二項分布及其應用-概率、統(tǒng)計與統(tǒng)計案例.ppt

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學案6二項分布及其應用,返回目錄,1.條件概率一般地,設A，B為兩個事件，且P（A）>0，稱P（B|A）=為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率.P（B|A）讀作.條件概率具有概率的性質，任何事件的條件概率都在0和1之間，即0≤P(B|A)≤1.,A發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率,考點分析,返回目錄,如果B和C是兩個互斥事件，則P（B∪C|A）=.2.事件的相互獨立性設A，B為兩個事件，如果P（AB）=P（A）P（B），則稱事件A與事件B相互獨立.如果事件A與B相互獨立，那么A與，A與，A與也都相互獨立.,P（B|A）+P（C|A）,B,,,3.獨立重復試驗一般地,在相同條件下重復做的n次試驗稱為n次獨立重復試驗.4.二項分布一般地,在n次獨立重復試驗中，設事件A發(fā)生的次數為X，在每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p，那么在n次獨立重復試驗中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為P（X=k）=,k=0,1,2,…,n.此時稱隨機變量X服從二項分布，記作X~，并稱p為.,返回目錄,成功概率,B（n,p）,返回目錄,考點一條件概率,有一批種子的發(fā)芽率為0.9，出芽后的幼苗成活率為0.8,在這批種子中，隨機抽取一粒，求這粒種子能成長為幼苗的概率.,【分析】解決好概率問題的關鍵是分清屬于哪種類型的概率，該例中的幼苗成活率是在出芽后這一條件下的概率，屬于條件概率.,題型分析,返回目錄,【解析】設種子發(fā)芽為事件A，種子成長為幼苗為事件AB（發(fā)芽，又成活為幼苗），出芽后的幼苗成活率為:P(B|A)=0.8,P(A)=0.9.根據條件,概率公式P(AB)=P(B|A)P(A)=0.90.8=0.72，即這粒種子能成長為幼苗的概率為0.72.,【評析】在解決條件概率問題時，要靈活掌握P(AB),P(B|A),P(A|B),P(A),P(B)之間的關系，即P(B|A)=,P(A|B)=,P(AB)=P(A|B)P(B)+P(B|A)P(A).,＊對應演練＊,某地區(qū)氣象臺統(tǒng)計，該地區(qū)下雨的概率為，刮風的概率為，既刮風又下雨的概率為，設A為下雨，B為刮風，求(1)P(A|B);(2)P(B|A).,返回目錄,返回目錄,根據題意知P(A)=,P(B)=,P(AB)=.(1)P(A|B)=(2)P(B|A)=,返回目錄,考點二事件的相互獨立性,甲、乙、丙三臺機床各自獨立地加工同一種零件,已知甲機床加工的零件是一等品而乙機床加工的零件不是一等品的概率為,乙機床加工的零件是一等品而丙機床加工的零件不是一等品的概率為,甲、丙兩臺機床加工的零件都是一等品的概率為.(1)分別求甲、乙、丙三臺機床各自加工的零件是一等品的概率；(2)從甲、乙、丙加工的零件中各取一個檢驗，求至少有一個一等品的概率.,返回目錄,【分析】(1)將三種事件設出,列方程,解方程即可求出.(2)用間接法解比較省時,方便.,【解析】(1)設A，B，C分別為甲、乙、丙三臺機床各自加工的零件是一等品的事件.P(AB)=P(BC)=P(AC)=,P(A)［1-P(B)］=①P(B)［1-P(C)］=②P(A)P(C)=③,由題設條件有,即,,,由①③得P(B)=1-P(C),代入②得27［P(C)］2-51P(C)+22=0.解得P(C)=或(舍去).將P(C)=分別代入③②可得P(A)=,P(B)=.即甲、乙、丙三臺機床各自加工的零件是一等品的概率分別是,,.,返回目錄,(2)記D為從甲、乙、丙加工的零件中各取一個檢驗,至少有一個一等品的事件.則P(D)=1-P(D)=1-［1-P(A)］［1-P(B)］［1-P(C)］=1-=.故從甲、乙、丙加工的零件中各取一個檢驗,至少有一個一等品的概率為.,返回目錄,,【評析】(1)對照互斥事件、對立事件的定義進行判斷，哪些是互斥事件，哪些是對立事件，是解好題目的關鍵.“正難則反”，一個事件的正面包含基本事件個數較多，而它的對立事件包含基本事件個數較少，則用公式P（A）=1-P（A）計算.