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空氣動力學基礎第三章理想不可壓縮流體平面位流 6學時 2010年版本 北京航空航天大學 空氣動力學 國家精品課 第3章理想不可壓縮流體平面位流 3 1理想不可壓縮流體平面位流的基本方程3 2幾種簡單的二維位流3 2 1直勻流3 2 2點源3 2 3偶極子3 2 4點渦3 3一些簡單的流動迭加舉例3 3 1直勻流加點源3 3 2直勻流加偶極子3 3 3直勻流加偶極子加點渦3 4二維對稱物體繞流的數(shù)值解 2010年版本 北京航空航天大學 空氣動力學 國家精品課 3 1 理想不可壓縮流體平面位流的基本方程 對于理想不可壓縮流體 流動的基本方程是連續(xù)方程和歐拉運動方程組 在第二章中已給出這些方程的推導過程 本章應該討論怎樣求解這些方程 但是 要想得到這些偏微分方程的解 并非易事 因為實際飛行器的外形都比較復雜 要在滿足這些復雜邊界條件下求得基本方程的解 困難是相當大的 為了簡化求解問題 本章首先介紹流體力學中一類簡單的流動問題 理想不可壓縮流體的無旋流動 這是早期流體力學發(fā)展的一種理想化近似模型 比求解真實粘性流動問題要容易的多 在粘性作用可忽略的區(qū)域 這種理想模型的解還是有相當?shù)目尚懦潭?2010年版本 北京航空航天大學 空氣動力學 國家精品課 3 1 理想不可壓縮流體平面位流的基本方程 1 不可壓縮理想流體無旋流動的基本方程初始條件和邊界條件為在t t0時刻 在物體的邊界上在無窮遠處 思考 為什么需要邊界條件 2010年版本 北京航空航天大學 空氣動力學 國家精品課 3 1 平面不可壓位流的基本方程 如果沒有無旋條件進一步簡化上述方程 求解起來也是很困難的 這是因為方程中的對流項是非線性的 而且方程中的速度V和壓強p相互耦合影響 需要一并求出 但是 對于無旋流動 問題的復雜性可進一步簡化 特別是可將速度和壓力分開求解 這是因為 對于無旋運動情況 流場的速度旋度為零 即存在速度勢函數(shù) 位函數(shù) 為 思考 速度和壓力需要耦合求解是什么意思 2010年版本 北京航空航天大學 空氣動力學 國家精品課 3 1 平面不可壓位流的基本方程 如果將上式代入不可壓縮流體的連續(xù)方程中 得到 由此可見 利用無旋流動和連續(xù)條件所得到的這個方程是大家熟知的二階線性偏微分方程 拉普拉斯方程 這是一個純運動學方程 如果對這個方程賦予適當?shù)亩ń鈼l件 就可以單獨解出速度位函數(shù) 繼而求出速度值 與壓強p沒有進行耦合求解 那么如何確定壓強呢 在這種情況下 可將速度值作為已知量代入運動方程中 解出p值 實際求解并不是直接代入運動方程中 而是利用Bernoulli 或Lagrange 積分得到 2010年版本 北京航空航天大學 空氣動力學 國家精品課 3 1 平面不可壓位流的基本方程 由此說明 只要把速度勢函數(shù)解出 壓強p可直接由Bernoulli方程得到 在這種情況下整個求解步驟概括為 1 根據(jù)純運動學方程求出速度勢函數(shù)和速度分量 2 由Bernoulli方程確定流場中各點的壓強 這使得速度和壓強的求解過程分開進行 從而大大簡化了問題的復雜性 綜合起來對于理想不可壓縮流體無旋流動 控制方程及其初邊界條件為 初始條件為邊界條件為 在流體力學中的邊界條件多數(shù)屬于第二類邊界條件 及在邊界上給定速度勢函數(shù)的偏導數(shù) 邊界條件是在流場邊界上規(guī)定的條件 邊界通常分為內(nèi)邊界和外邊界 對飛行器或物體而言 內(nèi)邊界即飛行器或物體表面 外邊界為無窮遠 3 1 平面不可壓位流的基本方程 邊界條件 按照在邊界上所給條件是針對位函數(shù)自身還是位函數(shù)的法向?qū)?shù) 