福建師范大學(xué)21秋《近世代數(shù)》平時(shí)作業(yè)一參考答案37

福建師范大學(xué)21秋近世代數(shù)平時(shí)作業(yè)一參考答案1. 曲線y=x2與x=y2所圍圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體的體積為_。曲線y=x2與x=y2所圍圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體的體積為_。2. 設(shè)汞的密度與溫度的關(guān)系為=a0+a1t+a2t2+a3t3，經(jīng)實(shí)驗(yàn)收集了四組數(shù)據(jù)：當(dāng)溫度為0、10、20、30(單位：)時(shí)，汞的設(shè)汞的密度與溫度的關(guān)系為=a0+a1t+a2t2+a3t3，經(jīng)實(shí)驗(yàn)收集了四組數(shù)據(jù)：當(dāng)溫度為0、10、20、30(單位：)時(shí)，汞的密度分別為13. 60、13. 57、13.55、13.52(單位：t/m3)  請估計(jì)當(dāng)溫度為15時(shí)，汞的密度為多少13.56t/m33. 因?yàn)橐辉瘮?shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的可微性與可導(dǎo)性是等價(jià)的，所以有人說“微分就是導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)數(shù)就是微分”，這種說法對因?yàn)橐辉瘮?shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的可微性與可導(dǎo)性是等價(jià)的，所以有人說“微分就是導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)數(shù)就是微分”，這種說法對嗎？該說法不對    從概念上講，微分是從求函數(shù)增量引出線性主部而得到的，導(dǎo)數(shù)是從函數(shù)變化率問題歸納出函數(shù)增量與自變量增量之比的極限，它們是完全不同的概念    從幾何意義上講，函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是該函數(shù)表示的曲線方程在該點(diǎn)的切線的斜率；函數(shù)在某點(diǎn)的微分的幾何意義是該函數(shù)表示的曲線方程在該點(diǎn)的縱坐標(biāo)的增量 4. 求出等于下列表達(dá)式的一個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)求出等于下列表達(dá)式的一個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)  運(yùn)用Pascal公式，可得                        還可運(yùn)用組合學(xué)方法證明。這只要考慮對集合a1，a2，an，b1，b2，b3的k-組合以如下方式形成：從n個(gè)a中取k個(gè)a，再從3個(gè)b中取0個(gè)b；或者從n個(gè)a中取k-1個(gè)a，再從3個(gè)b中取1個(gè)b；或者從n個(gè)a中取k-2個(gè)a，再從3個(gè)b中取2個(gè)b；或者從n個(gè)a中取k-3個(gè)a，再從3個(gè)b中取3個(gè)b。因此     5. 若n階方陣A，B滿足AB=A+B，則(A-E)-1=_.若n階方陣A，B滿足AB=A+B，則(A-E)-1=_.B-E.6. 一個(gè)m×n的棋盤只有白色與黑色兩種方格，其中m和n都是奇數(shù)。如果黑色方格比白色方格多一個(gè)方格，試證明：當(dāng)棋盤一個(gè)m×n的棋盤只有白色與黑色兩種方格，其中m和n都是奇數(shù)。如果黑色方格比白色方格多一個(gè)方格，試證明：當(dāng)棋盤上恰有一個(gè)黑方格禁止放子，那么該棋盤有一個(gè)用多米諾牌的完美覆蓋。設(shè)禁止放子的黑方格位于第i行第j列上。下面分別就i與j的不同奇偶性情況進(jìn)行討論。    (1)i與j同為偶數(shù)或同為奇數(shù)。此時(shí)，將棋盤劃分為如圖7.14所示的區(qū)域A1(為i×(j-1)的區(qū)域)、區(qū)域A2(為(m-i)×j的區(qū)域)、區(qū)域A3(為(i-1)×(n-j+1)的區(qū)域)、區(qū)域A4(為(m-i+1)×(n-j)的區(qū)域)以及禁止放子的黑方格(圖中陰影部分)。由于A1，A2，A3與A4無論i與j同為偶數(shù)還是同為奇數(shù)，總有偶數(shù)邊長，故可知，它們都有完美覆蓋。        (2)i與j為一奇一偶。此時(shí)，如果不要求白格與黑格的位置，則不一定存在完美覆蓋，如在圖7.15中，第1行中第2格是禁止放子的黑格。如果要求棋盤行和列之間都是黑白格相間，則i與j的一奇一偶情況不會(huì)出現(xiàn)。事實(shí)上，不妨設(shè)i為奇，j為偶。