高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第九章 平面解析幾何 第一節(jié) 直線的傾斜角與斜率、直線的方程課件 文

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1、第一節(jié)直線的傾斜角與斜率、直線的方程總綱目錄教材研讀1.直線的傾斜角考點(diǎn)突破2.斜率公式3.直線方程的五種形式考點(diǎn)二求直線的方程考點(diǎn)一直線的傾斜角與斜率考點(diǎn)三直線方程的綜合應(yīng)用1.直線的傾斜角直線的傾斜角(1)定義:當(dāng)直線l與x軸相交時(shí),取x軸作為基準(zhǔn),x軸正向與直線l向上方向向上方向之間所成的角叫做直線l的傾斜角,當(dāng)直線l與x軸平行或重合平行或重合時(shí),規(guī)定它的傾斜角為0.(2)范圍:直線l傾斜角的范圍是0,).教材研讀教材研讀2.斜率公式斜率公式(1)若直線l的傾斜角90,則斜率k=tan.(2)若P1(x1,y1),P2(x2,y2)在直線l上,且x1x2,則l的斜率k=.2121yyxx

2、3.直線方程的五種形式直線方程的五種形式名稱方程適用范圍點(diǎn)斜式y(tǒng)-y0=k(x-x0)不含直線x=x0斜截式y(tǒng)=kx+b不含垂直于x軸的直線兩點(diǎn)式 = (x1x2,y1y2)不含直線x=x1和直線y=y1截距式(a0,b0)不含垂直于坐標(biāo)軸和過原點(diǎn)的直線一般式Ax+By+C=0(A2+B20)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的直線都適用121yyyy121xxxx常見的直線系方程常見的直線系方程(1)過定點(diǎn)P(x0,y0)的直線系方程為A(x-x0)+B(y-y0)=0(A2+B20),還可以表示為y-y0=k(x-x0)(斜率不存在時(shí)可設(shè)為x=x0).(2)平行于直線Ax+By+C=0的直線系方程為Ax+B

3、y+=0(C).(3)垂直于直線Ax+By+C=0的直線系方程為Bx-Ay+=0.(4)過兩條已知直線A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0交點(diǎn)的直線系方程為A1x+B1y+C1+(A2x+B2y+C2)=0(不包括直線A2x+B2y+C2=0).1.直線x-y+1=0的傾斜角為()A.30B.45C.120D.150答案答案B由題得,直線y=x+1的斜率為1,設(shè)其傾斜角為,則tan=1,又0180,故=45.故選B.B2.經(jīng)過兩點(diǎn)A(m,3),B(1,2m)的直線的傾斜角為135,則m的值為()A.-2B.2C.4D.-4B答案答案B由題意得=tan135=-1,即2m-3=m-

4、1,所以m=2.故選B.231mm3.經(jīng)過點(diǎn)P0(2,-3),傾斜角為45的直線方程為()A.x+y+1=0B.x+y-1=0C.x-y+5=0D.x-y-5=0D答案答案D由點(diǎn)斜式得直線方程為y-(-3)=tan45(x-2)=x-2,即x-y-5=0,故選D.4.如果AC0,BC0,那么直線Ax+By+C=0不經(jīng)過()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限C答案答案C由題意知直線的斜率k=-0,故選C.ABCB5.傾斜角為120,在x軸上的截距為-1的直線方程是.答案答案x+y+=033解析解析因?yàn)閮A斜角為120,所以斜率k=-,又由題意知直線過點(diǎn)(-1,0),所以直線方程為y=

5、-(x+1),即x+y+=0.33336.過點(diǎn)P(2,3)且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程為.3x-2y=0或或x+y-5=0答案答案3x-2y=0或x+y-5=0解析解析當(dāng)截距為0時(shí),直線方程為3x-2y=0;當(dāng)截距不為0時(shí),設(shè)直線方程為+=1,將(2,3)代入得+=1,解得a=5,故直線方程為x+y-5=0.綜上可得直線方程為3x-2y=0或x+y-5=0.xaya2a3a典例典例1(1)若點(diǎn)A(4,3),B(5,a),C(6,5)三點(diǎn)共線,則a的值為.(2)經(jīng)過P(0,-1)作直線l,若直線l與連接A(1,-2),B(2,1)的線段總有公共點(diǎn),則直線l的斜率k和傾斜角的取值范圍分別為,.

