高考大題專攻練 10_ 解析幾何(B組) 理 新人教版

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高考大題專攻練 10.解析幾何(B組) 大題集訓練,練就慧眼和規(guī)范,占領(lǐng)高考制勝點! 1.已知橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率為,左、右焦點分別為F1,F2,點G在橢圓C上,且=0,△GF1F2的面積為2. (1)求橢圓C的方程. (2)直線l:y=k(x-1)(k<0)與橢圓相交于Α,Β兩點,點Ρ(3,0),記直線PA,PB的斜率分別為k1,k2,當最大時,求直線l的方程. 【解析】(1)因為e==,所以a=c=b,點G在橢圓C上,且=0, △GF1F2的面積為2, 所以+=2a,=2,+=4c2=2a2,解之a(chǎn)2=4,b2=2,所以橢圓C的方程為+=1. (2)l:y=k(x-1)(k<0)與C:+=1聯(lián)立解得: (1+2k2)x2-4k2x+2k2-4=0, 所以x1+x2=,x1x2=, == =k =k =k=, =≤, 當且僅當k=-時,取得最值. 此時l:y=-. 2.設(shè)橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率e=,右焦點到直線+=1的距離d=,O為坐標原點. (1)求橢圓C的方程. (2)過點O作兩條互相垂直的射線,與橢圓C分別交于A,B兩點,證明點O到直線AB的距離為定值,并求弦AB長度的最小值. 【解析】(1)由e=得=,即a=2c,所以b=c. 由右焦點到直線+=1的距離為d=, 得:=, 解得a=2,b=. 所以橢圓C的方程為+=1. (2)當兩條射線分別在x軸與y軸上時,不妨令A(0,),B(2,0),此時點O到直線AB的距離為d=,|AB|=; 當兩條射線的斜率都存在時, 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2), 直線AB的方程為y=kx+m, 與橢圓+=1聯(lián)立消去y得3x2+4(k2x2+2kmx+m2)-12=0, x1+x2=-,x1x2=. 因為OA⊥OB,所以x1x2+y1y2=0, 所以x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=0. 即(k2+1)x1x2+km(x1+x2)+m2=0, 所以(k2+1)-+m2=0, 整理得7m2=12(k2+1), 所以O(shè)到直線AB的距離d===,為定值, 因為OA⊥OB,所以O(shè)A2+OB2=AB2≥2OAOB, 當且僅當OA=OB時取“=”. 由dAB=OAOB得dAB=OAOB≤, 所以AB≥2d=,又<, 所以弦AB的長度的最小值是.