由于黑格比白格多一個(gè)，故第1行上第1個(gè)格是黑格。則第i行第1個(gè)格是黑格，從而第i行上只有偶數(shù)列上方格是白格。     7. 求微分方程y"+2y&39;-3y=2ex-1的通解求微分方程y"+2y'-3y=2ex-1的通解8. f和g在點(diǎn)x0連續(xù)，若f(x0)>g(x0)，則存在U(x0,)，使在其內(nèi)有f(x)>g(x)。( )f和g在點(diǎn)x0連續(xù)，若f(x0)>g(x0)，則存在U(x0,)，使在其內(nèi)有f(x)>g(x)。( )正確答案： 9. 已知某賬戶的當(dāng)前余額為1000000元，甲在第1年底提出1500000元，在第2年底又投入900000元計(jì)算該項(xiàng)目中甲的收已知某賬戶的當(dāng)前余額為1000000元，甲在第1年底提出1500000元，在第2年底又投入900000元計(jì)算該項(xiàng)目中甲的收益率對投資一方來說，有    B0=1000000元0元，B1=1000000(1+i)-1500000元，    B2=1000000(1+i)2-1500000(1+i)+900000元    =10000100i2+50i+40元0元    也就是說，對于任何利率i，投資者甲的最終結(jié)果(在第2年底)都是虧損例如：當(dāng)i=0.1時(shí)，甲在第1年底提出1500000元，提款之后的余額為1000000×(1+0.1)-1500000元=-400000元，那么，在第2年底，以利率i=0.1計(jì)算得投資者最多可以借出400000×(1+0.1)元=440000元900000元換個(gè)角度看，在這個(gè)項(xiàng)目中，無論考慮什么樣的年利率，都不能刻畫該項(xiàng)目的虧損情況 10. 判別一個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性，一般可以按怎樣的程序選擇審斂法？判別一個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性，一般可以按怎樣的程序選擇審斂法？一般而言，經(jīng)過一定的訓(xùn)練以后，往往根據(jù)所給正項(xiàng)級(jí)數(shù)的特點(diǎn)，大致可以確定使用何種審斂法來判定級(jí)數(shù)的收斂性，但這對初學(xué)者來說，有時(shí)可能感到困難，這時(shí)可按下面的程序進(jìn)行考慮：    (1)檢查一般項(xiàng)，若，可判定級(jí)數(shù)發(fā)散否則進(jìn)入(2).    (2)用比值審斂法(或根值審斂法)判定倘若或極限不存在，則進(jìn)入(3).    (3)用比較審斂法或極限形式的比較審斂法若無法找到適用的參照級(jí)數(shù)，則進(jìn)入(4).    (4)檢查正項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分Sn和是否有界或判別Sn是否有極限 11. 求曲面M：z=axy(a>0)上兩坐標(biāo)曲線x=x0與y=y0之間的夾角求曲面M：z=axy(a>0)上兩坐標(biāo)曲線x=x0與y=y0之間的夾角正確答案：解設(shè)曲面M的參數(shù)表示為x(xy)=(xyaxy)則xx"=(10ay) xy"=(01ax)E=xx".xx"=1+a2y2 G=xy".xy"=1+a2x2F=xx".xy"=a2xy第1基本形式為I=Edx2+2Fdxdy+Gdy2=(1+a2y2)dx2+2a2xy dxdy+(1+(a2x2)dy2設(shè)坐標(biāo)曲線x=x0的方向?yàn)?01)y=y0的方向(10)則兩坐標(biāo)曲線x=x0與y=y0的夾角的余弦為rn故rn解設(shè)曲面M的參數(shù)表示為x(x,y)=(x,y,axy),則xx"=(1,0,ay),xy"=(0,1,ax),E=xx".xx"=1+a2y2,G=xy".xy"=1+a2x2,F=xx".xy"=a2xy第1基本形式為I=Edx2+2Fdxdy+Gdy2=(1+a2y2)dx2+2a2xydxdy+(1+(a2x2)dy2設(shè)坐標(biāo)曲線x=x0的方向?yàn)?0,1),y=y0的方向(1,0),則兩坐標(biāo)曲線x=x0與y=y0的夾角的余弦為故12. 直接證明下列級(jí)數(shù)的斂散性如果收斂，求其和 (1) (2) (3) (4),m1 (5)，a,bR+直接證明下列級(jí)數(shù)的斂散性如果收斂，求其和  (1)  (2)  (3)  (4),m1  (5)，a,bR+(1)因?yàn)?，所?               于是因此級(jí)數(shù)收斂，且其和為    (2)因?yàn)?   所以    于是          因此級(jí)數(shù)收斂，且其和為    (3)因?yàn)?，所以                因?yàn)椴淮嬖?，所以不存在，故?jí)數(shù)發(fā)散    (4)因?yàn)?           