邊界條件分為三種類型 1 第一邊值問題 狄利希特問題 給出邊界上位函數(shù)自身值 2 第二邊值問題 諾曼問題 給出邊界上位函數(shù)的法向?qū)?shù)值 3 第三邊值問題 龐卡萊問題 給出部分邊界上位函數(shù)自身值 部分邊界上位函數(shù)的法向?qū)?shù)值空氣動力問題大多數(shù)屬于第二邊值問題 2010年版本 北京航空航天大學 空氣動力學 國家精品課 將坐標系與飛行器或物體固連 則外邊界在遠離物體處 速度為V 內(nèi)邊界是物體表面 不允許流體穿過或表面法向速度為零外邊界內(nèi)邊界n為物面法向可以證明 拉普拉斯方程的解若在給定邊界上能滿足上述條件 則解是唯一的 求不可壓理想無旋流繞物體的流動問題就轉(zhuǎn)化為求解拉普拉斯方程的滿足給定邊條的特解這一數(shù)學問題 2010年版本 北京航空航天大學 空氣動力學 國家精品課 2010年版本 北京航空航天大學 空氣動力學 國家精品課 3 1 平面不可壓位流的基本方程 2 速度勢函數(shù)的性質(zhì) 1 速度勢函數(shù)沿著某一方向的偏導數(shù)等于該方向的速度分量 速度勢函數(shù)沿著流線方向增加 由此可得出 速度勢函數(shù)允許相差任意常數(shù) 而不影響流體的運動 2010年版本 北京航空航天大學 空氣動力學 國家精品課 3 1 平面不可壓位流的基本方程 2 速度勢函數(shù)滿足拉普拉斯方程 是調(diào)和函數(shù) 滿足解的線性迭加原理 如果速度勢函數(shù)滿足拉普拉斯方程 則它們的線性組合也滿足拉普拉斯方程 3 速度勢函數(shù)相等的點連成的線稱為等勢線 速度方向垂直于等勢線 4 連接任意兩點的速度線積分等于該兩點速度勢函數(shù)之差 速度線積分與路徑無關(guān) 僅決定于兩點的位置 如果是封閉曲線 速度環(huán)量為零 2010年版本 北京航空航天大學 空氣動力學 國家精品課 3 1 平面不可壓位流的基本方程 3 流函數(shù)及其性質(zhì)根據(jù)高等數(shù)學中 格林公式可知 平面問題的線積分與面積分的關(guān)系 如果令由此可見 下列線積分與路徑無關(guān) 圍繞封閉曲線的線積分為零 存在的充分必要條件是 2010年版本 北京航空航天大學 空氣動力學 國家精品課 3 1 平面不可壓位流的基本方程 這是不可壓縮流體平面流動的連續(xù)方程 這樣下列微分一定是某個函數(shù)的全微分 即這個函數(shù)稱為流函數(shù) 由此可見 對于不可壓縮流體的平面流動 二維問題 無論是理想流體還是粘性流體 無論是有渦流動還是無渦流動 均存在流函數(shù) 思考 為什么二維流動一定存在流函數(shù) 2010年版本 北京航空航天大學 空氣動力學 國家精品課 3 1 平面不可壓位流的基本方程 流函數(shù)的概念是1781年Lagrange首先引進的 流函數(shù)具有下列性質(zhì) 1 流函數(shù)值可以差任意常數(shù)而不影響流動 2 流函數(shù)值相等的點的連線是流線 即等流函數(shù)線的切線方向與速度矢量方向重合在流函數(shù)相等的線上 有上式即為平面流動的流線方程 2010年版本 北京航空航天大學 空氣動力學 國家精品課 3 1 平面不可壓位流的基本方程 3 流函數(shù)在某一方向的偏導數(shù)等于順時針旋轉(zhuǎn)90度方向的速度分量根據(jù)流函數(shù)這一性質(zhì) 如果沿著流線取s 反時針旋轉(zhuǎn)90度取n方向 則有 4 理想不可壓縮流體平面勢流 流函數(shù)滿足拉普拉斯方程 2010年版本 北京航空航天大學 空氣動力學 國家精品課 3 1 平面不可壓位流的基本方程 5 