高考數(shù)學(xué) 第八章 第一節(jié) 直線的傾斜角與斜率、直線的方程課件 理 新人教A版

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1、第八章 平面解析幾何第一節(jié) 直線的傾斜角與斜率、直線的方程1.1.表示直線方向的兩個量表示直線方向的兩個量(1)(1)直線的傾斜角直線的傾斜角定義：定義：相交相交x x軸軸平行平行重合重合0 0o o范圍：范圍：0 0，).).(2)(2)直線的斜率直線的斜率定義：若直線的傾斜角定義：若直線的傾斜角不是不是9090, ,則其斜率則其斜率k= _;k= _;計算公式：若由計算公式：若由A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2) )確定的直線不垂直于確定的直線不垂直于x x軸，則軸，則k= .k= .2.2.兩條直線的平行、垂直與其斜率大小間的關(guān)系兩條直線的平行、垂

2、直與其斜率大小間的關(guān)系(1)(1)兩條直線平行兩條直線平行tan tan (x(x1 1xx2 2) )2121yyxx對于兩條不重合的直線對于兩條不重合的直線l1 1, ,l2 2, ,其斜率分別為其斜率分別為k k1 1,k,k2 2，則有，則有l(wèi)1 1l2 2_；當直線當直線l1 1, ,l2 2的斜率都不存在時，的斜率都不存在時，l1 1與與l2 2的關(guān)系為的關(guān)系為_._.(2)(2)兩條直線垂直兩條直線垂直如果兩條直線如果兩條直線l1 1, ,l2 2的斜率存在，設(shè)為的斜率存在，設(shè)為k k1 1,k,k2 2，則，則l1 1l2 2_；如果如果l1 1, ,l2 2中有一條直線的斜率

3、不存在，另一條直線的斜率為中有一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率為0 0時，時，l1 1與與l2 2的關(guān)系為的關(guān)系為_._.k k1 1=k=k2 2平行平行k k1 1k k2 2=-1=-1垂直垂直3.3.直線方程的五種形式直線方程的五種形式名稱名稱已知條件已知條件方程方程適用范圍適用范圍點斜式點斜式斜率斜率k k與點與點(x(x1 1,y,y1 1) )_不能表示直線不能表示直線x=xx=x1 1 斜截式斜截式斜率斜率k k與直線與直線在在y y軸上的截軸上的截距距b b_不能表示垂直于不能表示垂直于x x軸的直線軸的直線 兩點式兩點式兩點兩點(x(x1 1,y,y1 1) )，(x

4、(x2 2,y,y2 2) )_不能表示直線不能表示直線x=xx=x1 1(x(x1 1=x=x2 2) )和直和直線線y=yy=y1 1(y(y1 1=y=y2 2) ) 112121yyxxyyxxy-yy-y1 1=k(x-x=k(x-x1 1) )y=kx+by=kx+b(x(x1 1xx2 2,y,y1 1yy2 2) )名稱名稱已知條件已知條件方程方程適用范圍適用范圍截距式截距式直線在直線在x x軸、軸、y y軸上的截距分軸上的截距分別為別為a a，b b _不能表示垂直于不能表示垂直于坐標軸和過原點坐標軸和過原點的直線的直線一般式一般式_平面直角坐標系平面直角坐標系內(nèi)的直線都適用

5、內(nèi)的直線都適用xy1ab(a0,b0)(a0,b0)Ax+By+CAx+By+C=0=0(A(A2 2+B+B2 20 )0 )判斷下面結(jié)論是否正確判斷下面結(jié)論是否正確( (請在括號中打請在括號中打“”或或“”).”).(1)(1)根據(jù)直線的傾斜角的大小不能確定直線的位置根據(jù)直線的傾斜角的大小不能確定直線的位置.( ).( )(2)(2)坐標平面內(nèi)的任何一條直線均有傾斜角與斜率坐標平面內(nèi)的任何一條直線均有傾斜角與斜率.( ).( )(3)(3)直線傾斜角直線傾斜角的集合的集合|0|0180180 與直線集合建立與直線集合建立了一一對應(yīng)關(guān)系了一一對應(yīng)關(guān)系.( ).( )(4)(4)當直線當直線l

6、1 1和和l2 2斜率都存在時，一定有斜率都存在時，一定有k k1 1=k=k2 2l1 1l2 2.( ).( )(5)(5)如果兩條直線如果兩條直線l1 1與與l2 2垂直，則它們的斜率之積一定等于垂直，則它們的斜率之積一定等于-1.( )-1.( )(6)(6)平面直角坐標系下，任何直線都有點斜式方程平面直角坐標系下，任何直線都有點斜式方程.( ).( )【解析【解析】(1)(1)正確正確. .直線的傾斜角僅反映了直線相對于直線的傾斜角僅反映了直線相對于x x軸的傾軸的傾斜程度，不能確定直線的位置斜程度，不能確定直線的位置. .(2)(2)錯誤錯誤. .當傾斜角當傾斜角=90=90時，其

