北師大版《角平分線》參考.ppt

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1.4角平分線(1),你能利用折紙的方法得到角平分線及角平分線上的點的性質嗎?,你還記得角平分線上的點有什么性質嗎?,角平分線上的點到這個角的兩邊距離相等.,你能證明這一結論嗎?結合我們前面學習的定理的證明方法，你能寫出這個性質的證明過程嗎？,已知:如圖,OC是AOB的平分線,P是OC上任意一點,PDOA,PEOB,垂足分別是D,E.求證:PD=PE.,分析:要證明PD=PE,只要證明它們所在OPDOPE,而OPDOPE的條件由已知易知它滿足公理(AAS).,故結論可證.,老師期望:你能寫出規(guī)范的證明過程.,證明：OC是AOB的平分線1=2PDOA,PEOBPDO=PEOOP=OPOPDOPE(AAS).PD=PE,幾何語言表示：定理角平分線上的點到這個角的兩邊距離相等.,老師提示:這個結論是經常用來證明兩條線段相等的根據之一.,如圖,OC是AOB的平分線,P是OC上任意一點,PDOA,PEOB,垂足分別是D,E(已知)PD=PE(角平分線上的點到這個角的兩邊距離相等).,你能寫出“定理角平分線上的點到這個角的兩邊距離相等”的逆命題嗎?,逆命題在一個角的內部,且到角的兩邊距離相等的點,在這個角的平分線上.,它是真命題嗎?,如果是.請你證明它.,已知:如圖所示,PD=PE,PDOA,PEOB,垂足分別是D,E.求證:點P在AOB的平分線上.,分析:要證明點P在AOB的平分線上,可以先作出過點P的射線OC,然后證明POD=POE.,B,A,C,D,E,O,P,證明：PDOAPEOBPOD和BPOE都是RtPD=PE,OP=OPRtPODRtPOE(HL)POD=POEOC是AOB的平分線,逆定理在一個角的內部,且到角的兩邊距離相等的點,在這個角的平分線上.,如圖,PD=PE,PDOA,PEOB,垂足分別是D,E(已知),點P在AOB的平分線上.(在一個角的內部,且到角的兩邊距離相等的點,在這個角的平分線上).,老師提示:這個結論又是經常用來證明點在直線上(或直線經過某一點)的根據之一.,例題講析,例1如圖，在ABC中，BAC=60，點D在BC上，AD=10，DEAB，DFAC，垂足分別為E，F，且DE=DF，求DE的長.,解：DEAB，DFAC，垂足分別為E，F，且DE=DF，AD平分BAC（在一個角的內部，到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上）.又BAC=60，BAD=30.在RtADE中，AED=90，AD=10，DE=AD=10=5（在直角三角形中，如果一個銳角等于30，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半）.,1.如圖,AD,AE分別是ABC中A的內角平分線和外角平分線,它們有什么關系?,老師期望:你能說出結論并能證明它.,2.如圖,一目標在A區(qū),到公路,鐵路距離相等,離公路與鐵路的交叉處500m.在圖上標出它的位置(比例尺1:20000).,3.如圖,求作一點P,使PC=PD,并且點P到AOB的兩邊的距離相等.,4.已知:如圖,在ABC中,AD是它的角平分線,且BD=CD,DEAB,DFAC,垂足分別是E,F.求證:EB=FC.,證明:AD是ABC的角平分線且DEAB,DFACDE=DFBD=CDRtBDERtCDF(HL)EB=EC,5.如圖,在ABC中,已知AC=BC,C=900,AD是ABC的角平線,DEAB,垂足為E.,老師期望:你能正確地解答并規(guī)范地寫出過程.,(1)如果CD=4cm,求AC的長;,(2)求證:AB=AC+CD.,解（1）AD是ABC的角平線,DEAB,DCAC,DE=CD=4cmAC=BCB=BAC(等邊對等角)C=90B=45BDE=90-45=45BE=DE在等腰直角三角形BDE中,（2）證明：由（1）的求解過程可知，RtACDRtAED(HL)AC=AE.BE=DE=CD,AB=AE+BE=AC+CD,已知，如圖ABC中，ACB的平分線交AB于E，ACB的補角ACD的平分線為CG，EGBC交AC于F，EF會與FG相等嗎？為什么？,A,B,C,D,E,F,G,證明：EG為ACB的平分線BCE=ACECG為ACD的平分線DCG=FCGEGBCFEC=BCE,FGC=GCD從而ACE=FEC，FGC=FCGEF=FC,FC=FG從而EF=FG,定理角平分線上的點到這個角的兩邊距離相等.OC是AOB的平分線,P是OC上任意一點,PDOA,PEOB,垂足分別是D,E(已知)PD=PE(角平分線上的點到這個角的兩邊距離相等).,回顧與小結,逆定理在一個角的內部,且到角的兩邊距離相等的點,在這個角的平分線上.PD=PE,PDOA,PEOB,垂足分別是D,E(已知),點P在AOB的平分線上.(在一個角的內部,且到角的兩邊距離相等的點,在這個角的平分線上).,回顧與小結,習題1.91,3題.祝你成功！,結束寄語,嚴格性之于數學家,猶如道德之于人.證明的規(guī)范性在于：條理清晰，因果相應,言必有據.這是初學證明者謹記和遵循的原則.,