高考數(shù)學大一輪復習 第十二章 概率、隨機變量及其分布 12.1 隨機事件的概率課件 理 北師大版

12.1隨機事件的概率基礎知識自主學習課時作業(yè)題型分類深度剖析內容索引基礎知識基礎知識自主學習自主學習1.隨機事件和確定事件隨機事件和確定事件知識梳理(1)在條件S下，一定會發(fā)生的事件，叫作相對于條件S的 .(2)在條件S下，一定不會發(fā)生的事件，叫作相對于條件S的 .(3) 統(tǒng)稱為相對于條件S的確定事件.(4) 的事件，叫作相對于條件S的隨機事件.(5) 和 統(tǒng)稱為事件，一般用大寫字母A，B，C表示.必然事件不可能事件必然事件與不可能事件在條件S下可能發(fā)生也可能不發(fā)生確定事件隨機事件2.頻率與概率頻率與概率在相同的條件下，大量重復進行同一試驗時，隨機事件A發(fā)生的頻率會在某個常數(shù)附近擺動，即隨機事件A發(fā)生的頻率具有 性.這時，我們把這個常數(shù)叫作隨機事件A的概率，記作P(A).3.事件的關系與運算事件的關系與運算互斥事件：在一個隨機試驗中，我們把一次試驗下 發(fā)生的兩個事件A與B稱作互斥事件.事件AB：事件AB發(fā)生是指事件A和事件B .對立事件：不會 發(fā)生，并且一定有一個發(fā)生的事件是相互對立事件.穩(wěn)定不能同時至少有一個發(fā)生同時4.概率的幾個基本性質概率的幾個基本性質(1)概率的取值范圍： .(2)必然事件的概率P(E) .(3)不可能事件的概率P(F) .(4)互斥事件概率的加法公式如果事件A與事件B互斥，則P(AB) .0P(A)110P(A)P(B)互斥事件與對立事件的區(qū)別與聯(lián)系互斥事件與對立事件都是兩個事件的關系，互斥事件是不可能同時發(fā)生的兩個事件，而對立事件除要求這兩個事件不同時發(fā)生外，還要求二者之一必須有一個發(fā)生，因此，對立事件是互斥事件的特殊情況，而互斥事件未必是對立事件.知識拓展知識拓展判斷下列結論是否正確(請在括號中打“”或“”)(1)事件發(fā)生頻率與概率是相同的.()(2)隨機事件和隨機試驗是一回事.()(3)在大量重復試驗中，概率是頻率的穩(wěn)定值.()(4)兩個事件的和事件是指兩個事件都得發(fā)生.()(5)對立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是對立事件.()(6)兩互斥事件的概率和為1.()思考辨析思考辨析 考點自測1.從1,2,3,4,5中隨機選取一個數(shù)a，從1,2,3中隨機選取一個數(shù)b，則ba的概率是答案解析 2.(教材改編)將一枚硬幣向上拋擲10次，其中“正面向上恰有5次”是答案解析A.必然事件 B.隨機事件C.不可能事件 D.無法確定拋擲10次硬幣正面向上的次數(shù)可能為010，都有可能發(fā)生，正面向上5次是隨機事件. 3.從某班學生中任意找出一人，如果該同學的身高小于160 cm的概率為0.2，該同學的身高在160,175(單位：cm)內的概率為0.5，那么該同學的身高超過175 cm的概率為A.0.2 B.0.3 C.0.7 D.0.8答案解析因為必然事件發(fā)生的概率是1，所以該同學的身高超過175 cm的概率為10.20.50.3，故選B. 4.某射手在一次射擊中，射中10環(huán)，9環(huán)，8環(huán)的概率分別為0.2,0.3,0.1，則此射手在一次射擊中不超過8環(huán)的概率為A.0.5 B.0.3 C.0.6 D.0.9答案解析依題設知，此射手在一次射擊中不超過8環(huán)的概率為1(0.20.3)0.5.5.(教材改編)袋中裝有9個白球，2個紅球，從中任取3個球，則恰有1個紅球和全是白球；至少有1個紅球和全是白球；至少有1個紅球和至少有2個白球；至少有1個白球和至少有1個紅球.在上述事件中，是對立事件的為_.答案解析是互斥不對立的事件，是對立事件，不是互斥事件.