7、斜率不存在時，其斜率不存在. .(3)(3)錯誤錯誤. .傾斜角是傾斜角是0 0的直線有無數(shù)條的直線有無數(shù)條. .(4)(4)錯誤錯誤. .當當k k1 1=k=k2 2時，時，l1 1與與l2 2可能重合可能重合. .(5)(5)錯誤錯誤. .如果兩條直線如果兩條直線l1 1, ,l2 2中的一條與中的一條與x x軸平行軸平行( (或重合或重合) )，另，另一條與一條與x x軸垂直軸垂直( (也即與也即與y y軸平行或重合軸平行或重合) )，即兩條直線中一條的，即兩條直線中一條的傾斜角為傾斜角為0 0，另一條的傾斜角為，另一條的傾斜角為9090，從而一條直線的斜率，從而一條直線的斜率為為0

8、0，另一條直線的斜率不存在，但這兩條直線互相垂直，另一條直線的斜率不存在，但這兩條直線互相垂直. .(6)(6)錯誤錯誤. .當直線與當直線與x x軸垂直時軸垂直時( (沒有斜率沒有斜率) )，不能用點斜式方程，不能用點斜式方程表示表示. .答案答案: :(1)(1)(2)(2) (3)(3) (4)(4) (5)(5) (6)(6)1.1.直線直線l經(jīng)過原點和點經(jīng)過原點和點(-1(-1，-1)-1)，則它的傾斜角，則它的傾斜角是是( )( )(A)45(A)45(B)135(B)135(C)135(C)135或或225225(D)0(D)0【解析【解析】選選A.A.斜率斜率k= =1.k=

9、=1.又又0 0180180, ,傾斜角傾斜角為為4545. .1 01 0 2.2.某直線某直線l的方程為的方程為9x-4y=369x-4y=36，則，則l在在y y軸上的截距為軸上的截距為( )( )(A)9(A)9(B)-9(B)-9(C)-4(C)-4(D) (D) 【解析【解析】選選B.B.l的方程的方程9x-4y=369x-4y=36化為斜截式為化為斜截式為y= x-9y= x-9，其截距，其截距為為-9.-9.49943.3.已知直線已知直線l1 1過點過點A(-1,1)A(-1,1)和和B(-2,-1),B(-2,-1),直線直線l2 2過點過點C(1,0)C(1,0)和和D(

10、0,a),D(0,a),若若l1 1l2 2, ,則則a=_.a=_.【解析【解析】l1 1與與l2 2的斜率分別為的斜率分別為k k1 1= =2= =2，k k2 2= =-a,= =-a,由由l1 1l2 2可知：可知：a=-2.a=-2.答案答案: :-2-21 12 1 a00 14.4.直線直線l的傾斜角為的傾斜角為3030，若直線，若直線l1 1l，則直線，則直線l1 1的斜率的斜率k k1 1=_=_；若直線；若直線l2 2l, ,則直線則直線l2 2的斜率的斜率k k2 2=_.=_.【解析【解析】由直線斜率的定義知，直線由直線斜率的定義知，直線l的斜率的斜率k=tan 30

11、k=tan 30= .= .l1 1l，k k1 1=k= .=k= .l2 2l,k,k2 2k=-1,kk=-1,k2 2= = .= = .答案答案: : 33331k33335.5.過點過點M(3M(3，-4)-4)且在兩坐標軸上的截距互為相反數(shù)的直線方程且在兩坐標軸上的截距互為相反數(shù)的直線方程為為_._.【解析【解析】當在兩坐標軸上截距均為當在兩坐標軸上截距均為0 0時，設(shè)方程為時，設(shè)方程為y=kxy=kx，又過又過M(3,-4)M(3,-4)，有有-4=3k,-4=3k,得得k= ,k= ,直線的方程為直線的方程為y= .y= .當在兩坐標軸上的截距均不為當在兩坐標軸上的截距均不為

12、0 0時，設(shè)直線的方程為時，設(shè)直線的方程為 (a0)(a0)，由過點由過點M(3M(3，-4)-4)得得3+4=a,3+4=a,得得a=7,a=7,方程為方程為x-y-7=0.x-y-7=0.綜上可知直線方程為綜上可知直線方程為y= y= 或或x-y-7=0.x-y-7=0.答案答案: :y= y= 或或x-y-7=0 x-y-7=0434x3xyaa4x34x3考向考向 1 1 直線的傾斜角與斜率直線的傾斜角與斜率【典例【典例1 1】(1)(2013(1)(2013中山模擬中山模擬) )直線直線xcosxcos + y+2=0 + y+2=0的傾斜的傾斜角的范圍是角的范圍是( )( )(A)

13、(A) )( )( (B)(B)0, 0, ) )(C)(C)0, 0, (D)(D) (2)(2)若點若點A(1A(1，1)1)，B(3B(3，5)5)，C(a,7)C(a,7)三點共線，則三點共線，則a a的值為的值為_._.(3)(3)已知點已知點A(2,-3)A(2,-3)，B(-3,-2)B(-3,-2)，直線，直線l過點過點P(1,1)P(1,1)且與線段且與線段ABAB有有交點，則直線交點，則直線l的斜率的斜率k k的取值范圍為的取值范圍為_._.3,6 2 5,2665,6565,66【思路點撥【思路點撥】(1)(1)根據(jù)直線方程求出直線的斜率，由斜率的取根據(jù)直線方程求出直線的