過同一點的等速度勢函數(shù)線與等流函數(shù)線正交 等勢線與流線正交 等流函數(shù)線是流線 有另一方面 過該點的等勢函數(shù)線方程為在同一點處 流線與等勢線的斜率乘積為說明流線與等勢線在同一點正交 2010年版本 北京航空航天大學 空氣動力學 國家精品課 3 1 平面不可壓位流的基本方程 6 流網(wǎng)及其特征在理想不可壓縮流體定常平面勢流中 每一點均存在速度勢函數(shù)和流函數(shù)值 這樣在流場中存在兩族曲線 一族為流線 另一族為等勢線 且彼此相互正交 把由這種正交曲線構(gòu)成的網(wǎng)格叫做流網(wǎng) 在流網(wǎng)中 每一個網(wǎng)格的邊長之比等于勢函數(shù)和流函數(shù)的增值之比 2010年版本 北京航空航天大學 空氣動力學 國家精品課 3 1 平面不可壓位流的基本方程 流網(wǎng)不僅可以顯示流速的分布情況 方向 也可以反映速度的大小 如流線密的地方流速大 流線稀疏的地方流速小 如果相鄰流線之間的流函數(shù)差為常數(shù) 等于單寬流量增量 即表示流速與相鄰流線的間距成反比 因此流線的疏密程度反映了速度的大小 2010年版本 北京航空航天大學 空氣動力學 國家精品課 3 1 平面不可壓位流的基本方程 1 以速度勢函數(shù)為未知函數(shù)的提法 2 以流函數(shù)為未知函數(shù)的提法 3 以復位勢w z 為未知函數(shù)提法 理想不可壓縮流體平面定常無旋流動數(shù)學問題的提法共有三種數(shù)學提法 設給定一平面物體C 無窮遠為直均流 在繞流物體不脫體的情況下 求這個繞流問題 需要求解滿足一定定解條件的在C外區(qū)域內(nèi)的解析函數(shù) 位函數(shù) 的性質(zhì)小結(jié) 速度位函數(shù)由無旋條件定義 位函數(shù)值可以差任意常數(shù)而不影響流動 2 速度位函數(shù)沿著某一方向的偏導數(shù)等于該方向的速度分量 速度位函數(shù)的數(shù)值沿著流線方向增加 3 對于理想不可壓縮無旋流動 從連續(xù)方程出發(fā) 速度位函數(shù)滿足拉普拉斯方程 是調(diào)和函數(shù) 滿足解的線性迭加原理 4 速度位函數(shù)相等的點連成的線稱為等位線 速度方向垂直于等位線 5 連接任意兩點的速度線積分等于該兩點的速度位函數(shù)之差 速度線積分與路徑無關(guān) 僅決定于兩點的位置 對封閉曲線 速度環(huán)量為零 位函數(shù) 和流函數(shù) 之間滿足柯西 黎曼條件 速度分量與位函數(shù)和流函數(shù)之間的關(guān)系是 2010年版本 北京航空航天大學 空氣動力學 國家精品課 3 2 幾種簡單的二維位流 1 直勻流直勻流是一種速度不變的最簡單的平行流動 其流速為位函數(shù)為常用平行于x軸的直勻流 從左面遠方流來 流速為 相應的流函數(shù)和勢函數(shù)為 2010年版本 北京航空航天大學 空氣動力學 國家精品課 3 2 幾種簡單的二維位流 2 點源源可以有正負 正源是從流場上某一點有一定的流量向四面八方流開去的一種流動 負源 又名匯 是一種與正源流向相反的向心流動 如果把源放在坐標原點上 那末這流動便只有 而沒有 設半徑為r處的流速是vr 那么這個源的總流量是 流量是常數(shù) 故流速vr與半徑成反比 流函數(shù)的表達式是或 2010年版本 北京航空航天大學 空氣動力學 國家精品課 3 2 幾種簡單的二維位流 位函數(shù)從的式子積分得到在極坐標系中 速度分量與流函數(shù)和勢函數(shù)偏導數(shù)關(guān)系式為 2010年版本 北京航空航天大學 空氣動力學 國家精品課 3 2 幾種簡單的二維位流 