九年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試卷（含解析） 新人教版8 (5)

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2016-2017學(xué)年貴州省畢節(jié)地區(qū)納雍縣百興中學(xué)九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷 一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分） 1．已知菱形的面積為24cm2，一條對(duì)角線長為6cm，則這個(gè)菱形的邊長是（　　）厘米． A．8 B．5 C．10 D．4.8 2．在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師和同學(xué)們判斷一個(gè)四邊形門框是否為矩形，下面是某合作學(xué)習(xí)小組的4位同學(xué)擬定的方案，其中正確的是（　?。? A．測量對(duì)角線是否相互平分 B．測量兩組對(duì)邊是否分別相等 C．測量一組對(duì)角是否都為直角 D．測量其中四邊形的三個(gè)角都為直角 3．如圖，四邊形ABCD是正方形，延長AB到點(diǎn)E，使AE=AC，則∠BCE的度數(shù)是（　　） A．22.5 B．25 C．23 D．20 4．已知一矩形的兩邊長分別為10cm和15cm，其中一個(gè)內(nèi)角的平分線分長邊為兩部分，這兩部分的長為（　?。? A．6cm和9cm B．5cm和10cm C．4cm和11cm D．7cm和8cm 5．已知關(guān)于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一個(gè)根是0，則a的值為（　?。? A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D． 6．下列方程①3x2﹣x=0；②；③；④2x2﹣1=（x﹣1）（x﹣2）；⑤（5x﹣2）（3x﹣7）=15x2，其中一元二次方程有（　?。? A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) 7．元旦節(jié)班上數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)，互贈(zèng)新年賀卡，每兩個(gè)同學(xué)都相互贈(zèng)送一張，小明統(tǒng)計(jì)出全組共互送了90張賀年卡，那么數(shù)學(xué)興趣小組的人數(shù)是多少設(shè)數(shù)學(xué)興趣小組人數(shù)為x人，則可列方程為（　?。? A．x（x﹣1）=90 B．x（x﹣1）=290 C．x（x﹣1）=902 D．x（x+1）=90 8．小王家新鎖的密碼是6位數(shù)，他記得前兩位數(shù)是23，后兩位數(shù)是32，中間兩位數(shù)忘了，那么他一次按對(duì)的概率是（　?。? A． B． C． D． 9．在四邊形ABCD中，AC、BD相交于O，能判定這個(gè)四邊形是正方形的是（　?。? A．AO=BO=CO=DO，AC⊥BD B．AB∥CD，AC=BD C．AO=BO，∠A=∠C D．AO=CO，BO=DO，AB=BC 10．若實(shí)數(shù)a，b（a≠b）分別滿足方程a2﹣7a+2=0，b2﹣7b+2=0，則的值為（　?。? A． B． C．或2 D．或2 　 二、填空題（本大題共6小題，共18.0分） 11．矩形的一邊長是3.6cm，兩條對(duì)角線的夾角為60，則矩形對(duì)角線長是　?。? 12．已知菱形的兩條對(duì)角線長分別為2cm，3cm，則它的面積是　　cm2． 13．如圖，正方形ABCD的邊長為2，H在CD的延長線上，四邊形CEFH也為正方形，則△DBF的面積為　?。? 14．第三屆全國智力運(yùn)動(dòng)會(huì)將于2015年10月在山東棗莊隆重舉行，屆時(shí)滕州某初中學(xué)校將從小記者團(tuán)內(nèi)負(fù)責(zé)體育賽事報(bào)道的3名同學(xué)（2男1女）中任選2名前往采訪，那么選出的2名同學(xué)恰好是一男一女的概率是　?。? 15．若△ABC的一邊為4，另兩邊分別滿足x2﹣5x+6=0的兩根，則△ABC的周長為　　． 16．如圖，正方形ABCD中，AB=3，延長BC至E，使BE=BD，則△BDE的面積為　?。? 　 三、計(jì)算題（本大題共2小題，共12.0分） 17．（6分）解方程：3x2﹣6x+1=0． 18．（6分）已知關(guān)于x的一元二次方程：（m﹣1）x2+2mx+m+3=0有實(shí)數(shù)根，求m的取值范圍． 　 四、解答題（本大題共5小題，共40.0分） 19．（8分）如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線BD的垂直平分線MN與AD相交于點(diǎn)M，與BD相交于點(diǎn)N，連接BM，DN． 