曲線－＝1(a>0，b>0)的焦點(diǎn)到其漸近線的距離等于實(shí)軸長，則該雙曲線的離心率為(　　) A. B.5 C. D.2 答案　A 解析　由題意知焦點(diǎn)到其漸近線的距離等于實(shí)軸長，雙曲線的漸近線方程為＝0，即bxay＝0， ∴2a＝＝b.又a2＋b2＝c2，∴5a2＝c2. ∴e2＝＝5，∴e＝. 3.[P61A組T3]已知a>b>0，橢圓C1的方程為＋＝1，雙曲線C2的方程為－＝1，C1與C2的離心率之積為，則C2的漸近線方程為(　　) A.xy＝0 B.xy＝0 C.x2y＝0 D.2xy＝0 答案　A 解析　橢圓C1的離心率為，雙曲線C2的離心率為，所以＝，即a4＝4b4，所以a＝b，所以雙曲線C2的漸近線方程是y＝x，即xy＝0. 4.[P62A組T6]經(jīng)過點(diǎn)A(4，1)，且對(duì)稱軸都在坐標(biāo)軸上的等軸雙曲線方程為________. 答案?。? 解析　設(shè)雙曲線的方程為－＝1(a>0)， 把點(diǎn)A(4，1)代入，得a2＝15(舍負(fù))， 故所求方程為－＝1. 題組三　易錯(cuò)自糾 5.已知方程－＝1表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點(diǎn)間的距離為4，則n的取值范圍是(　　) A.(－1，3) B.(－1，) C.(0，3) D.(0，) 答案　A 解析　∵方程－＝1表示雙曲線， ∴(m2＋n)(3m2－n)>0，解得－m20，b>0)的一條漸近線經(jīng)過點(diǎn)(3，－4)，則此雙曲線的離心率為(　　) A.B.C.D. 答案　D 解析　由條件知y＝－x過點(diǎn)(3，－4)，∴＝4， 即3b＝4a，∴9b2＝16a2，∴9c2－9a2＝16a2， ∴25a2＝9c2，∴e＝.故選D. 7.(2018浙江省鎮(zhèn)海中學(xué)模擬)雙曲線C：y2－＝1的漸近線方程為__________，設(shè)雙曲線－＝1(a>0，b>0)經(jīng)過點(diǎn)(4，1)，且與雙曲線C具有相同的漸近線，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為________________. 答案　y＝?。? 解析　雙曲線y2－＝1的漸近線方程為y＝x；與y2－＝1具有相同的漸近線的雙曲線方程可設(shè)為y2－＝m(m≠0)，因?yàn)樵撾p曲線經(jīng)過點(diǎn)(4，1)，所以m＝12－＝－3，即該雙曲線的方程為y2－＝－3，即－＝1. 題型一　雙曲線的定義 例1　(1)已知定點(diǎn)F1(－2，0)，F(xiàn)2(2，0)，N是圓O：x2＋y2＝1上任意一點(diǎn)，點(diǎn)F1關(guān)于點(diǎn)N的對(duì)稱點(diǎn)為M，線段F1M的中垂線與直線F2M相交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P的軌跡是(　　) A.橢圓 B.雙曲線 C.拋物線 D. 圓 答案　B 解析　如圖，連接ON， 由題意可得|ON|＝1，且N為MF1的中點(diǎn)，又O為F1F2的中點(diǎn)，∴|MF2|＝2. ∵點(diǎn)F1關(guān)于點(diǎn)N的對(duì)稱點(diǎn)為M，線段F1M的中垂線與直線F2M相交于點(diǎn)P，由垂直平分線的性質(zhì)可得|PM|＝|PF1|，∴||PF2|－|PF1||＝||PF2|－|PM||＝|MF2|＝2<|F1F2|，∴由雙曲線的定義可得，點(diǎn)P的軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的雙曲線. (2)已知F1，F(xiàn)2為雙曲線C：x2－y2＝2的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，|PF1|＝2|PF2|，則cos∠F1PF2＝________. 答案　 解析　∵由雙曲線的定義有|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a＝2， ∴|PF1|＝2|PF2|＝4， 則cos∠F1PF2＝＝＝. 引申探究 1.