如果源的位置不在坐標原點 而在A點 處 2010年版本 北京航空航天大學 空氣動力學 國家精品課 3 2 幾種簡單的二維位流 3 偶極子等強度的一個源和一個匯 放在x軸線上 源放在 h 0 處 匯放在 0 0 處 從源出來的流量都進入?yún)R 2010年版本 北京航空航天大學 空氣動力學 國家精品課 3 2 幾種簡單的二維位流 應用疊加原理 位函數(shù)和流函數(shù)如下其中表示流場點P分別與源和匯連線與x軸之間的夾角 現(xiàn)在我們考慮一種極限情況 當h 0 但同時Q增大 使 2010年版本 北京航空航天大學 空氣動力學 國家精品課 3 2 幾種簡單的二維位流 保持不變的極限情況 這時位函數(shù)變成 對偶極子而言 等位線是一些圓心在x軸上的圓 且都過原點 2010年版本 北京航空航天大學 空氣動力學 國家精品課 3 2 幾種簡單的二維位流 偶極子的流函數(shù) 取h 0而Qh 2 M保持不變的極限結(jié)果 是 流線也是一些圓 圓心都在y軸上 且都過源點O 兩個分速的表達式是 合速度為 2010年版本 北京航空航天大學 空氣動力學 國家精品課 3 2 幾種簡單的二維位流 要注意 偶極子是源匯無限靠近的極限情況 它是有軸線方向的 原來的源和匯放在哪條直線上 那條直線就是它的軸線 前面表示的偶極子是以x軸為軸線的 其正向為軸線上的流線方向 前面的偶極子是指向負x方向的 如果偶極子軸線和x軸成 角 正向指向第三象限 則勢函數(shù)和對應流函數(shù)分別為 如果偶極子位于 軸線和x軸成 角 正向指向第三象限 則勢函數(shù)和流函數(shù)分別為 2010年版本 3 2 幾種簡單的二維位流 4 點渦點渦是位于原點的一個點渦的流動 流線是一些同心圓 流速只有V 而沒有Vr 式中的 是個常數(shù) 稱為點渦的強度 逆時針方向為正 分速V 和離中心點的距離r成反比 指向逆時針方向 其位函數(shù)和流函數(shù)分別為 等勢線是射線 流線是圓 由幾何條件可立刻寫出u v分量 位函數(shù)可由上式代入然后積分求出 但方便的還是利用極座標關(guān)系 積分后得 顯然等位線 C是一系列射線 怎么求位函數(shù) 求流函數(shù)可由極座標下流函數(shù)與位函數(shù)的柯西 黎曼關(guān)系 積分得 顯然流線 C是一系列同心圓 可見點渦與點源的位函數(shù)與流函數(shù)只是對調(diào)了一下 上述負號只是代表渦轉(zhuǎn)向 怎么求流函數(shù) 2010年版本 北京航空航天大學 空氣動力學 國家精品課 3 2 幾種簡單的二維位流 如點渦位置不在原點 而在 則點渦的位函數(shù)和流函數(shù)為 沿任意形狀的圍線計算環(huán)量 只要這個圍線把點渦包圍在內(nèi) 環(huán)量值都是 但不包含點渦在內(nèi)的圍線 其環(huán)量等于零 2010年版本 3 2 幾種簡單的二維位流 這種點渦其實應該看作是一根在z方向無限長的直渦線 渦本來是有旋流動 但像這樣一根單獨的渦線所產(chǎn)生的流場 除真正的渦心那一條線 在平面里就是一點 之外 其余的地方仍是無旋流動 當r 0時 速度趨近于無窮大 相應的壓強也趨于負無限大 這是不現(xiàn)實的 按這個速度分布規(guī)律 速度在半徑方向的變化率是 當r很小之后 這個變化率極大 這時粘性力必然要起作用 粘性力與速度的法向變化率成正比 結(jié)果 實際渦總是有一個核 核內(nèi)流體的不是與r成反比 而是與r成正比 但核外的流速是與r成反比的 如圖所示 核內(nèi)是有旋流 核外是無旋流 這個核的尺寸究竟有多大 它是因流體的粘性大小及渦強大小而不同的 2010年版本 北京航空航天大學 空氣動力學 國家精品課 3 2 幾種簡單的二維位流 