求證：四邊形BMDN是菱形． 20．（8分）端午節(jié)期間，某食品店平均每天可賣出300只粽子，賣出1只粽子的利潤是1元．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，零售單價(jià)每降0.1元，每天可多賣出100只粽子．為了使每天獲取的利潤更多，該店決定把零售單價(jià)下降m（0＜m＜1）元． （1）零售單價(jià)下降m元后，該店平均每天可賣出　　只粽子，利潤為　　元． （2）在不考慮其他因素的條件下，當(dāng)m定為多少時(shí)，才能使該店每天獲取的利潤是420元并且賣出的粽子更多？ 21．（8分）某教室的開關(guān)控制板上有四個(gè)外形完全相同的開關(guān)，其中兩個(gè)分別控制A、B兩盞電燈，另兩個(gè)分別控制C、D兩個(gè)吊扇．已知電燈、吊扇均正常，且處于不工作狀態(tài)，開關(guān)與電燈、電扇的對(duì)應(yīng)關(guān)系未知． （1）若四個(gè)開關(guān)均正常，則任意按下一個(gè)開關(guān)，正好一盞燈亮的概率是多少？ （2）若其中一個(gè)控制電燈的開關(guān)壞了，則任意按下兩個(gè)開關(guān)，正好一盞燈亮和一個(gè)扇轉(zhuǎn)的概率是多少？請(qǐng)用樹狀圖法或列表法加以說明． 22．（8分）如圖，AC是正方形ABCD的對(duì)角線，點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)Q是AB上一點(diǎn)，連接CQ，DP⊥CQ于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)P，連接OP，OQ； 求證： （1）△BCQ≌△CDP； （2）OP=OQ． 23．（8分）如圖，兩張寬為1cm的矩形紙條交叉疊放，其中重疊部分部分是四邊形ABCD， （1）試判斷四邊形ABCD的形狀，并說明理由 （2）若∠BAD=30，求重疊部分的面積． 　  2016-2017學(xué)年貴州省畢節(jié)地區(qū)納雍縣百興中學(xué)九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷 參考答案與試題解析 　 一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分） 1．已知菱形的面積為24cm2，一條對(duì)角線長為6cm，則這個(gè)菱形的邊長是（　?。├迕祝? A．8 B．5 C．10 D．4.8 【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)菱形的面積公式可得菱形的另一對(duì)角線長，再根據(jù)菱形的對(duì)角線互相垂直平分利用勾股定理可求出邊長． 【解答】解：設(shè)菱形的另一對(duì)角線長為xcm， 6x=24， 解得：x=8， 菱形的邊長為： =5（cm）， 故選：B． 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了菱形的性質(zhì)，以及勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是掌握菱形的對(duì)角線互相垂直、平分． 　 2．在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師和同學(xué)們判斷一個(gè)四邊形門框是否為矩形，下面是某合作學(xué)習(xí)小組的4位同學(xué)擬定的方案，其中正確的是（　?。? A．測量對(duì)角線是否相互平分 B．測量兩組對(duì)邊是否分別相等 C．測量一組對(duì)角是否都為直角 D．測量其中四邊形的三個(gè)角都為直角 【考點(diǎn)】矩形的判定． 【分析】根據(jù)矩形的判定定理有：（1）有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形； （2）有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形； （3）對(duì)角線互相平分且相等的四邊形是矩形． 【解答】解：A、對(duì)角線是否相互平分，能判定平行四邊形； B、兩組對(duì)邊是否分別相等，能判定平行四邊形； C、一組對(duì)角是否都為直角，不能判定形狀； D、其中四邊形中三個(gè)角都為直角，能判定矩形． 故選D． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是矩形的判定定理，難度簡單． 　 3．如圖，四邊形ABCD是正方形，延長AB到點(diǎn)E，使AE=AC，則∠BCE的度數(shù)是（　　） A．22.5 B．25 C．23 D．