本例(2)中，若將條件“|PF1|＝2|PF2|”改為“∠F1PF2＝60”，則△F1PF2的面積是多少？ 解　不妨設(shè)點(diǎn)P在雙曲線的右支上， 則|PF1|－|PF2|＝2a＝2， 在△F1PF2中，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝＝， ∴|PF1||PF2|＝8， ∴＝|PF1||PF2|sin60＝2. 2.本例(2)中，若將條件“|PF1|＝2|PF2|”改為“＝0”，則△F1PF2的面積是多少？ 解　不妨設(shè)點(diǎn)P在雙曲線的右支上， 則|PF1|－|PF2|＝2a＝2， ∵＝0， ∴⊥， ∴在△F1PF2中，有|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2， 即|PF1|2＋|PF2|2＝16，∴|PF1||PF2|＝4， ∴＝|PF1||PF2|＝2. 思維升華 (1)利用雙曲線的定義判定平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)的軌跡是否為雙曲線，進(jìn)而根據(jù)要求可求出雙曲線方程. (2)在“焦點(diǎn)三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，經(jīng)常結(jié)合||PF1|－|PF2||＝2a，運(yùn)用平方的方法，建立與|PF1||PF2|的聯(lián)系. 跟蹤訓(xùn)練1　(2016浙江)設(shè)雙曲線x2－＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，若點(diǎn)P在雙曲線上，且△F1PF2為銳角三角形，則|PF1|＋|PF2|的取值范圍是________. 答案　(2，8) 解析　如圖，由已知可得a＝1，b＝，c＝2，從而|F1F2|＝4， 由對(duì)稱性不妨設(shè)P在右支上， 設(shè)|PF2|＝m， 則|PF1|＝m＋2a＝m＋2， 由于△PF1F2為銳角三角形， 結(jié)合實(shí)際意義需滿足 解得－1＋3) D.－＝1(x>4) 答案　C 解析　由條件可得，圓與x軸的切點(diǎn)為T(3，0)，由相切的性質(zhì)得|CA|－|CB|＝|TA|－|TB|＝8－2＝6<|AB|＝10，因此點(diǎn)C在以A，B為焦點(diǎn)的雙曲線的右支上， ∵2a＝6，2c＝10， ∴a＝3，b＝4， 故頂點(diǎn)C的軌跡方程是－＝1(x>3). (2)根據(jù)下列條件，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程： ①虛軸長為12，離心率為； ②焦距為26，且經(jīng)過點(diǎn)M(0，12)； ③經(jīng)過兩點(diǎn)P(－3，2)和Q(－6，－7). 解?、僭O(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1或－＝1(a>0，b>0). 由題意知，2b＝12，e＝＝， ∴b＝6，c＝10，a＝8. ∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1或－＝1. ②∵雙曲線經(jīng)過點(diǎn)M(0，12)，∴M(0，12)為雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)，故焦點(diǎn)在y軸上，且a＝12. 又2c＝26，∴c＝13，∴b2＝c2－a2＝25. ∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1. ③設(shè)雙曲線方程為mx2－ny2＝1(mn>0). ∴ 解得 ∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1. 思維升華求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的方法 1.定義法 根據(jù)雙曲線的定義確定a2，b2的值，再結(jié)合焦點(diǎn)位置，求出雙曲線方程，常用的關(guān)系有： (1)c2＝a2＋b2； (2)雙曲線上任意一點(diǎn)到雙曲線兩焦點(diǎn)的距離的差的絕對(duì)值等于2a. 2.