一般地說 這個尺寸不大 我們作外部流場的計算時 可以不管它 把它看作很微小就行了 這里要說明的一個事實是 渦對于外部流場是產(chǎn)生誘導速度的 即擾動 其值與至中心的距離成反比 但對它自己的核心是沒有誘導速度的 直勻流 基本解位函數(shù) 流函數(shù)小結(jié) 2010年版本 北京航空航天大學 空氣動力學 國家精品課 3 3 一些簡單的迭加舉例 1 直勻流加點源在一個平行于x軸由左向右流去的直勻流里 加一個強度為Q的源 把坐標原點放在源所在的地方 迭加得到的位函數(shù)是 兩個分速是 在x軸線上有一個合速為零的點 即駐點A 3 3 一些簡單的迭加舉例 令uA 0 vA 0即得駐點xA坐標為 2010年版本 北京航空航天大學 空氣動力學 國家精品課 3 3 一些簡單的迭加舉例 流動的流函數(shù)是 對于零流線是一條通過坐標原點的水平線 對于的流線方程為 得到解為 說明是通過駐點的一條水平流線 對于非水平流線 半徑r 如對于相應的半徑r為 y 流線BAB 的形狀可以根據(jù)流函數(shù) c畫出來 也可以從流量關(guān)系推算出來 由流函數(shù)表達 由駐點坐標 y 0 定常數(shù)c 得c Q 2 從而得流線BAB 的方程為 用直角坐標表達 注意到反正切的值域為 2 2 該流線與y軸交于處 當 即流線在無窮遠處趨于寬度為的直線 從物理上這個結(jié)果很好理解 從源流出的流量只能限制在圍線中 由速度分布知 而源的流量為Q 以速度V 流過時將占據(jù)寬度D Q V 2010年版本 北京航空航天大學 空氣動力學 國家精品課 3 3 一些簡單的迭加舉例 全部流線譜中 經(jīng)過駐點A的流線BAB 是一條特殊的流線 它像一道圍墻一樣 把流場劃分成為兩部分 外面的是直勻流繞此圍墻的流動 里面的是源流在此圍墻限制之內(nèi)的流動 流線是氣流不可逾越的線 一個物體放在氣流里 它的邊界也是氣流不可逾越的界線 氣流只能與物體邊界相切著流過去 所以 我們可以把外部流動看作是在直勻流中放了一個BAB 那樣形狀的物體所造成的流動 不過這個物體后面是不封口的 稱半無限體 這個半無限體在 x無限遠處 其寬度 y向尺寸 趨向一個漸近值D為 2010年版本 北京航空航天大學 空氣動力學 國家精品課 3 3 一些簡單的迭加舉例 通常將壓強表為無量綱的壓強系數(shù)Cp 其定義是當?shù)仂o壓減去來流靜壓再除以來流的動壓頭 不可壓無粘流時 沿這個半無限體的外表面 壓強系數(shù)是 why 壓強系數(shù)與來流參數(shù)具體值p V 無關(guān) 具有通用性 2010年版本 北京航空航天大學 空氣動力學 國家精品課 3 3 一些簡單的迭加舉例 首先 A點是駐點 這一點的Cp一定等于 1 從駐點往后 Cp迅速下降 在距A不很遠的地方 Cp降到零 該點流速已達遠前方的來流速度 此后氣流繼沿物面加速 走了一段之后 流速達最大值 Cp達最小值 這一點稱最大速度點 或最低壓強點 過了最大速度點之后氣流開始減速 到無限遠的右方 流速減到和遠前方來流一樣大 這是大多鈍頭物體低速流動的特點 頭部附近形成一個低速高壓區(qū) 隨后速度迅速上升 壓強急劇下降 直均流加變強度點源 直均流加等強度點源 點匯 用分布的點源 點匯構(gòu)造物面 直均流加偶極子 實驗演示的直均流加點源和點匯的其他例子 2010年版本 北京航空航天大學 空氣動力學 國家精品課 3 3 一些簡單的迭加舉例 2 直勻流加偶極子 無環(huán)量的圓柱繞流 只有當正源和負源的總強度等于零時 物形才是封閉的 設直勻流平行于x軸 由左向右流 再把一個軸線指向負x的偶極子放在坐標原點處 這時 流動的位函數(shù)和流函數(shù)分別是 流動是直勻流流過一個圓 圓的半徑可以從駐點A的坐標定出來 