高考數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)題型歸納(文科)

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2、不等式恒成立常見處理方法有三種： 第一種：分離變量求最值-----用分離變量時要特別注意是否需分類討論（>0,=0,<0） 第二種：變更主元（即關(guān)于某字母的一次函數(shù)）-----（已知誰的范圍就把誰作為主元）； （請同學(xué)們參看2010省統(tǒng)測2） 例1：設(shè)函數(shù)在區(qū)間D上的導(dǎo)數(shù)為，在區(qū)間D上的導(dǎo)數(shù)為，若在區(qū)間D上，恒成立，則稱函數(shù)在區(qū)間D上為“凸函數(shù)”，已知實(shí)數(shù)m是常數(shù)， （1）若在區(qū)間上為“凸函數(shù)”，求m的取值范圍； （2）若對滿足的任何一個實(shí)數(shù)，函數(shù)在區(qū)間上都為“凸函數(shù)”，求的最大值. 例2：設(shè)函數(shù) （Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值； （Ⅱ）若對任意的不等式恒成立，求a的取值范圍. （二次函數(shù)區(qū)間最值的例子） 第三種：構(gòu)造函數(shù)求最值 題型特征：恒成立恒成立；從而轉(zhuǎn)化為第一、二種題型 例3；已知函數(shù)圖象上一點(diǎn)處的切線斜率為， （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）當(dāng)時，求的值域； （Ⅲ）當(dāng)時，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍。 二、題型一：已知函數(shù)在某個區(qū)間上的單調(diào)性求參數(shù)的范圍 解法1：轉(zhuǎn)化為在給定區(qū)間上恒成立， 回歸基礎(chǔ)題型 解法2：利用子區(qū)間（即子集思想）；首先求出函數(shù)的單調(diào)增或減區(qū)間，然后讓所給區(qū)間是求的增或減區(qū)間的子集； 做題時一定要看清楚“在（m,n）上是減函數(shù)”與“函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是（a,b）”，要弄清楚兩句話的區(qū)別：前者是后者的子集 例4：已知，函數(shù)． （Ⅰ）如果函數(shù)是偶函數(shù)，求的極大值和極小值； （Ⅱ）如果函數(shù)是上的單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍． 例5、已知函數(shù) （I）求的單調(diào)區(qū)間； （II）若在[0，1]上單調(diào)遞增，求a的取值范圍。子集思想 三、題型二：根的個數(shù)問題 題1函數(shù)f(x)與g(x)（或與x軸）的交點(diǎn)======即方程根的個數(shù)問題 解題步驟 第一步：畫出兩個圖像即“穿線圖”（即解導(dǎo)數(shù)不等式）和“趨勢圖”即三次函數(shù)的大致趨勢“是先增后減再增”還是“先減后增再減”； 第二步：由趨勢圖結(jié)合交點(diǎn)個數(shù)或根的個數(shù)寫不等式（組）；主要看極大值和極小值與0的關(guān)系； 第三步：解不等式（組）即可； 例6、已知函數(shù)，，且在區(qū)間上為增函數(shù)． （1） 求實(shí)數(shù)的取值范圍； （2） 若函數(shù)與的圖象有三個不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍． 根的個數(shù)知道，部分根可求或已知。 例7、已知函數(shù) （1）若是的極值點(diǎn)且的圖像過原點(diǎn)，求的極值； （2）若，在（1）的條件下，是否存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像恒有含的三個不同交點(diǎn)？若存在，求出實(shí)數(shù)的取值范圍；否則說明理由。高1考1資1源2網(wǎng) 題2：切線的條數(shù)問題====以切點(diǎn)為未知數(shù)的方程的根的個數(shù) 例7、已知函數(shù)在點(diǎn)處取得極小值－4，使其導(dǎo)數(shù)的的取值范圍為，求：（1）的解析式；（2）若過點(diǎn)可作曲線的三條切線，求實(shí)數(shù)的取值范圍． 題3：已知在給定區(qū)間上的極值點(diǎn)個數(shù)則有導(dǎo)函數(shù)=0的根的個數(shù) 解法：根分布或判別式法 例8、 例9、已知函數(shù)，（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）令＝x4＋f（x）（x∈R）有且僅有3個極值點(diǎn)，求a的取值范圍． 