而m1，所以，于是因此級(jí)數(shù)收斂，且其和為m    (5)因?yàn)?，所以和均收斂，?   ，    根據(jù)收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)得知收斂，且其和為 13. 對事件A，B，說明下列關(guān)系式相互等價(jià)： (1); (2) (3)A+B=B; (4)AB=A; (5)對事件A，B，說明下列關(guān)系式相互等價(jià)：  (1);  (2)  (3)A+B=B;  (4)AB=A; (5)用文氏圖表示事件A，B的關(guān)系即可看出(1)、(3)、(4)、(5)是相互等價(jià)的，即        又有    于是可得(2)與(1)、(3)、(4)、(5)也是相互等價(jià)的。 14. 比較組合邏輯電路和時(shí)序邏輯電路的測試方法。比較組合邏輯電路和時(shí)序邏輯電路的測試方法。組合邏輯電路測試方法有窮舉法、一維通路敏化法、布爾差分法和D算法等。時(shí)序邏輯電路測試的主要方法是把時(shí)序電路構(gòu)造成相應(yīng)的組合電路。15. 若f(x)dx=F(x)+C，則xf(x2)dx=_若f(x)dx=F(x)+C，則xf(x2)dx=_16. 設(shè)2x3-x2+3x-5=a(x-2)3+b(x-2)2+c(x-2)+d，求a，b，c，d 提示：應(yīng)用綜合除法 設(shè)2x3-x2+3x-5=a(x-2)3+b(x-2)2+c(x-2)+d，求a，b，c，d   提示：應(yīng)用綜合除法 由            可知，以x-2除f(x)得余數(shù)d；再以x-2除商q1(x)得余數(shù)c；再以x-2除第二次商q2(x)得余數(shù)b，易知a=2，也是第三次除法所得之商 算式如下：        結(jié)果有  f(x)=2x3-x2-3x-5            =2(x-2)3+11(x-2)2+23(x-2)+13 17. 求曲線y=cosx在點(diǎn)的切線和法線方程求曲線y=cosx在點(diǎn)的切線和法線方程切線方程    法線方程 18. 對于下列修正的Newton公式 設(shè)f(x*)=0，f(x*)0 試證明：該方法至少是二階收斂的對于下列修正的Newton公式    設(shè)f(x*)=0，f(x*)0  試證明：該方法至少是二階收斂的證明  設(shè)        因?yàn)閒(x*)=0  且f'(x*)0    所以x*是f(x)=0的單根    所以在xk與xk+f(xk)之間    f(x+f(x)-f(x)=f'()f()f(x)    因?yàn)?   且    所以所以迭代法收斂于x*    因?yàn)?   所以    所以修正的Newton法至少二階收斂 19. 計(jì)算第一類曲線積分Lf(x，y)ds時(shí)，要注意哪些問題?計(jì)算第一類曲線積分Lf(x，y)ds時(shí)，要注意哪些問題?(1)如果積分弧段L用顯式方程y=y(x)(axb)給出，則可把它當(dāng)作特殊的參數(shù)方程x=t，y-y(t)(atb)的情形來處理但此時(shí)有一點(diǎn)要注意：有些可用參數(shù)方程統(tǒng)一表示的曲線(特別如閉曲線)，若用顯式方程y=y(x)(或x=x(y)來表示，也許需要分弧段表示比如圓L：x=cost，y=sint(0t2)，若用顯式方程表示則需分成上半圓L1：(-1x1)和下半圓L2：(-1x1)，這時(shí)計(jì)算在L上的第一類曲線積分就要分別計(jì)算在L1和L2上的第一類曲線積分，然后把結(jié)果相加    如果積分弧段L用極坐標(biāo)方程=()()表示，則可把它看作是特殊的參數(shù)方程    x=()cos，  y=()sin()    的情形處理容易算得，此時(shí)    (2)如同重積分那樣，也可以利用對稱性來化簡第一類曲線積分的計(jì)算，有關(guān)結(jié)論與重積分的情況類似比如，若積分弧段L關(guān)于x軸對稱，而被積函數(shù)f(x，y)關(guān)于y是奇函數(shù)，則Lf(x，y)ds=0；若f(x，y)關(guān)于y是偶函數(shù)，則Lf(x，y)ds=2L1f(x，y)ds，其中L1是L上的y0的那一部分弧段又若L關(guān)于直線y=x對稱，則Lf(x，y)ds=Lf(y，x)ds，等等讀者可類比得出其他情況下的結(jié)論    計(jì)算第一類曲線積分時(shí)，還可以利用積分弧段L的方程來化簡被積函數(shù)(計(jì)算第二類曲線積分時(shí)也可以這樣處理)由于積分變量x，y取在L上，故x，y滿足L的方程，因此，需要時(shí)可將L的方程代入被積函數(shù)，達(dá)到化簡的目的，這是計(jì)算曲線積分(以及以后的曲面積分)特有的方法 20. 設(shè)3個(gè)向量a，b，c兩兩相互垂直，并且|a|=1，|b|=2，|c|=3，則|a+b+c|=_，|a×b+b×c+c×a|=_。&lt設(shè)3個(gè)向量a，b，c兩兩相互垂直，并且|a|=1，|b|=2，|c|=3，則|a+b+c|=_，|a×b+b×c+c×a|=_。  