20 【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)，易知∠CAE=∠ACB=45；等腰△CAE中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可求得∠ACE的度數(shù)，進(jìn)而可由∠BCE=∠ACE﹣∠ACB得出∠BCE的度數(shù)． 【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形， ∴∠CAB=∠BCA=45； △ACE中，AC=AE，則： ∠ACE=∠AEC=（180﹣∠CAE）=67.5； ∴∠BCE=∠ACE﹣∠ACB=22.5． 故選A． 【點(diǎn)評(píng)】此題考查了正方形的性質(zhì)與等腰三角形的性質(zhì)．此題難度不大，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意特殊圖形的性質(zhì)． 　 4．已知一矩形的兩邊長分別為10cm和15cm，其中一個(gè)內(nèi)角的平分線分長邊為兩部分，這兩部分的長為（　?。? A．6cm和9cm B．5cm和10cm C．4cm和11cm D．7cm和8cm 【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)已知條件以及矩形性質(zhì)證△ABE為等腰三角形得到AB=AE，注意“長和寬分別為15cm和10cm”說明有2種情況，需要分類討論． 【解答】解：∵矩形ABCD中，BE是角平分線． ∴∠ABE=∠EBC． ∵AD∥BC． ∴∠AEB=∠EBC． ∴∠AEB=∠ABE ∴AB=AE． 當(dāng)AB=15cm時(shí)：則AE=15cm，不滿足題意． 當(dāng)AB=10cm時(shí)：AE=10cm，則DE=5cm． 故選B． 【點(diǎn)評(píng)】此題考查了矩形的性質(zhì)與等腰三角形的判定與性質(zhì)．注意出現(xiàn)角平分線，出現(xiàn)平行線時(shí)，一般出現(xiàn)等腰三角形，需注意等腰三角形相等邊的不同． 　 5．已知關(guān)于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一個(gè)根是0，則a的值為（　?。? A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D． 【考點(diǎn)】一元二次方程的解． 【分析】由一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一個(gè)根是0，將x=0代入方程得到關(guān)于a的方程，求出方程的解得到a的值，將a的值代入方程進(jìn)行檢驗(yàn)，即可得到滿足題意a的值． 【解答】解：∵一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一個(gè)根是0， ∴將x=0代入方程得：a2﹣1=0， 解得：a=1或a=﹣1， 將a=1代入方程得二次項(xiàng)系數(shù)為0，不合題意，舍去， 則a的值為﹣1． 故選：B． 【點(diǎn)評(píng)】此題考查了一元二次方程的解，以及一元二次方程的解法，方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值． 　 6．下列方程①3x2﹣x=0；②；③；④2x2﹣1=（x﹣1）（x﹣2）；⑤（5x﹣2）（3x﹣7）=15x2，其中一元二次方程有（　?。? A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) 【考點(diǎn)】一元二次方程的定義． 【分析】一元二次方程必須滿足三個(gè)條件： （1）整式方程； （2）未知數(shù)的最高次數(shù)是2； （3）二次項(xiàng)系數(shù)不為0． 【解答】解：①符合一元二次方程的條件，故正確； ②是無理方程，故錯(cuò)誤； ③是分式方程，故錯(cuò)誤； ④可化為x2+3x﹣3=0，符合一元二次方程的條件，故正確； ⑤可化為﹣41x+14=0，含一個(gè)未知數(shù)，是一元一次方程，故錯(cuò)誤； 故是一元二次方程的只有①④． 故選B． 【點(diǎn)評(píng)】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常數(shù)且a≠0）特別要注意a≠0的條件．判斷是否是一元二次方程，應(yīng)先化為一般形式再判斷． 　 7．元旦節(jié)班上數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)，互贈(zèng)新年賀卡，每兩個(gè)同學(xué)都相互贈(zèng)送一張，小明統(tǒng)計(jì)出全組共互送了90張賀年卡，那么數(shù)學(xué)興趣小組的人數(shù)是多少設(shè)數(shù)學(xué)興趣小組人數(shù)為x人，則可列方程為（　?。? A．x（x﹣1）=90 B．x（x﹣1）=290 C．x（x﹣1）=902 D．x（x+1）=90 【考點(diǎn)】由實(shí)際問題抽象出一元二次方程． 