題型分類題型分類深度剖析深度剖析 題型一事件關系的判斷題型一事件關系的判斷例例1(1)從1,2,3，7這7個數(shù)中任取兩個數(shù)，其中：恰有一個是偶數(shù)和恰有一個是奇數(shù)；至少有一個是奇數(shù)和兩個都是奇數(shù)；至少有一個是奇數(shù)和兩個都是偶數(shù)；至少有一個是奇數(shù)和至少有一個是偶數(shù).上述事件中，是對立事件的是A. B. C. D.答案解析中“至少有一個是奇數(shù)”即“兩個奇數(shù)或一奇一偶”，而從17中任取兩個數(shù)根據(jù)取到數(shù)的奇偶性可認為共有三個事件：“兩個都是奇數(shù)”、“一奇一偶”、“兩個都是偶數(shù)”，故“至少有一個是奇數(shù)”與“兩個都是偶數(shù)”是對立事件，易知其余都不是對立事件. (2)設條件甲：“事件A與事件B是對立事件”，結論乙：“概率滿足P(A)P(B)1”，則甲是乙的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件答案解析若事件A與事件B是對立事件，則AB為必然事件，再由概率的加法公式得P(A)P(B)1.設擲一枚硬幣3次，事件A：“至少出現(xiàn)一次正面”，事件B：“3次出現(xiàn)正面”， 至多有一張移動卡包含“一張移動卡，一張聯(lián)通卡”，“兩張全是聯(lián)通卡”兩個事件，它是“2張全是移動卡”的對立事件.A.至多有一張移動卡 B.恰有一張移動卡C.都不是移動卡 D.至少有一張移動卡答案解析(1)準確把握互斥事件與對立事件的概念互斥事件是不可能同時發(fā)生的事件，但可以同時不發(fā)生.對立事件是特殊的互斥事件，特殊在對立的兩個事件不可能都不發(fā)生，即有且僅有一個發(fā)生.(2)判斷互斥、對立事件的方法判斷互斥事件、對立事件一般用定義判斷，不可能同時發(fā)生的兩個事件為互斥事件；兩個事件，若有且僅有一個發(fā)生，則這兩事件為對立事件，對立事件一定是互斥事件.思維升華 跟蹤訓練跟蹤訓練1從裝有兩個白球和兩個黃球的口袋中任取2個球，以下給出了四組事件：至少有1個白球與至少有1個黃球；至少有1個黃球與都是黃球；恰有1個白球與恰有1個黃球；恰有1個白球與都是黃球.其中互斥而不對立的事件共有A.0組 B.1組 C.2組 D.3組答案解析中“至少有1個白球”與“至少有1個黃球”可以同時發(fā)生，如恰好1個白球和1個黃球，中的兩個事件不是互斥事件.中“至少有1個黃球”說明可以是1個白球和1個黃球或2個黃球，則兩個事件不互斥.中“恰有1個白球”與“恰有1個黃球”，都是指有1個白球和1個黃球，因此兩個事件是同一事件.中兩事件不能同時發(fā)生，也可能都不發(fā)生，因此兩事件是互斥事件，但不是對立事件，故選B.題型二隨機事件的頻率與概率題型二隨機事件的頻率與概率例例2(2016全國甲卷)某險種的基本保費為a(單位：元)，繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人本年度的保費與其上年度出險次數(shù)的關聯(lián)如下：上年度出險次數(shù)012345保費0.85aa1.25a1.5a1.75a2a(1)記A為事件：“一續(xù)保人本年度的保費不高于基本保費”，求P(A)的估計值；解答出險次數(shù)012345頻數(shù)605030302010隨機調查了該險種的200名續(xù)保人在一年內的出險情況，得到如下統(tǒng)計表：(2)記B為事件：“一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費但不高于基本保費的160%”，求P(B)的估計值；解答(3)求續(xù)保人本年度的平均保費的估計值.解答由所給數(shù)據(jù)得調查的200名續(xù)保人的平均保費為0.85a0.30a0.251.25a0.151.5a0.151.75a0.102a0.051.192 5a.因此，續(xù)保人本年度平均保費的估計值為1.192 5a.保費0.85aa1.25a1.5a1.75a2a頻率0.300.250.150.150.100.05(1)概率與頻率的關系頻率反映了一個隨機事件出現(xiàn)的頻繁程度，頻率是隨機的，而概率是一個確定的值，通常用概率來反映隨機事件發(fā)生的可能性的大小，有時也用頻率作為隨機事件概率的估計值.