721. 最大似然估計(jì)的統(tǒng)計(jì)思想是什么?最大似然估計(jì)的統(tǒng)計(jì)思想是什么?22. 證明：函數(shù)在原點(diǎn)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都不存在，但函數(shù)在原點(diǎn)有極大值證明：函數(shù)在原點(diǎn)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都不存在，但函數(shù)在原點(diǎn)有極大值記z=f(x，y)，則    可知    因此不存在，即z關(guān)于x的偏導(dǎo)數(shù)，在點(diǎn)(0，0)處不存在    相仿可證z關(guān)于y的偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)(0，0)處不存在    由于f(0，0)=1，當(dāng)x2+y20時(shí)，    可知在原點(diǎn)處取得極大值關(guān)于z在原點(diǎn)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)，直接由定義可驗(yàn)證不存在,z在原點(diǎn)處極值問題可以由極值的定義判定 23. 設(shè)y1(x)，y2(x)均為方程 yP(x)yQ(x)的解，并且y(x)y2(x)試寫出此方程的通解設(shè)y1(x)，y2(x)均為方程 yP(x)yQ(x)的解，并且y(x)y2(x)試寫出此方程的通解正確答案：因?yàn)閥1(x)y2(x)均為方程yP(x)yQ(x)的解所以y1(x)y2(x)為對應(yīng)齊次方程yP(x)y0的解從而 ycy1(x)y2(x)為齊次方程的通解其中C為任意常數(shù)rn 因此yP(x)yQ(x)的通解為 ycy1(x)一y2(x)y1(x)因?yàn)閥1(x),y2(x)均為方程yP(x)yQ(x)的解,所以y1(x)y2(x)為對應(yīng)齊次方程yP(x)y0的解從而ycy1(x)y2(x)為齊次方程的通解,其中C為任意常數(shù)因此,yP(x)yQ(x)的通解為ycy1(x)一y2(x)y1(x)24. 長為2l的桿，質(zhì)量均勻分布，其總質(zhì)量為M，在其中垂線上高為h和有一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，求它們之間引力的大小長為2l的桿，質(zhì)量均勻分布，其總質(zhì)量為M，在其中垂線上高為h和有一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，求它們之間引力的大小建立如下圖所示的坐標(biāo)系，取x為積分變量，x-l，l任取一微元x，x+dx，小段與質(zhì)點(diǎn)的距離為，質(zhì)點(diǎn)對小段的引力為          鉛垂方向的分力元素為    由對稱性在水平方向的分力為Fx=0 25. 設(shè)f(x，y)關(guān)于y在R上滿足Lipschitz條件：對任意的R，R，有 ， (7.14) 其中L稱為Lipschitz常數(shù)對后退歐拉公設(shè)f(x，y)關(guān)于y在R上滿足Lipschitz條件：對任意的R，R，有  ， (7.14)  其中L稱為Lipschitz常數(shù)對后退歐拉公式  yi+1=yi+hf(xi+1，yi+1) (7.15)  進(jìn)行迭代求解   (7.16)  證明當(dāng)h滿足hL1時(shí)，此迭代過程是收斂的首先證明是Cauchy序列由            兩邊取絕對值并利用條件(7.14)得    ，k=1，2，3，    遞推得    ，k=1，2，3，    對任意的l，m(lm)，有                            因?yàn)閔L1，所以任給0，存在N，當(dāng)lmN時(shí)，        因而是Cauchy序列，從而存在，設(shè)其值為y*    在(7.16)的兩邊令k，則得y*=yi+hf(xi+1，y*)因而     26. 如果一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)(A，*)，含有單位元素，那么什么條件下可以保證一個(gè)元素的左逆元素必定等于右逆元素，且一個(gè)元如果一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)(A，*)，含有單位元素，那么什么條件下可以保證一個(gè)元素的左逆元素必定等于右逆元素，且一個(gè)元素的逆元素是唯一的，并給予證明“*”運(yùn)算要是可結(jié)合的設(shè)aA，有左逆元a-1和右逆元a-1，則    al-1=al-1*e=al-1*(a*(ar-1)=(al-1*a)*ar-1=e*ar-1=ar-1    即有左、右逆元相等：al-1=ar-1    假設(shè)a有兩個(gè)逆元al-1，ar-1，則：    a1-1=a1-1*e=a1-1*(a*a2-1)=(a1-1*a)*2-1=e*a2-1=a2-1，    即a的逆元唯一 27. 