matlab解線性方程組.ppt
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第一講,矩陣和線性方程組,一、數(shù)學理論復習,1、線性方程組,記為Ax=b其中A=(aij)mnx=(x1,xn),b=(b1,bm),若秩(A)秩(A,b),則無解;若秩(A)=秩(A,b)=n,存在唯一解;若秩(A)=秩(A,b)n,存在無窮多解;通解是齊次線性方程組Ax=0的基礎解系與Ax=b的一個特解之和。,對于線性方程組Ax=b:,Ax=0稱為齊次的線性方程組,高斯消元法,對于線性方程組Ax=b,其中U是行簡化階梯形矩陣,(1)階梯形矩陣(2)每行首個非零元素為1,并且該1所在列其它元素都為0,2、逆矩陣,方陣A稱為可逆的,如果存在方陣B,使AB=BA=E,記B=A-1方陣A可逆的充分必要條件:A0,求逆矩陣方法:,A-1=A*/|A|這里A*為A的伴隨矩陣,(AE)行變換,(EA-1),3、特征值與特征向量,對于方陣A,若存在數(shù)和非零向量x使Ax=x,則稱為A的一個特征值,x為A的一個對應于特征值的特征向量。,特征值計算歸結為:特征多項式|A-E|=0的求根。對應于特征值的特征向量是齊次線性方程組(A-E)x=0的所有非零解,二、使用MATLAB,det方陣的行列式diag對角陣inv方陣的逆cond方陣的條件數(shù)trace方陣的跡orth正交規(guī)范化rank矩陣的秩null求基礎解系rref矩陣的行最簡形eig特征值與特征向量jordan約當標準形分解norm矩陣或向量范數(shù),1、特殊矩陣生成zeros(m,n)生成m行n列的零矩陣;ones(m,n)生成m行n列的元素全為1的陣;eye(n)生成n階單位矩陣;當A是矩陣,diag(A)返回A的對角線元素構成的向量;當X是向量,diag(X)返回由X的元素構成的對角矩陣;,rand(m,n)生成m行n列0,1上均勻分布隨機數(shù)矩陣;linspace(x1,x2,n)生成x1與x2間的n維等距行向量,即將x1,x2n-1等分。,2、行列式和逆矩陣det(A)返回方陣A的行列式;inv(A)返回A的逆矩陣。,3、矩陣除法,左除法AB求解矩陣方程AX=B右除法B/A求解矩陣方程XA=B,(1)當A為方陣,AB與inv(A)*B基本一致:(2)當A不是方陣,除法將自動檢測。若方程組無解,除法給出最小二乘意義上的近似解,即使向量AXB的長度達到最??;若方程組有無窮多解,除法將給出一個具有最多零元素的特解;若為唯一解,除法將給出解。,4、特征值和特征向量,D=eig(A)返回方陣A的特征值構成的列向量;V,D=eig(A)返回方陣A的特征值構成的對角陣D和每個特征值對應的特征向量按列構成的矩陣V。其中每個特征向量都是模等于1的向量,并且屬于同一特征值的線性無關特征向量已正交化。,例1解下列方程組,A=12;3-2;B=1;4;x=AB求得唯一解,A=121;3-21;B=1;4;x=AB求得一特解,A=12;3-2;1-1;B=1;4;2;x=AB求得一最小二乘近似解,A=12;-2-4;B=1;-2;x=AB不能直接求解,A=12;-2-4;00;B=1;-2;0;x=AB仍可求一近似特解,增加方程0 x+0y=0,例2線性方程組的通解,解在無窮多解情況下可用三種方法求通解,用rref化為行最簡形以后求解;用除法求出一個特解,再用null求得一個齊次組的基礎解系;用符號工具箱中的solve求解。,a=1-11-1;-111-1;2-2-11;b=1;1;-1;r=rank(a),rank(a,b);x0=ab,xx=null(a);%x0為一特解,xx為對應齊次組的基礎解系,運行后得:,r=(2,2)說明系數(shù)矩陣秩和增廣矩陣秩相等,自由未知量為4-2=2個,方法一:,方程組的解=特解+對應齊次組的通解,其中c1和c2為任意實數(shù),結果為:,a=1-11-1;-111-1;2-2-11;b=1;1;-1;r=rank(a),rank(a,b);t=rref(a,b);%此時得出一個行簡化階梯形矩陣,解法二:,運行后得:,從而知原方程組等價于,虛線為等號,結果為:,其中c1和c2為任意實數(shù),例3判定下列線性方程組是否有解?若有解,求出其解,a=2-23;-11-2;1-11;b=5;3;4;r1=rank(a);r2=rank(a,b),r1r2,無解,唯一解,(2)a=2-23;-11-2;2-31;b=5;3;0;r1=rank(a);r2=rank(a,b),r1=r2=3,x=ab,或x=inv(a)*b,(3)a=2-23;-11-2;1-11;b=5;3;8;r1=rank(a);r2=rank(a,b),r1=r2=23,x0=ab,x=null(a1)%運行后得基礎解x=(0.7071,0.7071,0),無窮解,經運行發(fā)現(xiàn)無法解出x0因此給原方程組加一個方程0 x1+0 x2+0 x3=0,a1=2-23;-11-2;1-11;000;b1=5;3;8;0;x1=a1b1;%經運行后可得出一個特解x1=(0,-19,-11),結果為:,其中c為任意實數(shù),三、國民經濟投入產出分析,設有n個經濟部門,xi為部門i的總產出,cij為部門j單位產品對部門i產品的消耗,di為外部對部門i的需求,fj為部門j新創(chuàng)造的價值。