高考數(shù)學大二輪總復習與增分策略 專題二 函數(shù)與導數(shù) 第4講 導數(shù)的熱點問題練習 文
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第4講導數(shù)的熱點問題(2016課標全國乙)已知函數(shù)f(x)(x2)exa(x1)2有兩個零點(1)求a的取值范圍;(2)設x1,x2是f(x)的兩個零點,證明:x1x20,則當x(,1)時,f(x)0,所以f(x)在(,1)上單調遞減,在(1,)上單調遞增又f(1)e,f(2)a,取b滿足b0且b(b2)a(b1)2a0,故f(x)存在兩個零點設a0,因此f(x)在(1,)上單調遞增又當x1時,f(x)0,所以f(x)不存在兩個零點若a1,故當x(1,ln(2a)時,f(x)0,因此f(x)在(1,ln(2a)上單調遞減,在(ln(2a),)上單調遞增又當x1時,f(x)0,所以f(x)不存在兩個零點綜上,a的取值范圍為(0,)(2)證明不妨設x1x2,由(1)知,x1(,1),x2(1,),2x2(,1),f(x)在(,1)上單調遞減,所以x1x2f(2x2),即f(2x2)1時,g(x)1時,g(x)0,從而g(x2)f(2x2)0,故x1x2kx對任意的x(0,)恒成立,求實數(shù)k的取值范圍(1)解根據(jù)題意,得f(x)ex2x,則f(0)1b.由切線方程可得切點坐標為(0,0),將其代入yf(x),得a1,故f(x)exx21.(2)證明令g(x)f(x)x2xexx1.由g(x)ex10,得x0,當x(,0)時,g(x)0,g(x)單調遞增g(x)ming(0)0,f(x)x2x.(3)解f(x)kx對任意的x(0,)恒成立等價于k對任意的x(0,)恒成立令(x),x0,得(x).由(2)可知,當x(0,)時,exx10恒成立,令(x)0,得x1;令(x)0,得0x1.y(x)的單調增區(qū)間為(1,),單調減區(qū)間為(0,1),(x)min(1)e2,k(x)mine2,實數(shù)k的取值范圍為(,e2)思維升華用導數(shù)證明不等式的方法(1)利用單調性:若f(x)在a,b上是增函數(shù),則xa,b,則f(a)f(x)f(b),對x1,x2a,b,且x1x2,則f(x1)f(x2)對于減函數(shù)有類似結論(2)利用最值:若f(x)在某個范圍D內有最大值M(或最小值m),則對xD,則f(x)M(或f(x)m)(3)證明f(x)g(x),可構造函數(shù)F(x)f(x)g(x),證明F(x)0)(1)當x0時,求證:f(x)1a;(2)在區(qū)間(1,e)上f(x)x恒成立,求實數(shù)a的取值范圍(1)證明設(x)f(x)1aaln xa(x0),則(x).令(x)0,則x1,當0x1時,(x)1時,(x)0,所以(x)在(1,)上單調遞增,故(x)在x1處取到極小值也是最小值,故(x)(1)0,即f(x)1a.(2)解由f(x)x得aln x1x,即a.令g(x)(1xe),則g(x).令h(x)ln x(1x0,故h(x)在區(qū)間(1,e)上單調遞增,所以h(x)h(1)0.因為h(x)0,所以g(x)0,即g(x)在區(qū)間(1,e)上單調遞增,則g(x)g(e)e1,即e1,所以a的取值范圍為e1,)熱點二利用導數(shù)討論方程根的個數(shù)方程的根、函數(shù)的零點、函數(shù)圖象與x軸的交點的橫坐標是三個等價的概念,解決這類問題可以通過函數(shù)的單調性、極值與最值,畫出函數(shù)圖象的走勢,通過數(shù)形結合思想直觀求解例2已知函數(shù)f(x)(ax2x1)ex,其中e是自然對數(shù)的底數(shù),aR.