驗(yàn)證極限存在，但不能用洛必達(dá)法則求出驗(yàn)證極限存在，但不能用洛必達(dá)法則求出若用洛必達(dá)法則，則因    不存在故題設(shè)極限不能用洛必達(dá)法則求出 28. 設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為，求常數(shù)A，以及滿足條件PXc=2PXc的常數(shù)c設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為，求常數(shù)A，以及滿足條件PXc=2PXc的常數(shù)cA=2/，29. 設(shè)f(x)在(，)內(nèi)可導(dǎo)，且F(x)f(x21)f(1x2)，證明：F(1)F(1)設(shè)f(x)在(，)內(nèi)可導(dǎo)，且F(x)f(x21)f(1x2)，證明：F(1)F(1)正確答案：×證明：F(x)=f(x21)f(1x2)f(x)在(,)內(nèi)可導(dǎo)F(x)為可導(dǎo)函數(shù)F(x)f(x21)×2x+f(1x2)(2x)2xf(x21)f(1x2)F(1)2f(0)f(0)0F(1)(2)f(0)f(0)0F(1)F(1)30. 設(shè)P(A)0，P(B)0，則_正確 A若A與B獨(dú)立，則A與B必相容 B若A與B獨(dú)立，則A與B必互不相容 C若A與B互設(shè)P(A)0，P(B)0，則_正確  A若A與B獨(dú)立，則A與B必相容  B若A與B獨(dú)立，則A與B必互不相容  C若A與B互不相容，則A與B必獨(dú)立  D若A與B相容，則A與B必獨(dú)立A因?yàn)镻(A)0，P(B)0，所以，若A與B獨(dú)立，則    P(AB)=P(A)P(B)0    從而AB，即A與B相容，所以選項(xiàng)A正確，而選項(xiàng)B不正確    A的等價(jià)命題也成立，即若A與B互不相容，則A與B必不獨(dú)立，所以C不正確，D顯然不正確    故應(yīng)選A 31. 求直線l1：與直線l2：的公垂線方程求直線l1：與直線l2：的公垂線方程根據(jù)題意知公垂線的方向向量可取    ，    l1與公垂線所確定平面1的法向量為    ,    點(diǎn)(9，-2，0)在平面1上，故1的方程為    -16(x-9)-27(y+2)-17(z-0)=0,    即    16x+27y+17z-90=0.    同理，l2與公垂線所確定平面H2的法向量為    ,    點(diǎn)(0，-7，7)在平面2上，故2的方程為    58(x-0)+6(y+7)+31(z-7)=0,    即    58x+6y+31z-175=0.    1與2的交線即為l1與l2的公垂線，故公垂線方程為     32. 設(shè)A=a1，a2，a3，a4，a5，R是A上的二元關(guān)系，其關(guān)系矩陣 試說明關(guān)系R不是傳遞關(guān)系。設(shè)A=a1，a2，a3，a4，a5，R是A上的二元關(guān)系，其關(guān)系矩陣  試說明關(guān)系R不是傳遞關(guān)系。由于a12=1，a24=1，所以有(a1，a2)R和(a2，a4)R，但a14=0，即(a1，a4)R，由此說明R不是傳遞關(guān)系。33. 用對稱式方程及參數(shù)方程表示直線用對稱式方程及參數(shù)方程表示直線設(shè)直線的方向向量為n，則可取        再在直線上取一點(diǎn)，例如，可令z=0，得        于是，直線的對稱式方程        參數(shù)式方程為 34. 設(shè)an,bn二收斂級(jí)數(shù)中至少有一個(gè)為絕對收斂，又設(shè)cn=a0bn+a1bn-1+anb0，則cn必收斂，且 墨吞斯設(shè)an,bn二收斂級(jí)數(shù)中至少有一個(gè)為絕對收斂，又設(shè)cn=a0bn+a1bn-1+anb0，則cn必收斂，且  墨吞斯可假定bn為絕對收斂于是根據(jù)假設(shè)便有        置n=|b0|+|b1|+|bn|，n=c0+c1+cn則    n=(a0+a1+a2+an)(b0+b1+b2+bn)-b1an-    b2(an+an-1)-b3(an+an-1+an-2)-bn(an+an-1+a1)=sns'n-b1(sn-sn1)-b2(sn-sn-2)-bn(sn-s0)    故        現(xiàn)在的情況很明白，由于    故對于任意給定的0，總可選取n，m以及n-m都充分地大，使得    |n-ss'|sns'n-ss'|+(m-0)-A，此處A=max|sn-sn-j|(m+1jn)又|snsn'-ss'|亦可使之小于所設(shè)由于為任意而A及m均系有界，故得|n-ss'|0 35. 盒子中有10個(gè)球，其中8個(gè)白球和2個(gè)紅球，由10個(gè)人依次取球不放回，求第二人取出紅球的概率盒子中有10個(gè)球，其中8個(gè)白球和2個(gè)紅球，由10個(gè)人依次取球不放回，求第二人取出紅球的概率0.236. 