【分析】如果設(shè)數(shù)學(xué)興趣小組人數(shù)為x人，每名學(xué)生送了（x﹣1）張，共有x人，則一共送了x（x﹣1）張，再根據(jù)“共互送了90張賀年卡”，可得出方程為x（x﹣1）=90． 【解答】解：設(shè)數(shù)學(xué)興趣小組人數(shù)為x人， 每名學(xué)生送了（x﹣1）張， 共有x人， 根據(jù)“共互送了90張賀年卡”， 可得出方程為x（x﹣1）=90． 故選A． 【點(diǎn)評(píng)】讀清題意，找準(zhǔn)數(shù)量關(guān)系，列出方程． 　 8．小王家新鎖的密碼是6位數(shù)，他記得前兩位數(shù)是23，后兩位數(shù)是32，中間兩位數(shù)忘了，那么他一次按對(duì)的概率是（　　） A． B． C． D． 【考點(diǎn)】列表法與樹狀圖法． 【分析】用列表法列舉出可能出現(xiàn)的所有情況，讓1除以總情況數(shù)即為所求的概率． 【解答】解：中間兩位數(shù)的可能組合如圖，共100種情況，故他一次按對(duì)的概率是． 故選D． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率的求法與運(yùn)用，一般方法為：如果一個(gè)事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結(jié)果，那么事件A的概率P（A）=． 　 9．在四邊形ABCD中，AC、BD相交于O，能判定這個(gè)四邊形是正方形的是（　?。? A．AO=BO=CO=DO，AC⊥BD B．AB∥CD，AC=BD C．AO=BO，∠A=∠C D．AO=CO，BO=DO，AB=BC 【考點(diǎn)】正方形的判定． 【分析】根據(jù)正方形的判定對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行分析從而確定最后答案． 【解答】解：A，能，因?yàn)閷?duì)角線相等且互相垂直平分； B，不能，只能判定為等腰梯形； C，不能，不能判定為特殊的四邊形； D，不能，只能判定為菱形； 故選A． 【點(diǎn)評(píng)】本題是考查正方形的判別方法，判別一個(gè)四邊形為正方形主要根據(jù)正方形的概念，途經(jīng)有兩種：①先說明它是矩形，再說明有一組鄰邊相等；②先說明它是菱形，再說明它有一個(gè)角為直角． 　 10．若實(shí)數(shù)a，b（a≠b）分別滿足方程a2﹣7a+2=0，b2﹣7b+2=0，則的值為（　?。? A． B． C．或2 D．或2 【考點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系． 【分析】由實(shí)數(shù)a，b滿足條件a2﹣7a+2=0，b2﹣7b+2=0，可把a(bǔ)，b看成是方程x2﹣7x+2=0的兩個(gè)根，再利用根與系數(shù)的關(guān)系即可求解． 【解答】解：由實(shí)數(shù)a，b滿足條件a2﹣7a+2=0，b2﹣7b+2=0， ∴可把a(bǔ)，b看成是方程x2﹣7x+2=0的兩個(gè)根， ∴a+b=7，ab=2， ∴====． 故選A． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題，關(guān)鍵是把a(bǔ)，b看成方程的兩個(gè)根后再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系解題． 　 二、填空題（本大題共6小題，共18.0分） 11．矩形的一邊長是3.6cm，兩條對(duì)角線的夾角為60，則矩形對(duì)角線長是　7.2cm或cm?。? 【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)． 【分析】分兩種情況：①邊長3.6cm為短邊時(shí)；②邊長3.6cm為長邊時(shí)；由矩形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)以及三角函數(shù)求出AB，即可得出結(jié)果． 【解答】解：分兩種情況： ①邊長3.6cm為短邊時(shí)， ∵四邊形ABCD為矩形， ∴OA=OB， ∵兩對(duì)角線的夾角為60， ∴△AOB為等邊三角形， ∴OA=OB=AB=3.6cm， ∴AC=BD=2OA=7.2cm； ②邊長3.6cm為長邊時(shí)， ∵四邊形ABCD為矩形 ∴OA=OB， ∵兩對(duì)角線的夾角為60， ∴△AOB為等邊三角形， ∴OA=OB=AB，BD=2OB，∠ABD=60， ∴OB=AB===（cm）， ∴BD=cm． 綜上所述：對(duì)角線的長度為7.2cm或cm． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)；熟練掌握矩形的性質(zhì)，證明三角形是等邊三角形是解決問題的關(guān)鍵． 　 12．已知菱形的兩條對(duì)角線長分別為2cm，3cm，則它的面積是　3　cm2． 