(1)若a1,求曲線yf(x)在點(1,f(1)處的切線方程;(2)若a1,函數(shù)yf(x)的圖象與函數(shù)g(x)x3x2m的圖象有3個不同的交點,求實數(shù)m的取值范圍解(1)當a1時,f(x)(x2x1)ex,所以f(x)(x2x1)ex(2x1)ex(x23x)ex,所以曲線yf(x)在點(1,f(1)處的切線斜率為kf(1)4e.又因為f(1)e,所以所求切線的方程為ye4e(x1),即4exy3e0.(2)當a1時,f(x)(x2x1)ex,f(x)(x2x)ex,所以yf(x)在(,1)上單調遞減,在(1,0)上單調遞增,在(0,)上單調遞減,故f(x)在x1處取得極小值,在x0處取得極大值1.而g(x)x2x,所以yg(x)在(,1)上單調遞增,在(1,0)上單調遞減,在(0,)上單調遞增故g(x)在x1處取得極大值m,在x0處取得極小值m.因為函數(shù)yf(x)與yg(x)的圖象有3個不同的交點,所以f(1)g(0),所以m1,即m的取值范圍為(,1)思維升華(1)函數(shù)yf(x)k的零點問題,可轉化為函數(shù)yf(x)和直線yk的交點問題(2)研究函數(shù)yf(x)的值域,不僅要看最值,而且要觀察隨x值的變化y值的變化趨勢跟蹤演練2已知函數(shù)f(x)2ln xx2ax(aR)(1)當a2時,求f(x)的圖象在x1處的切線方程;(2)若函數(shù)g(x)f(x)axm在上有兩個零點,求實數(shù)m的取值范圍解(1)當a2時,f(x)2ln xx22x,f(x)2x2,切點坐標為(1,1),切線的斜率kf(1)2,則切線方程為y12(x1),即2xy10.(2)g(x)2ln xx2m,則g(x)2x.因為x,所以當g(x)0時,x1.當x0;當1xe時,g(x)0.故g(x)在x1處取得極大值g(1)m1.又gm2,g(e)m2e2,g(e)g4e20,則g(e)g,所以g(x)在上的最小值是g(e)g(x)在上有兩個零點的條件是解得10,又由h0可得r0,故V(r)在(0,5)上為增函數(shù);當r(5,5)時,V(r)0,故V(r)在(5,5)上為減函數(shù)由此可知,V(r)在r5處取得最大值,此時h8.即當r5,h8時,該蓄水池的體積最大思維升華利用導數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題的一般步驟(1)建模:分析實際問題中各量之間的關系,列出實際問題的數(shù)學模型,寫出實際問題中變量之間的函數(shù)關系式y(tǒng)f(x)(2)求導:求函數(shù)的導數(shù)f(x),解方程f(x)0.(3)求最值:比較函數(shù)在區(qū)間端點和使f(x)0的點的函數(shù)值的大小,最大(小)者為最大(小)值(4)作答:回歸實際問題作答跟蹤演練3經(jīng)市場調查,某商品每噸的價格為x(1x0);月需求量為y2萬噸,y2x2x1. 當該商品的需求量大于供給量時,銷售量等于供給量;當該商品的需求量不大于供給量時,銷售量等于需求量,該商品的月銷售額等于月銷售量與價格的乘積(1)若a,問商品的價格為多少時,該商品的月銷售額最大?(2)記需求量與供給量相等時的價格為均衡價格,若該商品的均衡價格不低于每噸6百元,求實數(shù)a 的取值范圍解(1) 若a,由y2y1,得x2x1x()2.解得40x6.因為1x14,所以1x6.設該商品的月銷售額為g(x),則g(x)當1x6時,g(x)(x)xg(6).當6x0,得x0,所以f(x)在區(qū)間(1,14)上是增函數(shù),若該商品的均衡價格不低于6百元,即函數(shù)f(x)在區(qū)間6,14)上有零點,所以即解得00.