(2)審題應注意關鍵的詞句，例如“至少有一個發(fā)生”“至多有一個發(fā)生”“恰好有一個發(fā)生”等.(3)復雜問題可考慮拆分為等價的幾個事件的概率問題，同時結合對立事件的概率求法進行求解.(4)求相互獨立事件同時發(fā)生的概率的方法主要有:①利用相互獨立事件的概率乘法公式;②正面計算較繁或難以入手時，可以從對立事件入手計算.,返回目錄,返回目錄,＊對應演練＊,甲、乙兩人各進行一次射擊，如果兩人擊中目標的概率都是0.8,計算:(1)兩人都擊中目標的概率;(2)其中恰有一人擊中目標的概率;(3)至少有一人擊中目標的概率.,返回目錄,記“甲射擊一次，擊中目標”為事件A，“乙射擊一次，擊中目標”為事件B.“兩人都擊中目標”是事件AB；“恰有1人擊中目標”是AB或AB；“至少有1人擊中目標”是AB或AB或AB.(1)顯然，“兩人各射擊一次，都擊中目標”就是事件AB，又由于事件A與B相互獨立，∴P(AB)=P(A)P(B)=0.80.8=0.64.(2)“兩人各射擊一次，恰好有一人擊中目標”包括兩種情況：一種是甲擊中乙未擊中（即AB）,另一種是甲未擊中乙擊中（即AB），根據題意，這兩種情況在各射擊一次時不可能同時發(fā)生，即事件AB與AB是互斥的，所以所求概率為：,,,,,,,,,P=P(AB)+P(AB)=P(A)P(B)+P(A)P(B)=0.8(1-0.8)+(1-0.8)0.8=0.16+0.16=0.32.（3）解法一：“兩人各射擊一次，至少有一人擊中目標”的概率為P=P(AB)+［P(AB)+P(AB)］=0.64+0.32=0.96.解法二：“兩人都未擊中目標”的概率是P(AB)=P(A)P(B)=(1-0.8)(1-0.8)=0.20.2=0.04.∴至少有一人擊中目標的概率為P=1-P(AB)=1-0.04=0.96.,返回目錄,,,,,,,,,,,,,返回目錄,考點三獨立重復試驗與二項分布,某單位6個員工借助互聯網開展工作，每個員工上網的概率都是0.5(相互獨立).(1)求至少3人同時上網的概率;(2)至少幾人同時上網的概率小于0.3?,【分析】因為6個員工上網都是相互獨立的，所以該題可歸結為n次獨立重復試驗與二項分布問題.,返回目錄,【解析】（1）解法一：記“有r人同時上網”為事件Ar,則“至少3人同時上網”即為事件A3+A4+A5+A6，因為A3,A4,A5,A6為彼此互斥事件，所以可應用概率加法公式，得“至少3人同時上網”的概率為P=P(A3+A4+A5+A6)=P(A3)+P(A4)+P(A5)+P(A6)=()=(20+15+6+1)=.,解法二：“至少3人同時上網”的對立事件是“至多2人同時上網”，即事件A0+A1+A2.因為A0,A1,A2是彼此互斥的事件，所以“至少3人同時上網”的概率為P=1-P(A0+A1+A2)=1-［P(A0)+P(A1)+P(A2)］=1-()=1-(1+6+15)=,返回目錄,解法三：至少3人同時上網，這件事包括3人，4人，5人或6人同時上網，則記至少3人同時上網的事件為A,X為上網人數,則P(A)=P(X≥3)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)+P(X=6),返回目錄,（2）解法一：記“至少r人同時上網”為事件Br,則Br的概率P(Br)隨r的增加而減少.依題意是求滿足P(Br)＜0.3的整數r的最小值.因為P(B6)=P(A6)=＜0.3,P(B5)=P(A5+A6)=P(A5)+P(A6)=()=＜0.3,P(B4)=P(A4+A5+A6)=P(A4)+P(A5)+P(A6)=()=(15+6+1)=＞0.3,所以至少4人同時上網的概率大于0.3,至少5人同時上網的概率小于0.3.,返回目錄,解法二：由(1)知至少3人同時上網的概率大于0.3,至少4人同時上網的概率為P（X≥4）=＞0.3,至少5人同時上網的概率為P(X≥5)=＜0.3,所以至少5人同時上網的概率小于0.3.,返回目錄,【評析】（1）獨立重復試驗是在同樣的條件下重復地、各次之間相互獨立地進行的一種試驗.在這種試驗中，每一次試驗只有兩種結果，即某事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生，并且任何一次試驗中發(fā)生的概率都是一樣的.(2)在n次獨立重復試驗中，設事件A發(fā)生的次數為X，在每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p，那么在n次獨立重復試驗中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為P(X=k)=(1-p)k，k=0,1,2,…,n.