【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)． 【分析】由知菱形的兩條對(duì)角線長分別為2cm，3cm，根據(jù)菱形的面積等于對(duì)角線乘積的一半，即可求得答案． 【解答】解：∵菱形的兩條對(duì)角線長分別為2cm，3cm， ∴它的面積是：23=3（cm2）． 故答案為：3． 【點(diǎn)評(píng)】此題考查了菱形的性質(zhì)．注意菱形的面積等于對(duì)角線乘積的一半． 　 13．如圖，正方形ABCD的邊長為2，H在CD的延長線上，四邊形CEFH也為正方形，則△DBF的面積為　2?。? 【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)． 【分析】設(shè)正方形CEFH邊長為a，根據(jù)S△BDF=S正方形ABCD+S正方形CEFH﹣S△ABD﹣S△DHF﹣S△BEF求解即可． 【解答】解：設(shè)正方形CEFH的邊長為a，根據(jù)題意得： S△BDF=S正方形ABCD+S正方形CEFH﹣S△ABD﹣S△DHF﹣S△BEF =4+a2﹣4﹣a（a﹣2）﹣a（a+2） =2+a2﹣a2+a﹣a2﹣a =2． 故答案為：2． 【點(diǎn)評(píng)】此題考查了正方形的性質(zhì)，正確的列出陰影部分的面積式子是解本題的關(guān)鍵． 　 14．第三屆全國智力運(yùn)動(dòng)會(huì)將于2015年10月在山東棗莊隆重舉行，屆時(shí)滕州某初中學(xué)校將從小記者團(tuán)內(nèi)負(fù)責(zé)體育賽事報(bào)道的3名同學(xué)（2男1女）中任選2名前往采訪，那么選出的2名同學(xué)恰好是一男一女的概率是　?。? 【考點(diǎn)】列表法與樹狀圖法． 【分析】首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與選出的2名同學(xué)恰好是一男一女的情況，再利用概率公式即可求得答案． 【解答】解：畫樹狀圖得： ∵共有6種等可能的結(jié)果，選出的2名同學(xué)恰好是一男一女的有4種情況， ∴選出的2名同學(xué)恰好是一男一女的概率是： =． 故答案為：． 【點(diǎn)評(píng)】此題考查了樹狀圖法與列表法求概率．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比． 　 15．若△ABC的一邊為4，另兩邊分別滿足x2﹣5x+6=0的兩根，則△ABC的周長為　9　． 【考點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系． 【分析】設(shè)x2﹣5x+6=0的兩個(gè)根分別為x1、x2，由根與系數(shù)的關(guān)系可得出x1+x2=5，再加上三角形的另外一邊長度即可得出結(jié)論． 【解答】解：設(shè)x2﹣5x+6=0的兩個(gè)根分別為x1、x2， 則有x1+x2=﹣=﹣=5， △ABC的周長為x1+x2+4=5+4=9． 故答案為：9． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系以及三角形的周長，解題的關(guān)鍵是找出三角形的兩邊之和．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，由根與系數(shù)的關(guān)系得出兩根之和，再結(jié)合三角形的周長公式即可解決問題． 　 16．如圖，正方形ABCD中，AB=3，延長BC至E，使BE=BD，則△BDE的面積為　　． 【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)得出BD=，進(jìn)而根據(jù)BE=BD得出CE=，得出△DCE的面積，再計(jì)算出△BCD的面積，兩面積相加即可． 【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，AB=3， ∴BD=BE=， ∴CE=BE﹣BC=， ∴△DCE的面積=， ∵△BCD的面積=， ∴△BDE的面積=△DCE的面積+△BCD的面積 =， 故答案為：． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)，三角形面積的計(jì)算，熟記各性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵． 　 三、計(jì)算題（本大題共2小題，共12.0分） 17．解方程：3x2﹣6x+1=0． 【考點(diǎn)】解一元二次方程-配方法． 【分析】利用配方法解方程的步驟，①移項(xiàng)，②二次項(xiàng)系數(shù)化1，③配方，方程兩邊加一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，④開平方，得出方程的根． 【解答】解：3（x2﹣2x）=﹣1． 