(2)隨機事件概率的求法利用概率的統(tǒng)計定義求事件的概率，即通過大量的重復試驗，事件發(fā)生的頻率會逐漸趨近于某一個常數(shù)，這個常數(shù)就是概率.思維升華跟蹤訓練跟蹤訓練2 (2015北京)某超市隨機選取1 000位顧客，記錄了他們購買甲、乙、丙、丁四種商品的情況，整理成如下統(tǒng)計表，其中“”表示購買，“”表示未購買.商品 顧客人數(shù)甲乙丙丁1002172003008598解答(1)估計顧客同時購買乙和丙的概率；從統(tǒng)計表可以看出，在這1 000位顧客中有200位顧客同時購買了乙和丙，解答(2)估計顧客在甲、乙、丙、丁中同時購買3種商品的概率；從統(tǒng)計表可以看出，在這1 000位顧客中，有100位顧客同時購買了甲、丙、丁，另有200位顧客同時購買了甲、乙、丙，其他顧客最多購買了2種商品.(3)如果顧客購買了甲，則該顧客同時購買乙、丙、丁中哪種商品的可能性最大？解答與(1)同理，可得所以，如果顧客購買了甲，則該顧客同時購買丙的可能性最大.題型三互斥事件、對立事件的概率題型三互斥事件、對立事件的概率命題點命題點1互斥事件的概率互斥事件的概率 解答方法一方法一從袋中選取一個球，記事件“摸到紅球”“摸到黑球”“摸到黃球”“摸到綠球”分別為A，B，C，D，則有因此得到黑球、黃球、綠球的概率分別是又總球數(shù)是12，所以綠球有12453(個).命題點命題點2對立事件的概率對立事件的概率例例4某商場有獎銷售中，購滿100元商品得1張獎券，多購多得.1 000張獎券為一個開獎單位，設特等獎1個，一等獎10個，二等獎50個.設1張獎券中特等獎，一等獎，二等獎的事件分別為A，B，C，求：(1)P(A)，P(B)，P(C)； 解答(2)1張獎券的中獎概率； 解答1張獎券中獎包含中特等獎，一等獎，二等獎.設“1張獎券中獎”這個事件為M，則MABC.A，B，C兩兩互斥，P(M)P(ABC)P(A)P(B)P(C)(3)1張獎券不中特等獎且不中一等獎的概率. 解答設“1張獎券不中特等獎且不中一等獎”為事件N，則事件N與“1張獎券中特等獎或中一等獎”為對立事件，求復雜事件的概率的兩種方法求概率的關鍵是分清所求事件是由哪些事件組成的，求解時通常有兩種方法：(1)將所求事件轉化成幾個彼此互斥的事件的和事件，利用概率加法公式求解概率；(2)若將一個較復雜的事件轉化為幾個互斥事件的和事件時，需要分類太多，而其對立面的分類較少，可考慮利用對立事件的概率公式，即“正難則反”.它常用來求“至少”或“至多”型事件的概率.思維升華跟蹤訓練跟蹤訓練3經(jīng)統(tǒng)計，在某儲蓄所一個營業(yè)窗口等候的人數(shù)相應的概率如下： 解答求：(1)至多2人排隊等候的概率；(2)至少3人排隊等候的概率.排隊人數(shù)012345人及5人以上概率0.10.160.30.30.10.04記“無人排隊等候”為事件A，“1人排隊等候”為事件B，“2人排隊等候”為事件C，“3人排隊等候”為事件D，“4人排隊等候”為事件E，“5人及5人以上排隊等候”為事件F，則事件A、B、C、D、E、F彼此互斥.(1)記“至多2人排隊等候”為事件G，則GABC，所以P(G)P(ABC)P(A)P(B)P(C)0.10.160.30.56.(2)方法一方法一記“至少3人排隊等候”為事件H，則HDEF，所以P(H)P(DEF)P(D)P(E)P(F)0.30.10.040.44.方法二方法二記“至少3人排隊等候”為事件H，則其對立事件為事件G，所以P(H)1P(G)0.44.典例典例(12分)某超市為了了解顧客的購物量及結算時間等信息，安排一名員工隨機收集了在該超市購物的100位顧客的相關數(shù)據(jù)，如下表所示. 用正難則反思想求互斥事件的概率思想與方法系列思想與方法系列25一次購物量1至4件5至8件9至12件 13至16件 17件及以上顧客數(shù)(人)x3025y10結算時間(分鐘/人)11.522.53已知這100位顧客中一次購物量超過8件的顧客占55%.