中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)三《方程與方程組》典型例題

典型例題例1已知X是實數(shù)，且 一3（x2+3x） =2,那么J +3x的值為（）x2 3xA. 1 B . - 3 或 1 C . 3 D. - 1 或 3誤解 設(shè) x2 +3x=y ，則原方程可變?yōu)?#167; _y=2, 即 y2+2y 3 = 0y? E *3 止=1.咨=T成1.故選B,解析+3 了=一3時，即是矽+3x+3=0此時A =3'4x1x3 <0，方程無實 數(shù)解，即x不是實數(shù)，與題設(shè)不符，應(yīng)舍去；當(dāng) = 1 時，即是 ?+3x-l = 0, 此時A=3 -4x1x （-方程有實數(shù)解，即x是實數(shù)，符合題設(shè)，故？+3i = l正確答案：選 A.點(diǎn)撥：此題由解分式方程演變而來，大大增加了成就機(jī)會，解題時，若忽視“實數(shù)”這 個題設(shè)條件，將求得的值不加檢驗直接寫出，則前功盡棄 . 還有一類題目由無理方程演變而來，如“已知 x 為實數(shù)，且J+2x+6 =4+2 了 +3 ，則的值等于”例 2 如果關(guān)于 x 的方程 （m-2） x2-2x+1=0 有解，貝 U m 的取值范圍是 （）A.m<3 B.m < 3 C.m<3 且 m5 2 D.m < 3 且 m5 2解析：此題是關(guān)于 x 的方程有解時，求m 的取值范圍，應(yīng)分二次項系數(shù)m-2=0 與 m-2 乒 0 兩種情況討論。1當(dāng) m-2=0 即 m=2 時，方程化為 -2x+1=0 其解為x= 。2當(dāng) m-2 乒 0, 即 悻 2,要使方程有解，貝UA=4 4（m-2） ", 得 E 3,且 護(hù) 2綜合所述，當(dāng)方程有解時m 杉 3 。選 Bo點(diǎn)撥：已知方程根的情況求系數(shù)的取值范圍， 這類問題在求解時，應(yīng)根據(jù)方程根的情況， 利用判別式建立不等式（或方程），解得m 的取值范圍（或值）；同時還應(yīng)特別注意二次項系 數(shù)不為零這一保證方程是一元二次方程的隱含條件八例 3 在一幅長 80cm 寬 50cm 的矩形風(fēng)景畫的四周鑲一條金色紙邊， 制成一幅矩形掛圖，如圖所示，如果要使整個掛圖的面積是5400cm 2 ，設(shè)金色紙邊的寬為xcm, 那么 x 滿足的方程是()A. x2+130x-1400=0 B . X2+65x-350=0C. X2-130 x-1400=0 D . X2-65 x-350=0解析：由題意可列方程(2x+50) (2x+80) =5400,化簡可得x2+65x-350=0 ,故選B.3y -2x =1例4方程組 x+2 y +1 =.3 4解析：先把方程整理為一般形式4x- 3y=- 5，通過觀察發(fā)現(xiàn)方程和中y的系數(shù)是“十鄰口 “一 3”，可以用整體代入法將變形為3y=1+2x后代入，得出關(guān)于 x的一元一次方程，進(jìn)而得到方程組的解.解：原方程整理為"y 2x =1楫-3y = -5由得3y=1+2x把代入得4x (2x+1)= - 5解得x= 2把x= 2代入，得3y=2 X (- 2)+1y= - 1 一、x = -2所以原方程的解為x 2y = -1%. 點(diǎn)撥：(1)解二元一次方程組一般要整理成標(biāo)準(zhǔn)形式，這樣有利于確定消去哪個未知數(shù)；(2)用代入法解方程組，關(guān)鍵是靈活“變形”和“代入”，以達(dá)到“消元”的目的，要認(rèn)真體會此題代入的技巧和方法.例5某省重視治理水土流失問題，2001年治理了水土流失面積 400平方公里，計劃今、明兩年每年治理水土流失面積都比前一年增長一個相同的百分?jǐn)?shù)，到2003年底使這三年治理的水土流失面積達(dá)到1324平方公里，求該省今明兩年治理水土流失面積每年增長的百分?jǐn)?shù)。解析：設(shè)每年增長的百分?jǐn)?shù)是x,根據(jù)題意得2400 400(1 x) 400(1 x) =1324解這個方程得X1 =0.1 =10% , X 2 =廣.1 (不合題意舍去)答：每年增長的百分?jǐn)?shù)是10%點(diǎn)撥：此題是增長率問題，要理解題意，這里給出的是三年治理水土流失面積的總和,而不是第三年治理的水土流失面積。例 6 A B 兩地相距 40 千米，甲乘汽車、乙騎車從A 地出發(fā)去 B 地。甲乘車每小時所行路程是乙騎車每小時所行路程的 2 倍還多 12 千米，乙早走1 小時，結(jié)果兩人同時到達(dá)B地，求甲乙二人各用多少小時？解：設(shè)乙每小時速度為 x 千米，貝 U 甲每小時速度為 （ 2x 十 12 ） 千米，依題意得：40（2x 12） -40x = x（2x 12）- 2- 80x 480 - 40x - 2x -12xA02x2 -28x-480=0 2x2 - 14x -240 = 0x1 - -10 x2= 24經(jīng)檢驗： x1 = -10 x 2 =24 是原方程的解，但x=10 不合題意，舍去。二 甲所用時間：一40= 2 （ 小時 ）2 24 123乙所用時間 ： 40 = 5 （小時 ）2432 5 答：甲所用時間為 2 小時，乙所用時間為5小時。3 3說明：行程問題是常見的應(yīng)用題，它的基本關(guān)系是路程=速度x 時間。例 7 某中學(xué)新建了一棟 4 層的教學(xué)大樓，每層樓有8 間教室，進(jìn)出這棟大樓共有4 道 門，其中兩道正門大小相同，兩道側(cè)門大小也相同。安全檢查中，對4 道門進(jìn)行了測試：當(dāng)同時開啟一道正門和兩道側(cè)門時， 2 分鐘內(nèi)可以通過560 名學(xué)生；當(dāng)同時開啟一道正門和一道側(cè)門時， 4 分鐘內(nèi)可以通過800 名學(xué)生。（ 1 ） 求平均每分鐘一道正門和一道側(cè)門各可以通過多少名學(xué)生？（ 2 ） 檢查中發(fā)現(xiàn)，緊急情況時因?qū)W生擁擠，出門的效率將降低20% 。安全檢查規(guī)定： 在緊急情況下全大樓的學(xué)生應(yīng)在5 分鐘內(nèi)通過這4 道門安全撤離。假設(shè)這棟教學(xué)大樓每間教 室最多有 45名學(xué)生，問：建造的這4 道門是否符合安全規(guī)定？請說明理由。解： （ 1 ）設(shè)平均每分鐘一道正門可以通過x 名學(xué)生，一道側(cè)門可以通過y 名學(xué)生，由題 意得 :” 2（x+ 2y） =560 4（x + y） =800 x=120解得： / 二 80答：平均每分鐘一道正門可以通過120 名學(xué)生，一道側(cè)門可以通過80 名學(xué)生。（2）這棟樓最多有學(xué)生4X 8X 45= 1440 （名）擁擠時 5 分鐘 4 道門能通過: 5x2（120+80）（1 -20%） =1600 （名）. . 1600> 1440? 建造的 4 道門符合安全規(guī)定。點(diǎn)撥：運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決社會熱點(diǎn)問題和實際生活中的問題，是中考命題的一大熱點(diǎn)。 解題的 關(guān)鍵是理解題意，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題。