（浙江專用）2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)精準(zhǔn)提分 第二篇 重點(diǎn)專題分層練中高檔題得高分 第16練 立體幾何試題.docx

第16練立體幾何明晰考情1.命題角度：高考中考查線面的位置關(guān)系和線面角，更多體現(xiàn)傳統(tǒng)方法.2.題目難度：中檔難度考點(diǎn)一空間中的平行、垂直關(guān)系方法技巧(1)平行關(guān)系的基礎(chǔ)是線線平行，比較常見的是利用三角形中位線構(gòu)造平行關(guān)系，利用平行四邊形構(gòu)造平行關(guān)系(2)證明線線垂直的常用方法利用特殊平面圖形的性質(zhì)，如利用直角三角形、矩形、菱形、等腰三角形等得到線線垂直；利用勾股定理的逆定理；利用線面垂直的性質(zhì)1如圖，在六面體ABCDE中，平面DBC平面ABC，AE平面ABC.(1)求證：AE平面DBC；(2)若ABBC，BDCD，求證：ADDC.證明(1)過點(diǎn)D作DOBC，O為垂足又平面DBC平面ABC，平面DBC平面ABCBC，DO平面DBC，DO平面ABC.又AE平面ABC，AEDO.又AE平面DBC，DO平面DBC，故AE平面DBC.(2)由(1)知，DO平面ABC，AB平面ABC，DOAB.又ABBC，且DOBCO，DO，BC平面DBC，AB平面DBC.DC平面DBC，ABDC.又BDCD，ABDBB，AB，DB平面ABD，DC平面ABD.又AD平面ABD，ADDC.2(2018江蘇)如圖，在平行六面體ABCDA1B1C1D1中， AA1AB，AB1B1C1.求證：(1)AB平面A1B1C；(2)平面ABB1A1平面A1BC.證明(1)在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，ABA1B1.因?yàn)锳B平面A1B1C，A1B1平面A1B1C，所以AB平面A1B1C.(2)在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，四邊形ABB1A1為平行四邊形又因?yàn)锳A1AB，所以四邊形ABB1A1為菱形，因此AB1A1B.又因?yàn)锳B1B1C1，BCB1C1，所以AB1BC.又因?yàn)锳1BBCB，A1B，BC平面A1BC，所以AB1平面A1BC.因?yàn)锳B1平面ABB1A1，所以平面ABB1A1平面A1BC.3(2018全國)如圖，在三棱錐PABC中，ABBC2，PAPBPCAC4，O為AC的中點(diǎn)(1)證明：PO平面ABC；(2)若點(diǎn)M在棱BC上，且MC2MB，求點(diǎn)C到平面POM的距離(1)證明因?yàn)镻APCAC4，O為AC的中點(diǎn)，所以O(shè)PAC，且OP2.如圖，連接OB.因?yàn)锳BBCAC，所以ABC為等腰直角三角形，所以O(shè)BAC，OBAC2.由OP2OB2PB2知POOB.因?yàn)镺POB，OPAC，OBACO，OB，AC平面ABC，所以PO平面ABC.(2)解作CHOM，垂足為H，又由(1)可得OPCH，因?yàn)镺MOPO，OM，OP平面POM，所以CH平面POM.故CH的長為點(diǎn)C到平面POM的距離由題意可知OCAC2，CMBC，ACB45，所以在OMC中，由余弦定理可得OM，CH.所以點(diǎn)C到平面POM的距離為.4如圖所示，三棱錐PABC中，PA平面ABC，PA1，AB1，AC2，BAC60.(1)求三棱錐PABC的體積；(2)證明：在線段PC上存在點(diǎn)M，使得ACBM，并求的值解(1)AB1，AC2，BAC60，SABCABACsin60.由PA平面ABC可知，PA是三棱錐PABC的高，且PA1，三棱錐PABC的體積VSABCPA.(2)在平面ABC內(nèi)，過點(diǎn)B作BNAC，垂足為N，在平面PAC內(nèi)，過點(diǎn)N作MNPA交PC于點(diǎn)M，連接BM.PA平面ABC，AC平面ABC，PAAC，MNAC.又BNAC，BNMNN，BN，MN平面BMN，AC平面MBN.又BM平面MBN，ACBM.在RtBAN中，ANABcosBAC，從而NCACAN，由MNPA，得.考點(diǎn)二空間角的求解要點(diǎn)重組設(shè)直線l，m的方向向量分別為a(a1，b1，c1)，b(a2，b2，c2)平面，的法向量分別為u(a3，b3，c3)，v(a4，b4，c4)(以下相同)(1)線線角設(shè)l，m所成的角為，則cos.(2)線面角設(shè)直線l與平面所成的角為，則sin|cosa，u|.