待定系數(shù)法 (1)一般步驟 ①判斷：根據(jù)已知條件，確定雙曲線的焦點(diǎn)是在x軸上，還是在y軸上，還是兩個(gè)坐標(biāo)軸都有可能； ②設(shè)：根據(jù)①中的判斷結(jié)果，設(shè)出所需的未知數(shù)或者標(biāo)準(zhǔn)方程； ③列：根據(jù)題意，列出關(guān)于a，b，c的方程或者方程組； ④解：求解得到方程. (2)常見設(shè)法 ①與雙曲線－＝1共漸近線的雙曲線方程可設(shè)為－＝λ(λ≠0)； ②若雙曲線的漸近線方程為y＝x，則雙曲線方程可設(shè)為－＝λ(λ≠0)； ③若雙曲線過兩個(gè)已知點(diǎn)，則雙曲線方程可設(shè)為＋＝1(mn<0)； ④與雙曲線－＝1共焦點(diǎn)的雙曲線方程可設(shè)為－＝1(－b2b>0)有共同焦點(diǎn)的雙曲線方程可設(shè)為＋＝1(b2<λ0，b>0)的一條漸近線方程為y＝x，且與橢圓＋＝1有公共焦點(diǎn)，則C的方程為(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 答案　B 解析　由y＝x，可得＝.① 由橢圓＋＝1的焦點(diǎn)為(3，0)，(－3，0)， 可得a2＋b2＝9.② 由①②可得a2＝4，b2＝5. 所以C的方程為－＝1.故選B. 題型三　雙曲線的幾何性質(zhì) 命題點(diǎn)1　與漸近線有關(guān)的問題 例3　過雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左焦點(diǎn)F作圓O：x2＋y2＝a2的兩條切線，切點(diǎn)為A，B，雙曲線左頂點(diǎn)為C，若∠ACB＝120，則雙曲線的漸近線方程為(　　) A.y＝x B.y＝x C.y＝x D.y＝x 答案　A 解析　如圖所示，連接OA，OB， 設(shè)雙曲線－＝1(a>0，b>0)的焦距為2c(c>0)， 則C(－a，0)，F(xiàn)(－c，0). 由雙曲線和圓的對(duì)稱性知，點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于x軸對(duì)稱， 則∠ACO＝∠BCO＝∠ACB＝120＝60. 因?yàn)閨OA|＝|OC|＝a，所以△ACO為等邊三角形，所以∠AOC＝60. 因?yàn)镕A與圓O切于點(diǎn)A，所以O(shè)A⊥FA， 在Rt△AOF中，∠AFO＝90－∠AOF＝90－60＝30，所以|OF|＝2|OA|，即c＝2a， 所以b＝＝＝a， 故雙曲線－＝1(a>0，b>0)的漸近線方程為y＝x，即y＝x. 命題點(diǎn)2　求離心率的值(或范圍) 例4　(1)(2018麗水、衢州、湖州質(zhì)檢)已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線右支上一點(diǎn)，滿足∠PF2F1＝，連接PF1交y軸于點(diǎn)Q，若|QF2|＝c，則雙曲線的離心率是(　　) A. B. C.1＋ D.1＋ 答案　C 解析　設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，由題意可得，PF2⊥x軸，OQ∥PF2，所以Q為PF1的中點(diǎn)，易知F2(c，0)，因?yàn)閨QF2|＝c，所以|OQ|＝c，又|OQ|＝|PF2|，所以|PF2|＝2|OQ|＝2c，所以|PF1|＝2c，根據(jù)雙曲線的定義，得|PF1|－|PF2|＝2a，即2c－2c＝2a，所以e＝＝＝＋1.故選C. (2)(2018浙江省紹興市適應(yīng)性考試)如圖，已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的左焦點(diǎn)為F，A為虛軸的一個(gè)端點(diǎn).若以A為圓心的圓與C的一條漸近線相切于點(diǎn)B，且＝t(t∈R)，則該雙曲線的離心率為(　　) A.2 B. C. D. 答案　D 解析　由題圖知F(－c，0)，A(0，－b)，漸近線方程為y＝x.由已知得A，B，F(xiàn)三點(diǎn)共線，且AF⊥OB.