令 why 2010年版本 3 3 一些簡單的迭加舉例 得到a就是圓半徑 這樣位函數(shù)和流函數(shù)可以寫為 0是一條特殊的流線 容易證明 該流線通過駐點的x軸線 另外還有是半徑為a的圓 兩個速度分量為 2010年版本 北京航空航天大學 空氣動力學 國家精品課 3 3 一些簡單的迭加舉例 在圓周上 r a 速度分量為 相應的壓強系數(shù)為 繞圓流動在表面上只有周向速度 沒有徑向速度 2010年版本 北京航空航天大學 空氣動力學 國家精品課 3 3 一些簡單的迭加舉例 在圓周前后駐點 0 壓強系數(shù)等于1 0 從前駐點往后流 在 150 處流速加快到和來流的流速一樣大了 以后繼續(xù)加速 在 2處達最大速度 其值二倍于來流的速度 Cp是 3 0 過了最大速度點以后 氣流減速 在 0 處降為零 這一點稱為后駐點 這個流動不僅上下是對稱的 而且左右也是對稱的 物面上的壓強分布也是對稱的 結(jié)果哪個方向的合力也沒有 不過實際流動左右是不對稱的 由于實際流體是有粘性的緣故 氣流過了最大速度點以后 不可能始終貼著物體流下去 不可能進行完全的減速結(jié)果水平方向是有一個阻力的 2010年版本 北京航空航天大學 空氣動力學 國家精品課 3 3 一些簡單的迭加舉例 達朗培爾疑題達朗培爾 D Alembert 18世紀法國著名數(shù)學家 他提出 在理想不可壓流中 任何一個封閉物體的繞流 其阻力都是零 這個結(jié)論不符合事實 這個矛盾多少耽誤了一點流體力學的發(fā)展 那時人們以為用無粘的位流去處理實際流動是沒有什么價值的 后來才知道 這樣撇開粘性來處理問題 是一種很有價值的合乎邏輯的抽象 它能使我們把影響流動的各種因素分開來看清楚 譬如 早期由經(jīng)驗得出來的良好翼型 最大的升阻比不過是幾十比一 后來在位流理論指導下 設計出來的翼型的最大升阻比竟達三百比一 這就是無粘抽象的指導意義 2010年版本 北京航空航天大學 空氣動力學 國家精品課 粘性流體繞圓柱的流動顯示實驗 二維圓柱擾流的卡門渦街 有攻角機翼繞流尾流場中的旋渦 2010年版本 北京航空航天大學 空氣動力學 國家精品課 3 3 一些簡單的迭加舉例 3 直勻流加偶極子加點渦 有環(huán)量的圓柱繞流 在直勻流加偶極子的流動之上 再在圓心處加一個強度為 的點渦 順時針轉(zhuǎn)為負 這時的流函數(shù)和位函數(shù)為 3 3 一些簡單的迭加舉例 在極坐標下 兩個分速度為r a仍是一條流線 在這個圓上Vr 0 圓周速度為 駐點現(xiàn)在不在其位置可以從 定出來 在第三和第四象限內(nèi) 前后駐點對y軸是對稱的 這個角度離開 和0 的多少決定于環(huán)量對速度乘半徑a之比值 比值越大 駐點越往下移 此時流函數(shù)數(shù)值不為零 下圖給出幾種不同點渦強度下駐點位置圖畫 顯然 有環(huán)量的繞圓流動其左右仍是對稱的 但上下已不對稱了 因此在垂直于來流的y方向合力就不會為零 垂直于來流方向的空氣動力分力稱為升力 可以通過沿圓柱表面壓強積分 利用伯努利方程將壓強表為速度分布后積分求得 2010年版本 北京航空航天大學 空氣動力學 國家精品課 3 3 一些簡單的迭加舉例 用動量定理來計算繞圓柱的有環(huán)量流動的升力 以原點為中心 畫一個半徑為r1很大的控制面S 整個的控制面還包括圓的表面S1及連接S和S1的兩條割線 不過這兩條割線上的壓力和動量進出都對消了 不必管它受力情況左右對稱 不會有X合力 我們只計算Y方向合力就行了 徹體力略去不計 流動是定常的 2010年版本 北京航空航天大學 空氣動力學 國家精品課 3 3 一些簡單的迭加舉例 動量積分方程變?yōu)?