9某人忘記了一個(gè)電話號(hào)碼的最后一位數(shù)字，因此只能試著隨意地?fù)苓@位數(shù)，試求他撥號(hào)不超過三次就能接通電話的9某人忘記了一個(gè)電話號(hào)碼的最后一位數(shù)字，因此只能試著隨意地?fù)苓@位數(shù)，試求他撥號(hào)不超過三次就能接通電話的概率是多少?若記得最后一位是奇數(shù)，則此概率又是多少?此人必定在十次之內(nèi)接通此號(hào)碼，將此十次看做是10個(gè)箱子，編號(hào)為1，2，10把正確的號(hào)碼看做一個(gè)球，此球置于第n號(hào)箱子中，表示此人撥n次才能接通電話，球的放置方法共10種以4表示“不超過三次就能接通電話”這一事件，則A的有利場合就是將球置入前三個(gè)箱子中，共有三種，故P(A) =3/10=0.3    若記得最后一位是奇數(shù)，則多只需撥五次就能接通電話。故樣本點(diǎn)總數(shù)為5，P(A) =3/5=0.6 37. 證明f-gf-g證明f-gf-g證明  f=(f-g)+gf-g+g    所以f-gf-g 38. y=y&39;2ey'y=y'2ey'已解出y；不顯含x令y'=p，有y=p2ep及解為y=p2ey，x=(p+1)ep+c另外有解y=039. 設(shè)f(x)在區(qū)間a，b上連續(xù)，則函數(shù)在區(qū)間a，b上一定( ) A連續(xù) B可導(dǎo) C可積 D有界設(shè)f(x)在區(qū)間a，b上連續(xù)，則函數(shù)在區(qū)間a，b上一定(  )  A連續(xù)  B可導(dǎo)  C可積  D有界ABCD解 全都成立首先，由于f(x)在a，b連續(xù)，故在a，b上成立F'(x)=f(x)，這說明F(x)于a，b上可導(dǎo)，再從可導(dǎo)推出連續(xù)，而閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)必有界，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)必定可積等一般結(jié)果知，其他選項(xiàng)正確40. 1設(shè)F(x)是連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)，x1，x2為數(shù)軸上任意兩點(diǎn)，且有x1x2，則( )不一定成立 AF(x1)1設(shè)F(x)是連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)，x1，x2為數(shù)軸上任意兩點(diǎn)，且有x1x2，則(  )不一定成立  AF(x1)2)  BF(x1)F(x2)  CF(x)在x1處連續(xù)  DF(x2)-F(x1)=P(x1xx2)A41. 函數(shù)2(e2x-e-2x)的原函數(shù)有( ) A(ex+e-x)2 B(ex-e-x)2 Cex+e-x D4(e2x+e-2x)函數(shù)2(e2x-e-2x)的原函數(shù)有(  )  A(ex+e-x)2  B(ex-e-x)2  Cex+e-x  D4(e2x+e-2x)AB用求導(dǎo)的方法，可以驗(yàn)證A，B正確42. 若f(x)dx=x+C，則f(1-x)dx=_。若f(x)dx=x+C，則f(1-x)dx=_。x+C43. 求微分方程xy&39;-y=x3+3x2-2x的通解求微分方程xy'-y=x3+3x2-2x的通解44. 重積分的被積表達(dá)式f(x，y)d，f(x，y，z)dV的含義是什么?重積分的被積表達(dá)式f(x，y)d，f(x，y，z)dV的含義是什么?正確答案：45. 用來表明同類現(xiàn)象在不同空間、不同時(shí)間、實(shí)際與計(jì)劃對比變動(dòng)情況的相對數(shù)稱_指數(shù)。用來表明同類現(xiàn)象在不同空間、不同時(shí)間、實(shí)際與計(jì)劃對比變動(dòng)情況的相對數(shù)稱_指數(shù)。廣義46. 設(shè)M=1，2，3)，與是M的置換：，求-1，-1設(shè)M=1，2，3)，與是M的置換：，求-1，-1             47. 若函數(shù)f(x)在(a，b)內(nèi)具有二階導(dǎo)函數(shù)，且 f(x1)=f(x2)=f(x3)(ax1x2x3b)，證明：在(x1，x3)內(nèi)至少有一點(diǎn)，使若函數(shù)f(x)在(a，b)內(nèi)具有二階導(dǎo)函數(shù)，且  f(x1)=f(x2)=f(x3)(ax1x2x3b)，證明：在(x1，x3)內(nèi)至少有一點(diǎn)，使得f"()=0顯然f(x)在(a，b)內(nèi)連續(xù)可導(dǎo)，故f(x)在x1,x2及x2，x3上連續(xù)，在(x1，x2)及(x2，x3)上可導(dǎo)，于是由羅爾定理知，2(x2，x3)，使得    f'(1)=f'(2)=0  (12)，又，故f(x)在1，2上連續(xù)可導(dǎo)，再次應(yīng)用羅爾定理知，        使得f"()=0， (x1，x3) 48. 