14、斜率，由斜率的取值范圍求直線傾斜角的取值范圍值范圍求直線傾斜角的取值范圍. .(2)(2)根據(jù)三點共線得根據(jù)三點共線得k kABAB=k=kACAC, ,由此求出由此求出a a值值. .(3)(3)先確定直線先確定直線PAPA，PBPB的斜率，再數(shù)形結(jié)合求解，或先寫出直的斜率，再數(shù)形結(jié)合求解，或先寫出直線線l的方程，再由點的方程，再由點A A，B B在直線在直線l的異側(cè)的異側(cè)( (或或A A，B B之一在直線之一在直線l上上) )求解求解. .【規(guī)范解答【規(guī)范解答】(1)(1)選選B.B.由由xcosxcos + y+2=0 + y+2=0得直線斜率得直線斜率k=k= cos cos ，-1c

15、os 1,-1cos 1, k . k .設(shè)直線的傾斜角為設(shè)直線的傾斜角為,則則 tan .tan .結(jié)合正切函數(shù)在結(jié)合正切函數(shù)在0 0， )( ,)( ,)上的圖象上的圖象( (如圖所示如圖所示) )可知，可知，0 0 或或 .3333333333322656(2)(2)由斜率公式得由斜率公式得k kABAB= =2.= =2.A,B,CA,B,C三點共線，三點共線，k kABAB=k=kACAC，2= ,2= ,解得解得a=4.a=4.答案答案: :4 45 13 17 1a1(3)(3)方法一：因為方法一：因為A(2,-3)A(2,-3)，B(-3,-2)B(-3,-2)，P(1,1)P

16、(1,1)，所以所以k kPAPA= =-4= =-4，k kPBPB= = ,= = ,如圖所示：如圖所示：因此，直線因此，直線l的斜率的斜率k k的取值范圍的取值范圍為為k-4k-4或或k .k .3 12 1 2 13 1 3434方法二：依題設(shè)知，直線方法二：依題設(shè)知，直線l的方程為：的方程為：y-1=k(x-1)y-1=k(x-1)，即，即kx-y+1-kx-y+1-k=0,k=0,若直線若直線l與線段與線段ABAB有交點，則有交點，則A A，B B兩點在直線兩點在直線l的異側(cè)的異側(cè)( (或或A A，B B之之一在直線一在直線l上上) )，故故(2k+4-k)(2k+4-k)(-3k

17、+3-k)0(-3k+3-k)0，即即(k+4)(4k-3)0,(k+4)(4k-3)0,解得：解得：k-4k-4或或k .k .答案答案: :k-4k-4或或k k 3434【互動探究【互動探究】本例題本例題(3)(3)中的條件變?yōu)椋褐本€中的條件變?yōu)椋褐本€l：y=kxy=kx- - 與直與直線線2x+3y-6=02x+3y-6=0的交點位于第一象限，則的交點位于第一象限，則k k的取值范圍如何？的取值范圍如何？【解析【解析】直線直線l：y=kxy=kx- - 過定點過定點(0(0， ).).作出兩直線的圖象，作出兩直線的圖象，如圖所示，從圖中可以看出直線如圖所示，從圖中可以看出直線l的斜率的

18、取值范圍為的斜率的取值范圍為k k . .33333【拓展提升【拓展提升】1.1.直線的斜率直線的斜率k k與傾斜角與傾斜角之間的關(guān)系之間的關(guān)系0 00 0909090909090180180k k0 0k k 0 0不存在不存在k k0 02.2.斜率取值范圍的兩種求法斜率取值范圍的兩種求法(1)(1)數(shù)形結(jié)合法：作出直線在平面直角坐標系中可能的位置，數(shù)形結(jié)合法：作出直線在平面直角坐標系中可能的位置，借助圖形，結(jié)合正切函數(shù)的單調(diào)性確定借助圖形，結(jié)合正切函數(shù)的單調(diào)性確定. .(2)(2)構(gòu)建不等式法：巧妙地利用不等式所表示的平面區(qū)域的性構(gòu)建不等式法：巧妙地利用不等式所表示的平面區(qū)域的性質(zhì)，抓住

19、斜率質(zhì)，抓住斜率k k滿足的不等關(guān)系，構(gòu)造不等式求解滿足的不等關(guān)系，構(gòu)造不等式求解. .3.3.求傾斜角范圍的兩個關(guān)鍵點求傾斜角范圍的兩個關(guān)鍵點(1)(1)求：求出斜率求：求出斜率k=tan k=tan 的取值范圍的取值范圍. .(2)(2)看：借助正切函數(shù)圖象數(shù)形結(jié)合得到傾斜角的取值范圍看：借助正切函數(shù)圖象數(shù)形結(jié)合得到傾斜角的取值范圍. .【變式備選【變式備選】已知實數(shù)已知實數(shù)x,yx,y滿足滿足2x+y=8,2x+y=8,當當2x32x3時時, ,求求的取值范圍的取值范圍. .y1x1【解析【解析】由由 的幾何意義知的幾何意義知, ,它表示點它表示點A(1,-1)A(1,-1)與線段與線段