此時稱隨機變量X服從二項分布，在利用該公式時，一定要搞清是多少次試驗中發(fā)生k次的事件，如本題中“有3人上網”可理解為6次獨立重復試驗恰有3次發(fā)生，即n=6，k=3.,返回目錄,返回目錄,＊對應演練＊,甲、乙兩人各射擊一次,擊中目標的概率分別是和,假設兩人射擊是否擊中目標,相互之間沒有影響,每次射擊是否擊中目標,相互之間也沒有影響.(1)求甲射擊4次,至少1次未擊中目標的概率;(2)求兩人各射擊4次,甲恰好擊中目標2次且乙恰好擊中目標3次的概率;(3)假設某人連續(xù)2次未擊中目標,則停止射擊,問乙恰好射擊5次后,被中止射擊的概率是多少?,返回目錄,(1)記“甲連續(xù)射擊4次至少有1次未擊中目標”為事件A1,由題意,射擊4次,相當于作4次獨立重復試驗,故P(A1)=1-P(A1)=1-()4=.∴甲連續(xù)射擊4次至少有1次未擊中目標的概率為.(2)記“甲射擊4次,恰有2次擊中目標”為事件A2,“乙射擊4次,恰有3次擊中目標”為事件B2,則P(A2)=(1-)4-2=.P(B2)=(1-)4-3=.由于甲、乙射擊相互獨立,故P(A2B2)=P(A2)P(B2)==.,,∴兩人各射擊4次,甲恰有2次擊中目標且乙恰有3次擊中目標的概率為.(3)記“乙恰好射擊5次后被中止射擊”為事件A3,“乙第i次射擊未擊中”為事件Di(i=1,2,3,4,5),則A3=D5D4D3(D2D1),且P(D4)=.由于各事件相互獨立,故P(A3)=P(D5)P(D4)P(D3)P(D2D1)=(1-)=.∴乙恰好射擊5次后被中止射擊的概率為.,返回目錄,,,,,,,返回目錄,考點四二項分布的隨機變量的分布列,一名學生每天騎車上學，從他家到學校的途中有6個交通崗，假設他在各個交通崗遇到紅燈的事件是相互獨立的，并且概率都是.(1)設X為這名學生在途中遇到紅燈的次數，求X的分布列;(2)設Y為這名學生在首次停車前經過的路口數，求Y的分布列;(3)求這名學生在途中至少遇到一次紅燈的概率.,返回目錄,【分析】本題主要考查獨立重復試驗的概率和二項分布等知識.,【解析】（1）將通過每個交通崗看作一次試驗，則遇到紅燈的概率為，且每次試驗結果是相互獨立的,故X~B(6,)，以此為基礎求X的分布列.由X~B(6,)，所以X的分布列為P(X=k)=，k=0,1,2,3,4,5,6.（2）由于Y表示這名學生在首次停車時經過的路口數，顯然Y是隨機變量，其取值為0,1,2,3,4,5.,其中:{Y=k}(k=0,1,2,3,4,5)表示前k個路口沒有遇上紅燈，但在第k+1個路口遇上紅燈，故各概率應按獨立事件同時發(fā)生計算.P(Y=k)=()k(k=0,1,2,3,4,5),而{Y=6}表示一路沒有遇上紅燈,故其概率為P(Y=6)=.因此Y的分布列為:,返回目錄,(3)這名學生在途中至少遇到一次紅燈的事件為（X≥1）={X=1或X=2或…或X=6},所以其概率為P(X≥1)=P(X=k)=1-P(X=0)=1-()6=≈0.912.,返回目錄,【評析】解決離散型隨機變量分布列問題時，主要依靠概率的有關概念和運算，其關鍵是要識別題中的離散型隨機變量服從什么分布.像本例中隨機變量X表示遇到紅燈次數，而每次遇到紅燈是相互獨立的，因此這是一個獨立重復事件，符合二項分布，即X~B(n,p).分布列能完整地刻畫隨機變量X與相應概率的變化情況，在分布列中第一行表示X的所有可能取值，第二行對應的各個值（概率值）必須都是非負實數且滿足其和為1.,返回目錄,＊對應演練＊,某一中學生心理咨詢中心服務電話接通率為，某班3名同學商定明天分別就同一問題詢問該服務中心，且每人只撥打一次，求他們中成功咨詢的人數X的分布列.,返回目錄,由題意知X~B(3,).∴P(X=k)=,k=0,1,2,3.∴分布列為:,返回目錄,返回目錄,1.“互斥事件”與“相互獨立事件”的區(qū)別.它們是兩個不同的概念，相同點都是對兩個事件而言的，不同點是：“互斥事件”是說兩個事件不能同時發(fā)生，“相互獨立事件”是說一個事件發(fā)生與否與另一個事件發(fā)生的概率沒有影響.這兩個概念一定要搞清楚，區(qū)分開.2.條件概率是在事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率，解決此類問題一定要分清事件A及事件B是什么，分清事件AB及事件A發(fā)生的概率是多少.,高考專家助教,祝同學們學習上天天有進步！,