(3)二面角設(shè)l的平面角為，則|cos|cosu，v|.方法技巧求空間角的兩種方法(1)按定義作出角，然后利用圖形計(jì)算(2)利用空間向量，計(jì)算直線的方向向量和平面的法向量，通過向量的夾角計(jì)算5(2018諸暨模擬)如圖，在四棱錐PABCD中，平面PAD平面ABCD，PAD是邊長為2的等邊三角形，底面ABCD是直角梯形，BADCDA，AB2CD2，E是CD的中點(diǎn)(1)證明：AEPB；(2)設(shè)F是棱PB上的點(diǎn)，EF平面PAD，求EF與平面PAB所成角的正弦值(1)證明取AD的中點(diǎn)G，連接PG，BG，平面PAD平面ABCD，PGAD，平面PAD平面ABCDAD，PG平面PAD，PG平面ABCD，AEPG.又tanDAEtanABG，AEBG.又PGBGG，PG，BG平面PBG，AE平面PBG，AEPB.(2)解作FHAB交PA于點(diǎn)H，連接DH，EF平面PAD，平面FHDE平面PADDH，EFDH.四邊形FHDE為平行四邊形HFDEAB，即H為PA的一個(gè)四等分點(diǎn)又ABAD，平面ABCD平面PAD，平面ABCD平面PADAD，AB平面ABCD，AB平面PAD，作DKPA于點(diǎn)K，ABDK，DKPA，PAABA，PA，AB平面PAB，DK平面PAB，DHK為所求線面角，sinDHK.6在三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)面AA1B1B是邊長為2的正方形，點(diǎn)C在平面AA1B1B上的射影H恰好為A1B的中點(diǎn)，且CH，設(shè)D為CC1的中點(diǎn)(1)求證：CC1平面A1B1D；(2)求DH與平面AA1C1C所成角的正弦值方法一(幾何法)(1)證明因?yàn)镃C1AA1且在正方形AA1B1B中AA1A1B1，所以CC1A1B1，取A1B1的中點(diǎn)E，連接DE，HE，則HEBB1CC1且HEBB1CC1.又D為CC1的中點(diǎn)，所以HECD且HECD，所以四邊形HEDC為平行四邊形，因此CHDE，又CH平面AA1B1B，所以CHHE，DEHE，所以DECC1，又A1B1DEE，A1B1，DE平面A1B1D，所以CC1平面A1B1D.(2)解取AA1的中點(diǎn)F，連接CF，作HKCF于點(diǎn)K，因?yàn)镃HDE，F(xiàn)HA1B1，CHFHH，DEA1B1E，所以平面CFH平面A1B1D，由(1)得CC1平面A1B1D，所以CC1平面CFH，又HK平面CFH，所以HKCC1，又HKCF，CFCC1C，CF，CC1平面AA1C1C，所以HK平面AA1C1C，所以DH與平面AA1C1C所成的角為HDK.在RtCFH中，CF2，KH，在RtDHK中，由于DH2，sinHDK，故DH與平面AA1C1C所成角的正弦值為.方法二(向量法)(1)證明如圖，以H為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則C(0,0，)，C1(，)，A1(，0,0)，B1(0，0)，D，所以(，0)，.所以0，0，因此CC1平面A1B1D.(2)解設(shè)平面AA1C1C的法向量為n(1，x，y)，由于(，0)，(，0，)，則nx0，ny0，得x1，y，所以n.又，設(shè)為DH與平面AA1C1C所成的角，所以sin，故DH與平面AA1C1C所成角的正弦值為.7(2018浙江省杭州市第二中學(xué)模擬)如圖，在四邊形ABCD中，ABCD，ABD30，AB2CD2AD2，DE平面ABCD，EFBD，且BD2EF.(1)求證：平面ADE平面BDEF；(2)若二面角CBFD的大小為60，求CF與平面ABCD所成角的正弦值(1)證明在ABD中，ABD30，由AD2AB2BD22ABBDcos30，解得BD，所以AD2BD2AB2，根據(jù)勾股定理得ADB90，ADBD.又因?yàn)镈E平面ABCD，AD平面ABCD，所以ADDE.又因?yàn)锽DDED，BD，DE平面BDEF，所以AD平面BDEF，又AD平面ADE，所以平面ADE平面BDEF，(2)解方法一如圖，由(1)可得ADB90，ABD30，則BDC30，則BCD為銳角為30的等腰三角形CDCB1, 則CG.過點(diǎn)C作CHDA，交DB，AB于點(diǎn)G，H，則點(diǎn)G為點(diǎn)F在平面ABCD上的投影連接FG，則CGBD，DE平面ABCD，則CG平面BDEF.過點(diǎn)G作GIBF于點(diǎn)I，連接HI，CI，則BF平面GCI，即GIC為二面角CBFD的平面角，則GIC60.則tan60，CG，則GI.