所以點(diǎn)F到漸近線OB的距離為d＝＝b，|AF|＝，又由△BOF∽△OAF，得|FO|2＝|FB||FA|.即c2＝b，即c4＝b2(c2＋b2)，則c4＝(c2－a2)(2c2－a2)，整理得c4－3a2c2＋a4＝0，即e4－3e2＋1＝0，解得e2＝.所以該雙曲線的離心率e＝＝＝，故選D. 思維升華1.求雙曲線的漸近線的方法 求雙曲線－＝1(a>0，b>0)或－＝1(a>0，b>0)的漸近線方程的方法是令右邊的常數(shù)等于0，即令－＝0，得y＝x；或令－＝0，得y＝x.反之，已知漸近線方程為y＝x，可設(shè)雙曲線方程為－＝λ(a>0，b>0，λ≠0). 2.求雙曲線的離心率 (1)求雙曲線的離心率或其范圍的方法 ①求a，b，c的值，由＝＝1＋直接求e. ②列出含有a，b，c的齊次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后轉(zhuǎn)化成關(guān)于e的方程(或不等式)求解. (2)雙曲線的漸近線的斜率k與離心率e的關(guān)系：k＝＝＝＝. 跟蹤訓(xùn)練3　(1)已知點(diǎn)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線C的右支上，且滿足|F1F2|＝2|OP|，|PF1|≥3|PF2|，則雙曲線C的離心率的取值范圍是(　　) A.(1，＋∞) B. C. D. 答案　C 解析　由|F1F2|＝2|OP|，可得|OP|＝c，故△PF1F2為直角三角形，且PF1⊥PF2，則|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2. 由雙曲線的定義可得|PF1|－|PF2|＝2a，則|PF1|＝2a＋|PF2|，所以(|PF2|＋2a)2＋|PF2|2＝4c2， 整理得(|PF2|＋a)2＝2c2－a2. 又|PF1|≥3|PF2|，即2a＋|PF2|≥3|PF2|，可得|PF2|≤a，所以|PF2|＋a≤2a，即2c2－a2≤4a2，可得c≤a. 由e＝，且e>1，可得10，b>0)的左、右焦點(diǎn)，過F1的直線l與雙曲線的左、右兩支分別交于點(diǎn)B，A，若△ABF2為等邊三角形，則雙曲線的離心率為(　　) A.B.4C.D. 答案　A 解析　因?yàn)椤鰽BF2為等邊三角形， 所以不妨設(shè)|AB|＝|BF2|＝|AF2|＝m， 因?yàn)锳為雙曲線右支上一點(diǎn)， 所以|F1A|－|F2A|＝|F1A|－|AB|＝|F1B|＝2a， 因?yàn)锽為雙曲線左支上一點(diǎn)， 所以|BF2|－|BF1|＝2a，|BF2|＝4a， 由∠ABF2＝60，得∠F1BF2＝120， 在△F1BF2中，由余弦定理得4c2＝4a2＋16a2－22a4acos120， 得c2＝7a2，則e2＝7， 又e>1，所以e＝.故選A. 離心率問題 離心率是橢圓、雙曲線的重要幾何性質(zhì)，是高考重點(diǎn)考查的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，這類問題一般有兩類：一類是根據(jù)一定的條件求離心率；另一類是根據(jù)一定的條件求離心率的取值范圍，無論是哪類問題，其難點(diǎn)都是建立關(guān)于a，b，c的關(guān)系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的b用a，c表示，轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率e的關(guān)系式，這是化解有關(guān)橢圓與雙曲線的離心率問題難點(diǎn)的根本方法. 例1已知橢圓E：＋＝1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F，短軸的一個(gè)端點(diǎn)為M，直線l：3x－4y＝0交橢圓E于A，B兩點(diǎn).若|AF|＋|BF|＝4，點(diǎn)M到直線l的距離不小于，則橢圓E的離心率的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　設(shè)左焦點(diǎn)為F0，連接F0A，F(xiàn)0B， 則四邊形AFBF0為平行四邊形. ∵|AF|＋|BF|＝4， ∴|AF|＋|AF0|＝4，∴a＝2. 