(1)確定x，y的值，并估計顧客一次購物的結算時間的平均數(shù)；(2)求一位顧客一次購物的結算時間 2分鐘的概率.(將頻率視為概率)思想方法指導 規(guī)范解答若某一事件包含的基本事件多，而它的對立事件包含的基本事件少，則可用“正難則反”思想求解.解解由已知得25y1055，x3045，所以x15，y20. 2分該超市所有顧客一次購物的結算時間組成一個總體，所收集的100位顧客一次購物的結算時間可視為總體的一個容量為100的簡單隨機樣本，顧客一次購物的結算時間的平均數(shù)可用樣本平均數(shù)估計，其估計值為1.9(分鐘). 6分(2)記A為事件“一位顧客一次購物的結算時間不超過2分鐘”，A1，A2分別表示事件“該顧客一次購物的結算時間為2.5分鐘”，“該顧客一次購物的結算時間為3分鐘”，課時作業(yè)課時作業(yè)12345678910111213答案解析2.(教材改編)袋中裝有3個白球，4個黑球，從中任取3個球，則恰有1個白球和全是白球；至少有1個白球和全是黑球；至少有1個白球和至少有2個白球；至少有1個白球和至少有1個黑球.在上述事件中，是對立事件的為A. B.C. D. 答案 解析至少有1個白球和全是黑球不同時發(fā)生，且一定有一個發(fā)生.中兩事件是對立事件.1234567891011121312345678910111213答案解析設“從中取出2粒都是黑子”為事件A，“從中取出2粒都是白子”為事件B，“任意取出2粒恰好是同一色”為事件C，則CAB，且事件A與B互斥.123456789101112134.(2016襄陽模擬)有一個游戲，其規(guī)則是甲、乙、丙、丁四個人從同一地點隨機地向東、南、西、北四個方向前進，每人一個方向.事件“甲向南”與事件“乙向南”是A.互斥但非對立事件 B.對立事件C.相互獨立事件 D.以上都不對 答案 解析由于每人一個方向，故“甲向南”意味著“乙向南”是不可能的，故是互斥事件，但不是對立事件，故選A.123456789101112135.(2016蚌埠模擬)從一籃子雞蛋中任取1個，如果其重量小于30克的概率為0.3，重量在30,40克的概率為0.5，那么重量不小于30克的概率為A.0.8 B.0.5 C.0.7 D.0.3 答案 解析由互斥事件概率公式知重量大于40克的概率為10.30.50.2，又0.50.20.7，重量不小于30克的概率為0.7.123456789101112136.從存放的號碼分別為1,2,3，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一張卡片并記下號碼，統(tǒng)計結果如下：則取到號碼為奇數(shù)的卡片的頻率是A.0.53 B.0.5C.0.47 D.0.3712345678910111213答案解析卡片號碼12345678910取到次數(shù)1385761318101197.在200件產(chǎn)品中，有192件一級品，8件二級品，則下列事件：在這200件產(chǎn)品中任意選出9件，全部是一級品；在這200件產(chǎn)品中任意選出9件，全部是二級品；在這200件產(chǎn)品中任意選出9件，不全是二級品.其中_是必然事件；_是不可能事件；_是隨機事件.答案123456789101112138.已知某運動員每次投籃命中的概率都為40%，現(xiàn)采用隨機模擬的方法估計該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率：先由計算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三個隨機數(shù)為一組，代表三次投籃的結果.經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了如下20組隨機數(shù)：907966191925271932812458569683431257393027556488730113537989據(jù)此估計，該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率為_. 答案 解析0.2512345678910111213123456789101112139.