3（x2﹣2x+1﹣1）=﹣1， 3（x﹣1）2=﹣1+3， x﹣1=， x1=1+，x2=1﹣； 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了配方法解一元二次方程，配方過程中應(yīng)注意，二次項(xiàng)系數(shù)化一各項(xiàng)都要除以二次項(xiàng)系數(shù)，以及方程兩邊應(yīng)同時(shí)加一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方． 　 18．已知關(guān)于x的一元二次方程：（m﹣1）x2+2mx+m+3=0有實(shí)數(shù)根，求m的取值范圍． 【考點(diǎn)】根的判別式． 【分析】根據(jù)一元二次方程的定義和判別式的意義得到m﹣1≠0且△=4m2﹣4（m﹣1）?（m+3）≥0，然后求出兩個(gè)不等式的公共部分即可． 【解答】解：根據(jù)題意得m﹣1≠0且△=4m2﹣4（m﹣1）?（m+3）≥0， 解得m≤且m≠1． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b2﹣4ac：當(dāng)△＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒有實(shí)數(shù)根．也考查了一元二次方程的定義． 　 四、解答題（本大題共5小題，共40.0分） 19．如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線BD的垂直平分線MN與AD相交于點(diǎn)M，與BD相交于點(diǎn)N，連接BM，DN． 求證：四邊形BMDN是菱形． 【考點(diǎn)】菱形的判定． 【分析】根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等可得OB=OD，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠OBN=∠ODM，然后利用“角邊角”證明△BON和△DOM全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得BN=MD，從而求出四邊形BMDN是平行四邊形，再根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等可得MB=MD，然后根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形證明即可． 【解答】證明：∵M(jìn)N是BD的垂直平分線， ∴OB=OD，∠BON=∠DOM， ∵四邊形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠OBN=∠ODM 在△BON和△DOM中， ， ∴△BON≌△DOM（ASA）， ∴BN=MD， ∴四邊形BMDN是平行四邊形， ∵M(jìn)N是BD的垂直平分線， ∴MB=MD， ∴平行四邊形BMDN是菱形． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的判定，主要利用了矩形的性質(zhì)，線段垂直平分線上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵． 　 20．端午節(jié)期間，某食品店平均每天可賣出300只粽子，賣出1只粽子的利潤是1元．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，零售單價(jià)每降0.1元，每天可多賣出100只粽子．為了使每天獲取的利潤更多，該店決定把零售單價(jià)下降m（0＜m＜1）元． （1）零售單價(jià)下降m元后，該店平均每天可賣出　300+100　只粽子，利潤為?。?﹣m）（300+100）　元． （2）在不考慮其他因素的條件下，當(dāng)m定為多少時(shí)，才能使該店每天獲取的利潤是420元并且賣出的粽子更多？ 【考點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用． 【分析】（1）每天的銷售量等于原有銷售量加上增加的銷售量即可；利潤等于銷售量乘以單價(jià)即可得到； （2）利用總利潤等于銷售量乘以每件的利潤即可得到方程求解． 【解答】解：（1）300+100， （1﹣m）（300+100）． （2）令（1﹣m）（300+100）=420． 化簡得，100m2﹣70m+12=0． 即，m2﹣0.7m+0.12=0． 解得m=0.4或m=0.3． 可得，當(dāng)m=0.4時(shí)賣出的粽子更多． 答：當(dāng)m定為0.4時(shí)，才能使商店每天銷售該粽子獲取的利潤是420元并且賣出的粽子更多． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是了解總利潤的計(jì)算方法，并用相關(guān)的量表示出來． 　 21．某教室的開關(guān)控制板上有四個(gè)外形完全相同的開關(guān)，其中兩個(gè)分別控制A、B兩盞電燈，另兩個(gè)分別控制C、D兩個(gè)吊扇．