設(shè)M(0，b)，則M到直線l的距離d＝≥，∴1≤b<2. 離心率e＝＝＝＝∈， 故選A. 例2　(2018浙江省綠色評(píng)價(jià)聯(lián)盟高考適應(yīng)性考試)已知F1，F(xiàn)2是雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)，P是雙曲線上一點(diǎn)，且PF1⊥PF2，若△PF1F2的內(nèi)切圓半徑為，則該雙曲線的離心率為(　　) A.－1 B. C. D.＋1 答案　C 解析　由對(duì)稱性不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限，如圖， 由題意設(shè)△PF1F2的內(nèi)切圓切三邊于G，D，E三點(diǎn)，則|PG|＝|PE|，|GF1|＝|DF1|，|EF2|＝|DF2|.又|PF1|－|PF2|＝2a，則|GF1|－|EF2|＝|DF1|－|DF2|＝2a，設(shè)D(x0，0)，則x0＋c－(c－x0)＝2a，即x0＝a，所以切點(diǎn)D為雙曲線的右頂點(diǎn)，∴|PF1|＝|GP|＋|GF1|＝＋|DF1|＝＋c＋a＝＋c，|PF2|＝|PE|＋|EF2|＝＋|DF2|＝＋c－a＝c－，在Rt△PF1F2中，由勾股定理得2＋2＝(2c)2，整理得4c2－4ac－5a2＝0，則4e2－4e－5＝0，解得離心率e＝(舍負(fù))，故選C. 1.(2018浙江)雙曲線－y2＝1的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(　　) A.(－，0)，(，0) B.(－2，0)，(2，0) C.(0，－)，(0，) D.(0，－2)，(0，2) 答案　B 解析　∵雙曲線方程為－y2＝1， ∴a2＝3，b2＝1，且雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上， ∴c＝＝＝2， 即該雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(－2，0)，(2，0). 故選B. 2.已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的離心率為2，則該雙曲線的漸近線方程為(　　) A.xy＝0 B.xy＝0 C.xy＝0 D.2xy＝0 答案　C 解析　∵雙曲線的方程是－＝1(a>0，b>0)， ∴雙曲線的漸近線方程為y＝x. 又∵離心率e＝＝2， ∴c＝2a，∴b＝＝a. 由此可得雙曲線的漸近線方程為y＝x＝x， 即xy＝0.故選C. 3.已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)B是虛軸的一個(gè)端點(diǎn)，線段BF與雙曲線C的右支交于點(diǎn)A，若＝2，且||＝4，則雙曲線C的方程為(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 答案　D 解析　不妨設(shè)B(0，b)，由＝2，F(xiàn)(c，0)， 可得A，代入雙曲線C的方程可得－＝1，即＝， ∴＝.① 又||＝＝4，c2＝a2＋b2， ∴a2＋2b2＝16，② 由①②可得a2＝4，b2＝6， ∴雙曲線C的方程為－＝1，故選D. 4.設(shè)F1，F(xiàn)2分別為雙曲線－＝1的左、右焦點(diǎn)，過F1引圓x2＋y2＝9的切線F1P交雙曲線的右支于點(diǎn)P，T為切點(diǎn)，M為線段F1P的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則|MO|－|MT|等于(　　) A.4B.3C.2D.1 答案　D 解析　連接PF2，OT，則有|MO|＝|PF2|＝(|PF1|－2a)＝(|PF1|－6)＝|PF1|－3，|MT|＝|PF1|－|F1T|＝|PF1|－＝|PF1|－4，于是有|MO|－|MT|＝－＝1，故選D. 5.已知雙曲線x2－＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，雙曲線的離心率為e，若雙曲線上存在一點(diǎn)P使＝e，則的值為(　　) A.3B.2C.