在直角梯形BDEF中，G為BD的中點(diǎn)，BD，GIBF，GI，設(shè)DEx，則GFx，SBGFBGGFBFGI，則DE.tanFCG，則sinFCG，即CF與平面ABCD所成角的正弦值為.方法二由題意可知DA，DB，DE兩兩垂直，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DB，DE所在直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz.設(shè)DEh，則D(0,0,0)，B(0，0)，C，F(xiàn).，設(shè)平面BCF的法向量為m(x，y，z)，則所以取x，所以m，取平面BDEF的法向量為n(1,0,0)，由|cosm，n|cos60，解得h，則DE，又，則|，設(shè)CF與平面ABCD所成的角為，則sin.故直線CF與平面ABCD所成角的正弦值為.8.如圖，在四棱錐PABCD，底面ABCD為梯形，ADBC，ABBCCD1，DA2，DP平面ABP，O，M分別是AD，PB的中點(diǎn)(1)求證：PD平面OCM；(2)若AP與平面PBD所成的角為60，求線段PB的長(1)證明連接OB，設(shè)BD與OC的交點(diǎn)為N，連接MN.因?yàn)镺為AD的中點(diǎn)，AD2，所以O(shè)AOD1BC.又因?yàn)锳DBC，所以四邊形OBCD為平行四邊形，所以N為BD的中點(diǎn)，又因?yàn)镸為PB的中點(diǎn)，所以MNPD.又因?yàn)镸N平面OCM，PD平面OCM，所以PD平面OCM.(2)解由四邊形OBCD為平行四邊形，知OBCD1，所以AOB為等邊三角形，所以BAD60所以BD，即AB2BD2AD2，即ABBD.因?yàn)镈P平面ABP，所以ABPD.又因?yàn)锽DPDD，BD，PD平面BDP，所以AB平面BDP，所以APB為AP與平面PBD所成的角，即APB60，所以在RtABP中，可得PB.例(15分)如圖，已知在矩形ABCD中，AB4，AD3，現(xiàn)將DAC沿著對(duì)角線AC向上翻折到PAC的位置，此時(shí)PAPB.(1)求證：平面PAB平面ABC；(2)求直線AB與平面PAC所成角的正弦值審題路線圖(1)(2)方法一(作角)方法二(向量法)規(guī)范解答評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)(1)證明因?yàn)镻APB，PAPC，PBPCP，所以PA平面PBC，2分所以PABC，又BCAB，ABAPA，所以BC平面PAB，4分又BC平面ABC，所以平面PAB平面ABC.6分(2)解方法一如圖，作BDPC于點(diǎn)D，連接AD，由(1)知，PA平面PBC，所以PABD，而BDPC，PAPCP，PA，PC平面PAC，所以BD平面PAC，所以BAD為直線AB與平面PAC所成的角9分在RtPBC中，BC3，PC4，PB，所以BD，又AB4，在RtADB中，sinBAD，13分所以直線AB與平面PAC所成角的正弦值為.15分方法二由(1)知平面PAB平面ABC，所以在平面PAB內(nèi)，過點(diǎn)P作PEAB于點(diǎn)E，則PE平面ABC，如圖，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系(z軸與直線PE平行)，在RtPBC中，BC3，PC4，PB，在RtAPB中，AP3，AB4，PE，BE，可知A(0，4,0)，B(0,0,0)，C(3,0,0)，P，(3,4,0)，10分則易得平面PAC的一個(gè)法向量為m，12分(0,4,0)，所以cos，m，故直線AB與平面PAC所成角的正弦值為.15分構(gòu)建答題模板方法一第一步找垂直：利用圖形中的線線垂直推證線面垂直和面面垂直第二步作角：利用定義結(jié)合垂直關(guān)系作出所求角第三步計(jì)算：將所求角放在某三角形中，計(jì)算方法二第一步找垂直：利用圖形中的線線垂直推證線面垂直和面面垂直，同時(shí)為建系作準(zhǔn)備第二步寫坐標(biāo)：建立空間直角坐標(biāo)系，寫出特殊點(diǎn)的坐標(biāo)第三步求向量：求直線的方向向量或平面的法向量第四步求夾角：計(jì)算向量的夾角，得到所求的線面角或二面角1在四棱錐PABCD中，側(cè)面PAD底面ABCD，底面ABCD為梯形，ABCD，ABCBCD90，BCCD2.(1)證明：BDPA；(2)若PAD為正三角形，求直線PA與平面PBD所成角的余弦值(1)證明在直角梯形ABCD中，因?yàn)锳D2，BD2，AB4，所以AD2BD2AB2，所以BDAD.