20、CDCD上上任一點任一點P(x,yP(x,y) )連線的斜率連線的斜率, ,如圖如圖. .線段的端點為線段的端點為C(2,4),D(3,2),C(2,4),D(3,2),kkACAC= =5,k= =5,kADAD= = ,= = ,kkADADkkAPAPkkACAC, ,即即 . . 的取值范圍是的取值范圍是 ,5,5. .y1x14 12 12 13 1323y152x1y1x132考向考向 2 2 兩條直線平行、垂直的關(guān)系兩條直線平行、垂直的關(guān)系【典例【典例2 2】(1)(2012(1)(2012浙江高考浙江高考) )設(shè)設(shè)aRaR, ,則則“a=1”a=1”是是“直線直線l1 1：ax

21、+2y-1=0ax+2y-1=0與直線與直線l2 2：x+(a+1)y+4=0 x+(a+1)y+4=0平行平行”的的( )( )(A)(A)充分不必要條件充分不必要條件(B)(B)必要不充分條件必要不充分條件(C)(C)充分必要條件充分必要條件(D)(D)既不充分也不必要條件既不充分也不必要條件(2)(2013(2)(2013湛江模擬湛江模擬) )記直線記直線(m+2)x+3my+1=0(m+2)x+3my+1=0與直線與直線(m-(m-2)x+(m+2)y-3=02)x+(m+2)y-3=0相互垂直時相互垂直時m m的取值集合為的取值集合為M M，直線，直線x+ny+3=0 x+ny+3=

22、0與與直線直線nx+4y+6=0nx+4y+6=0平行時平行時n n的取值集合為的取值集合為N N，則，則MN=_.MN=_.(3)(3)已知已知A(-4A(-4，3)3)，B(2B(2，5)5)，C(6C(6，3)3)，D(-3D(-3，0)0)四點，若順四點，若順次連接次連接A A，B B，C C，D D四點，試判定圖形四點，試判定圖形ABCDABCD的形狀的形狀. .【思路點撥【思路點撥】(1)(1)先求出兩條直線平行的條件，再判斷先求出兩條直線平行的條件，再判斷a=1a=1與此與此條件的關(guān)系條件的關(guān)系. .(2)(2)根據(jù)兩直線垂直、平行滿足的條件，分別求出集合根據(jù)兩直線垂直、平行滿足

23、的條件，分別求出集合M M，N N，然后再求然后再求MN.MN.(3)(3)先分別求出四邊形先分別求出四邊形ABCDABCD四條邊所在直線的斜率，再分別驗四條邊所在直線的斜率，再分別驗證對邊是否平行，鄰邊是否垂直，依此判斷證對邊是否平行，鄰邊是否垂直，依此判斷ABCDABCD的形狀的形狀. .【規(guī)范解答【規(guī)范解答】(1)(1)選選A.A.若兩直線平行即若兩直線平行即l1 1l2 2，則，則a(a+1)-a(a+1)-2 21=0,1=0,解得解得a=-2a=-2或或a=1,a=1,而當而當a=1a=1時，時，l1 1l2 2, ,所以所以“a=1”a=1”是是“直線直線l1 1與直線與直線l2

24、 2平行平行”的充分不必要條件的充分不必要條件. .(2)(2)當直線當直線(m+2)x+3my+1=0(m+2)x+3my+1=0與直線與直線(m-2)x+(m+2)y-3=0(m-2)x+(m+2)y-3=0相互垂直相互垂直時，時，m m滿足滿足(m+2)(m-2)+3m(m+2)=0(m+2)(m-2)+3m(m+2)=0，解得，解得m= m= 或或m=-2,m=-2,故故M=-2, .M=-2, .直線直線x+ny+3=0 x+ny+3=0與直線與直線nx+4y+6=0nx+4y+6=0平行，當平行，當n=0n=0時，顯然兩直線不時，顯然兩直線不平行；當平行；當n0n0時，兩直線平行的

25、充要條件是時，兩直線平行的充要條件是 = = ，即，即n=n=-2-2，所以，所以N=-2.N=-2.故故MN=-2MN=-2， .答案答案: :-2-2， 1nn43612121212(3)A(3)A，B B，C C，D D四點在坐標平面內(nèi)的位置如圖：由斜率公式可四點在坐標平面內(nèi)的位置如圖：由斜率公式可得得k kABAB= ,= ,k kCDCD= ,= ,k kADAD= ,= ,k kBCBC= = ，k kABAB=k=kCDCD, ,由圖可知由圖可知ABAB與與CDCD不重合，不重合，ABCD.ABCD.531243 031363 03334 351622 由由k kADADkkBC