其它例題： 1、（最值問題與主元變更法的例子）.已知定義在上的函數(shù)在區(qū)間上的最大值是5，最小值是－11. （Ⅰ）求函數(shù)的解析式； （Ⅱ）若時，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍. 2、（根分布與線性規(guī)劃例子） （1）已知函數(shù) (Ⅰ) 若函數(shù)在時有極值且在函數(shù)圖象上的點(diǎn)處的切線與直線平行, 求的解析式； (Ⅱ) 當(dāng)在取得極大值且在取得極小值時, 設(shè)點(diǎn)所在平面區(qū)域?yàn)镾, 經(jīng)過原點(diǎn)的直線L將S分為面積比為1:3的兩部分, 求直線L的方程. 解： (Ⅰ). 由, 函數(shù)在時有極值 , ∴ ∵ ∴ 又∵ 在處的切線與直線平行, ∴ 故 ∴ ……………………. 7分 (Ⅱ) 解法一: 由 及在取得極大值且在取得極小值, ∴ 即 令, 則 ∴ ∴ 故點(diǎn)所在平面區(qū)域S為如圖△ABC, 易得, , , , , 同時DE為△ABC的中位線, ∴ 所求一條直線L的方程為: 另一種情況設(shè)不垂直于x軸的直線L也將S分為面積比為1:3的兩部分, 設(shè)直線L方程為,它與AC,BC分別交于F、G, 則 , 由 得點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為: 由 得點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為: ∴ 即 解得: 或 (舍去) 故這時直線方程為: 綜上,所求直線方程為: 或 .…………….………….12分 (Ⅱ) 解法二: 由 及在取得極大值且在取得極小值, ∴ 即 令, 則 ∴ ∴ 故點(diǎn)所在平面區(qū)域S為如圖△ABC, 易得, , , , , 同時DE為△ABC的中位線, ∴所求一條直線L的方程為: 另一種情況由于直線BO方程為: , 設(shè)直線BO與AC交于H , 由 得直線L與AC交點(diǎn)為: ∵ , , ∴ 所求直線方程為: 或 3、（根的個數(shù)問題）已知函數(shù)的圖象如圖所示。 （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）若函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為，求函數(shù)f ( x )的解析式； （Ⅲ）若方程有三個不同的根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。 解：由題知： （Ⅰ）由圖可知 函數(shù)f ( x )的圖像過點(diǎn)( 0 , 3 )，且= 0 得 （Ⅱ）依題意 = – 3 且f ( 2 ) = 5 解得a = 1 , b = – 6 所以f ( x ) = x3 – 6x2 + 9x + 3 （Ⅲ）依題意 f ( x ) = ax3 + bx2 – ( 3a + 2b )x + 3 ( a＞0 ) = 3ax2 + 2bx – 3a – 2b 由= 0b = – 9a ① 若方程f ( x ) = 8a有三個不同的根，當(dāng)且僅當(dāng) 滿足f ( 5 )＜8a＜f ( 1 ) ② 由① ② 得 – 25a + 3＜8a＜7a + 3＜a＜3 所以 當(dāng)＜a＜3時，方程f ( x ) = 8a有三個不同的根。………… 12分 4、（根的個數(shù)問題）已知函數(shù) （1）若函數(shù)在處取得極值，且，求的值及的單調(diào)區(qū)間； （2）若，討論曲線與的交點(diǎn)個數(shù)． 解：（1） ………………………………………………………………………2分 令得 令得 ∴的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為…………5分 （2）由題得 即 令……………………6分 令得或……………………………………………7分 當(dāng)即時 － 此時，，，有一個交點(diǎn)；…………………………9分 當(dāng)即時， ＋ — , ∴當(dāng)即時,有一個交點(diǎn)； 當(dāng)即時，有兩個交點(diǎn)； 　 當(dāng)時，，有一個交點(diǎn)．………………………13分 綜上可知，當(dāng)或時，有一個交點(diǎn)； 當(dāng)時，有兩個交點(diǎn)．…………………………………14分 5、（簡單切線問題）已知函數(shù)圖象上斜率為3的兩條切線間的距離為，函數(shù)． （Ⅰ） 若函數(shù)在處有極值，求的解析式； （Ⅱ） 若函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，且在區(qū)間上都成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．