在r1的大圓上 Lp Lv 2010年版本 北京航空航天大學 空氣動力學 國家精品課 3 3 一些簡單的迭加舉例 在上述表達式中 奇函數(shù)積分為零 只有偶函數(shù)積分 對于單位時間動量的凈流出量計算如下 3 3 一些簡單的迭加舉例 在y方向的速度分量是 單位長度圓柱所受的總升力為 2010年版本 北京航空航天大學 空氣動力學 國家精品課 3 3 一些簡單的迭加舉例 只要是一個封閉物體 代表這個物體作用的正負源的強度總和必須等于零 這種正負源放在一起的情況 在遠離物體的地方 我們可以取r1很大 其作用和一個偶極子沒什么區(qū)別 這就說明了物形對升力沒有直接的關(guān)系 關(guān)鍵的問題在于必須有一個繞物體的環(huán)量存在 有了環(huán)量又有一個直勻流 便有一個升力 庫塔 儒可夫斯基定理一個封閉物體所受升力L等于來流的密度乘速度再乘以氣流方向逆著環(huán)流旋轉(zhuǎn)90 2010年版本 北京航空航天大學 空氣動力學 國家精品課 3 3 一些簡單的迭加舉例 環(huán)量之所以能產(chǎn)生一個Y向的合力 也可以從圓柱體上的壓力分布直接看到 其中有環(huán)量和無環(huán)量繞流情況作了對比 無環(huán)量時 上半圓 由 至0 上的壓力分布和下半圓 由 至2 上的壓力分布對稱 結(jié)果是合力為零 有環(huán)量時 上半圓上的負壓遠遠超過下半圓上的負壓 所以有一個向上的合力 即升力 這個力的來源主要靠上半圓上的吸力 從 野渡無人舟自橫 到 香蕉球 技術(shù)淺談 香蕉球 的力學原理 2010年版本 3 4二維對稱物體繞流的數(shù)值解 把直勻流和分布的偶極子 或總強度為零的分布點源和點匯 疊加起來 所得到的組合流動為對稱封閉物體繞流 設直勻流沿x軸正向流來 其速度為V 在x軸上x a和x b范圍內(nèi)連續(xù)分布一系列的偶極子 單位長度內(nèi)偶極子的強度設為m 偶極子密度 如果偶極子密度的分布形式已知 則離原點距離為 的小區(qū)間內(nèi)由偶極子產(chǎn)生的流函數(shù)為 總流函數(shù)為 物體的外形可以用零流線來表示 改變不同的偶極子密度分布 可以獲得不同形狀的封閉物體 由流函數(shù)和速度以及速度與壓強的關(guān)系確定流場中各點及物體表面的速度分布和壓強分布 奇點疊加數(shù)值解法 2010年版本 北京航空航天大學 空氣動力學 國家精品課 3 4二維對稱物體繞流的數(shù)值解 2010年版本 北京航空航天大學 空氣動力學 國家精品課 3 4二維對稱物體繞流的數(shù)值解 對于實際問題 往往是給定物體的外形來確定其流動的特性 在這種情況下 偶極子密度分布函數(shù)的確定需要由流函數(shù)求解 對偶極子密度來說 流函數(shù)是一個積分方程 求它的解是比較困難的 但是隨著計算機技術(shù)的發(fā)展 可以用數(shù)值方法比較迅速地獲得這種方程的有一定準確度的數(shù)值解 下面簡單地敘述用數(shù)值方法求解已知物體形狀確定繞物體流動特性的過程 2010年版本 北京航空航天大學 空氣動力學 國家精品課 3 4二維對稱物體繞流的數(shù)值解 1 數(shù)值解法步驟首先 我們把偶極子分布區(qū)域分成等寬度的n段 設每段的寬度為 段數(shù)n可根據(jù)計算機容量及結(jié)果的準確度要求而確定 流場中某一定點P處的流函數(shù)為 式中為第j段中點離原點的距離 為第j段內(nèi)偶極子密度的平均值 表示第j段內(nèi)偶極子的強度 2010年版本 北京航空航天大學 空氣動力學 國家精品課 3 4二維對稱物體繞流的數(shù)值解 用物面邊界條件來確定待求的偶極子密度對于給定物體外形上的n個已知點 xi yi 就可以得到一個對未知函數(shù)的n元一次聯(lián)立代數(shù)方程組 