26、BC, ,ADAD與與BCBC不平行不平行. .又又k kABABk kADAD= = (-3)=-1,(-3)=-1,ABADABAD，故圖形故圖形ABCDABCD為直角梯形為直角梯形. . 13【拓展提升【拓展提升】兩直線平行、垂直的判斷方法兩直線平行、垂直的判斷方法(1)(1)已知兩直線的斜率存在已知兩直線的斜率存在兩直線平行兩直線平行兩直線的斜率相等且在坐標軸上的截距不等；兩直線的斜率相等且在坐標軸上的截距不等；兩直線垂直兩直線垂直兩直線的斜率之積等于兩直線的斜率之積等于-1.-1.(2)(2)已知兩直線的一般方程已知兩直線的一般方程可利用直線方程求出斜率，然后判斷平行或垂直，或利用以

27、下可利用直線方程求出斜率，然后判斷平行或垂直，或利用以下方法求解：方法求解：直線方程直線方程l1 1:A:A1 1x+Bx+B1 1y+Cy+C1 1=0( 0)=0( 0)l2 2:A:A2 2x+Bx+B2 2y+Cy+C2 2=0( 0)=0( 0)l1 1與與l2 2垂直垂直的充要條件的充要條件A A1 1A A2 2+B+B1 1B B2 2=0=0l1 1與與l2 2平行平行的充分條件的充分條件l1 1與與l2 2相交相交的充分條件的充分條件l1 1與與l2 2重合重合的充分條件的充分條件2211AB2222AB111222222ABC(A B C0)ABC112222AB(A B

28、0)AB111222222ABC(A B C0)ABC【變式訓(xùn)練【變式訓(xùn)練】(1)(1)若直線若直線l過點過點(-1,2)(-1,2)且與直線且與直線2x-3y+4=02x-3y+4=0垂直，垂直，則直線則直線l的方程為的方程為_._.【解析【解析】方法一：直線方法一：直線2x-3y+4=02x-3y+4=0的斜率為的斜率為k= ,k= ,設(shè)所求直線的斜率為設(shè)所求直線的斜率為kk，所求直線與直線所求直線與直線2x-3y+4=02x-3y+4=0垂直，垂直，k kk k=-1,=-1,k= k= ，所求直線方程為所求直線方程為y-2= (x+1),y-2= (x+1),即即:3x+2y-1=0.

29、:3x+2y-1=0.233232方法二：由已知方法二：由已知, ,設(shè)所求直線設(shè)所求直線l的方程為：的方程為：3x+2y+C=0.3x+2y+C=0.又又l過點過點(-1,2),3(-1,2),3(-1)+2(-1)+22+C=0,2+C=0,得得:C=-1,:C=-1,所以所求直線方程為所以所求直線方程為3x+2y-1=0.3x+2y-1=0.答案答案: :3x+2y-1=03x+2y-1=0(2)(2)已知已知ABCABC的三個頂點坐標為的三個頂點坐標為A(2A(2，4)4)，B(1B(1，-2)-2)，C(-2C(-2，3)3)，則，則BCBC邊上的高邊上的高ADAD所在直線的斜率為所在

30、直線的斜率為_._.【解析【解析】 , ,又又BCAD,BCAD, . .答案答案: : BC325k2 13 ADBC13kk5 35考向考向 3 3 直線的方程直線的方程【典例【典例3 3】(1)(2013(1)(2013江門模擬江門模擬) )若直線若直線l：(a+1)x+y+2-(a+1)x+y+2-a=0(aR)a=0(aR)在兩坐標軸上截距相等，則在兩坐標軸上截距相等，則a a的值為的值為_._.(2)(2)已知直線已知直線l過點過點P(3,2),P(3,2),且與且與x x軸、軸、y y軸的正半軸分別交于軸的正半軸分別交于A,BA,B兩點兩點, ,如圖如圖所示所示, ,求求ABOA

31、BO的面積的最小值及此時的面積的最小值及此時直線直線l的方程的方程. .【思路點撥【思路點撥】(1)(1)要分截距均為要分截距均為0 0，均不為，均不為0 0兩種情況討論兩種情況討論. .(2)(2)先設(shè)出先設(shè)出ABAB所在的直線方程，再求所在的直線方程，再求A A，B B兩點的坐標或得到系兩點的坐標或得到系數(shù)滿足的關(guān)系，將數(shù)滿足的關(guān)系，將ABOABO的面積用引入系數(shù)表示，最后利用相的面積用引入系數(shù)表示，最后利用相關(guān)的數(shù)學(xué)知識求出最值關(guān)的數(shù)學(xué)知識求出最值. .【規(guī)范解答【規(guī)范解答】(1)(1)當直線過原點時，該直線在當直線過原點時，該直線在x x軸和軸和y y軸上的截軸上的截距均為距均為0 0

32、，a=2a=2；當直線不過原點時，當直線不過原點時，由截距相等且均不為由截距相等且均不為0 0，得得 , ,即即a+1=1a+1=1，a=0.a=0.綜上可知，綜上可知，a=0a=0或或a=2.a=2.答案答案: :0 0或或2 2 a2a2a1(2)(2)方法一：由題可設(shè)直線方法一：由題可設(shè)直線l的方程為的方程為 =1(a=1(a0,b0,b0),0),則則A(a,0),B(0,b).A(a,0),B(0,b).l過點過點P(3,2), ,P(3,2), ,b= b= ，且，且a3,b2.a3,b2.從而從而S SABOABO= .= .故有故有S SABOABO= =(a-3)+ ,=(a