－3D.－2 答案　B 解析　由題意及正弦定理得＝＝e＝2， ∴|PF1|＝2|PF2|， 由雙曲線的定義知|PF1|－|PF2|＝2， ∴|PF1|＝4，|PF2|＝2， 又|F1F2|＝4， 由余弦定理可知cos∠PF2F1＝＝＝， ∴＝||||cos∠PF2F1 ＝24＝2.故選B. 6.已知雙曲線－＝1的右焦點(diǎn)為F，P為雙曲線左支上一點(diǎn)，點(diǎn)A(0，)，則△APF周長的最小值為(　　) A.4＋ B.4(1＋) C.2(＋) D.＋3 答案　B 解析　由題意知F(，0)，設(shè)左焦點(diǎn)為F0，則F0(－，0)，由題可知△APF的周長l為|PA|＋|PF|＋|AF|，而|PF|＝2a＋|PF0|，∴l(xiāng)＝|PA|＋|PF0|＋2a＋|AF|≥|AF0|＋|AF|＋2a＝＋＋22＝4＋4＝4(＋1)，當(dāng)且僅當(dāng)A，F(xiàn)0，P三點(diǎn)共線時(shí)取得“＝”，故選B. 7.已知離心率為的雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，M是雙曲線C的一條漸近線上的點(diǎn)，且OM⊥MF2，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若S△OMF2＝16，則雙曲線的實(shí)軸長是(　　) A.32B.16C.84D.4 答案　B 解析　由題意知F2(c，0)，不妨令點(diǎn)M在漸近線y＝x上，由題意可知|F2M|＝＝b，所以|OM|＝＝a.由＝16，可得ab＝16，即ab＝32，又a2＋b2＝c2，＝，所以a＝8，b＝4，c＝4，所以雙曲線C的實(shí)軸長為16.故選B. 8.已知雙曲線C1：－＝1(a>0，b>0)，圓C2：x2＋y2－2ax＋a2＝0，若雙曲線C1的一條漸近線與圓C2有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則雙曲線C1的離心率的范圍是(　　) A. B. C.(1，2) D.(2，＋∞) 答案　A 解析　由雙曲線方程可得其漸近線方程為y＝x，即bxay＝0，圓C2：x2＋y2－2ax＋a2＝0可化為(x－a)2＋y2＝a2，圓心C2的坐標(biāo)為(a，0)，半徑r＝a，由雙曲線C1的一條漸近線與圓C2有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，得2b，即c2>4b2，又知b2＝c2－a2，所以c2>4(c2－a2)，即c21，所以雙曲線C1的離心率的取值范圍為，故選A. 9.雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，實(shí)軸長為4，離心率為，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為__________，漸近線方程為____________. 答案?。?　y＝x 解析　由2a＝4，＝，得a＝2，c＝2，b＝2， 所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1，漸近線方程為y＝x. 10.已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線x2－＝1(b>0)的左、右焦點(diǎn)，A是雙曲線上在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，若|AF2|＝2且∠F1AF2＝45，延長AF2交雙曲線的右支于點(diǎn)B，則△F1AB的面積等于________. 答案　4 解析　由題意知a＝1， 由雙曲線定義知|AF1|－|AF2|＝2a＝2，|BF1|－|BF2|＝2a＝2， ∴|AF1|＝2＋|AF2|＝4，|BF1|＝2＋|BF2|. 由題意知|AB|＝|AF2|＋|BF2|＝2＋|BF2|， ∴|BA|＝|BF1|，∵△BAF1為等腰三角形，∠F1AF2＝45，∴∠ABF1＝90， ∴△BAF1為等腰直角三角形. ∴|BA|＝|BF1|＝|AF1|＝4＝2， ∴＝|BA||BF1|＝22＝4. 11.