求下列函數(shù)的微分： (1)y=acos3x(a0)； (2)y=(1+x2)xesx求下列函數(shù)的微分：  (1)y=acos3x(a0)；  (2)y=(1+x2)xesx(1)因?yàn)閥'=(acos23x)'=acos23x·2cos3x·(-3sin3x)lna，    所以   dy=-6sin3xcos3x·Ina·acos23xdx    =-3sin6xlnaacos23xdx    (2)y'=(1+x2)secxsecxln(1+x2)'    故有   49. 設(shè)f(x)在0，1上連續(xù)，取正值且單調(diào)減少，證明設(shè)f(x)在0，1上連續(xù)，取正值且單調(diào)減少，證明作        (因f(x)單調(diào)減少，f(t)-f(x)0，0tx)要證，作輔助函數(shù)只要證F()0，證F(x)0即可，這種函數(shù)不等式的證明可用微分學(xué)方法 50. 設(shè)A，B，C為三相異共線點(diǎn)，求證：可適當(dāng)選擇A，B的齊次坐標(biāo)a，b，而使cab，其中c是C點(diǎn)的齊次坐標(biāo)，寫出設(shè)A，B，C為三相異共線點(diǎn)，求證：可適當(dāng)選擇A，B的齊次坐標(biāo)a，b，而使cab，其中c是C點(diǎn)的齊次坐標(biāo)，寫出對偶情況正確答案：設(shè)ABC的齊次坐標(biāo)分別為a1、b1、c則根據(jù)定理34存在常數(shù)lm使cla1mb1rn 因?yàn)锳BC為不同的點(diǎn)所以l0m0取A點(diǎn)的坐標(biāo)為la1B點(diǎn)的坐標(biāo)為mb1則有cab設(shè)A,B,C的齊次坐標(biāo)分別為a1、b1、c,則根據(jù)定理34,存在常數(shù)l,m,使cla1mb1,因?yàn)锳,B,C為不同的點(diǎn),所以l0,m0,取A點(diǎn)的坐標(biāo)為la1,B點(diǎn)的坐標(biāo)為mb1,則有cab51. 給定微分方程組 ， 其中f(x，y)有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)試證明在原點(diǎn)鄰域內(nèi)如f0則零解為漸近穩(wěn)定的，而f0則零解給定微分方程組  ，  其中f(x，y)有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)試證明在原點(diǎn)鄰域內(nèi)如f0則零解為漸近穩(wěn)定的，而f0則零解不穩(wěn)定取定正，有V'=-(x2+y2)f(x，y)當(dāng)f0時(shí)V'定負(fù)，零解漸近穩(wěn)定，而f0時(shí)V'定正，零解不穩(wěn)定52. 甲、乙、丙、丁四人爭奪乒乓球單打冠軍，已知情況如下： 前提：(a)若甲獲冠軍，則乙或丙獲亞軍； (b)若乙獲亞軍，甲、乙、丙、丁四人爭奪乒乓球單打冠軍，已知情況如下：  前提：(a)若甲獲冠軍，則乙或丙獲亞軍；  (b)若乙獲亞軍，則甲不能獲冠軍；  (c)若丁獲亞軍，則丙不能獲亞軍；  事實(shí)是：(d)甲獲冠軍；  結(jié)論是：(e)丁沒有獲亞軍。  請證明此結(jié)論是有效結(jié)論。證明如果令    P：甲獲冠軍；    Q：乙獲亞軍；    R：丙獲亞軍；    S：丁獲亞軍。    由題意可知，需證明    P(QR)，QP，SR，    用間接證明法：    S    P(附加前提)    SR    P    R    T，    P    P    P(QR)    P    QR    T，    (QR)(RQ)    T    QR    T    QP    P    Q    T，    (11)R    T，    (12)RR(矛盾)    T，(11) 53. 已知一容器的外表面由y=x2(0y12m)繞y軸旋轉(zhuǎn)而成，現(xiàn)在該容器盛滿了水，將容器內(nèi)的水全部抽出至少需作多少功已知一容器的外表面由y=x2(0y12m)繞y軸旋轉(zhuǎn)而成，現(xiàn)在該容器盛滿了水，將容器內(nèi)的水全部抽出至少需作多少功？以y為積分變量，則y的變化范圍為0，12，相應(yīng)于0，12上的任一小區(qū)間y，y+dy的一薄層水近似看作高為dy、底面積為x2=y的一個(gè)圓柱體，得到該部分體積為ydy，水的密度P=1000kg/m3，該部分重力為1000gydy，把該部分水抽出的移動(dòng)距離為12-y，因此作功為    . 54. 