6、考點(diǎn)一直線的傾斜角與斜率考點(diǎn)一直線的傾斜角與斜率考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破答案答案(1)4(2)-1,10,43,4解析解析(1)由題意知kAC=1,kAB=a-3.由于A,B,C三點(diǎn)共線,所以a-3=1,即a=4.(2)如圖所示,為使l與線段AB總有公共點(diǎn),則kPAkkPB,5364354a 又kPA=-1,kPB=1,-1k1.又當(dāng)0k1時(shí),0;當(dāng)-1k0時(shí),.故傾斜角的取值范圍是.2( 1)1 0 1 ( 1)20 4340,43,41.求傾斜角的取值范圍的一般步驟(1)求出斜率k=tan的取值范圍;(2)利用三角函數(shù)的單調(diào)性,借助圖象或單位圓確定直線的傾斜角的取值范圍.求傾斜角時(shí)要注意斜率是否存

7、在.規(guī)律總結(jié)規(guī)律總結(jié)2.斜率的求法(1)定義法:若已知直線的傾斜角或的某種三角函數(shù)值,一般根據(jù)k=tan求斜率.(2)公式法:若已知直線上兩點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),一般根據(jù)斜率公式k=(x1x2)求斜率.2121yyxx3.求證三點(diǎn)共線的三種方法設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),則A,B,C三點(diǎn)共線可有AB與AC的斜率相等或均無(wú)斜率;由A,B確定直線l,點(diǎn)C的坐標(biāo)適合l的方程;=.ABAC直線傾斜角的范圍是0,),而這個(gè)區(qū)間不是正切函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,因此根據(jù)斜率求傾斜角的范圍時(shí),要分與兩種情況討論.由正切函數(shù)圖象可以看出,當(dāng)時(shí),斜率k0,+);當(dāng)=時(shí),斜率不存

8、在;當(dāng)時(shí),斜率k(-,0).0,2,20,22,2易錯(cuò)警示易錯(cuò)警示1-1直線xsin+y+2=0的傾斜角的取值范圍是()A.0,)B.C.D.0,43,40,40,4,2B答案答案B設(shè)直線的傾斜角為,則有tan=-sin.因?yàn)閟in-1,1,所以-1tan1,又0,),所以0或0),再沿y軸向上平移b個(gè)單位(b0),回到原來(lái)的位置,則直線l的斜率為()A.B.-C.D.-babaababB答案答案B設(shè)P是直線l上任一點(diǎn).直線回到原來(lái)的位置,即P向左平移a個(gè)單位,再向上平移b個(gè)單位,到達(dá)點(diǎn)T,即PT所在的直線為原直線(如圖),斜率k=tan=tan(180-)=-tan=-.ba典例典例2(1)

9、求過點(diǎn)A(1,3),斜率是直線y=-4x的斜率的的直線方程;(2)求經(jīng)過點(diǎn)A(-5,2),且在x軸上的截距等于在y軸上截距的2倍的直線方程;(3)求過A(2,1),B(m,3)兩點(diǎn)的直線l的方程.13考點(diǎn)二求直線的方程考點(diǎn)二求直線的方程解析解析(1)設(shè)所求直線的斜率為k,依題意k=-4=-.又直線經(jīng)過點(diǎn)A(1,3),因此所求直線方程為y-3=-(x-1),即4x+3y-13=0.(2)當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí),設(shè)所求直線方程為+=1(a0),將(-5,2)代入所設(shè)方程,解得a=-,所以直線方程為x+2y+1=0;當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí),設(shè)所求直線方程為y=kx,則-5k=2,解得k=-,1343432xaya

10、1225所以直線方程為y=-x,即2x+5y=0.故所求直線方程為2x+5y=0或x+2y+1=0.(3)當(dāng)m=2時(shí),直線l的方程為x=2;當(dāng)m2時(shí),直線l的方程為=,即2x-(m-2)y+m-6=0.將m=2代入方程2x-(m-2)y+m-6=0,得x=2,所以直線l的方程為2x-(m-2)y+m-6=0.2513 1y 22xm易錯(cuò)警示易錯(cuò)警示(1)在求直線方程時(shí),應(yīng)選擇適當(dāng)?shù)男问?并注意各種形式的適用條件.(2)對(duì)于點(diǎn)斜式、截距式方程,使用時(shí)要注意分類討論思想的運(yùn)用(若采用點(diǎn)斜式,應(yīng)先考慮斜率不存在的情況;若采用截距式,應(yīng)判斷截距是否為零).2-1(2018河南洛陽(yáng)質(zhì)檢)根據(jù)所給條件求直