33、-3)+ ,xyab321ab2aa32112aaa ba22a3a32a36 a39a39962 (a3)612a3a3當且僅當當且僅當a-3= ,a-3= ,即即a=6a=6時時,(S,(SABOABO) )minmin=12,=12,此時此時b= =4,b= =4,此時直線此時直線l的方程為的方程為 , ,即即2x+3y-12=0.2x+3y-12=0. 9a32 663xy164方法二：依題意知方法二：依題意知, ,直線直線l的斜率存在的斜率存在. .設(shè)直線設(shè)直線l的方程為的方程為y-2=k(x-3)(ky-2=k(x-3)(k0),0),則有則有A(3- ,0),B(0,2-3k),

34、A(3- ,0),B(0,2-3k),SSABOABO= = = , ,當且僅當當且僅當-9k= ,-9k= ,即即k= k= 時時, ,等號成立，等號成立，S SABOABO取最小值取最小值12.12.此時，直線此時，直線l的方程為的方程為2x+3y-12=0.2x+3y-12=0.2k1223k (3)2k14129k2( k) 141122 ( 9k)12 12122k24k23方法三：由題可設(shè)直線方程為方法三：由題可設(shè)直線方程為 (a(a0,b0,b0),0),代入代入P(3,2),P(3,2),得得 , ,得得ab24,ab24,從而從而S SABOABO= ab12,= ab12,

35、當且僅當當且僅當 時時, ,等號成立等號成立,S,SABOABO取最小值取最小值1212，此時此時k ,k ,此時直線此時直線l的方程為的方程為2x+3y-12=0.2x+3y-12=0.xy1ab32612abab 1232abb2a3 【互動探究【互動探究】在本例題在本例題(2)(2)的條件下，求的條件下，求l在兩坐標軸上的截距在兩坐標軸上的截距之和最小時直線之和最小時直線l的方程的方程. .【解析【解析】設(shè)設(shè)l的斜率為的斜率為k(kk(k0)0)，則，則l的方程為的方程為y=k(x-3)+2,y=k(x-3)+2,令令x=0 x=0得得B(0,2-3k),B(0,2-3k),令令y=0y

36、=0得得A(3- ,0),A(3- ,0),l在兩軸上的截距之和為在兩軸上的截距之和為2-3k+3- =5+2-3k+3- =5+(-3k)+(- )(-3k)+(- )5+25+2( (當且僅當當且僅當k= k= 時，等號成立時，等號成立) )，k= k= 時，時，l在兩軸上截距之和最小，在兩軸上截距之和最小，此時此時l的方程為的方程為 x+3y-3 -6=0.x+3y-3 -6=0.2k2k2k6636366【拓展提升】【拓展提升】 1.1.利用待定系數(shù)法求直線方程的三個步驟利用待定系數(shù)法求直線方程的三個步驟【提醒【提醒】選方程時一定要注意方程的適用條件選方程時一定要注意方程的適用條件.

37、.2.2.直線方程綜合問題的兩大類型及解法直線方程綜合問題的兩大類型及解法(1)(1)與函數(shù)相結(jié)合的問題：解決這類問題，一般是利用直線方與函數(shù)相結(jié)合的問題：解決這類問題，一般是利用直線方程中的程中的x x，y y的關(guān)系，將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的關(guān)系，將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于x(x(或或y)y)的函數(shù)，借助函的函數(shù)，借助函數(shù)的性質(zhì)解決數(shù)的性質(zhì)解決. .(2)(2)與方程、不等式相結(jié)合的問題：一般是利用方程、不等式與方程、不等式相結(jié)合的問題：一般是利用方程、不等式的有關(guān)知識的有關(guān)知識( (如方程解的個數(shù)、根的存在問題，不等式的性質(zhì)、如方程解的個數(shù)、根的存在問題，不等式的性質(zhì)、基本不等式等基本不等式等) )來解決

38、來解決. .【變式備選【變式備選】ABCABC的三個頂點為的三個頂點為A(-3A(-3，0)0)，B(2B(2，1)1)，C(-2C(-2，3)3)，求：，求：(1)BC(1)BC所在直線的方程所在直線的方程. .(2)BC(2)BC邊上中線邊上中線ADAD所在直線的方程所在直線的方程. .(3)BC(3)BC邊的垂直平分線邊的垂直平分線DEDE的方程的方程. .【解析【解析】(1)(1)因為直線因為直線BCBC經(jīng)過經(jīng)過B(2B(2，1)1)和和C(-2C(-2，3)3)兩點，由兩點兩點，由兩點式得式得BCBC所在直線的方程：所在直線的方程： , ,即即x+2y-4=0.x+2y-4=0.(2

39、)(2)設(shè)設(shè)BCBC中點中點D D的坐標為的坐標為(x,y(x,y) )，則則x= =0,y= =2.x= =0,y= =2.BCBC邊的中線邊的中線ADAD過過A(-3A(-3，0)0)，D(0D(0，2)2)兩點，兩點，由截距式得由截距式得ADAD所在直線方程為所在直線方程為 , ,即即2x-3y+6=0.2x-3y+6=0.y 1x23 122 2221 32xy132(3)(3)直線直線BCBC的斜率的斜率k k1 1= = ，則則BCBC的垂直平分線的垂直平分線DEDE的斜率的斜率k k2 2=2=2，由點斜式得直線，由點斜式得直線DEDE的方程為的方程為2x-y+2=0.2x-y+