設(shè)y1，y2是二階非齊次線性微分方程的兩個(gè)不同的特解，證明： (1)y1與y2之比不可能是常數(shù)； (2)對任何一個(gè)常數(shù)設(shè)y1，y2是二階非齊次線性微分方程的兩個(gè)不同的特解，證明：  (1)y1與y2之比不可能是常數(shù)；  (2)對任何一個(gè)常數(shù)，y=y1+(1-)y2是方程的解(1)如果y1=ky2，則由題意，常數(shù)k0，1從而有    y"1+P(x)y'1+Q(x)y'1=f(x)    以及  y"1+P(x)y'1+Q(x)y1=(ky2)"+P(x)(ky2)'+Q(x)(ky2)=kf(x)    于是就有kf(x)=f(x)，但f(x)0，此式不可能成立，所以y1與y2之比不可能是常數(shù)    (2)將y=y1+(1-)y2代入方程的左端，得到    y1+(1-)y2"+P(x)y1+(1-)y2'+Q(x)y1+(1-)y2    =y"1+P(x)y'1+Q(x)y1+(1-)y"2+p(x)y'2+Q(x)y2    =f(x)+(1-)f(x)=f(x)    因此，對一切常數(shù)，y=y1+(1-)y2也是線性微分方程的解 55. (如圖所示)設(shè)A，B，C是不共線的3點(diǎn)，它們決定一平面，則點(diǎn)P在上的充要條件是存在唯一的數(shù)組(，)，)使得(如圖所示)設(shè)A，B，C是不共線的3點(diǎn)，它們決定一平面，則點(diǎn)P在上的充要條件是存在唯一的數(shù)組(，)，)使得    其中O是任意的一點(diǎn)，P在ABC內(nèi)的充要條件是*與0，0，0同時(shí)成立。    若點(diǎn)，則與，共面，或    取1-l-k=，=k，則    ，+=1    *部分證明：在ABC內(nèi)成立，且    ，0l1，且0k+l1即0，r0，0，0，+r=1，且在ABC內(nèi) 56. 甲、乙兩車床生產(chǎn)同一種零件現(xiàn)從這兩車床產(chǎn)生的產(chǎn)品中分別抽取8個(gè)和9個(gè)，測得其外徑(單位：mm)為： 甲：15.0，1甲、乙兩車床生產(chǎn)同一種零件現(xiàn)從這兩車床產(chǎn)生的產(chǎn)品中分別抽取8個(gè)和9個(gè)，測得其外徑(單位：mm)為：  甲：15.0，14.5，15.2，15.5，14.8，15.1，15.2，14.8  乙：15.2，15.0，14.8，15.2，15.0，15.0，14.8，15.1，14.8  假定其外徑都服從正態(tài)分布，問乙車床的加工精度是否比甲車床的高(=0.05)?57. 某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的生產(chǎn)函數(shù)z20x210x2y25y，其中x和y為兩種投入量，z為產(chǎn)出量若兩種投入量的某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的生產(chǎn)函數(shù)z20x210x2y25y，其中x和y為兩種投入量，z為產(chǎn)出量若兩種投入量的價(jià)格分別為2和1，產(chǎn)品的售價(jià)為5，試求最大利潤正確答案：×收入函數(shù)R(x,y)5z1005x250x10y225y,總成本函數(shù)C(x,y)2xy,從而利潤函數(shù)為L(x,y)R(x,y)C(x,y)1005x248x10y224y,Lxx10,Lxy0,Lyy20所以A10,B0,C20,B2AC2000,有極值而A0,故有極大值,而點(diǎn)(48,12)為唯一駐點(diǎn),從而點(diǎn)(48,12)為最大值點(diǎn)所以Lmax(48,12)1005×48248×4810×12224×121001152230414428835921296229658. 計(jì)算：(1)div(ugradv)；(2)divr，其中r=xi+yj+zk計(jì)算：(1)div(ugradv)；(2)divr，其中r=xi+yj+zk(1)div(ugradv)=·(uv)=u·v+u(·v)=gradu·gradv+uv    (2)r=(x,y,z),divr=·(x,y,z)=3 59. 設(shè)隨機(jī)變量服從參數(shù)為2的指數(shù)分布，試證=1-e-2在區(qū)間(0，1)上服從均勻分布設(shè)隨機(jī)變量服從參數(shù)為2的指數(shù)分布，試證=1-e-2在區(qū)間(0，1)上服從均勻分布因?yàn)榉膮?shù)為2的指數(shù)分布，則概率密度函數(shù)為        分布函數(shù)    在x0時(shí)，y=1-e-2x的反函數(shù)是，有            故服從均勻分布 60. 求矩陣A特征值的QR迭代時(shí)，具體收斂到哪種矩陣是由A的哪種性質(zhì)決定的?求矩陣A特征值的QR迭代時(shí)，具體收斂到哪種矩陣是由A的哪種性質(zhì)決定的?設(shè)ARn×n，且A有完備的特征向量組如果A的等模特征值中只有實(shí)重特征值或多重復(fù)的共軛特征值，則由QR算法產(chǎn)生的Ak本質(zhì)收斂于分塊上三角矩陣(對角塊為一階和二階子塊)且對角塊中每一個(gè)2×2子塊給出A的一對共軛復(fù)特征值，每一個(gè)一階對角子塊給出A的實(shí)特征值，即        其中m+2l=n，BI(i=1，2，l)為2×2子塊，它給出A的一對共軛特征值