高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第1部分 專題3 突破點(diǎn)6 古典概型與幾何概型 理
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專題三概率與統(tǒng)計(jì)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)明內(nèi)在聯(lián)系高考點(diǎn)撥本專題涉及面廣,往往以生活中的熱點(diǎn)問題為依托,在高考中的考查方式十分靈活,考查內(nèi)容強(qiáng)化“用數(shù)據(jù)說法,用事實(shí)說話”,背景容易創(chuàng)新基于上述分析,本專題按照“用樣本估計(jì)總體”“古典概型與幾何概型”“隨機(jī)變量及其分布列”“獨(dú)立性檢驗(yàn)與回歸分析”四個(gè)方面分類進(jìn)行引導(dǎo),強(qiáng)化突破突破點(diǎn)6古典概型與幾何概型提煉1古典概型問題的求解技巧(1)直接列舉:涉及一些常見的古典概型問題時(shí),往往把事件發(fā)生的所有結(jié)果逐一列舉出來(lái),然后進(jìn)行求解(2)畫樹狀圖:涉及一些特殊古典概型問題時(shí),直接列舉容易出錯(cuò),通過畫樹狀圖,列舉過程更具有直觀性、條理性,使列舉結(jié)果不重、不漏(3)逆向思維:對(duì)于較復(fù)雜的古典概型問題,若直接求解比較困難,可利用逆向思維,先求其對(duì)立事件的概率,進(jìn)而可得所求事件的概率(4)活用對(duì)稱:對(duì)于一些具有一定對(duì)稱性的古典概型問題,通過列舉基本事件個(gè)數(shù)結(jié)合古典概型的概率公式來(lái)處理反而比較復(fù)雜,利用對(duì)稱思維,可以快速解決.提煉2幾何度量法求解幾何概型準(zhǔn)確確定度量方式和度量公式是求解幾何概型的關(guān)鍵,常見的幾何度量涉及的測(cè)度主要包括長(zhǎng)度、面積、體積、角度等.提煉3求概率的兩種常用方法(1)將所求事件轉(zhuǎn)化成幾個(gè)彼此互斥的事件的和事件,利用概率加法公式求解概率(2)若一個(gè)較復(fù)雜的事件的對(duì)立面的分類較少,可考慮利用對(duì)立事件的概率公式,即“正難則反”它常用來(lái)求“至少”或“至多”型事件的概率回訪1古典概型1(2014全國(guó)卷)4位同學(xué)各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動(dòng),則周六、周日都有同學(xué)參加公益活動(dòng)的概率為()A.B.C. D.D4名同學(xué)各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動(dòng)的情況有2416(種),其中僅在周六(周日)參加的各有1種,所求概率為1.2(2013全國(guó)卷)從n個(gè)正整數(shù)1,2,n中任意取出兩個(gè)不同的數(shù),若取出的兩數(shù)之和等于5的概率為,則n_.8由題意知n4,取出的兩數(shù)之和等于5的有兩種情況:1,4和2,3,所以P,即n2n560,解得n7(舍去)或n8.回訪2幾何概型3(2016全國(guó)乙卷)某公司的班車在7:30,8:00,8:30發(fā)車,小明在7:50至8:30之間到達(dá)發(fā)車站乘坐班車,且到達(dá)發(fā)車站的時(shí)刻是隨機(jī)的,則他等車時(shí)間不超過10分鐘的概率是()A.B.C. D.B如圖,7:50至8:30之間的時(shí)間長(zhǎng)度為40分鐘,而小明等車時(shí)間不超過10分鐘是指小明在7:50至8:00之間或8:20至8:30之間到達(dá)發(fā)車站,此兩種情況下的時(shí)間長(zhǎng)度之和為20分鐘,由幾何概型概率公式知所求概率為P.故選B.4(2016全國(guó)甲卷)從區(qū)間0,1隨機(jī)抽取2n個(gè)數(shù)x1,x2,xn,y1,y2,yn,構(gòu)成n個(gè)數(shù)對(duì)(x1,y1),(x2,y2),(xn,yn),其中兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對(duì)共有m個(gè),則用隨機(jī)模擬的方法得到的圓周率的近似值為()A. BC. D.C因?yàn)閤1,x2,xn,y1,y2,yn都在區(qū)間0,1內(nèi)隨機(jī)抽取,所以構(gòu)成的n個(gè)數(shù)對(duì)(x1,y1),(x2,y2),(xn,yn)都在正方形OABC內(nèi)(包括邊界),如圖所示若兩數(shù)的平方和小于1,則對(duì)應(yīng)的數(shù)對(duì)在扇形OAC內(nèi)(不包括扇形圓弧上的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)對(duì)),故在扇形OAC內(nèi)的數(shù)對(duì)有m個(gè)用隨機(jī)模擬的方法可得,即,所以.