又側(cè)面PAD底面ABCD，側(cè)面PAD底面ABCDAD，BD底面ABCD，所以BD平面PAD，又PA平面PAD，所以BDPA.(2)解方法一如圖，取PD的中點(diǎn)M，連接AM，BM.因?yàn)镻AD為正三角形，所以AMPD.又由(1)知，BD平面PAD，所以平面PBD平面PAD，又平面PAD平面PBDPD，AM平面PAD，所以AM平面PBD，故APM即為直線PA與平面PBD所成的角故cosAPM，即直線PA與平面PBD所成角的余弦值為.方法二在平面PAD內(nèi)，過點(diǎn)P作PQAD，垂足為Q，取AB的中點(diǎn)N，連接QN，易知，PQ，AQ，QN兩兩垂直以Q為坐標(biāo)原點(diǎn)，QA，QN，QP所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示則P(0,0，)，A(，0,0)，B(，2，0)，D(，0,0)設(shè)n(x，y，z)為平面PBD的法向量由n0，n0，且(0,2，0)，(，0，)，得取z1，則n( ，0，1)，又(，0，)，所以cosn，因此直線PA與平面PBD所成角的余弦值為.2設(shè)平面ABCD平面ABEF，ABCD，ABEF，BAFABC90，BCCDAFEF1，AB2.(1)證明：CE平面ADF；(2)求直線DF與平面BDE所成角的正弦值(1)證明ABCD, ABEF，CDEF.又CDEF，四邊形CDFE是平行四邊形CEDF，又CE平面ADF，DF平面ADF，CE平面ADF.(2)解取AB的中點(diǎn)G，連接CG交BD于點(diǎn)O，連接EO，EG.CDEF，DF與平面BDE所成的角等于CE與平面BDE所成的角ABAF，平面ABCD平面ABEF，AF平面ABCD.又EGAF，EG平面ABCD，EGBD.連接DG，在正方形BCDG中，BDCG，故BD平面ECG.平面BDE平面ECG.在平面CEO中，作CHEO，交直線EO的延長線于點(diǎn)H，得CH平面BDE.CEH是CE與平面BDE所成的角過點(diǎn)G作GQEO.OCOG，CHGQ.CE，sinCEH.3(2018寧波模擬)如圖，在四棱錐PABCD中，PAD為正三角形，四邊形ABCD為直角梯形，CDAB，BCAB，平面PAD平面ABCD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AD，CP的中點(diǎn)，ADAB2CD2.(1)證明：直線EF平面PAB；(2)求直線EF與平面PBC所成角的正弦值(1)證明設(shè)BC的中點(diǎn)為M，連接EM，F(xiàn)M，易知EMAB，F(xiàn)MPB，因?yàn)镋MAB，EM平面PAB，AB平面PAB，所以EM平面PAB.同理FM平面PAB.又EMFMM，EM平面FEM，F(xiàn)M平面FEM，所以平面FEM平面PAB，又EF平面FEM，所以直線EF平面PAB.(2)解連接PE，PM，因?yàn)槠矫鍼AD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，且PEAD，PE平面PAD，所以PE平面ABCD，PEBC.又因?yàn)镋MBC，PEEME，所以BC平面PEM，所以平面PBC平面PEM.過點(diǎn)E作EHPM于點(diǎn)H，連接FH，由平面PBC平面PEM可知，EH平面PBC.所以直線EF與平面PBC所成的角為EFH.易求得EFPC，EH，所以sinEFH.4如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，E為AB的中點(diǎn)，將ADE沿直線DE折起至ADE的位置，使得平面ADE平面BCDE，F(xiàn)為線段AC的中點(diǎn)(1)求證：BF平面ADE；(2)求直線AB與平面ADE所成角的正切值(1)證明取AD的中點(diǎn)M，連接FM，EM，F(xiàn)為AC的中點(diǎn)，F(xiàn)MCD且FMCD，又E為AB的中點(diǎn)，且ABCD，且ABCD，BECD且BECD，BEFM且BEFM，四邊形BFME為平行四邊形BFEM，又EM平面ADE，BF平面ADE，BF平面ADE.(2)解在平面BCDE內(nèi)作BNDE，交DE的延長線于點(diǎn)N，平面ADE平面BCDE，平面ADE平面BCDEDE，BN平面BCDE，BN平面ADE，連接AN，則BAN為AB與平面ADE所成的角易知BNEDAE，又BE1，BN，EN.在ADE中，作APDE，垂足為P，AE1，AD2，AP，EP.在RtAPN中，PNPEEN，AP，AN.在RtABN中，tanBAN，直線AB與平面ADE所成角的正切值為.