其中為影響系數(shù) 表示處的單位偶極子密度對物體表面某點Pi xi yi 處的流函數(shù)貢獻 2010年版本 北京航空航天大學 空氣動力學 國家精品課 3 4二維對稱物體繞流的數(shù)值解 展開上式 即利用解一次方程組的各種計算方法 求解上面方程組 確定偶極子密度 2010年版本 北京航空航天大學 空氣動力學 國家精品課 3 4二維對稱物體繞流的數(shù)值解 一旦所給定物體外形的偶極子密度分布已經(jīng)解得 則可以確定流場內(nèi)任意點處的流函數(shù) 此后即可由流函數(shù)與速度的關(guān)系式及伯努利方程 確定流場內(nèi)各點處的速度及壓強值 在上述過程中 我們實際上是把第j段中分布的偶極子用集中在該段中點處的等強度偶極子來代替了 顯然 如果分段數(shù)量較多 這種近似表示才有一定的準確性 理論上 當段數(shù)n趨于無限大時 偶極子密度分布的數(shù)值結(jié)果趨近于精確解 在實際應用時 由于計算機容量和計算機機時的限制 以及多元一次聯(lián)立方程組解的不穩(wěn)定性 分段的數(shù)目不宜太多 也可以由位函數(shù)出發(fā) 用位函數(shù)對應的物面條件來解決實際流動問題 這兩種方法是等價的 在實際應用中 用位函數(shù)疊加法比用流函數(shù)法更廣泛 本章基本要求掌握平面不可壓位流中位函數(shù)與流函數(shù)的性質(zhì)與關(guān)系 掌握平面不可壓位流的基本方程即拉普拉斯方程的特點 疊加原理和邊界條件 掌握四種基本而重要的位流流動即 直勻流 點源 點匯 偶極子和點渦的表達 重點掌握直勻流與偶極子和點渦的疊加 掌握儒可夫斯基升力定律 了解二維對稱物體繞流數(shù)值解法步驟 本章討論怎樣求解不可壓理想流體無旋運動的規(guī)律在理想不可壓條件下歐拉方程和連續(xù)方程包括四個方程和四個未知函數(shù) u v w p 理論上是可解的由于飛行器的外形都比較復雜 要在滿足如此復雜的邊界條件下求該偏微分方程組的解析解是非常困難的 原因在于方程包含非線性項 而且方程中速度與壓強相互耦合 需要一并求出人們發(fā)現(xiàn)在無旋條件下問題可以得到大大簡化 尤其是可以將速度和壓強分開求解 這是因為無旋條件可使關(guān)于速度位的方程化為線性方程 從而便于單獨求得速度位即求出速度 而壓強可利用伯努利方程求解本章的思路是 先針對理想不可壓無旋流求得一些典型的速度位基本解 將這些基本解進行疊加得到滿足非常簡單邊界條件的流動 對復雜外形的繞流 介紹用基本解進行疊加的數(shù)值解法大意 小測驗 15分鐘 a 試寫出從 y流向 y 速度值為V 的直勻流的位函數(shù) b 試寫出位于原點的點匯的位函數(shù) c 試寫出位于原點 順時針旋轉(zhuǎn)的點渦的位函數(shù) d 試寫出位于原點 軸線指向 y軸的偶極子的位函數(shù) 提示 坐標旋轉(zhuǎn)變換關(guān)系為 在x軸上距原點為b處放置點源 源強度為Q y軸為璧面 試求x b 2處的速度表達 同上圖 在x軸上距原點為b處放置強度為 順時針旋轉(zhuǎn)的點渦 求該點渦此時的速度大小與方向 1 d圖 2題 3題圖 解1a V yb c d 解2 在x軸上距原點為b處放置點源 源強度為Q y軸為璧面 試求x b 2處的速度表達 相當于將璧面去掉在 b處放置強度同樣為Q的點源 2題 3題圖 解2 題目相當于在 b處疊加一個環(huán)量相等方向相反的點渦 求該點渦速度相當于求b點速度 由于點渦對自身沒有誘導速度 因此b處速度只是由鏡像渦產(chǎn)生 鏡像渦的流函數(shù) 方便求導 2題 3題圖 如果求b 2處速度 則需寫出全部流函數(shù)