熱點(diǎn)題型1古典概型題型分析:古典概型是高考考查概率的核心,問題背景大多是取球、選人、組數(shù)等,求解的關(guān)鍵是準(zhǔn)確列舉基本事件,難度較小.(1)一個(gè)袋子中有5個(gè)大小相同的球,其中3個(gè)白球與2個(gè)黑球,先從袋中任意取出一個(gè)球,取出后不放回,然后從袋中任意取出一個(gè)球,則第一次為白球、第二次為黑球的概率為()A.B.C. D.(2)已知M1,2,3,4,若aM,bM,則函數(shù)f(x)ax3bx2x3在R上為增函數(shù)的概率是() 【導(dǎo)學(xué)號(hào):85952027】A. BC. D.(1)B(2)A(1)設(shè)3個(gè)白球分別為a1,a2,a3,2個(gè)黑球分別為b1,b2,則先后從中取出2個(gè)球的所有可能結(jié)果為(a1,a2),(a1,a3),(a1,b1),(a1,b2),(a2,a3),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),(b1,b2),(a2,a1),(a3,a1),(b1,a1),(b2,a1),(a3,a2),(b1,a2),(b2,a2),(b1,a3),(b2,a3),(b2,b1),共20種其中滿足第一次為白球、第二次為黑球的有(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),共6種,故所求概率為.故選B.(2)記事件A為“函數(shù)f(x)ax3bx2x3在R上為增函數(shù)”因?yàn)閒(x)ax3bx2x3,所以f(x)3ax22bx1.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在R上為增函數(shù),所以f(x)0在R上恒成立又a0,所以(2b)243a4b212a0在R上恒成立,即a.所以當(dāng)b1時(shí),有a,故a可取1,2,3,4,共4個(gè)數(shù);當(dāng)b2時(shí),有a,故a可取2,3,4,共3個(gè)數(shù);當(dāng)b3時(shí),有a3,故a可取3,4,共2個(gè)數(shù);當(dāng)b4時(shí),有a,故a無(wú)可取值綜上,事件A包含的基本事件有4329(種)又a,b1,2,3,4,所以(a,b)共有4416(種)故所求事件A的概率為P(A).故選A.利用古典概型求事件概率的關(guān)鍵及注意點(diǎn)1關(guān)鍵:正確列舉出基本事件的總數(shù)和待求事件包括的基本事件數(shù)2注意點(diǎn):(1)對(duì)于較復(fù)雜的題目,列出事件數(shù)時(shí)要正確分類,分類時(shí)應(yīng)不重不漏(2)當(dāng)直接求解有困難時(shí),可考慮求其對(duì)立事件的概率變式訓(xùn)練1(2016廣州二模)從數(shù)字1,2,3,4,5中任取2個(gè),組成一個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù),則這個(gè)兩位數(shù)大于30的概率是()A. BC. D.C從數(shù)字1,2,3,4,5中任取2個(gè),組成一個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù),共有20種不同結(jié)果其中這個(gè)兩位數(shù)大于30的共有12種不同結(jié)果,故所求事件的概率P.熱點(diǎn)題型2幾何概型題型分析:高考試題中幾何概型主要考查線段型和面積型.求解幾何概型的關(guān)鍵是計(jì)算線段的長(zhǎng)度、平面圖形的面積等,難度較小.(1)在區(qū)間0,2上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)x,則事件“1log1”發(fā)生的概率為()A.B.C. D.(2)某校早上8:00開始上課,假設(shè)該校學(xué)生小張與小王在早上7:307:50之間到校,且每人在該時(shí)間段的任何時(shí)刻到校是等可能的,則小張比小王至少早5分鐘到校的概率為_(用數(shù)字作答)(1)A(2)(1)由1log1,得x2,解得0x,所以事件“1log1”發(fā)生的概率為,故選A.