當2a10,即a時,函數(shù)f(x)在(0,1)上單調遞減,在(1,)上單調遞增;當02a11,即a1,即a0時,函數(shù)f(x)在(1,2a1)上單調遞減,在(0,1),(2a1,)上單調遞增(3)根據(jù)(2)知,當a時,函數(shù)f(x)在1,2上單調遞減若x1x2,則不等式|f(x1)f(x2)|對任意正實數(shù)恒成立,此時(0,)若x1x2,不妨設1x1f(x2),原不等式即f(x1)f(x2),即f(x1)f(x2)對任意的a,x1,x21,2恒成立,設g(x)f(x),則對任意的a,x1,x21,2,不等式g(x1)g(x2)恒成立,即函數(shù)g(x)在1,2上為增函數(shù),故g(x)0對任意的a,x1,2恒成立g(x)x(2a2)0,即x3(2a2)x2(2a1)x0,即(2x2x2)ax32x2x0對任意的a恒成立由于x1,2,2x2x20,故只要(2x2x2)x32x2x0,即x37x26x0對任意的x1,2恒成立令h(x)x37x26x,x1,2,則h(x)3x214x60恒成立,故函數(shù)h(x)在區(qū)間1,2上是減函數(shù),所以h(x)minh(2)8,只要80即可,即8,故實數(shù)的取值范圍是8,)A組專題通關1函數(shù)f(x)的定義域為R,f(1)3,對任意xR,f(x)3x6的解集為_答案(,1)解析設g(x)f(x)(3x6),則g(x)f(x)30的解集是x|x0,b0,e是自然對數(shù)的底數(shù),若ea2aeb3b,則a與b的大小關系為_答案ab解析由ea2aeb3b,有ea3aeb3b,令函數(shù)f(x)ex3x,則f(x)在(0,)上單調遞增,因為f(a)f(b),所以ab.3若不等式2xln xx2ax3恒成立,則實數(shù)a的取值范圍為_答案(,4解析條件可轉化為a2ln xx(x0)恒成立設f(x)2ln xx,則f(x)(x0)當x(0,1)時,f(x)0,函數(shù)f(x)單調遞增,所以f(x)minf(1)4.所以a4.4如果函數(shù)f(x)ax2bxcln x(a,b,c為常數(shù),a0)在區(qū)間(0,1)和(2,)上均單調遞增,在(1,2)上單調遞減,則函數(shù)f(x)的零點個數(shù)為_答案1解析由題意可得f(x)2axb,則解得所以f(x)a(x26x4ln x),則極大值f(1)5a0,極小值f(2)a(4ln 28)0,結合函數(shù)圖象(圖略)可得該函數(shù)只有一個零點5做一個無蓋的圓柱形水桶,若要使其體積是27 dm3,且用料最省,則圓柱的底面半徑為_ dm.答案3解析設圓柱的底面半徑為R dm,母線長為l dm,則VR2l27,所以l,要使用料最省,只需使圓柱形水桶的表面積最小S表R22RlR22,所以S表2R.令S表0,得R3,則當R3時,S表最小6關于x的方程x33x2a0有三個不同的實數(shù)解,則實數(shù)a的取值范圍是_答案(4,0)解析由題意知使函數(shù)f(x)x33x2a的極大值大于0且極小值小于0即可,又f(x)3x26x3x(x2),令f(x)0,得x10,x22,當x0;當0x2時,f(x)2時,f(x)0,所以當x0時,f(x)取得極大值,即f(x)極大值f(0)a;當x2時,f(x)取得極小值,即f(x)極小值f(2)4a,所以解得4ax1f(x2)x2f(x1),則稱函數(shù)f(x)為“H函數(shù)”給出下列函數(shù):yx3x1;y3x2(sin xcos