已知電燈、吊扇均正常，且處于不工作狀態(tài)，開關(guān)與電燈、電扇的對(duì)應(yīng)關(guān)系未知． （1）若四個(gè)開關(guān)均正常，則任意按下一個(gè)開關(guān)，正好一盞燈亮的概率是多少？ （2）若其中一個(gè)控制電燈的開關(guān)壞了，則任意按下兩個(gè)開關(guān)，正好一盞燈亮和一個(gè)扇轉(zhuǎn)的概率是多少？請(qǐng)用樹狀圖法或列表法加以說明． 【考點(diǎn)】列表法與樹狀圖法． 【分析】（1）根據(jù)概率的求法，找準(zhǔn)兩點(diǎn)：①符合條件的情況數(shù)目；②全部情況的總數(shù)；二者的比值就是其發(fā)生的概率． （2）用列表法或樹狀圖法列舉出所以可能，再利用概率公式解答即可． 【解答】解：（1）P（正好一盞燈亮）=．（2分） （2）不妨設(shè)控制燈A的開關(guān)壞了． 畫樹狀圖如下： 所有出現(xiàn)的等可能性結(jié)果共有12種，其中滿足條件的結(jié)果有4種． ∴P（正好一盞燈亮和一個(gè)扇轉(zhuǎn)）=．（6分） 方法二 列表格如下： A B C D A A、B A、C A、D B B、A B、C B、D C C、A C、B C、D D D、A D、B D、C 所有出現(xiàn)的等可能性結(jié)果共有12種，其中滿足條件的結(jié)果有4種． ∴P（正好一盞燈亮和一個(gè)扇轉(zhuǎn)）=．（6分） 由此可知P（正好一盞燈亮和一個(gè)扇轉(zhuǎn)）=．（8分） 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查概率的求法，如果一個(gè)事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結(jié)果，那么事件A的概率P（A）=． 　 22．如圖，AC是正方形ABCD的對(duì)角線，點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)Q是AB上一點(diǎn)，連接CQ，DP⊥CQ于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)P，連接OP，OQ； 求證： （1）△BCQ≌△CDP； （2）OP=OQ． 【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)． 【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)和DP⊥CQ于點(diǎn)E可以得到證明△BCQ≌△CDP的全等條件； （2）根據(jù)（1）得到BQ=PC，然后連接OB，根據(jù)正方形的性質(zhì)可以得到證明△BOQ≌△COP的全等條件，然后利用全等三角形的性質(zhì)就可以解決題目的問題． 【解答】證明：∵四邊形ABCD是正方形， ∴∠B=∠PCD=90，BC=CD，（2分） ∴∠2+∠3=90， 又∵DP⊥CQ， ∴∠2+∠1=90， ∴∠1=∠3， 在△BCQ和△CDP中， ． ∴△BCQ≌△CDP． （2）連接OB． （6分） 由（1）：△BCQ≌△CDP可知：BQ=PC，（7分） ∵四邊形ABCD是正方形， ∴∠ABC=90，AB=BC， 而點(diǎn)O是AC中點(diǎn)， ∴，（9分） 在△BOQ和△COP中，． ∴△BOQ≌△COP， ∴OQ=OP．（10分） 【點(diǎn)評(píng)】解答本題要充分利用正方形的特殊性質(zhì)．注意在正方形中的特殊三角形的應(yīng)用，利用它們構(gòu)造證明全等三角形的條件，然后通過全等三角形的性質(zhì)解決問題． 　 23．如圖，兩張寬為1cm的矩形紙條交叉疊放，其中重疊部分部分是四邊形ABCD， （1）試判斷四邊形ABCD的形狀，并說明理由 （2）若∠BAD=30，求重疊部分的面積． 【考點(diǎn)】菱形的判定與性質(zhì)． 【分析】（1）考查菱形的判定，四條邊相等的四邊形即為菱形； （2）要求重疊部分的面積，根據(jù)面積公式，求出底和高即可．可以通過作輔助線求得． 【解答】解：（1）四邊形ABCD是菱形， 理由是：如圖1所示： ∵依題意可知AB∥CD，AD∥BC， ∴四邊形ABCD是平行四邊形， 分別作CD，BC邊上的高為AE，AF， ∵兩紙條相同， ∴紙條寬度AE=AF， ∵平行四邊形的面積為AECD=BCAF， ∴CD=BC， ∴平行四邊形ABCD為菱形； （2）如圖2所示，過B、D兩點(diǎn)分別作BE⊥AD、DF⊥AB，垂足分別為E、F， ∵寬為1cm， ∴BE=DF=1cm， ∵∠BAD=30， ∴AB=2cm， ∴重疊部分的面積為DFB=12=2cm2． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的性質(zhì)和判定，面積公式的綜合運(yùn)用，能正確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．