已知焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線＋＝1，它的焦點(diǎn)到漸近線的距離的取值范圍是__________. 答案　(0，2) 解析　對(duì)于焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線－＝1(a>0，b>0)，它的焦點(diǎn)(c，0)到漸近線bx－ay＝0的距離為＝b.雙曲線＋＝1，即－＝1，其焦點(diǎn)在x軸上，則解得40，b>0)的右焦點(diǎn)為F，左頂點(diǎn)為A，以F為圓心，F(xiàn)A為半徑的圓交C的右支于P，Q兩點(diǎn)，△APQ的一個(gè)內(nèi)角為60，求雙曲線C的離心率. 解　設(shè)左焦點(diǎn)為F1，由于雙曲線和圓都關(guān)于x軸對(duì)稱， 又△APQ的一個(gè)內(nèi)角為60， ∴∠PAF＝30，∠PFA＝120，|AF|＝|PF|＝c＋a， ∴|PF1|＝3a＋c，在△PFF1中，由余弦定理得 |PF1|2＝|PF|2＋|F1F|2－2|PF||F1F|cos∠F1FP， 即3c2－ac－4a2＝0，即3e2－e－4＝0，∴e＝(舍負(fù)). 13.(2018湖州模擬)已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F2的直線交雙曲線的右支于A，B兩點(diǎn)，∠AF1B＝90，△AF1B的內(nèi)切圓的圓心的縱坐標(biāo)為a，則雙曲線的離心率為(　　) A.2B.3C.D. 答案　A 解析　設(shè)內(nèi)切圓的圓心M(x，y)，圓M分別切AF1，BF1，AB于S，T，Q， 如圖，連接MS，MT，MF1，MQ， 則|F1T|＝|F1S|，故四邊形SF1TM是正方形，邊長為圓M的半徑.由|AS|＝|AQ|，|BT|＝|BQ|， 得|AF1|－|AQ|＝|SF1|＝|TF1|＝|BF1|－|BQ|， 又|AF1|－|AF2|＝|BF1|－|BF2|， ∴Q與F2重合， ∴|SF1|＝|AF1|－|AF2|＝2a， ∴|MF2|＝2a，即(x－c)2＋y2＝4a2，① |MF1|＝2a，(x＋c)2＋y2＝8a2，② 聯(lián)立①②解得x＝，y2＝4a2－，又y＝a， 故＝4a2－，得e＝＝2. 14.如圖，已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線x2－＝1(b>0)的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F1的直線與圓x2＋y2＝1相切于點(diǎn)T，與雙曲線的左、右兩支分別交于A，B，若|F2B|＝|AB|，求b的值. 解　方法一　因?yàn)閨F2B|＝|AB|，所以結(jié)合雙曲線的定義， 得|AF1|＝|BF1|－|AB|＝|BF1|－|BF2|＝2， 連接OT，在Rt△OTF1中，|OT|＝1，|OF1|＝c，|TF1|＝b， 所以cos∠F2F1A＝，sin∠F2F1A＝， 所以A，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入雙曲線得－＝1，化簡(jiǎn)得b6－4b5＋5b4－4b3－4＝0，得(b2－2b－2)(b4－2b3＋3b2－2b＋2)＝0，而b4－2b3＋3b2－2b＋2＝b2(b－1)2＋b2＋1＋(b－1)2>0，故b2－2b－2＝0，解得b＝1(負(fù)值舍去)，即b＝1＋. 方法二　因?yàn)閨F2B|＝|AB|，所以結(jié)合雙曲線的定義，得|AF1|＝|BF1|－|AB|＝|BF1|－|BF2|＝2，連接AF2，則|AF2|＝2＋|AF1|＝4. 連接OT，在Rt△OTF1中，|OT|＝1，|OF1|＝c，|TF1|＝b， 所以cos∠F2F1A＝. 在△AF1F2中，由余弦定理得 cos∠F2F1A＝＝， 所以c2－3＝2b，又在雙曲線中，c2＝1＋b2， 所以b2－2b－2＝0，解得b＝1(負(fù)值舍去)， 即b＝1＋. 15.