11、線的方程:(1)直線過點(diǎn)(-4,0),傾斜角的正弦值為;(2)直線過點(diǎn)(-3,4),且在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為12;(3)直線過點(diǎn)(5,10),且原點(diǎn)到該直線的距離為5.1010解析解析(1)由題設(shè)知,該直線的斜率存在,故可采用點(diǎn)斜式求解.設(shè)傾斜角為,則sin=(00,b0),將點(diǎn)P(3,2)代入得+=12,得ab24,從而SAOB=ab12,當(dāng)且僅當(dāng)=時(shí)等號(hào)成立,這時(shí)k=-=-,從而所求直線l的方程為2x+3y-12=0.ABO的面積的最小值為12,所求直線l的方程為2x+3y-12=0.解法二:依題意知,直線l的斜率k存在且k0,可設(shè)直線l的方程為y-2=k(x-3)(k0),xayb3a

12、2b6ab123a2bba23SABO=(2-3k)=(12+12)=12,當(dāng)且僅當(dāng)-9k=,即k=-時(shí),等號(hào)成立.此時(shí)直線l的方程為2x+3y-12=0.ABO的面積的最小值為12,所求直線l的方程為2x+3y-12=0.1223k12412( 9 )kk 124122 ( 9 )kk124k23則A,B(0,2-3k),23,0k探究探究在本例條件不變的情況下,求|OA|+|OB|的最小值及此時(shí)l的方程.解析解析解法一:由原例題解法一知+=1.因?yàn)閨OA|+|OB|=a+b,所以(a+b)=5+5+2.當(dāng)且僅當(dāng)a=b,且+=1.即a=3+,b=2+時(shí),|OA|+|OB|的最小值為5+2.此

13、時(shí),直線l的方程為+=1,即x+3y-6-3=0.解法二:由原例題解法二知3a2b32ab3ba2ab6233a2b66636x26y66|OA|+|OB|=3-+2-3k(k0)=5+(-3k)5+2=5+2.當(dāng)且僅當(dāng)-=-3k,即k=-時(shí),|OA|+|OB|取最小值5+2.此時(shí)直線l的方程為y-2=-(x-3),即x+3y-6-3=0.2k2k2( 3 )kk 62k63663661.給定條件求直線方程的思路(1)考慮問題的特殊情況,如斜率不存在的情況,截距等于零的情況.(2)在一般情況下準(zhǔn)確選定直線方程的形式,用待定系數(shù)法求出直線方程.(3)重視直線方程一般形式的應(yīng)用,因?yàn)樗哂袕V泛的適

14、用性.方法技巧方法技巧2.與直線有關(guān)的最值問題的解題思路(1)借助直線方程,用y表示x(或用x表示y).(2)將問題轉(zhuǎn)化成關(guān)于x(或y)的函數(shù).(3)利用函數(shù)的單調(diào)性或基本不等式求最值.同類練同類練直線l過點(diǎn)P(1,4),分別交x軸的正半軸和y軸的正半軸于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn).當(dāng)|PA|PB|最小時(shí),求直線l的方程.解析解析依題意知l的斜率存在,且斜率為負(fù).設(shè)l的方程為y-4=k(x-1)(k0).令y=0,可得x=1-,則A,令x=0,可得y=4-k,則B(0,4-k).|PA|PB|=-(1+k2)=-48(k0;當(dāng)k=0時(shí),直線為y=1,符合題意.綜上,k的取值范圍是k0.(3)依題

15、意得A,B(0,1+2k),且解得k0.20,10,xy2,1,xy 0,120,kk12,0kk120,120,kkkS=|OA|OB|=|1+2k|=(22+4)=4,“=”成立的條件是4k=,此時(shí)k=,Smin=4,此時(shí)直線l的方程為x-2y+4=0.121212kk122(12 )kk12144kk121k12深化練深化練已知直線l1:ax-2y=2a-4,l2:2x+a2y=2a2+4,當(dāng)0a2時(shí),直線l1,l2與兩坐標(biāo)軸圍成一個(gè)四邊形,當(dāng)四邊形的面積最小時(shí),求l1,l2的方程.解析解析直線l1,l2恒過定點(diǎn)P(2,2),直線l1的縱截距為2-a,直線l2的橫截距為a2+2,所以四邊形的面積S=2(2-a)+2(a2+2)=a2-a+4,面積最小時(shí),a=,此時(shí)l1,l2的方程分別為x-4y+6=0,8x+y-18=0.121212