40、2=0.12【易錯誤區(qū)【易錯誤區(qū)】忽視斜率不存在致誤忽視斜率不存在致誤【典例【典例】(2013(2013廣州模擬廣州模擬) )已知已知l1 1：3x+2ay-5=0,3x+2ay-5=0,l2 2：(3a-1)x-(3a-1)x-ay-2=0ay-2=0，則使，則使l1 1l2 2的的a a的值為的值為_._.【誤區(qū)警示【誤區(qū)警示】本題易出現(xiàn)的錯誤是只考慮到斜率存在的情況，本題易出現(xiàn)的錯誤是只考慮到斜率存在的情況，將將l1 1, ,l2 2方程化為斜截式方程后，利用斜率相等求解，而忽略了方程化為斜截式方程后，利用斜率相等求解，而忽略了直線斜率不存在的特殊情況，即忽略直線斜率不存在的特殊情況，即

41、忽略a=0a=0的情況的情況. .【規(guī)范解答【規(guī)范解答】方法一：當直線斜率不存在，即方法一：當直線斜率不存在，即a=0a=0時，有時，有l(wèi)1 1：3x-5=0,3x-5=0,l2 2：-x-2=0-x-2=0，符合，符合l1 1l2 2; ;當直線斜率存在時，當直線斜率存在時，l1 1l2 2 a=- .a=- .故使故使l1 1l2 2的的a a的值為的值為0 0或或- .- .方法二：由方法二：由l1 1l2 23 3(-a)-(3a-1)(-a)-(3a-1)2a=02a=0，得，得a=0a=0或或a=- .a=- .又經(jīng)檢驗知兩直線又經(jīng)檢驗知兩直線l1 1, ,l2 2不重合，不重合，

42、故使故使l1 1l2 2的的a a的值為的值為0 0或或- .- .答案答案: :0 0或或- - 33a12aa1616161616【思考點評【思考點評】1.1.解決與兩直線平行相關(guān)問題的注意點解決與兩直線平行相關(guān)問題的注意點(1)(1)若利用若利用l1 1l2 2k k1 1=k=k2 2來求解，要注意其前提條件是來求解，要注意其前提條件是k k1 1與與k k2 2必必須同時存在，如果忽略判斷須同時存在，如果忽略判斷k k1 1,k,k2 2是否存在的情況就會導(dǎo)致漏解是否存在的情況就會導(dǎo)致漏解. .(2)(2)若利用若利用l1 1：A A1 1x+Bx+B1 1y+Cy+C1 1=0=0

43、和和l2 2：A A2 2x+Bx+B2 2y+Cy+C2 2=0=0平行平行A A1 1B B2 2- -A A2 2B B1 1=0,=0,要注意在求出具體數(shù)值后代入檢驗，看看兩條直線是不要注意在求出具體數(shù)值后代入檢驗，看看兩條直線是不是重合從而確定問題的答案是重合從而確定問題的答案. .2.2.解決與兩直線垂直相關(guān)問題的注意點解決與兩直線垂直相關(guān)問題的注意點(1)(1)利用利用l1 1l2 2k k1 1k k2 2=-1=-1時，要注意其前提條件是時，要注意其前提條件是k k1 1與與k k2 2必須必須同時存在同時存在. .(2)(2)利用直線利用直線l1 1：A A1 1x+Bx+

44、B1 1y+Cy+C1 1=0=0與與l2 2：A A2 2x+Bx+B2 2y+Cy+C2 2=0=0垂直的充要條垂直的充要條件是件是A A1 1A A2 2+B+B1 1B B2 2=0,=0,此法可避免討論此法可避免討論. .1.(20131.(2013佛山模擬佛山模擬) )傾斜角為傾斜角為120120，在，在x x軸上的截距為軸上的截距為-1-1的直的直線方程是線方程是( )( )(A) x-y+1=0(A) x-y+1=0 (B) x-y- =0 (B) x-y- =0(C) x+y- =0 (D) x+y+ =0(C) x+y- =0 (D) x+y+ =0【解析解析】選選D.D.