若隨機事件A，B互斥，A，B發(fā)生的概率均不等于0，且P(A)2a，P(B)4a5，則實數(shù)a的取值范圍是_. 答案 解析1234567891011121310.一個口袋內裝有大小相同的紅球，白球和黑球，從中摸出一個球，摸出紅球或白球的概率為0.58，摸出紅球或黑球的概率為0.62，那么摸出紅球的概率為_.0.2 答案 解析記事件A，B，C分別是摸出紅球，白球和黑球，則A，B，C互為互斥事件且P(AB)0.58，P(AC)0.62，所以P(C)1P(AB)0.42，P(B)1P(AC)0.38，P(A)1P(C)P(B)10.380.420.2.1234567891011121311.某保險公司利用簡單隨機抽樣方法，對投保車輛進行抽樣，樣本車輛中每輛車的賠付結果統(tǒng)計如下：(1)若每輛車的投保金額均為2 800元，估計賠付金額大于投保金額的概率；12345678910111213 解答賠付金額(元)01 0002 0003 0004 000車輛數(shù)(輛)500130100150120設A表示事件“賠付金額為3 000元”，B表示事件“賠付金額為4 000元”，以頻率估計概率得由于投保金額為2 800元，賠付金額大于投保金額對應的情形是賠付金額為3 000元和4 000元，所以其概率為P(A)P(B)0.150.120.27.12345678910111213(2)在樣本車輛中，車主是新司機的占10%，在賠付金額為4 000元的樣本車輛中，車主是新司機的占20%，估計在已投保車輛中，新司機獲賠金額為4 000元的概率. 解答1234567891011121312345678910111213 解答12.(2016北京)A，B，C三個班共有100名學生，為調查他們的體育鍛煉情況，通過分層抽樣獲得了部分學生一周的鍛煉時間，數(shù)據(jù)如下表(單位：小時)：(1)試估計C班的學生人數(shù)；由題意及分層抽樣可知，C班學生人數(shù)約為A班66.577.58 B班6789101112 C班34.567.5910.51213.512345678910111213(2)從A班和C班抽出的學生中，各隨機選取1人，A班選出的人記為甲，C班選出的人記為乙.假設所有學生的鍛煉時間相互獨立，求該周甲的鍛煉時間比乙的鍛煉時間長的概率；12345678910111213 解答設事件Ai為“甲是現(xiàn)有樣本中A班的第i個人”，i1,2，5，事件Cj為“乙是現(xiàn)有樣本中C班的第j個人”，j1,2，8.設事件E為“該周甲的鍛煉時間比乙的鍛煉時間長”，由題意知，EA1C1A1C2A2C1A2C2A2C3A3C1A3C2A3C3A4C1A4C2A4C3A5C1A5C2A5C3A5C4.1234567891011121312345678910111213 解答(3)再從A，B，C三個班中各隨機抽取一名學生，他們該周的鍛煉時間分別是7,9,8.25(單位：小時).這3個新數(shù)據(jù)與表格中的數(shù)據(jù)構成的新樣本的平均數(shù)記為1，表格中數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為0，試判斷0和1的大小.(結論不要求證明)10.12345678910111213*13.一盒中裝有12個球，其中5個紅球，4個黑球，2個白球，1個綠球.從中隨機取出1球，求：(1)取出1球是紅球或黑球的概率；(2)取出1球是紅球或黑球或白球的概率. 解答12345678910111213方法一方法一(利用互斥事件求概率)記事件A1任取1球為紅球，A2任取1球為黑球，A3任取1球為白球，A4任取1球為綠球，根據(jù)題意知，事件A1，A2，A3，A4彼此互斥，由互斥事件的概率公式，得12345678910111213(1)取出1球為紅球或黑球的概率為P(A1A2)P(A1)P(A2)(2)取出1球為紅球或黑球或白球的概率為P(A1A2A3)P(A1)P(A2)P(A3)12345678910111213方法二方法二(利用對立事件求概率)12345678910111213