(2)設(shè)小張和小王到校的時(shí)間分別為x和y,則則滿足條件的區(qū)域如圖中陰影部分所示故所求概率P.判斷幾何概型中的幾何度量形式的方法1當(dāng)題干涉及兩個(gè)變量問題時(shí),一般與面積有關(guān)2當(dāng)題干涉及一個(gè)變量問題時(shí),要看變量可以等可能到達(dá)的區(qū)域:若變量在線段上移動(dòng),則幾何度量是長(zhǎng)度;若變量在平面區(qū)域(空間區(qū)域)內(nèi)移動(dòng),則幾何度量是面積(體積)提醒:數(shù)形結(jié)合是解決幾何概型問題的常用方法,求解時(shí),畫圖務(wù)必準(zhǔn)確、直觀變式訓(xùn)練2如圖61,圓C內(nèi)切于扇形AOB,AOB,若向扇形AOB內(nèi)隨機(jī)投擲600個(gè)點(diǎn),則落入圓內(nèi)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)估計(jì)值為()圖61A100B200C400 D450C如圖,設(shè)OA與圓C相切于點(diǎn)D,連接OC,CD,AOB,則COD,設(shè)圓C的半徑為1,可得OC2,所以扇形的半徑為3,由幾何概型可得點(diǎn)在圓C內(nèi)的概率為P,故向扇形AOB內(nèi)隨機(jī)投擲600個(gè)點(diǎn),則落入圓內(nèi)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)估計(jì)為600400個(gè)熱點(diǎn)題型3互斥事件與對(duì)立事件的概率題型分析:互斥事件與對(duì)立事件的概率常與古典概型等交匯命題,主要考查學(xué)生的分析轉(zhuǎn)化能力,難度中等.(2016南昌一模)現(xiàn)有甲、乙、丙、丁4個(gè)學(xué)生課余參加學(xué)校社團(tuán)文學(xué)社與街舞社的活動(dòng),每人參加且只能參加一個(gè)社團(tuán)的活動(dòng),且參加每個(gè)社團(tuán)是等可能的(1)求文學(xué)社和街舞社都至少有1人參加的概率;(2)求甲、乙同在一個(gè)社團(tuán),且丙、丁不同在一個(gè)社團(tuán)的概率解甲、乙、丙、丁4個(gè)學(xué)生課余參加學(xué)校社團(tuán)文學(xué)社與街舞社的情況如下:文學(xué)社街舞社1甲乙丙丁2甲乙丙丁3甲乙丁丙4甲丙丁乙5乙丙丁甲6甲乙丙丁7甲丙乙丁8乙丙甲丁9甲丁乙丙10乙丁甲丙11丙丁甲乙12甲乙丙丁13乙甲丙丁14丙甲乙丁15丁甲乙丙16甲乙丙丁共有16種情形,即有16個(gè)基本事件.6分(1)文學(xué)社或街舞社沒有人參加的基本事件有2個(gè),故所求概率為.9分(2)甲、乙同在一個(gè)社團(tuán),且丙、丁不同在一個(gè)社團(tuán)的基本事件有4個(gè),故所求概率為.12分1直接求法:將所求事件分解為一些彼此互斥事件的和,運(yùn)用互斥事件概率的加法公式計(jì)算2間接求法:先求此事件的對(duì)立事件,再用公式P(A)1P()求解,即運(yùn)用逆向思維(正難則反),特別是“至多”“至少”型題目,用間接求法會(huì)較簡(jiǎn)便提醒:應(yīng)用互斥事件概率的加法公式的前提是確定各個(gè)事件是否彼此互斥變式訓(xùn)練3(名師押題)根據(jù)以往統(tǒng)計(jì)資料,某地車主購(gòu)買甲種保險(xiǎn)的概率為0.5,購(gòu)買乙種保險(xiǎn)但不購(gòu)買甲種保險(xiǎn)的概率為0.3.(1)求該地1位車主至少購(gòu)買甲、乙兩種保險(xiǎn)中的1種的概率;(2)求該地1位車主甲、乙兩種保險(xiǎn)都不購(gòu)買的概率解記事件A為“該車主購(gòu)買甲種保險(xiǎn)”,事件B為“該車主購(gòu)買乙種保險(xiǎn)但不購(gòu)買甲種保險(xiǎn)”,事件C為“該車主至少購(gòu)買甲、乙兩種保險(xiǎn)中的1種”,事件D為“該車主甲、乙兩種保險(xiǎn)都不購(gòu)買”.4分(1)由題意得P(A)0.5,P(B)0.3,6分又CAB,所以P(C)P(AB)P(A)P(B)0.50.30.8.8分(2)因?yàn)镈與C是對(duì)立事件,所以P(D)1P(C)10.80.2.12分- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問題本站不予受理。
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