x);yex1;f(x)以上函數(shù)是“H函數(shù)”的所有序號為_答案解析因為x1f(x1)x2f(x2)x1f(x2)x2f(x1),即(x1x2)f(x1)f(x2)0恒成立,所以函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)由y3x210得x0恒成立,所以為“H函數(shù)”;由yex0恒成立,所以為“H函數(shù)”;由于為偶函數(shù),所以不可能在R上是增函數(shù),所以不是“H函數(shù)”綜上可知,是“H函數(shù)”的有.8已知函數(shù)f(x)x3x23x,直線l:9x2yc0,若當x2,2時,函數(shù)yf(x)的圖象恒在直線l下方,則c的取值范圍是_答案(,6)解析根據(jù)題意知x3x23xx3x2x,設g(x)x3x2x,則g(x)x22x,則g(x)0恒成立,所以g(x)在2,2上單調遞增,所以g(x)maxg(2)3,則c6.9.如圖,OA是南北方向的一條公路,OB是北偏東45方向的一條公路,某風景區(qū)的一段邊界為曲線C,為方便游客觀光,擬定在曲線C上某點P處分別修建與公路OA,OB垂直的兩條道路PM,PN,且PM,PN的造價分別為5萬元/百米,40萬元/百米,建立如圖所示的平面直角坐標系xOy,則曲線C符合函數(shù)yx(1x9)模型,設PMx,修建兩條道路PM,PN的總造價為f(x)萬元,題中所涉及長度單位均為百米(1)求f(x)的解析式;(2)當x為多少時,總造價f(x)最低?并求出最低造價解(1)在如圖所示的平面直角坐標系中,因為曲線C的方程為yx(1x9),PMx,所以點P的坐標為(x,x),直線OB的方程為xy0.則點P到直線xy0的距離為.又PM的造價為5萬元/百米,PN的造價為40萬元/百米,則兩條道路總造價為f(x)5x405(x)(1x9)(2)因為f(x)5(x),所以f(x)5(1).令f(x)0,得x4,列表如下:x(1,4)4(4,9)f(x)0f(x)極小值所以當x4時,函數(shù)f(x)有最小值,最小值為f(4)5(4)30.B組能力提高10定義在上的函數(shù)f(x),f(x)是它的導函數(shù),且恒有f(x)f; f(1)f; ff.答案解析f(x)0,0,函數(shù)在上單調遞增,從而,即fx,若f(2a)f(a)22a,則實數(shù)a的取值范圍是_答案(,1解析令g(x)f(x)x2,則g(x)f(x)x2,則g(x)g(x)f(x)f(x)x20,得g(x)為R上的奇函數(shù)當x0時,g(x)f(x)x0,故g(x)在(0,)上單調遞增,再結合g(0)0及g(x)為奇函數(shù),知g(x)在R上為增函數(shù)又g(2a)g(a)f(2a)f(a)f(2a)f(a)22a(22a)22a0,則g(2a)g(a)2aaa1,即a(,112直線ya分別與直線y2(x1),曲線yxln x交于點A,B,則AB的最小值為_答案解析解方程2(x1)a,得x1.設方程xln xa的根為t(t0),則tln ta,則AB.設g(t)1(t0),則g(t)(t0),令g(t)0,得t1.當t(0,1)時,g(t)0,所以g(t)ming(1),所以AB,所以AB的最小值為.13已知函數(shù)f(x)x3kx2k(kR)(1)若曲線yf(x)在點(2,f(2)處的切線的斜率為12,求函數(shù)f(x)的極值;(2)設k0或x0,f(x)單調遞增;當4x0時,f(x)0,f(x)單調遞減可得f(x)的極小值為f(0)4,f(x)的極大值為f(4).(2)由題意得g(x)x2kx.設tx2(0,2,可得F(x)h(t)t2kt(t)2,k0.當4k0時,(0,2),h(t)minh();當k4時,2,),h(t)在(0,2)上單調遞減,h(t)minh(2)42k.綜上可得,h(t)min- 配套講稿:
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