(2018浙江省聯(lián)盟學(xué)校聯(lián)考)已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，直線l過F2且交雙曲線的右支于A，B兩點(diǎn)，記△AF1F2的內(nèi)切圓半徑為r1，△BF1F2的內(nèi)切圓半徑為r2，若r1∶r2＝3∶1，則直線l的斜率為(　　) A.1B.C.D.2 答案　C 解析　方法一　當(dāng)A在第一象限時(shí)，如圖1， 設(shè)△AF1F2的內(nèi)切圓⊙O1分別切AF1，F(xiàn)1F2，F(xiàn)2A于點(diǎn)Q，P，N， 則|AQ|＝|AN|，|F1Q|＝|F1P|，|F2P|＝|F2N|， 又|AF1|－|AF2|＝2a， 即(|AQ|＋|F1Q|)－(|AN|＋|F2N|)＝2a， ∴|F1Q|－|F2N|＝2a， ∴|F1F2|－|F2P|－|F2N|＝2a，即2c－2|F2P|＝2a， ∴|F2P|＝c－a， ∴P為雙曲線的右頂點(diǎn)， 同理，△BF1F2的內(nèi)切圓⊙O2也切F1F2于雙曲線的右頂點(diǎn)， 連接O1P，O2P，則O1，P，O2三點(diǎn)共線，且O1O2⊥F1F2. 連接O1F2，O2F2，又O1F2平分∠F1F2A，O2F2平分∠F1F2B， ∴∠O1F2O2＝90， ∴Rt△O1F2P∽R(shí)t△F2O2P∽R(shí)t△O1O2F2， ∴|O1F2|2＝|O1P||O1O2|，|O2F2|2＝|O2P||O1O2|， ∴＝＝＝3， 則tan∠O2O1F2＝＝， ∴∠O2O1F2＝30，則∠O1F2P＝60，∴∠AF2P＝120， ∴kAB＝.由對(duì)稱性可得A在第四象限時(shí)，kAB＝－. 綜上，直線l的斜率為. 方法二　當(dāng)A在第一象限時(shí)，如圖2， 設(shè)△AF1F2的內(nèi)切圓⊙O1分別切AF1，F(xiàn)1F2，F(xiàn)2A于點(diǎn)Q，P，N，則|AQ|＝|AN|，|F1Q|＝|F1P|，|F2P|＝|F2N|，又|AF1|－|AF2|＝2a，即(|AQ|＋|F1Q|)－(|AN|＋|F2N|)＝2a，∴|F1Q|－|F2N|＝2a， ∴|F1F2|－|F2P|－|F2N|＝2a，即2c－2|F2P|＝2a，∴|F2P|＝c－a，∴P為雙曲線的右頂點(diǎn)，同理，△BF1F2的內(nèi)切圓⊙O2也切F1F2于雙曲線的右頂點(diǎn)，連接O1P，O2P，則O1，P，O2三點(diǎn)共線，且O1O2⊥F1F2.設(shè)⊙O2切BF2于點(diǎn)H，連接O1N，O2H，則在直角梯形O2HNO1中，|O2H|＝r2，|O1N|＝r1＝3r2，|O1O2|＝r1＋r2＝4r2，作O2T⊥O1N于點(diǎn)T，則|O1T|＝r1－r2＝2r2，故在Rt△O1O2T中，∠O2O1T＝60，∴∠AF2P＝120，∴kAB＝. 由對(duì)稱性可得A在第四象限時(shí)，kAB＝－. 綜上，直線l的斜率為. 16.(2018浙江省杭州地區(qū)四校聯(lián)考)已知F1，F(xiàn)2是雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P(在第一象限)在雙曲線的右支上，直線PF2的傾斜角為120，△PF1F2的面積S＝(a2＋b2)，求雙曲線C的離心率. 解　方法一　設(shè)P(x0，y0)，易知|F1F2|＝2c，c＝， 所以△PF1F2的面積S＝2c|y0|＝c2， 解得|y0|＝c. 因?yàn)橹本€PF2的傾斜角為120，所以|PF2|＝＝c. 在△PF1F2中，由余弦定理得|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2－2|PF2||F1F2|cos∠PF2F1＝c2＋(2c)2－2c2ccos60＝3c2，所以|PF1|＝c. 由雙曲線的定義可得2a＝|PF1|－|PF2|＝c－c＝(－1)c， 所以雙曲線的離心率e＝＝＝＋1. 方法二　設(shè)P(x0，y0)，易知|F1F2|＝2c，c＝， 所以△PF1F2的面積S＝2c|y0|＝c2， 解得|y0|＝c. 因?yàn)橹本€PF2的傾斜角為120， 所以x0＝c－＝，所以P. 由點(diǎn)P在雙曲線上可得－＝1， 整理得c4－8c2a2＋4a4＝0，即e4－8e2＋4＝0， 解得e2＝4＋2或e2＝4－2. 因?yàn)閑>1，所以e2＝4＋2，所以e＝＝＋1.