那么各經濟部門總產出應滿足下列關系式:,消耗平衡方程組,j=1,2,n,令C=(cij),X=(x1,xn),D=(d1,dn),F(xiàn)=(f1,fn)則X=CX+D令A=EC,E為單位矩陣,則AX=D,C稱為直接消耗矩陣,A稱為列昂杰夫(Leontief)矩陣。,分配平衡方程組,i=1,2,n,Y=1,1,1B,Y表示各部門的總投入,稱為投入向量。,新創(chuàng)造價值向量F=XY,B=C,B表示各部門間的投入產出關系,稱為投入產出矩陣。,四、實驗例題,例4某地有三個產業(yè),一個煤礦,一個發(fā)電廠和一條鐵路,開采一元錢的煤,煤礦要支付0.25元的電費及0.25元的運輸費;生產一元錢的電力,發(fā)電廠要支付0.65元的煤費,0.05元的電費及0.05元的運輸費;創(chuàng)收一元錢的運輸費,鐵路要支付0.55元的煤費和0.10元的電費,在某一周內煤礦接到外地金額50000元定貨,發(fā)電廠接到外地金額25000元定貨,外界對地方鐵路沒有需求。,解:這是一個投入產出分析問題。設x1為本周內煤礦總產值,x2為電廠總產值,x3為鐵路總產值,則,問三個企業(yè)間一周內總產值多少才能滿足自身及外界需求?三個企業(yè)間相互支付多少金額?三個企業(yè)各創(chuàng)造多少新價值?,直接消耗矩陣C=,外界需求向量D=,產出向量X=,則原方程為(E-C)X=D,投入產出矩陣為B=C*diag(X)總投入向量Y=ones(1,3)*B新創(chuàng)造價值向量F=X-Y,Matlab程序:,C=00.650.55;0.250.050.1;0.250.050;D=50000;25000;0;A=eye(3)-C;X=AD;%總產出矩陣向量B=C*diag(X);%投入產出矩陣Y=ones(1,3)*B;%總投入向量F=X-Y%新創(chuàng)造價值向量,投入產出分析表,例4(隱性病遺傳)染色體遺傳中,后代是從父母體的基因對中各繼承一個基因,形成自己的基因型。如果所考慮的遺傳特征是由兩個基因A和a控制,那么就有三種基因型,,上表給出父母基因型的所有可能組合使其后代形成每種基因對的概率。,設金魚某種遺傳病染色體的正?;驗锳,不正?;驗閍,那么AA,Aa,aa分別表示正常金魚,隱性患者,顯性患者。設初始分布為90%正常金魚,10%的隱性患者,無顯性患者??紤]下列兩種配種方案對后代該遺傳病基因型分布的影響,方案一:同類基因結合,均可繁殖;方案二:顯性患者不允許繁殖,隱性患者必須與正常金魚結合繁殖,解設初始分布X(1)=(0.90.10),第n代分布為X(n)=,A=,B=,則X(n)=An-1X(1)X(n)=Bn-1X(1)分別是兩種情況下第n代的基因型分布,AA,Aa,aa,Matlab程序:,方案一:,A=11/40;01/20;01/41;x=0.90.10;fori=2:20 x=A*x;endx20=x,方案二:,clear;B=11/20;01/20;000;y=0.90.10;fori=2:20y=B*y;endy20=y,運行程序后得結果,x20=(0.9500,0.0000,0.0500),y20=(1.0000,0.0000,0.0000),可見按方案:很多代以后將出現(xiàn)5%的穩(wěn)定顯性患者,按方案:很多代以后顯性患者將趨于消失,方案體現(xiàn)了雜交的優(yōu)勢,補充內容,解的誤差分析,解的誤差分析,對于實際問題導出的方程組Ax=b,系數(shù)矩陣A與向量b往往帶有誤差(擾動),下面討論A或b的微小變化對解x的影響。,解線性方程Ax=b,可得出解為,若方程右端變?yōu)?則方程的解變?yōu)?可見x對b的擾動敏感,從圖可以看出,原方程組對應的兩條直線(紅與黑)交于(2,0)點,但由于兩直線幾近平行,所以當?shù)诙€方程有微小變化(從2到2.01)時,交點變(1,1),變化很大。,對Ax=b,如果解x對b或A的擾動敏感,就稱方程組是病態(tài)的,也稱系數(shù)矩陣A是病態(tài)的。,為了定量地估計x對b或A的擾動敏感的程度,需要度量向量或矩陣“大小”的數(shù)量指標。向量范數(shù)或矩陣范數(shù)正是這樣的指標,它們分別用來表示。,向量范數(shù):設,范數(shù)記作,常見的向量范數(shù):,矩陣范數(shù):,A的條件數(shù)越大,(由b的擾動引起的)x的誤差可能越大A的條件數(shù)越大,(由A的擾動引起的)x的誤差越大x的(相對)誤差不超過b的(相對)誤差的Cond(A)倍,也大致上是A的(相對)誤差的Cond(A)倍。條件數(shù)大的矩陣是病態(tài)矩陣,結論,- 配套講稿:
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