45、由于傾斜角為由于傾斜角為120120，故斜率，故斜率k=- .k=- .又直線過點又直線過點(-1(-1，0),0),所以方程為所以方程為y=- (x+1),y=- (x+1),即即 x+yx+y+ =0.+ =0.333333333332.(20132.(2013中山模擬中山模擬) )經(jīng)過兩點經(jīng)過兩點A(4A(4，2y+1),B(2,-3)2y+1),B(2,-3)的直線的傾的直線的傾斜角為斜角為 ，則，則y=( )y=( )(A)-1(A)-1(B)-3(B)-3(C)0(C)0(D)2(D)2【解析【解析】選選B.B.由由 , ,得得y+2=tan =-1y+2=tan =-1，y=-3

46、.y=-3.342y132y4y2422 343.(20133.(2013湛江模擬湛江模擬)“m=2”)“m=2”是是“直線直線2x+my=02x+my=0與直線與直線x+yx+y=1=1平平行行”的的( )( )(A)(A)充要條件充要條件(B)(B)充分不必要條件充分不必要條件(C)(C)必要不充分條件必要不充分條件(D)(D)既不充分也不必要條件既不充分也不必要條件【解析【解析】選選A.mA.m=2=2時，直線時，直線2x+my=02x+my=0與直線與直線x+yx+y=1=1平行，故充分平行，故充分性成立；反之，直線性成立；反之，直線2x+my=02x+my=0與直線與直線x+yx+y

47、=1=1平行時，平行時，m=2m=2，故必，故必要性成立要性成立. .所以所以“m=2”m=2”是是“直線直線2x+my=02x+my=0與直線與直線x+yx+y=1=1平行平行”的的充要條件充要條件. .4.(20134.(2013汕頭模擬汕頭模擬) )設(shè)直線設(shè)直線l的方程為的方程為x+ycosx+ycos +3=0(R), +3=0(R),則直線則直線l的傾斜角的傾斜角的范圍是的范圍是( )( )(A)(A)0 0，)(B)(B) ) )(C)(C) (D)(D) )( )( ,4 2 3,44,4 2 3,24【解析【解析】選選C.C.當當coscos =0 =0時，方程變?yōu)闀r，方程變?yōu)?/p>

48、x+3=0 x+3=0，其傾斜角為，其傾斜角為 ; ;當當coscos 0 0時，由直線方程可得斜率時，由直線方程可得斜率k= .k= .coscos -1-1，1 1且且coscos 0, 0,k(-,-1k(-,-11,+)1,+)，tan (-,-1tan (-,-11,+).1,+).又又0,),0,), )( )( . .綜上知，傾斜角綜上知，傾斜角的范圍是的范圍是 . .21cos ,4 2 3,243,445.(20135.(2013昆明模擬昆明模擬) )在平面直角坐標系中，已知矩形在平面直角坐標系中，已知矩形ABCDABCD，AB=2AB=2，BC=1BC=1，ABAB，ADA

49、D邊分別在邊分別在x x軸、軸、y y軸的正半軸上，軸的正半軸上，A A點與坐點與坐標原點重合標原點重合. .將矩形折疊，使將矩形折疊，使A A點落在線段點落在線段DCDC上上. .若折痕所在直若折痕所在直線的斜率為線的斜率為k k，試寫出折痕所在直線的方程，試寫出折痕所在直線的方程. .【解析【解析】當當k=0k=0時，此時時，此時A A點與點與D D點重合，折痕所在的直線方程點重合，折痕所在的直線方程為為y= .y= .當當k0k0時，設(shè)矩形折疊后時，設(shè)矩形折疊后A A點落在線段點落在線段CDCD上的點為上的點為G(a,1)G(a,1)，所，所以以A A與與G G關(guān)于折痕所在的直線對稱，關(guān)

50、于折痕所在的直線對稱，有有k kAGAGk k=-1, =-1=-1, =-1a=-ka=-k，故故G G點坐標為點坐標為(-k,1),(-k,1),從而折痕所在的直線與從而折痕所在的直線與AGAG的交點坐標的交點坐標( (線線段段AGAG的中點的中點) )為為M( , ).M( , ).12kak212折痕所在的直線方程為折痕所在的直線方程為y- =k(xy- =k(x+ ),+ ),即即y= .y= .綜上所述，綜上所述，k=0k=0時，時，y=y=k0k0時，時，y= .y= .k2122k1kx222k1kx2212；1.1.若若abab0,0,則過點則過點P(0P(0， ) )與與Q

51、( ,0)Q( ,0)的直線的直線PQPQ的傾斜角的取的傾斜角的取值范圍是值范圍是( )( )( (A A)(0, ) ()(0, ) (B B)( ,)( ,)( (C C)(-,- ) ()(-,- ) (D D)(- ,0)(- ,0)【解析解析】選選B.kB.kPQPQ= = 0,0,又傾斜角的取值范圍為又傾斜角的取值范圍為0 0，)，故直線，故直線PQPQ的傾斜角的取值范圍為的傾斜角的取值范圍為( ,).( ,).1b1a222210ab1b0a22.2.如圖所示，點如圖所示，點A A，B B在函數(shù)在函數(shù)y=tan( )y=tan( )的圖象上，則直線的圖象上，則直線ABAB的方程為的方程為_._.【解析【解析】當當tan( )=0tan( )=0時，時，由正切函數(shù)圖象和性質(zhì)得，由正切函數(shù)圖象和性質(zhì)得， =0=0，得得x=2,x=2,故故A A點坐標為點坐標為(2,0).(2,0).同理得同理得B B點坐標為點坐標為(3,1)(3,1)，k kABAB= =1= =1，直線直線ABAB的方程為的方程為y=x-2y=x-2，即，即x-y-2=0.x-y-2=0.答案答案: :x-y-2=0 x-y-2=0 x42x42x421 032